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Temas - Jorge klan

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Estructuras algebraicas / Producto tensorial de Z módulos
« en: 05 Julio, 2010, 03:20 am »
Hola amigos, tengo el siguiente problema:

Sea \( \alpha:Z_2\rightarrow{}Z_4 \) la inclusión usual, la cual es un monomorfismo de grupos abelianos. Muestre que el homomorfismo \( 1\otimes \alpha:Z_2\otimes Z_2\rightarrow{}Z_2\otimes Z_4 \), el cual viene dado por \( 1\otimes \alpha (a\otimes b)=1(a)\otimes \alpha (b) \) ( donde \( 1 \) representa la función identidad de \( Z_2 \)) es la función nula.

Lo que he pensado es lo siguiente:

Spoiler
Sabemos que \( Z_2\otimes Z_2\cong Z_2\cong Z_2\otimes Z_4 \), luego, como \( Hom (Z_2)=\{Id,0\} \), tenemos que \( 1\otimes \alpha \) tiene dos posibilidades, es un isomorfismo o bien es la función nula. De aquí, me pongo en el caso  que  \( 1\otimes \alpha \) es un isomorfismo... lo que quería deducir es que, si es así, entonces \( \alpha \) tiene que ser isomorfismo, lo cual es una contradicción, pero no sé si está bien, ya que la proposición es al revés, es decir, si \( f,g \) son isomorfismo entonces \( f \otimes g \) es isomorfismo... no sé si el recíproco es valido
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Se agradecen sus comentario

Saludos

2
Hola amigos, tengo un problema de un primer curso de medida.

Sea \( (E,\epsilon) \) un espacio medible, \( (Y,d) \) espacio métrico separable y \( (f_n) \) una sucesión de funciones medibles de E en Y que converge puntualmente hacia una función \( f:E\to Y \). Demuestre que f es medible.

De antemano gracias y saludos.

3
Topología (general) / conjunto cerrado, frontera
« en: 14 Mayo, 2010, 11:29 pm »
Hola Amigos

Tengo un problema que no se me ocurre como empezar... lo encuentro algo extraño

Pruebe que todo conjunto cerrado del plano \( \mathbb{R}^2 \), con la topología usual, es frontera de algún subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \)

Se agradecen las sugerencias

Saludos 

4
Estructuras algebraicas / Módulo sobre un DIP
« en: 08 Mayo, 2010, 06:42 am »
Hola amigos

Tengo el siguiente problema que no he podido resolver  :banghead: :banghead:

Sean \( R \) un DIP (dominio de ideales principales), \( B \) un \( R \)-módulo de torsión y \( p \) un primo en \( R \). Pruebe que si \( pb=0 \) para algún \( b\in B \), entonces \( Ann(B)\subseteq{}\langle p\rangle \)

\( Ann(B):=\{r\in R\;:\;rb=0\quad \forall\;b\in B\} \) (es un ideal de \( R \)).

El problema es que tengo demasiadas hipótesis y me cuesta encontrar el modo adecuado de atacar el ejercicio. Lo que estaba intentando es que, como \( R \) es DIP, entonces \( Ann(B)=\langle s\rangle \) para algún \( s\in R \), así, basta probar que \( p|s \) para completar la demostración...

se agradece sus comentarios

Saludos



5
Hola amigos

Tengo un ejercicio, al cual le he dado una respuesta, pero me gustaría conocer sus opiniones, pues como no soy muy bueno en esto no siento seguridad en mis respuestas. Primero daré una definición para ponernos de acuerdo

Definición: Se dice que un espacio topológico \( X \) es primero contable si y sólo si para cada \( x\in X \) existe un familia de abiertos \( B_{x}=\{U_{n}(x)|x\in U_{n}(x),\;n\in \mathbb{N}\} \) tal que para todo abierto \( U \) de \( x \) existe \( n\in \mathbb{N} \) tal que \( U_{n}(x)\subset{}U \).


