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Mensajes - guillem_dlc

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Probabilidad / Re: Ejercicio del Teorema de Bayes extendido
« en: 05 Julio, 2020, 09:09 pm »
Muchas gracias! Todo claro.

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Probabilidad / Re: Ejercicio del Teorema de Bayes extendido
« en: 05 Julio, 2020, 07:50 pm »
Pero claro yo entiendo que dar positivo en casos de esteroides se entiende como \( P(+|E) \) que es la Sen y que cuadraría con el \( 0,95 \).

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Probabilidad / Ejercicio del Teorema de Bayes extendido
« en: 05 Julio, 2020, 03:48 pm »
Buenas, tengo una duda con este ejercicio de probabilidad:

Un test detecta el uso de esteroides en los "body builder" profesionales el \( 95\% \) de las veces. Sin embargo, el test presenta un \( 15\% \) de falsos positivos. Sabiendo que la probabilidad "a priori" de encontrar una persona que utiliza esteroides es el \( 10\% \), ¿cuál es la probabilidad de que una persona utilice esteroides sabiendo que el resultado del test es positivo?

En las soluciones pone que la respuesta es \( 0,85 \), pero a mí me sale \( 0,4130 \). Os paso mi procedimiento:

Valor Predictivo Positivo (VPP). Probabilidad de estar enfermo después de observar un resultado positivo en la prueba. Se tiene que aplicar el Teorema de Bayes extendido:

\( VPP=P(E|+)=\dfrac{P(E\cap +)}{P(+)}=\dfrac{\textrm{Prev}\cdot \textrm{Sen}}{\textrm{Prev}\cdot \textrm{Sen}+(1-\textrm{Prev})\cdot (1-\textrm{Esp})}=\dfrac{0,95\cdot 0,1}{(0,95\cdot 0,1)+(0,15\cdot 0,9)}=0,4130 \)

Muchas gracias

Saludos

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A vale, es decir que si hay más de una variable independiente, lo que pasa que llama dependientes porque considera que las independientes son dependientes entre ellas no?

5
En la siguiente definición: Si la ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes, entonces la ecuación se llama ecuación en derivadas parciales (EDP) o PDE (Partial Differential Equation).

No sería variables independientes?

O sea que la ecuación contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto de una o más variables independientes.

Saludos.

6
Buenas,

Estaría bien este ejercicio?

Estudiar la continuidad de la función \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} \) definida por:

\( f(x,y)=\begin{cases} x^2\cos \left( \frac1x\right)+y & \text{si}& x\neq 0\\y & \text{si}& x=0\end{cases} \)


Mi intento:

\( f \) continua en \( \mathbb{R}^2\setminus \{ x=0\} \), ya que es combinación de funciones elementales y \( \dfrac1x \) no se anula. Sólo es necesario estudiar que pasa en la recta \( x=0 \): \( f(x,y) \) será continua si \( \displaystyle \lim_{\substack{(x,y)\to (0,y_0) \\ x\neq 0}}f(x,y)=\lim_{\substack{(x,y)\to (0,y_0) \\ x=0}}f(x,y) \)

\( \displaystyle \lim_{\substack{(x,y)\to (0,y_0) \\ x\neq 0}}f(x,y)=\lim_{\substack{(x,y)\to (0,y_0) \\ x\neq 0}}x^2\cos \left( \frac1x \right)+y=y_0 \), pues \( x^2\to 0 \) y \( \cos \left( \frac1x\right) \) acotada.

\( \displaystyle \lim_{\substack{(x,y)\to (0,y_0) \\ x=0}}f(x,y)=y=y_0 \)

Entonces \( \exists \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}f(x,y)\rightarrow f \) continua en \( (0,y_0) \) ó \( x\neq 0 \)

Por tanto \( f \) es continua en \( \mathbb{R}^2 \)

Gracias

Saludos

7
Vamos a calcular la suma entonces:

\( X=\sum_{k=1}^n \dfrac{k^2+k+8}{2^{k+1}}=\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{2^{k+1}}+\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{2^{k+1}}+\sum_{k=1}^n\dfrac{8}{2^{k+1}} \)

Calculamos las tres sumas por separado:

