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Mensajes - alexis-gauss

Páginas: [1]
1
Ecuaciones diferenciales / Órbitas en ecuación diferencial no lineal
« en: 12 Septiembre, 2018, 10:30 am »
El problema consiste en probar que el siguiente sistema no tiene órbitas periódicas:
\( \begin{cases}
x'=&2x-x^5-xy^4 \\
y'=&y-y^3-x^2y
\end{cases} \)

Lo primero que hice fue calcular las singularidades, ie los puntos en los cuales el campo se anula, de los cuales obtuve los pares reales \( (0,0); (0,1);(0, -1);(\sqrt[4]{2},0);(\sqrt[4]{2},0) \). Luego, los clasifiqué si son atractores, silla,.. usando la matriz Jacobiana asociada al campo de vectores e hice un diagrama de fase, pero no logro avanzar más.
Cómo puedo probar ahora que el sistema no tiene órbitas periódicas?
Gracias de antemano, saludos.

2
Libros / Descargar libros gratis
« en: 01 Enero, 2018, 07:16 pm »
Hola,
Un pequeño aporte! En la siguiente página se pueden descargar variados libros, tan sólo basta con teclear el nombre del libro y/o el autor (Además de tener suerte si está en el repositorio jaja, pero hay muchísimos)

http://gen.lib.rus.ec/

Saludos.

3
Hola

El planteamiento bien pero creo que falta lo más importante de todo: demostrar que para todo punto de la preimagen del cero de F la matriz jacobiana tiene rango 2, o dicho de otro modo, demostrar que si tiene rango 1 ó 0 entonces el punto no forma parte de la preimagen del cero.
Hola, gracias por responder.
A ver,  he entendido lo siguiente:
se tiene que la matriz jacobiana \( DF(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 & 2a_2y+6a_3xy & 2r & -2t\\
-2a_2y-6a_3xy & -a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 & 2t & 2r\\
\end{pmatrix} \).
Aquí debería suponer que \( a_i\neq{0}, i=0,1,2,3 \) (*)? ya que si:
\( \begin{align*}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 &= 0 \\
2y(a_2+3a_3x) &= 0\\
-a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 &= 0\\
r=t &= 0
\end{align*} \Rightarrow x\neq{0},y\neq{0} \) y la matriz DF tiene rango 2, ya que por (*) \( (0,0,0,0)\not\in{M} \).
Luego \( M \) es una variedad 2-dimensional de \( \mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4 \). (??)

Pero ahí simplemente compruebas que cada término es no nulo; es decir demuestras que tiene rango \( 1 \) o \( 2 \). Pero no has probado que tenga rango \( 2 \).

De hecho no usas que el polinomio dado no tiene raíces dobles y esa condición es decisiva.

Lo más cómodo es trabajar directamente en los complejos. La diferencial (como variedades complejas) de la aplicación indicada es:

\( \begin{pmatrix}{2w}&{f'(z)}\end{pmatrix} \)

Tenemos que ver que tiene rango \( 1 \) en los puntos tales que \( w^2-f(z)=0 \).

- Si \( w\neq 0 \) oviamente el rango es 1.
- Si \( w=0 \) el rango sería cero sólo si \( f'(z)=0 \). Pero como además \( 0=w^2-f(z)=f(z) \) tendríamos que \( z \) es una raíz doble del polinomio porque no anula a él y a su derivada. Pero por hipótesis no tiene raíces dobles.

Por tanto el rango es 1, así la variedad indicada es una variedad compleja de dimensión 1 y por tanto una variedad real de dimensión 2.

