Centrándose en el concepto de lógica de las especies, presentar la evolución del concepto de ecuación a lo largo de la historia.

Explicar por qué se necesitó formalizar el análisis a principios de siglo XIX, cómo se realizó, y cómo llevó esto a la invención del análisis complejo. Atribuir las distintas ideas a sus autores.

Combinando varias presentaciones, se vio que existen situaciones en las que la matemática y la tecnología modernas no son capaces de llegar a un resultado de forma efectiva. Considerar los siguientes tres problemas:

\( \bullet  \) Determinar la tasa de contagios de un virus

\( \bullet \) Predecir el clima de la próxima semana

\( \bullet \) Obtener la factorización prima de un número gigantesco

Cada uno de estos problemas es "indeterminable" por motivos distintos. Para cada uno de ellos, explicar qué es lo que los hace difíciles/imposibles de abordar con exactitud, y qué herramientas tiene la matemática para estudiarlos.

Hola, como puedo explicar este problema?

Sea \( F_{\lambda}(x,y,z)=2xz-z^2+y^2-4z-\lambda x^2(x-1) \), con \( \lambda \in \mathbb{R} \) un parametro real. Clasificar la cuadrica real \( F_0 (x,y,z)=0. \)

Hola, buscamos la matriz asociada a la cuadrica? No me queda claro.

Sea \( C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \), con \( \lambda \in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_{\lambda}:=P_{\lambda}(x,y,z)=y^2z-\lambda x^2(x-z). \) Encontrar todos los \( \lambda \in \mathbb{C} \) para los cuales \( C_{\lambda} \) es suave.

Hola, primero calculamos las derivadas parciales.

\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial x}(x,y,z)=-3\lambda x^2+2\lambda xz=0 \)

\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial y}(x,y,z)=2yz=0 \)

\( \dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial z}(x,y,z)=y^2+\lambda x^2=0 \)

De la primera ecuación, se tiene que:

\( -3\lambda x^2+2\lambda xz=0\implies \lambda (-3x^2+2xz)=0\implies \lambda=0 \, \vee \, -3x^2+2xz=0 \)

De la tercera ecuación tenemos que:

\( y^2+\lambda x^2=0\implies \lambda=-\dfrac{y^2}{x^2} \).

Entonces, los \( \lambda \in \mathbb{C} \) para los cuales \( C_{\lambda} \) es suave son: \( \lambda \ne 0 \) y \( \lambda \ne -\dfrac{y^2}{x^2} \).

En \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \), sea \( Q \) la cuadrica con ecuacion \( Q: y^2+z^2-u^2-2xz+2yz=0. \) Sean \( \pi \) el plano proyectivo en \( \mathbb{P}_\mathbb{C}^3 \) dado por \( u=0 \) y \( C:=Q\cap \pi \subset \pi = \mathbb{P}_\mathbb{C}^2. \) Encontrar una homografia \( \omega: \mathbb{P}_\mathbb{C}^2\to \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) que reduce \( C \) a su forma canonica.

Calcule el rango de la matriz \( A=\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{-1}&{-2}&{0}\\
{0}&{-2}&{-2}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{-1}
\end{bmatrix}. \)

Hola, buenas tardes. Preferible preguntar en vez de caer en un error grave. Según mi Profesora de Álgebra de primer año, el rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante es no nulo. Y según esta definición, uno tendería a ver las submatrices cuadradas, y ver si su determinante es distinto de cero. Por otra parte, hay otra definición que dice que se debe escalonar la matriz para ver el orden de la mayor submatriz, esto ultimo me confunde...; y diría que \( \text{rg } A=4 \), pero bueno...

Sea \( C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \), con \( \lambda\in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_\lambda:=P_{\lambda}(x,y,z)=(y-x)(y+x)z+\lambda x^2(x-2z). \) Para \( \lambda=1 \), calcular la multiplicidad de \( p:=(0:0:1)\in C_1 \) y escribir la recta tangente \( T_p C_1\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \).

Calcule el rango de la matriz \( A=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{0}\\
{0}&{0}&{1}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{1}
\end{bmatrix} \).

Hola, como estan. El rango me debe dar \( \text{rg } A=3 \). Hice el calculo del determinante de la matriz \( 4\times 4 \) y me da \( \text{det } A=0 \). Y debe darme distinto de cero... No se cual submatriz cuadrada puedo tomar para que me de distinto de cero.¿ Habre olvidado la teoria? Gracias.

Sea \( C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) con \( \lambda \in \mathbb{C} \), una familia de cubicas definidas por \( P_{\lambda}:=P_\lambda (x,y,z)=y^2z-\lambda x^2(x-z) \). Sea \( \lambda=1. \) Hallar la recta tangente \( T_p C_1\subset \mathbb{P}_\mathbb{C}^2 \) donde \( p=(0:0:1)\in C_1 \), y decir que tipo de punto es \( p \) para la curva \( C_1. \)