Sea \( S=\sum_{k=1}^n\dfrac{k^2}{2^{k+1}} \), entonces como la razón de la progresión geométrica asociada al término general es \( \dfrac12 \), multiplicamos \( S \) por \( \dfrac12 \). Restando \( \dfrac12S \) de \( S \) obtenemos

\(  \begin{align*}
        S &= \dfrac14 +\dfrac48 +\dfrac{9}{16}+\dfrac{25}{64}+\cdots +\dfrac{n^2}{2^{n+1}}\\
        \dfrac12S &= +\dfrac18+\dfrac{4}{16}+\dfrac{9}{32}+\dfrac{16}{64}+\cdots +\dfrac{(n-1)^2}{2^{n+1}}+\dfrac{n^2}{2^{n+2}}\\
       \text{Restando}\\
        \dfrac12S &= \dfrac14+\dfrac38+\dfrac{5}{16}+\dfrac{7}{32}+\dfrac{9}{64}+\cdots +\dfrac{2n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}.
    \end{align*} \)
Continuamos con este procedimiento con \( T=\dfrac12S \) una vez más y restamos:
\(  \begin{align*}
        T&= \dfrac14 +\dfrac38 +\dfrac{5}{16}+\dfrac{7}{32}+\dfrac{9}{64}+\cdots +\dfrac{2n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}\\
        \dfrac12T &= +\dfrac18+\dfrac{3}{16}+\dfrac{5}{32}+\dfrac{7}{64}+\cdots +\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}-\dfrac{n^2}{2^{n+3}}\\
       \text{Restando}\\
        \dfrac12T &= \dfrac14+\dfrac28+\dfrac{2}{16}+\dfrac{2}{32}+\dfrac{2}{64}+\cdots +\dfrac{2}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}-\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}+\dfrac{n^2}{2^{n+3}}.
    \end{align*} \)
Ahora, observamos que con la excepción del primer término y de los tres últimos, obtenemos una progresión geométrica con término inicial \( \dfrac28 \) y razón \( \dfrac12 \). Por tanto, obtenemos

\( \dfrac12T=\dfrac14 +\dfrac{2^n-2}{2^{n+1}}-\dfrac{n^2}{2^{n+2}}-\dfrac{2n-1}{2^{n+2}}+\dfrac{n^2}{2^{n+3}}=\dfrac{-\frac14n^2-n-\frac32+2^n+2^{n-1}}{2^{n+1}} \)

Por tanto, la primera suma buscada es

\( S=\dfrac{-n^2-4n-6+6\cdot 2^n}{2^{n+1}} \)

Vamos a por la segunda suma:

\( S'=\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{2^{k+1}}=\dfrac14 +\dfrac28+\dfrac{3}{16}+\dfrac{4}{32}+\dfrac{5}{64}+\cdots +\dfrac{n}{2^{n+1}} \)

Multiplicamos \( S' \) por \( \dfrac12 \), y obtenemos

\( \dfrac{S'}{2}=\dfrac18+\dfrac{2}{16}+\dfrac{3}{32}+\dfrac{4}{64}+\dfrac{5}{128}+\cdots +\dfrac{n-1}{2^{n+1}}+\dfrac{n}{2^{n+2}} \)

Ahora restando \( \dfrac{S'}{2} \) de \( S \), obtenemos

\( \dfrac{S'}{2}=\dfrac14+\dfrac18+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\cdots +\dfrac{1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^{n+2}} \)

Que es una progresión geométrica excepto el último término. Entonces, por la famosa conocida fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, obtenemo que:

\( S'=2\cdot \left( \dfrac{2^n-1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^{n+2}}\right) =\dfrac{2^{n+1}-2-n}{2^{n+1}} \)

Vamos ya por la última suma que no es complicada teniendo en cuenta lo que hemos hecho, simplemente es una progresión geométrica:

\( S''=\sum_{k=1}^n\dfrac{8}{2^{k+1}}=8\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^{k+1}}=4-2^{2-n} \)

Finalmente, la suma que nos interesa es entonces:

\( \boxed{X=S+S'+S''=\dfrac{-n^2-5n+2^{n+4}-16}{2^{n+1}}} \)

Saludos.