Saludos.
Hola, tengo una pequeña duda con la diferencial.
Como la variedad \( M=\left\{{(z,w)\in \mathbb{C}^2:w^2-f(z)=0}\right\} \), ¿la matriz \( \begin{pmatrix}
2w & f'(z)
\end{pmatrix} \) debería ser, estrictamente hablando,
\( \begin{pmatrix}
-f'(z) & 2w
\end{pmatrix} \)?, ya que en vez de la función \( F(x,y,r,t) \) se puede considerar una función (ahora trabajando en los complejos) \( g:\mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C} \) definida por \( g(z,w)=w^2-f(z) \Rightarrow M=g^{-1}(0) \), entonces la matriz jacobiana \( Dg(z,w)=\begin{pmatrix}
\dfrac{{\partial g}}{{\partial z}} & \dfrac{{\partial g}}{{\partial w}}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-f'(z) & 2w
\end{pmatrix} \)

¿Es correcto?
Saludos

4
Geometría Diferencial - Variedades / Campos mutuamente ortogonales
« en: 22 Diciembre, 2017, 06:56 am »
El problema consiste en encontrar 3 campos vectoriales de longitud uno en la esfera \( S^3 \), mutuamente ortogonales en cada punto.

Hola, mi solución es la siguiente (en spoiler por si alguien desea intentarlo)
Spoiler
Como debemos encontrar tres campos vectoriales de longitud uno en la esfera \( S^3 \), podemos considerar la esfera (unitaria) \( S^3=\lbrace X=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: (x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2+(x_4)^2=1 \rbrace \). Notemos que, el vector \( X=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4 \) es el vector posición de cualquier punto en \( S^3 \) y al mismo tiempo el vector normal de \( S^3 \) en ese punto.
En coordenadas locales, podemos considerar \( X=x_1\dfrac{\partial}{\partial y^1}+x_2\dfrac{\partial}{\partial y^2}+x_3\dfrac{\partial}{\partial y^3}+x_4\dfrac{\partial}{\partial y^4}\in S^3 \), entonces como \( \left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^i},\dfrac{\partial}{\partial y^i} \right \rangle=1 \) se tiene que
\( \Vert X \Vert^2 = (x_1)^2\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^1},\dfrac{\partial}{\partial y^1} \right \rangle+(x_2)^2\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^2},\dfrac{\partial}{\partial y^2} \right \rangle+(x_3)^2\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^3},\dfrac{\partial}{\partial y^3} \right \rangle+(x_4)^2\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^4},\dfrac{\partial}{\partial y^4} \right \rangle \)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2+(x_4)^2=1 \Rightarrow \Vert X\Vert=1 \)

Los campos vectoriales buscados deben ser mutuamente ortogonales y también ortogonales a este vector normal, por lo tanto, en coordenadas locales, sean:
\( \begin{align*}
A &= -x_2\dfrac{\partial}{\partial y^1}+x_1\dfrac{\partial}{\partial y^2}-x_4\dfrac{\partial}{\partial y^3}+x_3\dfrac{\partial}{\partial y^4}\in S^3\\
B &= x_3\dfrac{\partial}{\partial y^1}-x_4\dfrac{\partial}{\partial y^2}-x_1\dfrac{\partial}{\partial y^3}+x_2\dfrac{\partial}{\partial y^4}\in S^3\\
C &= x_4\dfrac{\partial}{\partial y^1}+x_3\dfrac{\partial}{\partial y^2}-x_2\dfrac{\partial}{\partial y^3}-x_1\dfrac{\partial}{\partial y^4}\in S^3
\end{align*} \)

