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Temas - serpa

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Álgebra / Polinomios linealizados
« en: 29 Mayo, 2018, 06:00 am »
Sea \( f  \) un polinomio linealizado con coeficientes en \( \mathbb{F}_{q^n} \) y \( q \)-grado \( k \), digamos \( f=f_0x + f_1 x^q + \cdots + f_{k-1}x^{q^{k-1}} + f_k x^{q^k} \). He demostrado que si el rango de \( f \), visto como transformación lineal, es \( n-k \), entonces \( N(f_0)=(-1)^{kn} N(f_k) \). Debo mostrar ahora que el recíproco no es cierto, para \( k>1 \). Es decir, el hecho que \( N(f_0)=(-1)^{kn} N(f_k) \) no implica que \( f \) tenga rango \( n-k \) ¿Se les ocurre algún contraejemplo?

PD: \( N \) denota la norma del cuerpo \( \mathbb{F}_{q^n} \) sobre el cuerpo \( \mathbb{F}_q \).

De antemano se les agradece cualquier aporte.

Saludos.

2
Análisis Matemático / Desigualdades de Sobolev
« en: 25 Noviembre, 2017, 11:10 pm »
Hola a todos. Estoy estudiando la demostración del siguiente teorema, que se encuentra en el libro Partial Differential Equations, cuyo autor es Lawrence C. Evans. Los pasos que no entiendo los pondré en rojo. De antemano agradezco su ayuda.

Teorema Sea \( U \subseteq \mathbb{R}^n \), abierto y acotado, con frontera \( C^1 \). Suponga que \( u \in{W^{k,p}(U)} \).
 
Si 

                             \( k < \displaystyle\frac{n}{p} \),                     

entonces \( u\in{L^q(U)} \), donde \( \displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{p}-\displaystyle\frac{k}{n} \). Adicionalmente tenemos

                            \( \left\|{u}\right\| _{L^q(U)} \leq{} C  \left\|{u}\right\| _{W^{k,p}(U)} \) 

donde la constante \( C \) depende únicamente de \( k,p,n \) y \( U \).

Demostración: Siupongamos que \( k<\displaystyle\frac{n}{p} \). Entonces, como \( D^{\alpha}
 \in{L^p(U)} \), para todo \( \left |{\alpha}\right |=k \), la desigualdad de Sobolev - Nirenberg - Gagliardo implica  ¿Por qué? ???  ¿No debería la función \( u\in{C^{1}_{c}(\mathbb{R}^n)} \)?
 
                      \(  \left\|{D^{\beta}u}\right\| _{L^{p^{*}}(U)} \leq C  \left\|{u}\right\| _{W^{k,p}(U)} \)

y luego \( u \in{W^{k-1,p^{*}}(U)} \) ¿Por qué?. Similarmente, encontramos que \( u \in{W^{k-2,p^{**}}(U)} \),
 donde \( \displaystyle\frac{1}{p^{**}}=\displaystyle\frac{1}{p^{*}}-\displaystyle\frac{1}{n}= \displaystyle\frac{1}{p}-\displaystyle\frac{2}{n} \). Continuando, encontramos luego de \( k \) pasos que \( u \in{W^{0,q}(U)}=L^q(U) \), con \( \displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{p}-\displaystyle\frac{k}{n} \). El estimativo se obtiene de lo anterior.




En la demostración de este teorema cita el siguiente resultado:

 Desigualdad de Sobolev - Nirenberg - Gagliardo
 
Supongamos \( 1 \leq p < n \). Existe una constante \( C \), que depende sólo de \( p \text{ y }
 n \), tal que

                      \(  \left\|{u}\right\| _{L^{p^{*}}(\mathbb{R}^n)} \leq C  \left\|{Du}\right\| _{L^p(\mathbb{R}^n)} \)

para toda \( u \in{C_{c}^{1}(\mathbb{R}^n)} \), donde \( p^{*}:= \displaystyle\frac{np}{n-p} \).
[cerrar]
 

 Saludos

3
Álgebra / Polinomio adjunto
« en: 14 Noviembre, 2017, 08:20 pm »
Hola a todos. Estoy leyendo un artículo donde no entiendo lo siguiente: Dado un polinomio linealizado \( f=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{f_ix^{q^i}} \), su adjunto respecto a la forma bilineal simétrica \( (a,b)
\rightarrow{TR(ab)}  \), donde \( TR \) denota la traza absoluta de \( \mathbb{F}_{q^n} \) a \( \mathbb{F}_{p} \), está dado por \( \displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{f_{n-i}^{q^i}x^{q^i}} \).
Los coeficientes están sobre \( \mathbb{F}_{q^n} \), y \( q=p^e \), donde \( p \) es un primo.
Cómo obtienen el polinomio adjunto? Agradezco su ayuda.

