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Lógica / Conjunto de testigos
« en: 06 Febrero, 2014, 09:54 pm »
Hola, ¿cómo andan? Volví después de una larga ausencia con una duda que me aqueja. Me dicen lo siguiente:

Si \( \Sigma \) es un conjunto de sentencias en un lenguaje \( \mathcal{L} \) y \( C \) es un conjunto formado por algunas de las constantes de \( \mathcal{L} \), entonces \( C \) es un conjunto de testigos para \( \Sigma \) en \( \mathcal{L} \) si para toda fórmula \( \alpha \) en la que ninguna variable ocurre libre salvo eventualmente \( x \), hay alguna constante \( c\in C \) para la cual \( \Sigma\vdash\exists x\alpha\to\alpha_c^x \)

Me dan como ejemplo lo siguiente: \( \mathcal{L} \) es un lenguaje con un único relator \( < \), ningún funtor, y una constante \( c_q \) para cada \( q\in\mathbb{Q} \). \( \Sigma \) incluye las siguientes sentencias:

1) \( c_q<c_p \) para todos \( q,p\in\mathbb{Q} \) tales que \( q<p \)
2) \( \forall x(\lnot x<x) \)
3) \( \forall x\forall y(x<y\lor x=y\lor y<x) \)
4) \( \forall x\forall y\forall z(x<y\to(y<z\to x<z)) \)
5) \( \forall x\forall y(x<y\to\exists z(x<z\land z<y)) \)
6) \( \forall x\exists y(x<y) \)
7) \( \forall x\exists y(y<x) \)

Me dicen que entonces \( C=\{c_q:q\in\mathbb{Q}\} \) es un conjunto de testigos para \( \Sigma \) en \( \mathcal{L} \), y no tengo idea de cómo terminar de probarlo. Lo que pude probar hasta ahora es que si uno elimina cualquier sentencia de \( \Sigma \), esto deja de ser cierto, o sea que en la prueba va a haber que usarlas todas. Con lo que hice hasta ahora, para terminar me bastaría probar que para toda fórmula \( \alpha \) en la que ninguna variable ocurre libre salvo eventualmente \( x \) se tiene

\( \Sigma\cup\{\alpha_{c_q}^x:q\in\mathbb{Q}\}\vdash\alpha \)

¿Cómo se podría probar esto último? O si no, ¿cómo se podría probar por otro camino que \( C \) es un conjunto de testigos para \( \Sigma \) en \( \mathcal{L} \)?

2
Motivación para la definición de longitud de una curva en el plano

Introducción

Para inventar una definición matemática que modele algo que uno cree ya conocer se empieza asumiendo determinadas propiedades que uno quisiera que cumpla aquello que se está definiendo y se analizan las consecuencias que traerían en caso de ser ciertas. Un ejemplo sería la definición de lo que se entiende por área encerrada bajo la gráfica de una función. Para funciones escalonadas es algo que se puede hacer sin problemas, simplemente se la define como la suma de las áreas de los rectángulos que conforman la región encerrada bajo la gráfica de la función en cuestión. Para generalizar esto a otras funciones (según Riemann) se asume que:

(*) Si una función toma valores mayores o iguales que otra en todo el intervalo en el que ambas están definidas entonces el área encerrada bajo la gráfica de la primera es mayor o igual al de la segunda.

Sea lo que sea que uno entienda por área, en tanto se asuma que cumple (*), resulta que el área encerrada bajo la gráfica de una función es mayor o igual al supremo de las sumas inferiores y menor o igual al ínfimo de las superiores, teniendo en cuenta que toda suma inferior se corresponde con el área encerrada abajo de la gráfica de una función auxiliar que es escalonada y menor o igual a la función original en todo el intervalo de definición, y algo análogo ocurre con toda suma superior. Entonces uno decide restringirse a estudiar las funciones para las cuales el supremo y el ínfimo mencionados coinciden y define el área encerrada bajo su gráfica como el número al que equivalen estas dos cantidades. Por supuesto que una vez hecho esto falta probar, entre otras tantas cosas, que el área entendida de esa manera cumple (*). Si no resultara así se estaría trabajando con una definición que no modela la noción de área de la forma que uno había declarado desde el principio que quería. Todo el estudio previo a la definición no constituye más que una motivación para la misma, pero el estudiante honesto lo hace, y no toma las definiciones cual robot, diciendo "ah, yo no sé lo que es un área, sólo sé lo que es una suma inferior, una suma superior, un ínfimo y un supremo, y trabajo tranquilo con eso". A pesar de que en todos los libros se demuestre que la integral de Riemann cumple (*) a partir de la definición, lo cierto es que no se llegó a esa definición por otro camino más que asumiendo a priori que lo cumplía (por supuesto que esto no es un error de los libros, es sólo algo que se da por sobreentendido).