Ejercicio: Sea \( X \) un espacio primero contable. Muestre que \( F\subset{}X \) es cerrado si y sólo si para toda sucesión \( (x_{n})_{n}\subset{}F \) convergente, entonces \( L((x_{n}))_{n}\subset{}F \)

Nota: \(  L((x_{n}))_{n} \) denota el conjunto de puntos límites de la sucesión \( (x_{n})_n \)

Spoiler
Respuesta: \( \Rightarrow{}) \) Sean \( x\in L((x_{n}))_{n} \)  y \( (x_{n})_{n}\subset{}F \) (una sucesión que converge a \( x \)). Notemos que para cada \( U \) un abierto que contiene a \( x \) existe \( N\geq 1 \) tal que \( x_{n}\in U \) para todo \( n\geq N \), lo cual implica que \( U\cap F \neq \emptyset \) y por tanto \( x\in \overline{F}=F \) (pues \( F \) es cerrado). Así tenemos que \( L((x_{n}))_{n}\subset{}F \) 

\( \Leftarrow{}) \) Para probar que \( F \) es cerrado, basta ver que \( \overline{F}\subseteq{}F \). Sea \( x\in \overline{F} \), luego para todo abierto \( U_{n} \) de \( x \) se tiene que \( U_{n}\cap F\neq \emptyset \). Así, puedo considerar, para cada \( n \), \( x_{n}\in U_{n}\cap F \)  y formar la sucesión \( (x_{n})_{n} \) (que converge a \( x \)) que claramente está contenida en \( F \), luego, por hipótesis tenemos que \( L((x_{n})_{n})\subset{}F \), es decir \( x\in F \). La propiedad de que \( X \) es primero contable la utilizo para justificar que la sucesión \( (x_{n})_{n} \) converge a \( x \), pues esto me asegura que para cada abierto \( U \) de \( x \) existe \( n\in \mathbb{N} \) tal que \( U_{n}\subset{}U \), es decir, \( x_{n}\in U \) 
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Agradezco mucho sus comentarios


Saludos


 

6
Topología (general) / conjunto de puntos límites
« en: 18 Abril, 2010, 08:55 am »
Hola amigos

Tengo un ejercicio que me gustaría que me dijieran si está bien la respuesta que doy


Ejercicio: De un ejemplo de una sucesión convergente en algún espacio topológico, cuyo conjunto límite contenga más de un punto

Spoiler
respuesta: Consideremos el espacio \( X=\{a,b,c\} \) con la siguiente topología

\( \tau=\{X,\emptyset,\{a,b\},\{a,c\},\{a\},\{b\}\} \)

Tomo la sucesión \( \{x_{1}=a,x_{2}=c\} \)  y es claro que \( L((x_{n}))=\{a,c\} \) (conjunto de puntos límites)
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Aquí dejo algunas definiciones para que nos entendamos mejor:

Definición: Se dice que \( x\in X \) es un punto límite de \( (x_{n})_{n} \), si para toda vecindad (abierta) \( U \) de \( x \), existe \( N\geq 1 \) tal que \( x_{n}\in U \), para todo \( n\geq N  \). Se dice que la sucesión \( (x_{n})_{n} \) es convergente si el conjunto de puntos límites es no vacío.

Si alguien tiene un ejemplo... bienvenido sea  ;D

Saludos


7
Estructuras algebraicas / Encontrar algún G isomorfo a G x G
« en: 01 Abril, 2010, 11:14 pm »
Hola

Tengo el siguiente problema:

" Encontrar un ejemplo concreto de un grupo \( G \) tal que \( G\simeq G\times G \)"

Se agradece cualquier sugerencia.

Saludos!!!

8
Topología (general) / Teorema del punto fijo de Brouwer
« en: 01 Diciembre, 2009, 10:58 pm »
Hola a todos.

Estoy viendo la demostración del punto fijo de Brouwer y me surgió la siguiente duda. La demostración consiste en suponer que para todo par \( (x,y)\in D^{2} \), \( f(x,y)\neq (x,y) \) (donde \( f:D^2\rightarrow{}D^2 \) es una funcón continua y \( D^{2} \) es el disco unitario con centro en el origen), es decir lo hacemos por contraposición (suponemos que \( f \) no fija puntos). Luego se dan la siguiente función, la cual explican solo con un dibujo

\( \xy 0;/r.6pc/:
(0.3,0)*{};(9.7,0)*{};**\crv{(9.5,6.5)&(0.5,6.5)};
(0.3,0)*{};(9.7,0)*{};**\crv{(9.5,-6.5)&(0.5,-6.5)};
(3,-2)*{\cdot};(6,1)*{\cdot};**\dir{-};(6,1)*{};(8.5,3.5)*{\bullet};**\dir{-};
(3.5,-3)*{\scriptstyle{f(x,y)}};(4.5,1.5)*{\scriptstyle{(x,y)}};(9.5,5)*{\scriptstyle{g(x,y)}};
\endxy \)

Tengo problemas principalmente en encontrar explícitamente esta función, pues no sé como utilizar \( f(x,y) \) y \( (x,y) \) para definir ésta (lo cual, creo que es lo que consideran)... Se agradece por su tiempo

Saludos

PD: Aprovecho de hacer una sugerencia con el paquete xy-pic, hay una especialidad dentro de este paquete que arregla la calidad de imágen, la especialidad es "\dvips", pero parece que tiene un problema con las flechas en los diagramas (esto depende de que interfaz usa el foro para mostrar los ".tex", realmente no sé si es dvi o pdf directamente) ¿quien sabe esto?