8
Buenas Talento,

Correcto! Es la suma que has propuesto. Ahí va mi planteamiento:

\( R=\sqrt{x^5\sqrt{x^7\sqrt{x^{10}\sqrt{x^{14}\cdots \,\, \text{(n radicales)}}}}}=x^{5/2}\cdot x^{7/4}\cdot x^{10/8}\cdot x^{14/16}\cdots \,\, \text{(n factores)} \)

Consideramos la sucesión del numerador del exponente: \( a_n=\{ 5,7,10,14,19,25,\ldots \} \):

\( a_1=4+1=4+\binom{2}{2} \)
\( a_2=4+3=4+\binom{3}{2} \)
\( a_3=4+6=4+\binom{4}{2} \)
\( a_4=4+10=4+\binom{5}{2} \)
\( a_5=4+15=4+\binom{6}{2} \)

Por tanto, \( a_n=4+\binom{n+1}{2}=4+\dfrac{(n+1)\cdot n}{2}=\dfrac{n^2+n+8}{2} \)

Entonces, la sucesión de los exponentes la podemos escribir como:

\( b_n=\Bigg\{ \dfrac52, \dfrac74, \dfrac{10}{8},\dfrac{14}{16},\ldots \Bigg\} \Rightarrow b_n=\dfrac{\frac{n^2+n+8}{2}}{2^n}=\dfrac{n^2+n+8}{2^{n+1}} \)

Por tanto,

\( R=x^{\frac52+\frac74+\frac{10}{8}+\frac{14}{16}+\frac{19}{32}+\cdots +\frac{n^2+n+8}{2^{n+1}}}=R^X,\quad \text{donde}\quad \boxed{X=\sum_{k=1}^n \dfrac{k^2+k+8}{2^{k+1}}} \)

Saludos.

9
Según yo haría, calcularía las curvas de nivel grosso modo, sin mucho detalle. Simplemente para saber a grandes rasgos qué sale.

Vale, simplemente miro más o menos qué cónica, recta ... me queda no?

Las curvas de nivel dan más información si calculas los cortes con planos paralelos a OYZ y a OZX, no sólo OXY. Serían parábolas.

Sí, los he calculado después.

La figura es un paraboloide hiperbólico o silla de montar:

Perfecto!! Una pregunta, qué programa has utilizado para hacer la gráfica? Es que tengo el Maple pero es muy largo de entrar.

Gracias!

Saludos.

10
Ecuaciones diferenciales / Re: Ecuaciones diferenciales fisica
« en: 13 Abril, 2020, 10:22 pm »
Bienvenido Jorge,

Sabes que la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado es \( x''+2cx'+\omega_0^2x=0 \), donde \( \omega_0^2 =\dfrac km \). Para calcular la frecuencia propia del oscilador \( \omega_0 \), calculamos la \( k \) con la que oscilaría el resorte si no tuviera rozamiento: \( F=k\Delta x\Rightarrow k=\dfrac{F}{\Delta x}=\dfrac{49}{0.098}=500\, \textrm{N/m} \). Entonces

\( \omega_0^2 =\dfrac km=\dfrac{500}{49/9.8}=100\Rightarrow x''+2cx'+100x=0 \)

Resolvemos la ecuación diferencial lineal. Sea la solución \( x=e^{\lambda t}\Rightarrow x'=\lambda e^{\lambda t}\Rightarrow x''=\lambda^2 e^{\lambda t} \). Entonces, sustituyendo a la EDO:

\( \lambda^2 e^{\lambda t}+2c\lambda e^{\lambda t}+100e^{\lambda t}=0\Rightarrow (\lambda^2 +2c\lambda +100)e^{\lambda t}=0\Rightarrow \lambda^2 +2c\lambda +100=0 \)

Resolviendo esta ecuación tendríamos los valores \( \lambda_1, \lambda_2 \) y la solución de la EDO sería \( x(t)=c_1e^{\lambda_1 t}+c_2e^{\lambda_2 t} \). Resolviendo la ecuación de segundo grado:

\( \lambda =\dfrac{-2c\pm \sqrt{(2c)^2-4\cdot 1\cdot 100}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2c\pm \sqrt{4c^2-400}}{2}=\dfrac{-2c\pm 2\sqrt{c^2-100}}{2}=-c\pm \sqrt{c^2-100} \)

Tenemos tres casos:

1. Caso sobreamortiguado (si las dos soluciones son reales): \( c^2-100>0\Rightarrow c>100,\, \textrm{N s/m} \)

2. Críticamente amortiguado (si existe una solución rea doble): \( c^2-100=0\Rightarrow c=100\, \textrm{N s/m} \)

3. Caso subamortiguado (si las dos soluciones son complejas): \( c^2-100<0\Rightarrow c<100\, \textrm{N s/m} \)

Saludos.