Ese es un caso sencillo comparado con el que se trata en este artículo. Lo que me propongo es sugerir una lista de propiedades razonables a asumir sobre la longitud de las curvas, análogas a (*), para demostrar que suponiéndolas verdaderas se llega a que la longitud de una curva en el plano es el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas en ella. Mi objetivo es partir de propiedades más razonables que "si dos curvas se parecen mucho, sus longitudes también".

Teorema: Sea \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) una función derivable con derivada estrictamente creciente. Dada una partición \( P=\{x_0,\ldots,x_n\} \) de \( [a,b] \), para cada \( 0\le i\le n \) sea \( T_i \) la recta tangente al gráfico de \( f \) en \( (x_i,f(x_i)) \). Para cada \( 1\le i\le n \), \( T_i \) se corta con \( T_{i-1} \) en un único punto \( P_i \). Sean, para cada \( 1\le i\le n \),  \( L_i \) el segmento que une \( (x_{i-1},f(x_{i-1})) \) con \( P_i \), \( R_i \) el segmento que une \( P_i \) con \( (x_i,f(x_i)) \) y \( D_i \) el segmento que une \( (x_{i-1},f(x_{i-1})) \) con \( (x_i,f(x_i)) \). Sean \( l_i \), \( r_i \) y \( d_i \) sus respectivas longitudes. Entonces para todo \( \epsilon>0 \) existe una partición \( P=\{x_0,\ldots,x_n\} \) de \( [a,b] \) para la cual \( \sum_{i=1}^n(l_i+r_i)-\sum_{i=1}^nd_i<\epsilon \).

Demostración:

Como \( f' \) es creciente y no puede tener discontinuidades esenciales (por ser una derivada), entonces es continua.

Primero voy a probar que bajo estas hipótesis el conjunto \( \{\sum_{i=1}^nd_i: P=\{x_0,\ldots,x_n\}\textsf{ partición de [a,b]}\} \) está acotado superiormente (cosa que voy a usar al final). Como \( f' \) es continua y su dominio es compacto, entonces es acotada. Por lo tanto, el ángulo de la recta tangente al gráfico de \( f \) en cada punto no toma valores arbitrariamente cercanos a \( -\frac{\pi}{2} \) ni a \( \frac{\pi}{2} \), y entonces su coseno no toma valores arbitrariamente cercanos al 0. Dada una partición \( P=\{x_0,\ldots,x_n\} \) de \( [a,b] \) cualquiera, por el teorema del valor medio sé que, para cada \( 1\le i\le n \), existe un \( \tau_i\in(x_{i-1},x_i) \) tal que el ángulo que forma la recta tangente al gráfico de \( f \) en el punto \( (\tau_i,f(\tau_i)) \) con la horizontal, al que llamo \( \alpha(\tau_i) \), es igual al ángulo de inclinación del segmento \( D_i \). Se tiene

\( \cos(\alpha(\tau_i))=\dfrac{x_i-x_{i-1}}{d_i} \) o sea que \( d_i=\dfrac{x_i-x_{i-1}}{\cos(\alpha(\tau_i))} \)

y por lo tanto

\( \displaystyle\sum_{i=1}^nd_i=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i-x_{i-1}}{\cos(\alpha(\tau_i))}\le M'\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})=M' (b-a)=M \),

donde \( M' \) es una cota superior para \( \frac{1}{\cos(\alpha(x))},\;\;x\in[a,b] \) y \( M=M'(b-a) \).

Ahora sí. Como \( f' \) es continua y su dominio es compacto, entonces es uniformemente continua. Por lo tanto, el ángulo de la recta tangente al gráfico de \( f \) en cada punto es una función uniformemente continua, a la que llamo \( \alpha \). Dado \( \epsilon '>0 \), sea \( \delta>0 \) tal que si \( |x-y|<\delta \) entonces \( |\alpha(x)-\alpha(y)|<\epsilon ' \). Tomo una partición \( P=\{x_0,\ldots,x_n\} \) de \( [a,b] \) para la cual \( \max_{1\le i\le n}\{x_i-x_{i-1}\}<\delta \). Para cada \( 1\le i\le n \) se tiene la siguiente situación, donde \( \alpha_{i-1}=\alpha(x_{i-1}) \) y \( \alpha_i=\alpha(x_i)=\alpha_{i-1}+\epsilon_i \), con \( 0<\epsilon_i<\epsilon ' \).



El ángulo rojo es \( \pi-\alpha-\epsilon_i \), o sea que el azul es \( \epsilon_i \), y por lo tanto, el verde (el ángulo entre los segmentos \( L_i \) y \( R_i \)) es \( \pi-\epsilon_i \).