9
Problemas y Dudas con LaTeX / tamaño de números con latex
« en: 01 Noviembre, 2009, 10:10 pm »
Hola amigos

Otra vez recurro a ustes por un problema que he tenido  ;). Lo que ocurre es que estoy haciendo dibujos con el paquete xy-pic y dentro de los dibujos necesito nombrar algunas curvas, por ejemplo a una curva la llamo \( r_{2} \). Mi problema es que al poner éste así tal como lo escribimos habitualmente "r_{2}", me queda demasiado grande en el dibujo, luego se me ocurrió ponerlo como subíndice todo, por ejemplo "_{_{r_{2}}"  , pero el problema es que solo reduce la letra y el subíndice lo deja casi del tamaño actual, es decir lo deja así \( _{_{r_{2}} \), aunque le vuelva a poner subíndice al 2 tampoco reduce. Como es de completo latex, se me imagina que hay algo para arreglar mi problema o por lo menos reducir el tamaño de los números, pero no he logrado encontrar nada.

Les agradecería sus consejos

Saludos 

10
Cálculo 1 variable / Derivada por definición
« en: 27 Octubre, 2009, 08:44 am »
Hola amigos

He estado un buen rato sacando la derivada por definición de las siguientes funciones

\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x+1} \)

\( f(x)=2^{x^2} \)

pero los límites me quedan bastante engorrosos y me lio mucho...

Podrían guiarme por favor

Saludos


11
Esquemas de demostración - Inducción / Relaciones de trenzas
« en: 22 Octubre, 2009, 12:41 am »
Hola a todos

Estoy haciendo una demostración por inducción, pero me he liado bastante. Dada las relaciones de trenzas

\( \sigma_{i}\sigma_{i+1}\sigma_{i}=\sigma_{i+1}\sigma_{i}\sigma_{i+1} \)

\( \sigma_{i}\sigma_{j}=\sigma_{j}\sigma_{i}\qquad |i-j|>2 \)

Demostrar por inducción que

\( ((\sigma_{1}\cdots \sigma_{n-1})\cdots (\sigma_{1}\sigma_{2})\sigma_{1})^2=(\sigma_{1}\cdots \sigma_{n-1})^n \)

esto es para \( n\geq 3 \). Para \( n=3 \) es fácil, intenté hacer el caso siguiente (n=4) para darme una idea y no he logrado hacerlo.

Si podrían guiarme se los agradecería...

Saludos

12
Estructuras algebraicas / Teorema de Reidemeister-Schreier
« en: 02 Octubre, 2009, 09:42 am »
Hola

Alguien conoce algún enlace donde explique de una manera práctica el Teorema de Reidemeister-Schreier sobre las presentaciones de subgrupos, dada la presentación de un grupo??

Estoy utilizando este teorema para calcular el conmutador del grupo de trenzas de Artin, pero no he encontrado un documento sólido donde explique bien el proceso.

Se agradece sus sugerencias

Saludos

13
Cálculo 1 variable / desigualdad con valor absoluto
« en: 02 Octubre, 2009, 09:10 am »
Hola

Se me ha presentado el siguiente problema. Demostrar que para todo \( x\in \mathbb{R}^{+} \)

\( |\sqrt{x}-1|\leq |x-1| \)

si lo vemos gráficamente esto es cierto. Intento hacerlo directamente resolviendo la inecuación, pero el problema se pone muy lioso. Principalmente el problema está cuando \( 0<x<1 \), pues para los otros valores basta notar que \( \sqrt{x}\leq x \). ¿Existe algún método rápido de probar esto?

Intenté lo siguiente: Sea \( x=1/n \) donde \( n\in \mathbb{R}^{+}-]0,1[ \), luego

\( \begin{array}{ccc}
&&1-\sqrt{n}\geq1-n\\[3mm]
&\Rightarrow{}&-\left(\frac{1-n}{n}\right)\geq\frac{1-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\geq\frac{1-n}{\sqrt{n}}\geq\frac{1-n}{n}\\[3mm]
&\Rightarrow{}&\left|\frac{1-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\right|\leq -\left(\frac{1-n}{n}\right)\leq\left|-\left(\frac{1-n}{n}\right)\right|= \left|\left(\frac{1-n}{n}\right)\right|
\end{array} \)

¿Está bien?