4
Álgebra / Forma bilineal simétrica no degenerada
« en: 21 Octubre, 2017, 04:09 am »
Hola a todos.

¿Alguna sugerencia para esto?

Sea \( \left<{M, N}\right> := Tr(MN^t) \), donde \( M,N \in{\mathbb{F}_{q}^{m \times n}} \), \( Tr() \) es la traza y \( N^t \) indica la transpuesta de \( N \). Ya he probado que dicha aplicación define una forma bilineal simétrica no degenerada. Lo que debo probar ahora es: dado \( V \leq \mathbb{F}_{q}^{m \times n} \), entonces \( \dim_{\mathbb{F}_q} V^{\perp}=mn - \dim_{\mathbb{F}_q} V \), donde \( V:=\{X \in{\mathbb{F}_{q}^{m \times n}}: \left<{X, N}\right>=0, \forall N\in{V} \} \).


Agradezco mucho su ayuda.

5
Álgebra / Isometrías
« en: 19 Octubre, 2017, 11:32 pm »
Hola a todos. Solicito alguna sugerencia para demostrar lo siguiente:
Sean \( p \) un primo, \( e\in{\mathbb{N}} \) y \( q=p^e \). Definimos \( d_r:\mathbb{F}_{q^n}^{m} \times \mathbb{F}_{q^n}^{m} \longrightarrow{[0, \infty)} \), como \( d_r(x,y):=\dim_{\mathbb{F}_q} \left<{x_1-y_1, x_2-y_2,...,x_m-y_m}\right> \).
Demostrar que para toda \( M \in{GL(m, \mathbb{F}_q}) \), se satisface \( d_r(x,y)=d_r(xM,yM) \).


De antemano gracias por su atención.

6
Criptografía / Conteo
« en: 16 Mayo, 2017, 04:47 pm »
Hola a todos. Espero puedan echarme una mano con un ejercicio con el que no he podido dar. Sea \( \mathcal{C} \) un código lineal sobre \( \mathbb{F}_q \), con parámetros \( [n,k] \) y sea \( M \) una matriz de \( q^k \times n \), cuyas filas son los codewords de \( \mathcal{C} \). Demuestre que una columna de \( M \) es totalemente nula o contiene todos los elementos de \( \mathbb{F}_q \) repetidos un mismo número de veces cada uno.

Gracias de antemano.

Saludos.

7
Criptografía / Duda sobre notación
« en: 30 Marzo, 2017, 01:57 am »
Hola. Estoy estudiando el articulo que se encuentra en el siguiente enlace: https://arxiv.org/abs/1504.01581  (Página 5, cuarto párrafo)
sobre teoría de códigos. Hay una notación que no comprendo y es la siguiente:

Dado un polinomio linealizado \( f \) y un automorfismo \( \rho \) de \( \mathbb{F}_q \), definimos
\( f^{\rho}(x)=f(x^{-\rho})^{\rho} \mod x^{q^n}-x \).

¿Para ustedes, qué significa \( f(x^{{\rho}^{-1}})^{\rho} \)?

Se les agradece su ayuda.

Un saludo.


8
Topología Algebraica / Grupos de homología
« en: 31 Octubre, 2016, 03:28 pm »
Hola. Solicito ayuda con el siguiente ejercicio. No veo cómo usar la sugerencia que dan. Me disculpo por no copiarlo, que es estoy desde mi teléfono celular y no tengo un computador a la mano. Es el ejercicio 16 en la imagen. Tomado del Hatcher.


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Topología Algebraica / Sucesión exacta
« en: 31 Octubre, 2016, 02:46 am »
Hola. Vi esto en una prueba pero no logro ver el por qué

Considere la sucesión exacta

\( \ldots\rightarrow{H_2(S^1\vee S^1)}\rightarrow{H_2(S^1\times{S^1})}\rightarrow{H_2(S^1\times S^1, S^1 \vee S^1)}\rightarrow{H_1(S^1 \vee S^1)}\rightarrow{H_1(S^1 \times S^1)}\rightarrow{\ldots} \)

Sabemos que \( H_1(S^1 \times S^1)= \pi_1(S^1 \times S^1)=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}  \).

La parte que no entiendo es

Aplicando la sucesión de Mayer-Vietoris obtenemos que

\( H_2(S^1\vee S^1)=0  \) y \(  H_1(S^1\vee S^1)=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \).

Alguna ayuda?