Por el teorema del coseno, es

\( d_i^2=l_i^2+r_i^2-2l_ir_i\cos(\pi-\epsilon_i))\qquad\iff \)

\( d_i^2=(l_i+r_i)^2-2l_ir_i(1+\cos(\pi-\epsilon_i))\qquad\iff \)

\( (l_i+r_i)^2-d_i^2=2l_ir_i(1+\cos(\pi-\epsilon_i))\qquad\iff \)

\( (l_i+r_i-d_i)(l_i+r_i+d_i)=2l_ir_i(1+\cos(\pi-\epsilon_i))\qquad\iff \)

\( (l_i+r_i-d_i)=\dfrac{2l_ir_i}{l_i+r_i+d_i}(1+\cos(\pi-\epsilon_i)) \)

Ahora bien, por la desigualdad triangular sé que \( d_i<l_i+r_i \), y además, está claro que para \( \epsilon ' \) suficientemente chico tanto \( l_i \) como \( r_i \) son menores que \( d_i \), o sea que

\( (l_i+r_i-d_i)=\dfrac{2l_ir_i}{l_i+r_i+d_i}(1+\cos(\pi-\epsilon_i))<\dfrac{2l_ir_i}{2d_i}(1+\cos(\pi-\epsilon_i))< \)

\( \dfrac{2d_i^2}{2d_i}(1+\cos(\pi-\epsilon_i))=d_i(1+\cos(\pi-\epsilon_i)) \)

Y finalmente,

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n(l_i+r_i)-\displaystyle\sum_{i=1}^nd_i=\displaystyle\sum_{i=1}^n(l_i+r_i-d_i)<\displaystyle\sum_{i=1}^nd_i(1+\cos(\pi-\epsilon_i))< \)

\( (1+\cos(\pi-\epsilon '))\displaystyle\sum_{i=1}^nd_i\le(1+\cos(\pi-\epsilon '))M \)

cosa que puede hacerse tan chica como se quiera tomando \( \epsilon ' \) suficientemente chico.

¿Para qué sirve esto?

La longitud de un segmento del plano puede definirse sin problemas mediante el teorema de Pitágoras. Para definir la longitud de una curva se asume que, sea lo que sea que uno entienda por ello, debe cumplirse que

(1) Si se divide una curva en una cantidad finita de curvas disjuntas, la longitud de la curva original es igual a la suma de las longitudes de las curvas en las que se la dividió.

(2) Cualquier curva que una dos puntos debe tener una longitud mayor o igual a la del segmento que los une.

Cualquier definición que contradiga estos hechos estaría midiendo una magnitud que no se condice con lo que uno espera que sea la longitud de (lo que uno espera que sea) una curva. Uno busca, si es que existe, alguna definición de longitud de curva que esté de acuerdo con estos dos hechos.

Asumir (1) y (2) lleva a que el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas en una curva tenga que ser menor o igual a la longitud de dicha curva, sea lo que sea que uno entienda por longitud de la curva. A partir de ahí una posibilidad (la que se presenta en todos los libros que consulté) sería decir "no tengo más herramientas para trabajar sobre esto, así que me resigno a aceptar ese supremo como definición de longitud de curva", lo que está asumiendo que

(3) Mediante poligonales inscritas en una curva dada se puede conseguir longitudes arbitrariamente cercanas a lo que entiendo por longitud de la curva en cuestión.

La pregunta sería qué es lo que nos motiva a asumir (3). En vista de todas esas pseudo-paradojas que existen sobre la longitud de curvas, hay que ser bastante cuidadoso y no perder de vista ese principio que dice que en cálculo ninguna cantidad, por más pequeña que sea, puede ser despreciada. Y bueno, lo que pasa es que uno puede asumir

(3') Si \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) es una función convexa cuyo gráfico \( \gamma\subseteq\mathbb{R}^2 \) admite recta tangente no vertical en sus extremos, sean \( L_1 \) y \( L_2 \) las rectas tangentes a \( \gamma \) en los extremos. Estas rectas se cortan porque \( f \) es convexa (en un único punto si \( \gamma \) no es una recta). Sea \( P \) el punto de corte de \( L_1 \) y \( L_2 \) y sean \( S_1 \) el segmento que une \( (a,f(a)) \) con \( P \) y \( S_2 \) el segmento que une \( P \) con \( (b,f(b)) \). Entonces la longitud de \( \gamma \) debe ser menor o igual a la de \( S_1 \) sumada a la de \( S_2 \).

En esta noción se apoyó Arquímedes para acotar superiormente la longitud de una circunferencia (al menos esa es mi interpretación de lo que hizo). Si uno lo piensa lo suficiente, asumir (3') es tan razonable como asumir (2). Esto es decir "así como el segmento que une a \( (a,f(a)) \) con \( (b,f(b)) \) corta camino con respecto a la curva, bajo estas hipótesis la curva corta camino con respecto a \( S_1\cup S_2 \)". Son nociones previas que uno ya sabe que la longitud de una curva debería satisfacer, sea lo que sea que uno entienda por longitud de una curva.

Asumiendo (1), (2) y (3') en vez de (1), (2) y (3), como consecuencia del teorema se tiene (3) para las curvas que cumplen sus hipótesis (y por lo tanto también para, entre otras, las curvas que pueden dividirse en una cantidad finita de curvas que cumplen sus hipótesis). Entonces uno puede definir la longitud de una curva como el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas en ella con la tranquilidad de que, para las curvas "razonables" (entre ellas, las que podrían presentarse en el mundo material), lo que se está calculando es efectivamnte lo que uno entiende por longitud de una cuerda física.