Se agradece de antemano sus sugerencias

Saludos





14
Problemas y Dudas con LaTeX / problema con el xypic
« en: 24 Agosto, 2009, 03:35 pm »
Hola amigos

Como conté en el mensaje anterior, estoy haciendo trenzas y nudos en latex y comencé a trabajar con el paquete xy de latex (la verdad es que tengo más problemas con las trenzas, los nudos los veré despues). He visto muchos ejemplo en la web, pero al insertarlo en el winedt de mi notebook aparecen problemas con la compilación. Por ejemplo en este

\[
\xy
(0,10)*{}; (-10,-10)*{} **\crv{(6,0)&(-10,3)} \POS?(.65)*{\hole}="x";
(-10,10)*{}; "x" **\crv{};
"x"; (-2,-10)*{} **\crv{};
\endxy
\]


me arroja el siguiente error

Xy-pic option: Import graphics extension v.3.6 loaded)) (dibxypic.aux)
(C:\texmf\tex\latex\amsfonts\umsa.fd) (C:\texmf\tex\latex\amsfonts\umsb.fd)
Runaway argument?
"x"; (-10,10)*{}; "x" **\crv {}; "x"; (-2,-10)*{} **\crv {}; \endxy \]\ETC.
! Paragraph ended before \saveid@COORDi was complete.
<to be read again>
                   \par


me di cuenta que era por nombrarlos puntos "x" o como sea. Entonces tuve que comenzar a escribir todo el comando en vez de renombrar (bueno, esto lo acepté, ya que me urge hacer estos dibujos, pero si alguien sabe la solución por favor dígamela). Luego de "arreglar" ese problema resulta que ahora no me sale bien el dibujo y el comando que creo que tiene problemas es "POS?(){\hole}" ya que quiero poner un "hueco" entre una curva y que pase la otra por encima (como efecto 3D). MI pregunta es:

¿Me falta incluir un paquete? mas bien ¿que paquetes debo tener instalado para que esto funcione bien?

Se agradece de antemano su ayuda

Saludos   

15
Problemas y Dudas con LaTeX / Dibujar Trenzas y nudos en Latex
« en: 23 Agosto, 2009, 10:05 am »
Hola amigos del foro

Escribo para pedir de su ayuda. estoy escribiendo sobre la teoría de Nudos en Latex y necesito dibujar algunos nudos y trenzas (con código latex), he bajado tutoriales de los paquetes PSTrick y Pictex, pero ambos me parecen un poco complicados...

Espero que me puedan ayudar con algunos consejos

Saludos 

16
Hola amigos del foro

Se me ha presentado el siguiente problema: Encontrar las clases de conjugación del grupo \( A_{n} \) (más bien, un método para encontrarlas). Tengo varias ayudas para asegurarme que estoy calculando bien una clase de conjugación, ya que sigo la guía que me dá el grupo \( S_{n} \), pues la clase de conjugación de \( \sigma \) en \( A_{n} \) está contenida en la clase de conjugación en \( S_{n} \) (es un poco obvio mi razonamiento, pero me ayuda bastante).

Luego de escudriñar un poco en la web, encontré la siguiente proposición:

Sea \( \sigma\in S_{n} \)

\( 1) \)  Si existe \( \tau\in S_{n} \) impar de modo que \( \sigma \tau =\tau \sigma \).
Entonces, la clase de conjugación de \( \sigma  \) en \( A_{n} \) es igual a la clase de conjugación de \( \sigma  \) en \( S_{n} \).

\( 2) \) Si \( \sigma \) no conmuta con ninguna permutación impar, entonces, la clase conjugación de \( \sigma \) en \( S_{n} \) se descompone en dos clases de conjugación en \( A_{n} \) de cardinales iguales y con representantes \( \sigma \) y \( (12)\sigma (12) \)

Interesante!

Ahora, he intentado hacer su demostración, pero me ha costado trabajo obtener buenos resultados.

Agradezco mucho sus opiniones al respecto

Saludos

17
Estructuras algebraicas / Grupo de Automorfismos
« en: 20 Mayo, 2009, 06:48 am »
Hola Amigos del foro

Se me a presentado la siguiente pregunta:

¿Puedo obtener explícitamente el grupo \( Aut(\mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m}) \) o establecer un isomorfismo con algún grupo clásico?

