Sean \( \Lambda_1: x_1-x_6=x_2-x_5=x_3-x_4=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_3-x_5+x_6=x_4+x_5-2x_6=0 \) en \( \mathbb{P}_{\mathbb{R}}^5 \). Calcular \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2) \) y \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \).

Hola, por la formula de Grassmann tenemos que \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1+\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2-\dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \), de donde se tiene que \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1=5-3=2 \), \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2=5-2=3. \) Luego, \( \Lambda_1\cap \Lambda_2: x_1=x_6, x_2=x_5, x_3=x_4 \), y \( \begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\\{x_5}\\{x_6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\
{0}&{1}\\
{2}&{-1}\\
{2}&{-1}\\
{0}&{1}\\
{1}&{0}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \) se tiene el sistema de 2 ecuaciones y 6 variables. Por tanto, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2)=5-4=1. \) Luego, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=2+3-1=4. \) ¿Esta bien?

Dado \( m\ge 0 \), sea \( \sigma=(s_m)_{m\ge 0} \), donde \( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m (n^2+n+1). \) Mostrar que la sucesion \( (s_m)_{m\ge 0} \) es la imagen de un polinomio \( P \) de grado \( 3. \) Encontrar dicho polinomio.

Hola, de que manera planteo este problema?

Muestre que si \( |.|_p: \mathbb{Q}\to \mathbb{Z} \) es un valor absoluto no-arquimediano, entonces \( |x+y|_p\le \max\{|x|_p,|y|_p\} \).

Hola, estaba intentandolo, pero me enredo con el maximo... ¿Porque max en el exponente es max de la potencia entera?

En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \), considere el plano afin \( \pi \) que contiene a los tres puntos \( P_1=(1,0,-1,0), P_2=(0,1,0,0), P_3=(0,0,1,-2) \) y la recta \( r \) de ecuacion \( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0 \). Escribir las ecuaciones cartesianas y parametricas del hiperplano \( H \) tal que \( r\subset H \) y \( \pi \parallel H. \)

Hola, pude calcular los puntos:

\( P_2-P_1=(-1,1,1,0) \)

\( P_3-P_1=(-1,0,2,-2) \)

El tercer punto no se como se calcula... para obtener las ecuaciones parametricas. ¿Es relevante el hecho de que \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \)?

Sea \( n\ge 2 \) un entero y \( d \) un divisor de \( n. \) Mostrar que para cada \( x\in \mathbb{Z} \) se tiene que \( d \) divide a \( x \) si y solo si \( d \) divide al ultimo digito en base \( n \) de \( x \).

¿Cuál es el sucesor de \( (AAAA)_{16} \)? ¿y de \( (AAAA)_{11} \)?

Hola, como puedo ver los sucesores de estos números?

Mostrar que la funcion \( \mu \) de Moebius es multiplicativa. ¿Es completamente multiplicativa?

Donde dice Formula debería ir Fórmula
Donde dice parametricas debería ir paramétricas.
En tu navegador (en extensiones) puedes colocar algún corrector ortográfico.

En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos.

a) Calcular \( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3) \)

b) Hallar las ecuaciones parametricas y cartesiana de \( \Lambda_1+\Lambda_2 \) y \( \Lambda_2\cap \{x_2-x_3=0\} \).

Hola, para el item a) podemos usar la Formula de Grassmann dada por

\( \dim_{\mathbb{K}}(\mathbb{P}(W_1)+\mathbb{P}(W_2))=\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{P}(W_1)+\dim_{\mathbb{K}} \mathbb{P}(W_2)-\dim_{\mathbb{K}} (\mathbb{P}(W_1)\cap \mathbb{P}(W_2)) \)

b) Para el b) estoy un poco perdido. En todo caso, las ecuaciones parametricas yo las puedo calcular en funcion de un parametro, o los parametros tales que \( \lambda_i\in \mathbb{K} \), y las cartesianas se pueden obtener resolviendo un determinante de 4x4 o de 5x5, etc, dependiendo de cuantas variables hallan.

En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^5 \) determinar el hiperplano \( H \) tal que \( L_1\subset H \), \( \ell \parallel H \), donde \( L_1: x_1+x_2-x_3-x_4+2=x_2+x_3+x_4-x_5=0 \) y \( \ell \) es la recta de ecuación cartesiana \( \ell: x_1+x_2=x_1+x_4=x_3+x_2=x_1-x_5+1=0. \)

Sea \( u_n \) la sucesión definida por \( u_0=u_1=1 \) y \( u_{n+2}=u_{n+1}+\dfrac{u_n}{n+1} \). Mostrar que \( 1\le u_n\le n^2 \) para cada \( n\ge 1. \)