En los libros que pude consultar se omite este teorema y todo esto se trata de una forma más "vaga". Por ejemplo Rudin lo expone así:

Cita de: Principios de Análisis Matemático, capítulo 6
[...]Conforme la partición se hace más fina, este polígono se aproxima al rango de \( \gamma \) cada vez más. Esto hace razonable definir la longitud de \( \gamma \) como [el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas en ella].

Es sabido por todos que no cualquier sucesión de poligonales que "se parezcan cada vez más" a una curva dada va a tener longitudes que sean siquiera acotadas. Para poder afirmar que las poligonales inscritas en una curva se "aproximan a ella" de la forma que uno necesita, a diferencia de otras poligonales cualesquiera que podrían aproximarse a la curva de otras formas, se está aplicando implícitamente una noción de tangencia que no queda para nada clara.

Y esto no es cosa menor, porque por ejemplo en física el trabajo es una integral curvilinea. Y sin haber probado este teorema, el que los cálculos que hacen los físicos den bien sería una coincidencia.Yo lo hice para estudiar integrales complejas. En ese contexto está claro que uno podría definir lo que quiera y contentarse con que, si la curva es un intervalo de \( \mathbb{R} \), se recupera la integral real. Pero personalmente no le encuentro demasiado sentido a usar una palabra que ya conozco y para la cual ya tengo un significado adjudicado, para referirme a una noción abstracta sin tener un argumento sólido que me garantice que lo que estoy haciendo es verdaderamente integrar los valores complejos que toma la función sobre la curva.

¿Qué faltaría?

Buscar una forma de acotar superiormente la longitud de una curva en 3 dimensiones, por ejemplo para aquellos que quieren calcular el trabajo realizado por una fuerza a lo largo de una trayectoria tridimensional y saber que el resultado que obtuvieron es efectivamente lo que en el mundo material se va a manifestar como la integral sobre esa trayectoria y no una cota inferior para dicha integral que se define como igual a ella sin mayor argumentación.

3
Hola, ¿cómo están, tanto tiempo? ¡Cómo extrañaba al foro!

Quería compartir esto y que de paso me digan, si quieren, si está bien (o qué opinan). No sé si esto calificaría como un buen candidato a artículo de la revista, lo puse en esta sección más que nada porque no se trata tanto de una consulta del tipo "¿cómo resuelvo este ejercicio?", sino más bien de un desarrollo ya terminado sobre el cual me gustaría conocer sus opiniones.

Para mí este es un teorema que habría que agregar en los libros de cálculo antes de definir la longitud de una curva en el plano y parte de lo que habría que agregar antes de definir las integrales curvilíneas en el plano (y en particular las integrales complejas).

(El desarrollo fue trasladado al artículo.)

4
Foro general / Cuestiones gramaticales del castellano
« en: 08 Marzo, 2012, 07:42 am »
(Proviene de http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,55096.msg219482.html#msg219482, Argentinator)

Exacto, pero se dice "habrá". Los números, que son plural, no son quienes realizan la acción de "haber". Nadie realiza esa acción, hay números y punto.

5
Cálculo 1 variable / Desigualdad de Cauchy-Schwarz
« en: 01 Enero, 2012, 11:16 pm »
Ya sé que el producto de funciones integrables es una función integrable. Quiero probar que si \( f,g:[0,1]\to\mathbb{R} \) son integrables, entonces

\( \left(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx\right)^2\le\left(\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x))^2dx\right)\left(\displaystyle\int_{0}^{1}(g(x))^2dx\right) \).

La manera que yo conocía de álgebra lineal se adaptaría a este caso así:

1) Probar que si \( \displaystyle\int_{0}^{1}(g(x))^2dx=0 \), entonces \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx=0 \), con lo cual, sería un caso trivial. Esto no es inmediato, pero lo podría hacer.

2) Si \( \displaystyle\int_{0}^{1}(g(x))^2dx\ne0 \), usar que \( 0\le\displaystyle\int_{0}^{1}\left(f(x)-\dfrac{\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx}{\int_{0}^{1}(g(x))^2dx}g(x)\right)^2dx \), operar y despejar.

Pero en un libro me están sugiriendo otra forma que supuestamente permitiría saltear 1), que es la parte más tediosa de la demostración. Dice así:

Partir de \( 0\le\left(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx-\lambda\displaystyle\int_{0}^{1}g(x)dx\right)^2\quad\forall\lambda\in\mathbb{R} \) y usar la correspondencia conocida entre la cantidad de raíces de una función cuadrática y su discriminante.

Por más vueltas que le dé a esto, no me parece que se pueda concluir de esta manera. ¿Qué les parece a ustedes?

6
Cálculo 1 variable / Lema de Darboux
« en: 28 Diciembre, 2011, 02:47 am »
El lema (dividido a la mitad) dice así:

Sea \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) una función acotada. \( \forall\epsilon>0,\,\,\exists\delta>0\,\,/\,\,|\pi|<\delta\Rightarrow S(\pi)<J+\epsilon \).