Entonces, se cumple que \( \Vert A\Vert =\Vert B\Vert=\Vert C\Vert=(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2+(x_4)^2=1 \), es decir, los campos vectoriales \( A, B \) y \( C \) tienen longitud uno y están en la esfera \( S^3 \).
Luego, para que se cumpla la ortogonalidad, el producto interior entre  ellos debe ser nulo. En efecto, como \( \left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^i},\dfrac{\partial}{\partial y^i} \right \rangle=1 \) se tiene lo siguiente:
\( \langle X,A\rangle=-x_1x_2\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^1},\dfrac{\partial}{\partial y^1} \right \rangle+x_1x_2\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^2},\dfrac{\partial}{\partial y^2} \right \rangle-x_3x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^3},\dfrac{\partial}{\partial y^3} \right \rangle+x_3x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^4},\dfrac{\partial}{\partial y^4} \right \rangle=0 \)
\( \langle X,B\rangle=x_1x_3\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^1},\dfrac{\partial}{\partial y^1} \right \rangle-x_2x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^2},\dfrac{\partial}{\partial y^2} \right \rangle-x_1x_3\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^3},\dfrac{\partial}{\partial y^3} \right \rangle+x_2x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^4},\dfrac{\partial}{\partial y^4} \right \rangle=0 \)
\( \langle X,C\rangle=x_1x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^1},\dfrac{\partial}{\partial y^1} \right \rangle+x_2x_3\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^2},\dfrac{\partial}{\partial y^2} \right \rangle-x_2x_3\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^3},\dfrac{\partial}{\partial y^3} \right \rangle-x_1x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^4},\dfrac{\partial}{\partial y^4} \right \rangle=0 \)
\( \langle A,B\rangle=-x_2x_3\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^1},\dfrac{\partial}{\partial y^1} \right \rangle-x_1x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^2},\dfrac{\partial}{\partial y^2} \right \rangle+x_1x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^3},\dfrac{\partial}{\partial y^3} \right \rangle+x_2x_3\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^4},\dfrac{\partial}{\partial y^4} \right \rangle=0 \)
\( \langle A,C\rangle=-x_2x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^1},\dfrac{\partial}{\partial y^1} \right \rangle+x_1x_3\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^2},\dfrac{\partial}{\partial y^2} \right \rangle+x_2x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^3},\dfrac{\partial}{\partial y^3} \right \rangle-x_1x_3\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^4},\dfrac{\partial}{\partial y^4} \right \rangle=0 \)
\( \langle B,C\rangle=x_3x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^1},\dfrac{\partial}{\partial y^1} \right \rangle-x_3x_4\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^2},\dfrac{\partial}{\partial y^2} \right \rangle+x_1x_2\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^3},\dfrac{\partial}{\partial y^3} \right \rangle-x_1x_2\left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^4},\dfrac{\partial}{\partial y^4} \right \rangle=0 \)

En conclusión, hemos encontrado tres campos vectoriales \( A, B \) y \( C \) de longitud uno en la esfera \( S^3 \) que son mutuamente ortogonales en cada punto de ella.
[cerrar]

¿Alguna observación?
Saludos cordiales

5
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Subvariedad 2-dimensional
« en: 21 Diciembre, 2017, 07:22 am »
El planteamiento bien pero creo que falta lo más importante de todo: demostrar que para todo punto de la preimagen del cero de F la matriz jacobiana tiene rango 2, o dicho de otro modo, demostrar que si tiene rango 1 ó 0 entonces el punto no forma parte de la preimagen del cero.
Hola, gracias por responder.
A ver,  he entendido lo siguiente:
se tiene que la matriz jacobiana \( DF(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 & 2a_2y+6a_3xy & 2r & -2t\\
-2a_2y-6a_3xy & -a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 & 2t & 2r\\
\end{pmatrix} \).
Aquí debería suponer que \( a_i\neq{0}, i=0,1,2,3 \) (*)? ya que si:
\( \begin{align*}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 &= 0 \\
2y(a_2+3a_3x) &= 0\\
-a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 &= 0\\
r=t &= 0
\end{align*} \Rightarrow x\neq{0},y\neq{0} \) y la matriz DF tiene rango 2, ya que por (*) \( (0,0,0,0)\not\in{M} \).
Luego \( M \) es una variedad 2-dimensional de \( \mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4 \). (??)

6
Geometría Diferencial - Variedades / Subvariedad 2-dimensional
« en: 19 Diciembre, 2017, 07:23 pm »
Sea \( f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} \) un polinomio complejo dado por \( f=\displaystyle \sum_{i=0}^3a_iz^i \) sin raíces dobles. Considere para \( l=2: M=\lbrace (z,w)\in \mathbb{C}^2: w^l-f(z)=0 \rbrace \). Probar que \( M \) es una subvariedad 2-dimensional de \( \mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4 \).