10
Topología Algebraica / Aplicación sobreyectiva en la esfera
« en: 30 Octubre, 2016, 06:41 pm »
Pido por favor una ayuda en el siguiente ejercicio.

Construir una aplicación sobreyectiva en \( S^n \) para cada \( n>0 \).

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Topología Algebraica / Punto fijo de Brouwer
« en: 29 Octubre, 2016, 06:17 pm »
brower  Brower
hatcher Hatcher

Hola. ¿Alguna sugerencia para el siguiente ejercicio del Hatcher?
Demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer para funciones \( f:D^n\longrightarrow{D^n} \) aplicando la teoría del grado a la función \( S^n\longrightarrow{S^n} \) que envía el hemisferio norte y sur de \( S^n \) hasta el hemisferio sur vía f.



Saludos.

12
Topología Algebraica / Delta complejos
« en: 27 Octubre, 2016, 11:29 pm »
Hola a todos. Estoy tratando de entender la siguiente definición del \( \Delta \)-complejo de un espacio \( X \), con un ejemplo. La definición es la siguiente (Tomada del Hatcher - Alegbraic Topology)

Es una colección de funciones \( \sigma_{\alpha}:\Delta^n\longrightarrow{X} \), con \( n \) dependiendo de \( \alpha \), tal que:

1) La restricción \( \sigma_{\alpha}|_{int(\Delta^n)} \) es inyectiva y cada punto de X está en la imagen de exactamente una de dichas restricciones \( \sigma_{\alpha}|_{int(\Delta^n)} \).

2) Cada restricción de \( \sigma_{\alpha} \) a una cara de \( \Delta^n \) es una de las funciones \( \sigma_{\beta}:\Delta^{n-1}\longrightarrow{X} \).

3)\( A\subset{X} \) es abierto si y sólo si \( \sigma_{\alpha}^{-1}(A) \) es abierto en \( \Delta^n \) para cada \( \sigma_{\alpha} \).


El ejemplo con el que trato de entenderlo es con el toro, es decir \( X=S^1\times{S^1} \).

Pido su ayuda porque no se por donde empezar para encontrar la estructura de delta complejo del toro.

Saludos

13
Hola a todos. ¿Alguna sugerencia para probar las siguientes implicaciones?

Sea \( V \) un espacio vectorial sobre \( \mathbb{R} \) y \( \left \{p_j : j\in{\mathbb{N}} \right \} \) una familia de seminormas contable con \( \displaystyle \cap{p_j^{-1}(0)}=\left \{0 \right \} \) y definamos

\( d(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{2^i}}\displaystyle\frac{p_i(x-y)}{1+p_i(x-y)} \), para todo \( x,y \in{V} \).

He probado que d define una métrica en V invariante bajo traslación, es decir, \( d(a+x,a+y)=d(x,y) \), para todo \( x,y \in{V} \).

Las implicaciones que debo mostrar son las siguientes:

Sea \( (v_n) \) una sucesión en V.

a)  \( (v_n) \) es de Cauchy en \( (V,p_i) \), para todo \( i\in{\mathbb{N}} \), entonces  \( (v_n) \) es de Cauchy en \( (V,d) \).

b)  \( (v_n) \) converge en \( (V,p_i) \) hacia v, para todo \( i\in{\mathbb{N}} \),  si  \( (v_n) \)  converge en \( (V,d) \) hacia v.

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Topología Algebraica / Grupo fundamental
« en: 02 Octubre, 2016, 05:51 pm »
Hola a todos. ¿Alguna sugerencia para el siguiente problema?

Considérese la parametrización del toro dos dimensional

\( \psi(u,v)=\left<{\cos{(u)}(a+b\cos{(v)}),\sin{(u)}(a+b\cos{(v)}),b \sin{(v)}}\right> \),

para \( (u,v)\in{[0,2\pi]\times{[0,2\pi]}} \) y \( a>b>0 \). Defina el lazo

\( \gamma(t):=\psi(pt,qt) \),

para p y q enteros positivos y \( t\in{[0,2\pi]} \). Sea \( K_{p,q} \) la imagen en \( \mathbb{R}^3 \) de \( \gamma \).

Calcule \( \pi_1(\mathbb{R}^3-K_{p,q}) \).

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Topología Algebraica / Retracciones
« en: 27 Septiembre, 2016, 03:41 am »
Hola. Solicito ayuda para lo siguiente .Demuestre que no existen retacciones \( r:X\longrightarrow{A} \)en los siguientes casos:

1. \( X=D^2\vee D^2 \) con \( A=S^1\times{S^1} \).
2. \( X \) un disco con dos puntos en su frontera y \( A=S^1\vee S^1 \).
3. \( X \) la banda de mobius y \( A \) su frontera circular.