\( \pi \) representa una partición del intervalo \( [a,b] \), \( |\pi| \) su norma, \( S(\pi) \) la suma superior de \( f \) correspondiente a esta partición, y \( J \) la integral superior de \( f \).

Una demostración que encontré dice así:

Primero supongamos que \( \inf\{f(x):x\in[a,b]\}>0 \).

Dado \( \epsilon>0 \), existe una partición \( \pi_0:\quad a=y_0<y_1<\ldots<y_p=b \) tal que \( S(\pi_0)=\displaystyle\sum_{k=1}^pM_k\Delta y_k<J+\frac{\epsilon}{2} \), donde \( M_k=sup\{f(x):x\in[y_{k-1},y_k]\} \) y \( \Delta y_k=y_k-y_{k-1} \).

Sea \( M=\sup\{f(x):x\in[a,b]\} \), y sea \( \delta=\frac{\epsilon}{4pM} \). Entonces, dada una partición cualquiera \( \pi \) de \( [a,b] \) tal que \( |\pi|<\delta \), se puede escribir \( S(\pi)=S_1+S_2 \), donde \( S_1 \) agrupa a todos los términos correspondientes a intervalos de la partición \( \pi \) que quedan totalmente contenidos en algún intervalo \( (y_{k-1},y_k) \), y \( S_2 \) al resto.

Una acotación muy intuitiva permite afirmar que \( S_1<J+\frac{\epsilon}{2} \). En cuanto a \( S_2 \), el total de términos que lo componen no puede ser mayor que \( 2p \), y cada uno de ellos no puede ser mayor que \( M|\pi| \), con lo cual, \( S_2\le2pM|\pi|<2pM\delta=\frac{\epsilon}{2} \). Por lo tanto, \( S(\pi)<J+\epsilon \).

Pero en la demostración usamos que \( \inf\{f(x):x\in[a,b]\}>0 \). Para eliminar esa hipótesis innecesaria es suficiente elegir una constante \( c \) tal que \( \inf\{f(x):x\in[a,b]\}+c>0 \) y aplicar lo anterior a la función \( \hat{f}=f+c \).

La pregunta es:

¿En qué parte de la demostración se usa que \( \inf\{f(x):x\in[a,b]\}>0 \)? A mí me convencería perfectamente sin esa suposición. AGREGO: ¿No alcanzaría con que sea \( M>0 \)?

7
Propuestos por todos / Unir las 9 X
« en: 30 Julio, 2011, 07:12 pm »
Hace poco me encontré con este ejercicio:

Citar
Conecta las nueve X de la figura mediante cuatro líneas rectas, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por la misma X:

X        X        X


X        X        X


X        X        X

Lo que les propongo es probar de manera más o menos sencilla que esto es imposible a menos que uno recurra a algún truco de esos como "doblo el papel y entonces no estoy levantando el lápiz".

8
Dudas y sugerencias del foro / La función "notificar" no me funciona
« en: 27 Febrero, 2011, 01:04 pm »
Según tenía entendido, si uno quiere que un hilo en el que comentó le deje de aparecer en "nuevas respuestas a tus mensajes" cada vez que alguien más comenta, tiene que darle click al botón "notificar" y después darle "aceptar" y listo. Si es así, no me funciona.

9
Propuestos por todos / Polinomio con coeficientes naturales
« en: 16 Enero, 2011, 07:05 am »
Demostrar que un polinomio queda determinado si se sabe que sus coeficientes \( a_i \) son naturales y se conoce el valor que toma en un solo número natural \( k>a_i\quad\forall i \).

Lo encontré en el libro "Introducción al Análisis Matemático" de Joaquin Ortega (apartado 1.3), sugerido por el usuario reypirin en otro hilo. No es nada complicado, pero me resultó interesante.

10
Matemática Aplicada / Probabilidad de ser mujer
« en: 02 Diciembre, 2010, 12:07 am »
Copio y pego este ejercicio:

En aquel país, la probabilidad de que una mujer de a luz una niña es, exactamente, del cincuenta por ciento. El gobierno decreta que solo recibirán la pensión de jubilación aquellos que sean padres de, al menos, una niña. Como reacción a esta ley, las mujeres siguen la siguiente estrategia: tener hijos hasta que uno de ellos sea niña y ahí parar.

Así las cosas, ¿cuál será la proporción de niñas en el país?

Fuente: http://www.epsilones.com/paginas/p-problemas2.html#prob-ninno-ninna

Esta es la solución que proponen:

Pues 1/2.

Si pensamos solo en el primer hijo de cada mujer, la proporcion es, por el enunciado, 1/2.

Si pensamos solo en el segundo hijo de cada mujer, la proporcion es, por el enunciado, 1/2.

Si pensamos solo en el segundo hijo de cada mujer, la proporcion es...