Hola, he intentado lo siguiente:
Consideremos \( z=(x+yi)\in \mathbb{C} \) y \( w=(r+ti)\in \mathbb{C} \). Entonces, se tiene lo siguiente:
\( w^2=(r+ti)^2=r^2-t^2+2rti\ ;\ \ \ (x+yi)^3=x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i \)
\( f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+a_3z^3=a_0+a_1(x+yi)+a_2(x^2-y^2+2xyi)+a_3(x^3+3x^2yi-3xy^2-y^3i) \)
\( \therefore f(z)=(a_0+a_1x+a_2(x^2-y^2)+a_3(x^3-3xy^2))+(a_1y+2xya_2+(3x^2y-y^3)a_3)i \)
\( \Rightarrow w^2-f(z)=(r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2))+(2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3)i=0 \)
\( \Rightarrow r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2)=0 \ \wedge \ 2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3=0 \)
\( \Rightarrow M=\lbrace (x,y,r,t)\in \mathbb{R}^4:r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2)=0 \ , \ 2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3=0 \rbrace \)
Sea \( F:\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) función definida por \( F(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
r^2-t^2-a_0-a_1x-a_2(x^2-y^2)-a_3(x^3-3xy^2)\\
2rt-a_1y-2xya_2-(3x^2y-y^3)a_3
\end{pmatrix} \), entonces \( M=F^{-1}(0) \), luego \( DF(x,y,r,t)=\begin{pmatrix}
-a_1-2a_2x-3a_3x^2+3a_3y^2 & 2a_2y+6a_3xy & 2r & -2t\\
-2a_2y-6a_3xy & -a_1-2a_2x-3x^2+3a_3y^2 & 2t & 2r\\
\end{pmatrix} \)
Notar además que \( DF(x,y,r,t) \) tiene rango 2 para todo \( (x,y,r,t)\in M \), por lo que \( M \) es una subvariedad 2-dimensional de \( \mathbb{C}^2\cong \mathbb{R}^4 \).

¿Alguna observación?
Gracias de antemano,
Saludos

7
Análisis Matemático / Re: Campo vectorial en esfera
« en: 19 Diciembre, 2017, 06:53 pm »
Gracias por responder Luis, he intentado nuevamente lo siguiente:

Sean \( x^1,y^1,x^2,y^2,...,x^n,y^n \) las coordenadas estándar de \( \mathbb{R}^{2n} \). Para cada \( n\in \mathbb{N} \) la esfera impar (unitaria) \( S^{2n-1} \) es definida por la ecuación \( \displaystyle \sum_{i=1}^n(x^i)^2+(y^i)^2=1 \), es decir, \( S^{2n-1}=\left \lbrace (x^1,y^1,x^2,y^2,...,x^n,y^n)\in \mathbb{R}^{2n}:\displaystyle \sum_{i=1}^n(x^i)^2+(y^i)^2=1 \right \rbrace \).
Sea \( p=(x^1,...,x^n,y^1,...,y^n)\in \mathbb{R}^{2n} \) un punto sobre \( S^{2n-1} \), entonces \( \Vert p \Vert = (x^1)^2+...+(x^n)^2+(y^1)^2+...+(y^n)^2=1 \). Consideremos el campo vectorial \( X=\displaystyle \sum_{i=1}^n-y^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}+x^i\dfrac{\partial}{\partial y^i} \). La notación \( X(p)=\displaystyle \sum_{i=1}^n-y^i\dfrac{\partial}{\partial x^i}+x^i\dfrac{\partial}{\partial y^i} \) define al vector \( (-y^1,-y^2,...,-y^n,x^1,x^2,...,x^n)\in \mathbb{R}^{2n} \) (situado en \( p \)). Notar que, como \( \left \langle \dfrac{\partial}{\partial x^i},\dfrac{\partial}{\partial x^i} \right \rangle = \left \langle \dfrac{\partial}{\partial y^i},\dfrac{\partial}{\partial y^i} \right \rangle = 1 \) se tiene que:
\( \langle X(p),p \rangle = -x^1y^1-x^2y^2-...-x^ny^n+x^1y^1+x^2y^2+...+x^ny^n=0 \), es decir, se cumple que \( X(p)\bot p \).
Además \( \Vert X(p) \Vert^2 = (y^1)^2+(y^2)^2+...+(y^n)^2+(x^1)^2+(x^2)^2+...+(x^n)^2=1 \Rightarrow \Vert X(p)\Vert=1 \). Por lo tanto, \( X(p) \) es el campo vectorial que cumple lo pedido.