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Topología Algebraica / Grupo fundamental trivial
« en: 25 Septiembre, 2016, 06:20 pm »
Hola a todos. Pido alguna sugerencia para mostrar el siguiente ejercicio:

Si X es un espacio topológico y toda aplicación \( S^1\longrightarrow{X} \) se extiende a una aplicación \( D^2\longrightarrow{X} \), entonces \( \pi_1(X,x_0)=0 \), para todo \( x_0\in{X} \).


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Hola. Me ha surgido una duda a lo largo de un ejercicio. Si \( X \) es un espacio topológico y \( f:S^1\longrightarrow{X} \) es una aplicación continua, ¿es \( f(S^1) \) un camino cerrado en \( X \)?

Gracias

18
Hola a todos. Estoy tratando de entender la demostración de la parte 3 del siguiente corolario.
Asumiremos que los \(  \lambda_{i}^{+} \) son los autovalores positivos de T y \(  \lambda_{i}^{-} \) los negativos, los \( e_i^{+} \) son autovectores ortonormales asociados a los autovalores positivos y los \( e_i^{-} \) son autovectores ortonormales asociados a los autovalores negativos.

También asumiremos que \(  \lambda_1^{+}\geq{\lambda_2^{+}}\geq{}..... \) y \( \lambda_1^{-}\leq{\lambda_2^{-}}\leq{...} \).

Corolario: Sea \( H \) un espacio de Hilbert de dimensión infinita y \( T:H\longrightarrow{H} \) un operador autoadjunto compacto. Entonces

i) Si existe un autovalor positivo, entonces \( \displaystyle \max_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{+} \); si existe un autovalor negativo entonces \( \displaystyle \min_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{-} \).

ii) \( <Tx,x>\geq{0} \) para todo \( x\in{H} \) si y sólo si \( T \) no tiene autovalores negativos.

iii) Sea  \(   \lambda^{+}=\lambda_{1}^{+} \) si existe un autovalor positivo y \(  \lambda^{+}=0 \) en otro caso. Similarmente \(   \lambda^{-}=\lambda_{1}^{-} \) si existe un autovalor negativo y \(  \lambda^{-}=0 \) en otro caso. Entonces
\( \displaystyle \sup _{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\lambda^{+} \) y  \( \displaystyle \inf _{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\lambda^{-} \)


Demostración:

iii) Si existe un autovalor positivo entonces \( \displaystyle \sup_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>=\displaystyle \max_{ \left\|{x}\right\|=1}<Tx,x>= \lambda_{1}^{+} \) por la parte (i). Si no existe un autovalor positivo, entonces \( <Tx,x>\leq{=} \), para todo \( x\in{H} \). Luego \(  \lambda_i\longrightarrow{0} \) cuando \( i\longrightarrow{\infty} \) (o es cero a partir de un i) Podemos tomar \( x_n=e_{n}^{-} \) y obtenemos \( <Tx_n,x_n>=\lambda^{-}_{n}\longrightarrow{0} \) (\( n\longrightarrow{\infty} \)). Luego \( \lambda^{+}=0 \). (NO ENTIENDO COMO CONCLUYEN EL TEOREMA CON ESTO  :banghead:) De manera analoga se prueba para \( \lambda^{-} \).


Saludos

19
Variable compleja y Análisis de Fourier / Funciones analíticas
« en: 11 Diciembre, 2015, 08:09 pm »
Hola a todos. No soy muy bueno en análisis así que pidonpor favor su ayuda para resolver estos problemas.

1. Demostrar que si A es un dominio y \( \bar{f}:A\longrightarrow{\mathbb{R}} \), f analítica en A, entonces f es constante en A.

2. Si \( f:S\longrightarrow{i\mathbb{R}} \), f analitica, S abierto no necesariamente conexo, entonces f es localmente constante en S.

3. Si A es un dominio, \( f:A\longrightarrow{i\mathbb{R}} \), f analitica, entonces f es constantew en A.


Un saludo

20
Teoría de la Medida - Fractales / Sucesión
« en: 03 Noviembre, 2015, 11:21 pm »
Sea \( f_n=n^2\chi[0,\displaystyle\frac{1}{n}] \), \( n\in{\mathbb{N}} \). Demuestre que

\( \displaystyle\int_{\mathbb{R}}^{} \liminf (f_n) d\lambda=0<\infty=\liminf \displaystyle\int_{\mathbb{R}}^{} f_n d\lambda \).



Agradezco de antemano cualquier aporte para resolver este problema.

Un saludo.

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