Ahora bien:

Me parece que esta es una mala aplicación del teorema de probabilidad total. Lo que creo que está haciendo es definir los eventos

\( M \) = "ser mujer"

\( A_i \) = "ser el hijo número \( i \) de la familia"

y pretende usar que

\( P(M)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{P(M\cap A_i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{P(M|A_i)P(A_i)} \)

Él cree que \( P(M|A_i)=\frac 12\quad\forall i\in\mathbb{N} \), cosa que en principio habría que poner en duda, dado que las madres tienen una estrategia específica en este país para tener hijos.

De hecho, si definimos el evento

\( B_i \) = "pertenecer a una familia que tiene \( i \) hijos"

sería

\( P(M)=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{P(M\cap B_i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{P(M|B_i)P(B_i)} \)

Como es

\( P(M|B_i)=\frac 1i \)   y   \( P(B_i)=(\frac 12)^i \)

nos queda que la probabilidad de ser mujer en este país es mayor que \( \frac 12 \), o sea que el decreto del gobierno sirvió.

¿Están de acuerdo?

11
A ver si me confirman que esto que leí en el apunte de Carlos Ivorra Castillo sobre lógica y teoría de conjuntos (página 423) está mal:

Citar
Una variante del principio de inducción es como sigue:

Si podemos probar que un número natural cualquiera n cumple una
propiedad supuesto que los números menores que n la cumplen, entonces
todo número natural la cumple.

(En particular estamos afirmando que 0 tiene la propiedad, pues “los números
menores que 0” la cumplen, ya que no hay).

Él empieza a contar a los naturales a partir del 0. Pero buen, más allá de eso, estoy casi seguro que este argumento para no probar por separado que la propiedad se cumple en el primer elemento, está mal.

Igual ojo, el autor mismo aclara que se puede saltear todo el apéndice al que pertenece esta proposición. Me lo estaba leyendo para ver si me animaba a leer el apunte entero (al que llegué por recomendación de argentinator en uno de sus megaposts). La verdad que está muy tentador, pero bue, hay que ver si entiendo algo más allá de lo básico.

12
Foro general / Acá hay gato encerrado
« en: 19 Agosto, 2010, 01:03 am »
Les traigo un juego online, similar al go pero miles de veces más sencillo. El objetivo es encerrar al gato entre 6 casilleros verdes antes que se escape por alguno de los bordes del tablero. Igual les adelanto: sospecho que el algoritmo mediante el cual se mueve el gato se podría mejorar bastante. No estoy seguro, pero un par de veces que jugué me dio la impresión que me podría haber ganado y no lo hizo.

http://www.gamedesign.jp/flash/chatnoir/chatnoir.swf

Para que el juego no sea siempre igual, se empieza cada vez con una disposición diferente de casilleros ya pintados de verde. Tal vez sería interesante estudiar en qué casos gana el gato y en cuáles la persona.

13
Cálculo 1 variable / Primitiva
« en: 24 Junio, 2010, 10:14 pm »
A ver si me ayudan a calcular esta primitiva:

\( \displaystyle\int \sqrt {1+\frac{1}{x^2}}dx \)

Es para calcular la longitud del gráfico de la función logaritmo en un intervalo determinado.

14
A ver si me ayudan, estoy intentando formalizar bien una demostración que dieron en clase sobre este teorema:

Dos normas cualesquiera en un espacio normado \( V \) de dimensión finita son equivalenetes. Es decir,

\( \exists\;\; c_1,c_2>0\;\;\;\mbox{ tal que } \;\;\left\|{v}\right\|_a\leq c_1\left\|{v}\right\|_b\;\;\;\forall v\in V\quad\mbox{ y }\quad \left\|{v}\right\|_b\leq c_2\left\|{v}\right\|_a\;\;\;\forall v\in V \)

Lo que hizo el profe es probar que toda norma es equivalente a \(  \left\|{\;\;\;}\right\|_1 \) (la suma de los módulos de las coordenadas del vector), y después usar que la equivalencia de normas es una relación de equivalencia.

Para ver que \( \exists \;\; c_1>0\;\;\mbox{ tal que }\;\;\left\|{v}\right\|\leq c_1\left\|{v}\right\|_1\;\;\;\forall v\in V \), es muy sencillo.

Para la otra, él intentó usar que el conjunto \( K=\{w\in V \mid \left\|{w}\right\|_1=1\} \) es compacto, y que la función \(  \left\|{\;\;\;}\right\|:\;\;K\rightarrow \mathbb{R} \) es continua, con lo cual, alcanza un valor mínimo (que está claro que no puede ser 0).

Si pudiera probar esas dos cosas, ya me arreglo para terminar. El problema es que el hombre no dijo con qué distancia era \( K \) compacto, ni \( \left\|{\;\;\;}\right\| \) continua. Se me ocurre que será con la distancia inducida por \( \left\|{\;\;\;}\right\|_1 \), pero igual no sé como probarlo.

Una vez que haya probado este teorema, ahí ya sé que da igual usar la distancia inducida por cualquier norma. Pero eso es justamente lo que no quiero (o mejor dicho no debo) usar acá.

