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Temas - Julio_fmat

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Geometría y Topología / Formula de Grassmann
« en: 16 Octubre, 2020, 11:10 pm »
Sean \( \Lambda_1: x_1-x_6=x_2-x_5=x_3-x_4=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_3-x_5+x_6=x_4+x_5-2x_6=0 \) en \( \mathbb{P}_{\mathbb{R}}^5 \). Calcular \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2) \) y \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \).

Hola, por la formula de Grassmann tenemos que \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1+\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2-\dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \), de donde se tiene que \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1=5-3=2 \), \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2=5-2=3. \) Luego, \( \Lambda_1\cap \Lambda_2: x_1=x_6, x_2=x_5, x_3=x_4 \), y \( \begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\\{x_5}\\{x_6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\
{0}&{1}\\
{2}&{-1}\\
{2}&{-1}\\
{0}&{1}\\
{1}&{0}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \) se tiene el sistema de 2 ecuaciones y 6 variables. Por tanto, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2)=5-4=1. \) Luego, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=2+3-1=4. \) ¿Esta bien?

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Geometría y Topología / Problema de homografia
« en: 15 Octubre, 2020, 11:26 pm »
En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \), sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos. Decir si existe una homografia \( \omega: \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5\to \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) tal que \( \omega(\Lambda_i)=\Lambda_i' \), para \( i=1,2,3 \), donde \( \Lambda_1': x_0=x_1=x_3-x_4=0 \), \( \Lambda_2': x_3=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3': x_3=x_5=x_4-x_2=x_2-x_0=0 \). Si \( \omega \) existe, escribir sus ecuaciones , mientras que si \( \omega \) no existe, justificar el porque.

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Teoría de números / Sucesion y polinomio
« en: 13 Octubre, 2020, 07:30 pm »
Dado \( m\ge 0 \), sea \( \sigma=(s_m)_{m\ge 0} \), donde \( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m (n^2+n+1). \) Mostrar que la sucesion \( (s_m)_{m\ge 0} \) es la imagen de un polinomio \( P \) de grado \( 3. \) Encontrar dicho polinomio.

Hola, de que manera planteo este problema?

4
Teoría de números / Interpolacion
« en: 11 Octubre, 2020, 10:12 pm »
Mostrar, sin calcularlo, que existe un polinomio \( P \) de grado \( 3 \) que toma valores dentro del conjunto \( \{6,39,108,225,402\} \) cuando evaluado en los elementos de \( \{0,1,2,3,4\} \). Calcular los coeficientes de \( P \). Calcular \( P(4) \) para averiguar, \( P(5) \), y hacer una representación gráfica.

Hola, no se mucho de la teoría, pero lo siguiente parece ser cierto:

\( \Delta^{(1)}a_n=0\implies b \) es constante

\( \Delta^{(2)}a_n=\Delta(\Delta a_n)=0\implies ax+b=0 \)

\( \Delta^{(3)}a_n=0\implies ax^2+bx+c=0 \)

\( \Delta^{(4)}a_n=0\implies ax^3+bx^2+cx+d=0 \)


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Teoría de números / Valor absoluto no-arquimediano
« en: 08 Octubre, 2020, 02:20 am »
Muestre que si \( |.|_p: \mathbb{Q}\to \mathbb{Z} \) es un valor absoluto no-arquimediano, entonces \( |x+y|_p\le \max\{|x|_p,|y|_p\} \).

Hola, estaba intentandolo, pero me enredo con el maximo... ¿Porque max en el exponente es max de la potencia entera?

6
En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2=0, \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos. Decir si existe una homografía \( \omega: \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5\to \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) tal que \( \omega(\Lambda_i)= \Lambda_i' \) para \( i=1,2,3 \), donde \( \Lambda_1': x_0=x_1=x_3-x_4=0,  \Lambda_2': x_3=x_4=x_5=0 \), y \( \Lambda_3': x_3=x_5=x_4-x_2=x_2-x_0=0. \) Si \( \omega \) existe, escribir sus ecuaciones, mientras que si \( \omega \) no existe, justificar el porqué.

Hola, ¿cómo puedo plantear este problema?

7
Geometría y Topología / Ecuaciones parametricas y cartesiana 2
« en: 05 Octubre, 2020, 09:44 pm »
En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \), considere el plano afin \( \pi \) que contiene a los tres puntos \( P_1=(1,0,-1,0), P_2=(0,1,0,0), P_3=(0,0,1,-2) \) y la recta \( r \) de ecuacion \( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0 \). Escribir las ecuaciones cartesianas y parametricas del hiperplano \( H \) tal que \( r\subset H \) y \( \pi \parallel H. \)

Hola, pude calcular los puntos:

\( P_2-P_1=(-1,1,1,0) \)

\( P_3-P_1=(-1,0,2,-2) \)

El tercer punto no se como se calcula... para obtener las ecuaciones parametricas. ¿Es relevante el hecho de que \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \)?

8
Teoría de números / Factorizacion
« en: 03 Octubre, 2020, 07:58 pm »
Factorizar completamente el polinomio \( x^4-1 \) modulo \( 4 \). Factorizar completamente el polinomio \( x^5-1 \) modulo \( 5 \) sin hacer cálculos.

Hola, para este caso tenemos que

\( x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x-i)(x+i)(x-1)(x+1) \)

y además,

\( x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \)

No se muy bien que se refiere sin hacer calculos...

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Teoría de números / Divisores
« en: 02 Octubre, 2020, 08:27 pm »
Sea \( n\ge 2 \) un entero y \( d \) un divisor de \( n. \) Mostrar que para cada \( x\in \mathbb{Z} \) se tiene que \( d \) divide a \( x \) si y solo si \( d \) divide al ultimo digito en base \( n \) de \( x \).