8
Análisis Matemático / Campo vectorial en esfera
« en: 17 Diciembre, 2017, 04:44 am »
Hola, quisiera saber si lo que hago es correcto.
El problema consiste en construir un campo vectorial de longitud igual a 1 en cada esfera de dimension impar.

Nosé a que se refieren con ''construir'', pero he intentado lo siguiente:
Veamos, para que el campo buscado tenga longitud 1, podemos considerar la esfera impar (unitaria) como el conjunto \( S^{2n-1}= \left\{{X=(x_1,y_1,...,x_n,y_n)\in \mathbb{R}^{2n}: x_1^2+y_1^2+...+x_n^2+y_n^2=1}\right\}  \). Por tanto, si considero el campo vectorial en coordenadas locales \( X=\displaystyle \sum_{i=1}^n\left(x_i\dfrac{\partial}{\partial y^{2i-1}}+y_i\dfrac{\partial}{\partial y^{2i}}\right) \) tendrá longitud uno, ya que está en la esfera impar.

Es correcto mi planteamiento?
Saludos

9
Computación e Informática / MATLAB: contar raices de un polinomio
« en: 11 Septiembre, 2017, 07:35 am »
Hola, buenos días, necesito ayuda con el siguiente problema por favor
Necesito crear un script en Matlab que me permita saber cuantas raíces reales hay en el intervalo \( [-4,6] \) del polinomio \( Q(x)=x^5-4x^4-10x^3+26x^2-11x+30 \).

El siguiente código nos entrega las raíces del polinomio:
Código: [Seleccionar]
clear all
Q=[1 -4 -10 26 -11 30];
roots(Q)

ans =

   5.0000 + 0.0000i
  -3.0000 + 0.0000i
   2.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 1.0000i
   0.0000 - 1.0000i

Y aquí quedo, ¿alguna idea de como contar las raíces reales en ese intervalo?, que en este caso serían 3. ???
De antemano gracias, saludos.

10
Geometría Diferencial - Variedades / Representar una 2-forma
« en: 01 Septiembre, 2017, 09:48 pm »
Probar que cada 2-forma \( \omega^2 \in \Lambda^2(V^*) \) puede ser representada como:
\( \omega^2=\sigma_1\wedge \sigma_2+...+\sigma_{2r-1}\wedge \sigma_{2r} \) para ciertas bases \( \sigma_1,...,\sigma_n \) de \( V^* \)

Hola, pido ayuda tambien con este problema por favor, saludos..

11
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Fórmula para una k-forma
« en: 01 Septiembre, 2017, 09:37 pm »
Gracias por la bienvenida y la ayuda, he entendido lo que has hecho el_manco.. Saludos cordiales

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Geometría Diferencial - Variedades / Fórmula para una k-forma
« en: 01 Septiembre, 2017, 06:01 am »
Hola, muy buenos días.
Me he visto en aprietos con este problema, a ver si me echan una ayuda, de antemano gracias

Sea \( e_1,...,e_n \) una base del espacio vectorial \( V \) y \( \sigma_1,...,\sigma_n \) la correspondiente base dual. Entonces la siguiente fórmula se aplica para cada \( k- \)forma \( \omega^k: \sum_{i=1}^n\sigma_i \wedge(e_i\dashv  \omega^k)=k\cdot \omega^k \)

pd: \( \dashv  \) es el producto interior de \( e_i \) con \( \omega^k \)

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