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A ver si me dan una mano.

Sea \( C \) una circunferencia contenida en \( S \) (esfera unitaria) y sea \( \pi \) el único plano en \( \mathbb{R}^3 \) tal que \( \pi\cap S=C \). Primero me piden mostrar que si \( C \) pasa por \( N \) (el polo norte de la esfera) entonces su proyección estereográfica sobre \( \mathbb{C} \) es una recta (esto ya lo probé). Después me piden que muestre que en caso contrario, la proyección es una circunferencia. Esto la verdad me cuesta imaginarlo. Si \( \pi \) es paralelo a \( \mathbb{C} \), lo veo. Y si no lo es, entiendo que la proyección debería preservar la simetría con respecto al plano que definen el punto "más alto" de \( C \), el "más bajo", y \( N \). Pero no consigo ver por qué el resultado es una circunferencia en \( \mathbb{C} \).

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Foro general / Cuando te enuncian mal un problema: AAARGH!!!
« en: 20 Enero, 2010, 04:11 pm »
¿Existe algo más molesto que eso? Les cuento el que me encontré yo, que es un problema de ingenio bastante bueno, y ya que estamos se los dejo planteado a ustedes, pero enunciado como se debe. Así es como lo encontré escrito:

"Dos magos hacen el siguiente truco: el mago B sale de la sala. El mago A le pide a un espectador que mezcle un mazo y elija 5 cartas cualesquiera. El mago A vé las 5 cartas y las posiciona boca abajo en la mesa. El mago B vuelve. El mago A revela 4 de las 5 cartas, de a una por vez. El mago B adivina cuál es la quinta carta.

Por supuesto, los dos magos se pusieron de acuerdo de antemano en cuál sería el método, pero este no incluye ninguna clase de señal disimulada, ni con qué mano el mago A revela las cartas, ni el tiempo que demora el mago A en darlas vuelta, ni nada de eso. Solamente depende de las cartas reveladas.

La pregunta es cuál es el método mediante el cual el mago B adivina la quinta carta."

Para empezar, no te dicen cuál es el total de cartas en el mazo. Después de pensarlo un segundo, uno se da cuenta que con esa incógnita agregada, el problema no tendría solución. Tratándose de un problema yanqui, uno podría suponer que se trata de un mazo de cartas de póker (y especular con que los comodines no estén inculidos, dando un total de 52 cartas).

Lo primero que a uno se le ocurre, es esto: como en total hay 52 cartas, y el mago A ya reveló 4, para la restante hay 48 posibilidades. Si los dos magos se pusieron de acuerdo de antemano en un orden total del mazo, asignándole un número entre 1 y 52 a cada carta, entonces cada una de las 4 cartas que el mago A decida revelar tienen un valor numérico conocido por ambos. Como en total las puede revelar en 24 ordenes distintos, podrían ponerse de acuerdo en asignar a cada orden un número. Entonces al revelar las cartas, el mago A le estaría comunicando al mago B un número entre 1 y 24. Como el mago B tiene que adivinar una carta de 48, lo que haría falta es alguna otra variable binaria para que la carta desconocida quede unívocamente determinada (si es que van a hacer el truco de esta manera).

A simple vista parecería que no hay forma de que el mago A le dé otro dato al mago B. Pero releyendo el problema, uno se encuentra con que "el mago A vé las 5 cartas y las posiciona boca abajo en la mesa" y que el acuerdo entre ambos magos "solamente depende de las cartas reveladas". Entonces uno podría pensar que si el mago A decide cuál es la carta que no va a revelar, como él es el que las posiciona sobre la mesa, podría ubicarlas en fila, procurando que la que no va a revelar no quede en el lugar del medio. Entonces, una vez que reveló las 4 cartas en un orden elegido entre 24, el mago B sabe que si la carta que tiene que adivinar quedó a la derecha eso significa una cosa, y si quedó a la izquierda, la otra, así agregando la variable binaria que faltaba.

Esto me pareció una total truchada, porque a esta variable uno la hace binaria porque no necesita más información que esa, pero en realidad la ubicación de la carta no revelada podría tomar 5 valores distintos, dando así lugar a muchisimos otros posibles acuerdos entre los magos.

Con esto, desestimé el problema, y fui a ver la solución, para encontrarme con que había otra forma bastante interesante que no hacía uso de la ubicación de las cartas en la mesa y no daba lugar a otro posible acuerdo ente los magos. Y me dio bronca porque era un ejercicio que estaba muy bueno. La forma correcta de enunciarlo sería decir que el mago A le pide a un espectador que mezcle el mazo, elija 5 cartas cualesquiera, se las muestre, y las ubique (el espectador) boca abajo sobre la mesa. Después vuelve el mago B, y el mago A revela 4 de las 5 cartas de a una por vez sin dar ninguna otra señal ni nada raro. Eso, o si no se podría decir que el mago A le pide a un espectador que mezcle un mazo, elija 5 cartas cualesquiera, se las muestre, y las guarde en el bolsillo. Después vuelve el mago B, y el mago A le dice en voz alta cuáles eran 4 de las 5 cartas. Solamente basándose en lo que le dice el mago A, el mago B adivina la carta restante.
Corregido: lo que hay que agregar en realidad para que el problema tenga gracia y no haya ambigüedades, es que la única información que recibe el mago B es cuáles son las 4 cartas reveladas (en un orden elegido por el mago A), y determina la quinta carta sólo basándose en eso.