Esta pregunta me surgió cuando estaba estudiando grupos como \( Hom(\mathbb{Z}_{n},\mathbb{Z}_{m}) \), \( Hom(\mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m},\mathbb{Z}_{r}) \), \( Aut(\mathbb{Z}_{n}) \), etc... Algunos de estos los pude decucir, por ejemplo

\( Hom(\mathbb{Z}_{n},\mathbb{Z}_{m})=\{\phi_{a}\mid a\in \frac{m}{d}\mathbb{Z}\} \)

donde \( d=(n,m) \) y \( \phi_{a}(x):=ax \). también concluí que

\( Aut(Z_{n})=\{\phi_{a}\mid a\in U(\mathbb{Z}_{n})\} \)

Pude obtener algunas trivialidades de la pregunta que me propuse, por ejemplo, si \( (n,m)=1 \) estaríamos en el caso
 
\(
Aut(\mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m})\cong Aut(Z_{nm}) \)

y este caso ya es conocido. También un resultado conocido es que

\( Aut(\mathbb{Z}_{p}\times \mathbb{Z}_{p})\cong GL_{2}(\mathbb{Z}_{p}) \)

donde \( p \) es primo.

Bueno espero sus opiniones

Saludos

18
Teoría de Conjuntos / Sobre numerabilidad de conjuntos
« en: 04 Mayo, 2009, 01:46 am »
Hola amigos del foro, espero que me puedan ayudar con 2 problemas que tengo

\( 1. \) Pruebe que el conjunto de todas las rectas no verticales que pasan por el punto \( (0,1) \) no es numerable

Bueno en este ejercicio intenté algo y me gustaría que me ayudaran a complementar la idea. Lo que hice fue pensar en el conjunto

\( S_{1}:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+(y-1/2)^{2}=(1/2)^{2}\}- \{(0,0)\} \)

dibujé una circunferancia de radio \( 1/2 \) y con "polo norte" \( (0,1) \), lo cual se me vino a la mente  la superficie de Riemann, o sea, que al trazar una recta por el polo norte ésta me genera una biyección entre  \( S_{1} \) y \( \mathbb{R} -\{0\} \)  y a la vez con \( L \) (conjunto de rectas no verticales que pasan por el \( (0,1) \)).

Lo que se me complica es hacer la biyección explícitamente, para probar que \( L \) no es numerable, pues es biyectivo con \( \mathbb{R} - \{0\} \).

\( 2   \) Pruebe que el conjunto de todas las rectas no verticales que pasan por el punto \( (0,1) \) y cortan al eje \( 0X \) en una coordenada racional es un conjunto numerable

Mi idea es análoga al anterior, pero ahora tendremos que \( L \) es biyectivo a \( \mathbb{Q} - \{0\} \)

Me ayudaría bastante sus opiniones

Saludos

PD: Si tienen una idea más elemental de resolver estos problemas, me vendría de lujo, ya que lo tengo que enseñar a personas que están en primer año de Universidad, y por tanto no poseen tantas herramientas

19
Teoría de Conjuntos / intersección de tres conjuntos
« en: 30 Marzo, 2009, 05:38 am »
Hola

Tengo una duda acerca de una cardinalidad de conjuntos. El problema es el siguiente: Me dan datos a cerca de tres conjuntos y me piden calcular la cardinalidad de la intersección, mi pregunta es la siguiente: Si

\( |A|=90\quad;\quad |B|=65\quad;\quad|C|=70\quad;\quad|A \cap B|=30\quad;\quad|A \cap C|=15 \)

Entonces, calcule

\( |A \cap B \cap C | \)

Debo resolverla con recursos básicos, ya que es para unos alumnos de primer año de universidad.

Estaba tratando con la relación

\( |(A\cap B) \cup C| = |(A\cap B)| + |C| - |A \cap B \cap C| \)

pero me voy por las ramas y no concluyo mucho. Espero sus opiniones

Saludos

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Libros / Grupos de Coxeter
« en: 22 Marzo, 2009, 05:05 am »
Hola amigos del foro. Voy a comenzar un electivo llamado Grupos de Coxeter y por eso necesito pedirles una mano con respecto a material sobre estos grupos. Por favor si alguien sabe de libros, apuntes, etc... que tenga relación les pido su colaboración con algún link o algo por el estilo.

Se agradece de antemano

Saludos 

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