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Teoría de números / Expresar en base decimal
« en: 02 Octubre, 2020, 08:21 pm »
Expresar \( (BCD+123)_{16} \) en base decimal.

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Teoría de números / Sucesores en una base dada
« en: 02 Octubre, 2020, 08:17 pm »
¿Cuál es el sucesor de \( (AAAA)_{16} \)? ¿y de \( (AAAA)_{11} \)?

Hola, como puedo ver los sucesores de estos números?

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Teoría de números / Sobreyecciones de un conjunto
« en: 28 Septiembre, 2020, 09:32 pm »
Calcular la cantidad de sobreyecciones de un conjunto de \( n\ge 3 \) elementos en un conjunto de \( 3 \) elementos.

Hola, como puedo resolver este problema?

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Teoría de números / Función multiplicativa
« en: 28 Septiembre, 2020, 09:18 pm »
Mostrar que la funcion \( \mu \) de Moebius es multiplicativa. ¿Es completamente multiplicativa?

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Foro general / Libros de Magister en Matemática
« en: 26 Septiembre, 2020, 12:42 am »
Hola comunidad. Como estan, tengo la siguiente inquietud. Resulta que estoy terminando la Licenciatura en Matematica y quisiera preguntar "que libros" usaron en el Magister en Matematica o en la Maestria?. O se pregunta despues, la verdad es que la Licenciatura me ha entregado las herramientas necesarias para hacer una clase. Deseo ingresar al plan de Magister de aqui al proximo año. Lo unico malo es que mis notas no son muy altas, y para realizar dicha Maestria se necesitan notas \( x\ge 5 \).


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Donde dice Formula debería ir Fórmula
Donde dice parametricas debería ir paramétricas.
En tu navegador (en extensiones) puedes colocar algún corrector ortográfico
.

En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos.

a) Calcular \( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3) \)

b) Hallar las ecuaciones parametricas y cartesiana de \( \Lambda_1+\Lambda_2 \) y \( \Lambda_2\cap \{x_2-x_3=0\} \).

Hola, para el item a) podemos usar la Formula de Grassmann dada por

\( \dim_{\mathbb{K}}(\mathbb{P}(W_1)+\mathbb{P}(W_2))=\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{P}(W_1)+\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{P}(W_2)-\dim_{\mathbb{K}} (\mathbb{P}(W_1)\cap \mathbb{P}(W_2)) \)

b) Para el b) estoy un poco perdido. En todo caso, las ecuaciones parametricas yo las puedo calcular en funcion de un parametro, o los parametros tales que \( \lambda_i\in \mathbb{K} \), y las cartesianas se pueden obtener resolviendo un determinante de 4x4 o de 5x5, etc, dependiendo de cuantas variables hallan.

16
Geometría y Topología / Demostrar que existe afinidad
« en: 23 Septiembre, 2020, 08:25 pm »
En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \), considere el plano afín \( \pi \) que contiene a los tres puntos \( P_1=(1,0,-1,0), P_2=(0,1,0,0), P_3=(0,0,1,-2) \) y la recta \( r \) de ecuación \( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0. \) Decir para cuales valores de \( t\in \mathbb{K} \) existe una afinidad \( \alpha_t: \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4\to \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) tal que \( \alpha_t(H)=H' \) y \( \alpha_t (\pi)=\pi_t \), donde \( H' \) es el hiperplano dado por \( x_1=0 \) y \( \pi_t \) es el plano de ecuación \( x_1+tx_3=x_2+x_4=0 \).


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Geometría y Topología / Determinar hiperplano H
« en: 14 Septiembre, 2020, 02:07 am »
En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^5 \) determinar el hiperplano \( H \) tal que \( L_1\subset H \), \( \ell \parallel H \), donde \( L_1: x_1+x_2-x_3-x_4+2=x_2+x_3+x_4-x_5=0 \) y \( \ell \) es la recta de ecuación cartesiana \( \ell: x_1+x_2=x_1+x_4=x_3+x_2=x_1-x_5+1=0. \)

18
Geometría y Topología / Problema de rectas y plano
« en: 14 Septiembre, 2020, 01:55 am »
En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) sean \( r_1: x+z=y=w-2=0 \), \( r_2: x+1=z+w=y-1=0 \), y \( \pi: x+y-w-5=y-z-w+5=0. \) Determinar la recta \( \ell \) que corta las rectas \( r_1,r_2 \) y es paralela al plano \( \pi. \)

Hola, tengo este ejercicio. No entiendo como calcular las parametrizaciones de las rectas, o sea, como calcular los vectores directores, si alguien me puede explicar eso. Gracias de antemano.

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Teoría de números / Problema de sucesiones
« en: 09 Septiembre, 2020, 10:58 pm »
Sea \( u_n \) la sucesión definida por \( u_0=u_1=1 \) y \( u_{n+2}=u_{n+1}+\dfrac{u_n}{n+1} \). Mostrar que \( 1\le u_n\le n^2 \) para cada \( n\ge 1. \)

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Teoría de números / Contraejemplo inductivo
« en: 09 Septiembre, 2020, 10:48 pm »
Encontrar el error en el siguiente razonamiento. Dado \( n>0 \), sea \( P(n) \) la propiedad: \( \forall a,b>0, \max(a,b)=n \implies a=b. \)

Es falsa, porque por ejemplo \( \max(1,2)=2 \), pero \( 1\ne 2 \). ¿Alguna otra falla en la inducción?

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