Piénsenlo que está muy bueno. Y si alguien sabe de informática y se ofrece para hackear la página donde lo leí, avisen. :P

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Matriz de traza nula
« en: 18 Agosto, 2009, 04:38 am »
Este me quedó pendiente:

Demostrar: Si una matriz en \( \mathbb{C}^n \) tiene traza nula, entonces es semejante a una matriz que tiene toda la diagonal nula.

¿Alguna sugerencia?

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El ejercicio (muy interesante) dice esto:

Sean \(  x,y\in \mathbb{C}^n \mbox{ y } A\in{\mathbb{C}}^{nxn}, A=(a_{ij}) \mbox{ con } a_{ij}=x_iy_j  \)

i) Calcular todos los autovalores y autovectores de \(  A  \)
ii) Calcular las posibles formas de Jordan de \(  A  \)

Para el primero, hice esto:

\(  A=\begin{bmatrix} x_1 & x_1 & \ldots & x_1 \\ x_2 & x_2 & \ldots & x_2 \\ \vdots&&&\vdots \\ x_n & x_n &\ldots & x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & y_2 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & y_n\end{bmatrix}  \)

Entonces

\(  Az=\begin{bmatrix} x_1 & x_1 & \ldots & x_1 \\ x_2 & x_2 & \ldots & x_2 \\ \vdots&&&\vdots \\ x_n & x_n &\ldots & x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & y_2 & \ldots & 0 \\ \vdots&&&\vdots \\ 0 & 0 &\ldots & y_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\ \vdots\\z_n\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x_1 & x_1 & \ldots & x_1 \\ x_2 & x_2 & \ldots & x_2 \\ \vdots&&&\vdots \\ x_n & x_n &\ldots & x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1z_1\\y_2z_2\\ \vdots\\y_nz_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\sum_{i=1}^n y_iz_i\\x_2\sum_{i=1}^n y_iz_i\\ \vdots\\x_n\sum_{i=1}^n y_iz_i\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^n y_iz_i\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix}z_1\\z_2\\ \vdots\\z_n\end{bmatrix} \Leftrightarrow{}z\in \langle x \rangle  \)

 y el único autovalor es \(  \lambda_0 = \sum_{i=1}^n x_iy_i  \)

Eso creería que está bien (aunque no sé qué tan formal sea la escritura). Para la segunda parte, lo único que sé es que como hay un sólo autovalor, \(  m_A=(x-\lambda_0)^k, \; 1 \leq k \leq n  \), es decir que todos los bloques de jordan tienen ese autovalor y el más grande es de \(  kxk  \) ¿Qué más se puede decir sobre la forma de Jordan de esta matriz?

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Me preguntan esto:

Sea \(  V  \) un \(  \mathbb{Z}_p  \)-espacio vectorial de dimensión \(  n  \). Sea \(  A= \{ S\subseteq{}V \mbox{ subespacio } / dim(S) = 1 \}  \) y sea \(  B= \{ S\subseteq V \mbox{ subespacio } / dim(S) = n-1 \} \). Probar que \( \#A=\#B  \) y calcular dicho número.

Ya probé que los cadrinales son iguales, usando que existe una función inyectiva \(  f : A \rightarrow B  \) y otra función inyectiva \(  g : B \rightarrow A  \) (ambas coinciden, son \(  f(S) = g(S) = S^\circ  \)). Pero me parece que en el caso general los cardinales no son números finitos, porque sin ir tan lejos podría definir el espacio vectorial así:

\(  V=\mathbb{R}^2, K=\mathbb{Z}_2  \) y podría tomar los subespacios \(  S_i=\langle (1,i) \rangle  \) y tengo que para cada \(  i \in \mathbb{N}, \; S_i  \) es un subespacio diferente de dimensión \(  1  \).

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Si me piden lo siguiente:

Para los subespacios \(  S \mbox{ y } T \mbox { de } V  \), determinar una base de \(  (S+T)^\circ{}  \) y una base de \(  (S\cap{}T)^\circ  \).

\(  V=\mathbb{R}^3  \)
\(  S = \{(x_1,x_2,x_3)/ \left \{ \begin{matrix} x_1-2x_2+x_3=0
\\ 3x_2-2x_3=0\end{matrix} \}  \)
\(  T= \{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in{}\mathbb{R}^4/2x_1+x_2=0 \}  \)

¿Se puede escribir a \(  T  \) como subespacio de \(  \mathbb{R}^3  \)? ¿O directamente le pongo que la suma y la intersección no existen porque esos elementos no pueden sumarse ni igualarse?

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