11
Cálculo de Varias Variables / Curvas de nivel de una superficie
« en: 13 Abril, 2020, 10:04 pm »
Buenas,

Estoy haciendo este ejercicio: Hallar las curvas de nivel de la superficie \( z=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9} \) obtenidas al hacer cortes por planos paralelos a los planos coordenadas. Representar la superficie e identificarla.

Os paso lo que he hecho y me comentáis:

Curvas de nivel \( z=k\in \mathbb{R} \), \( C_k=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2: \dfrac{x^2}{2^2}-\dfrac{y^2}{3^2}=k\} \)

Entonces considero tres casos:

1. Si \( k<0 \), se trata de una hipérbola con asíntotas \( x=\pm \dfrac{3\sqrt{k}}{2\sqrt{k}}y \), \( C(0,0) \), \( V_1(0,3\sqrt{k}) \) y \( V_2(0,-3\sqrt{k}) \). Se trata de una hipérbola centrada en el eje OY.

2. Si \( k>0 \), se trata de una hipérbola con asíntotas \( y=\pm \dfrac{3\sqrt{k}}{2\sqrt{k}}x \), \( C=(0,0) \), \( V_1=(2\sqrt{k},0) \) y \( V_2(-2\sqrt{k}, 0) \). Se trata de una hipérbola centrada en el eje OX.

3. Si \( k=0 \), tenemos \( \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=0\rightarrow \left( \dfrac x2\right)^2-\left( \dfrac y3\right)^2 =0\rightarrow \left( \dfrac x2\right)^2 =\left( \dfrac y3\right)^2 \rightarrow \pm \sqrt{\left( \dfrac x2\right)^2}=\dfrac y3\rightarrow \pm \dfrac x2=\dfrac y3\rightarrow \dfrac x2 -\dfrac y3=0  \), \( \dfrac x2+\dfrac y3=0 \) que son rectas.

Gracias

Saludos.

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Correcto! Ya veo, para que sea cierta la segunda parte de mi demostración tendría que quitar lo de "aplicando el principio del palomar". Mi demostración sería sin aplicar el principio del palomar, solo, el algoritmo de la división. Aplicando el principio del palomar, solo es necesario hacer el primer caso que he considerado.

Gracias

Saludos

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Buenas iNuGaM,

Sea \( q\in \mathbb{Z}^+ \) dado. Para cada \( q \), existe algún \( x\in \mathbb{Z}^+ \) y algún \( v\in \{ 0,1,2,3,4\} \) tal que \( q=5x+v \) por el algoritmo de la división.

Ahora sea \( A=\{ q_i\in \mathbb{Z}^+: 1\leq i\leq 21\} \subset \mathbb{Z}^+ \). Entonces para cada \( q_i \), existe \( x_i\in \mathbb{Z}^+ \) y \( v_i\in \{ 0,1,2,3,4\} \) tal que \( q_i=5x_i+v_i \) para todo \( i \). Queremos probar que para cada conjunto \( A \) dado, existe un subconjunto \( B \) de \( 5 \) números tal que su suma es divisible por \( 5 \).

Separamos nuestra demostración en dos casos:

  • Si existen cinco \( v_i \) tales que son iguales, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que estos son \( v_1, \ldots ,v_5 \) y \( v_1=\cdots =v_5=v \) Entonces tenemos que \( \sum_{i=1}^5 q_i=\sum_{i=1}^5 (5x_i+v_i)=\sum_{i=1}^5 (5x_i+v)=5(x_1+\cdots +x_5)+5v=5(x_1+\cdots +x_5+v) \), de donde vemos que claramente \( q_1+\cdots +q_5 \) es divisible por \( 5 \) y tomando el conjunto \( B=\{ q_i\in \mathbb{Z}^+: 1\leq q_i\leq 5\} \subset A \), tenemos lo que necesitamos.
  • Por otra parte, si no existen cinco \( v_i \) que sean todos iguales, por el principio del palomar, tenemos que debe existir como mínimo un \( v_i \) que sea igual a \( 0 \), otro \( v_j \) que sea igual a \( 1 \) y así sucesivamente. Sin pérdida de generalidad, tomamos entonces \( v_1=0 \), \( v_2=1 \), \( v_3=2 \), \( v_4=3 \), \( v_5=4 \). Entonces, tenemos que \( \sum_{i=1}^5 q_i=5(x_1+\cdots +x_5)+(v_1+\cdots +v_5)=5(x_1+\cdots +x_5)+10=5(x_1+\cdots +x_5+2) \), de donde vemos que la suma es divisible por \( 5 \). Por tanto, cogiendo \( B=\{ q_i\in \mathbb{Z}^+: 1\leq q_i\leq 5\} \subset A \), tenemos lo que queremos.

Fijate que el teorema de la división ha sido un resultado muy importante para la demostración. Como ves también hemos utilizado el principio del palomar, como comentaste que era tu intención de ver una aplicación.

Saludos.
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Análisis Matemático / Re: Suma telescópica
« en: 27 Agosto, 2019, 03:32 pm »
Para cualquier natural \( k\geq 1 \) se tiene

\( \dfrac{1}{k^2+7k+12}=\dfrac{1}{(k+3)(k+4)}=\dfrac{1}{k+3}-\dfrac{1}{k+4} \)

Entonces la suma de la serie del enunciado es igual a la de la serie telescópica

\( \left( \dfrac14 -\dfrac15 \right) +\left( \dfrac15 -\dfrac16 \right) +\left( \dfrac16 -\dfrac17 \right) +\cdots =\dfrac{1}{4}. \)

Saludos.

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Hola, no sé por dónde empezar para empezar a graficar unas funciones. Se trata de un libro diferente al usual que pensaba que iba a ayudarme con el que he tenido hasta ahora. Usa una notación diferente. Y se trata de tres imágenes que adjunto. Las funciones son tres:
- una función lineal que representa un plano: \( f(x,y)=2x+7y \). Yo he "parametrizado", no sé, me acabo de inventar la palabra: \( (x,y,z)=(3\lambda,7\lambda,3\lambda+7\lambda) \). A partir de ahí puedo empezar a dar valores. ¿Correcto?
- una función afín que representa una recta: \( f(x,y)=2x+7y+6 \): Esto no es una función, es la ecuación de una recta, ¿no?: \( 2x+7y+6=0 \).
- una función afín que es un plano: \( f(x)=3x+5 \). Yo he creado un parámetro, \( y=\lambda \), y a partir de ahí he "parametrizado": \( (x,y,z)=(3\lambda, \lambda, 3\lambda+5) \). Y a partir de ahí grafico.
¡Un saludo!

Buenas Marcos,

(a) Sea \( z:=f(x,y)=2x+7y+6 \). Esta función la podemos escribir como \( -2x-7y+z=6\Leftrightarrow \dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{-6/7}+\dfrac{z}{6}=1, \) que vemos que es la ecuación canónica del plano que pasa por los tres puntos \( (-3,0,0) \), \( (0,-6/7, 0) \) y \( (0,0,6) \).

(b) Sea \( z:=f(x,y)=2x+7y \). Es equivalente a decir que el producto escalar de los vectores \( (2,7,-1) \) y \( (x-0,y-0,z-0) \) es \( 0 \). Luego \( (x,y,z) \) varía en el plano que pasa por \( (0,0,0) \) y uno de los vectores normales es \( (2,7,-1) \).

(c) Es una recta de pendiente \( 3 \) y ordenada en el origen \( 5 \).

Saludos.

16
Buenas Marcos,

Fíjate en el producto de matrices que tienes:

\( \left( \begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right)\cdot{\left( \begin{array}{cccc}x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}\end{array}\right)}=\left( \begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{array}\right) \)

Hacemos el producto de matrices y nos queda:

\( \left( \begin{array}{cccc}a_{11}x_{11}+a_{12}x_{21}+\cdots +a_{1n}x_{n1}&a_{11}x_{12}+a_{12}x_{22}+\cdots +a_{1n}x_{n2}&\cdots&a_{11}x_{1n}+a_{2n}x_{2n}+\cdots +a_{1n}x_{nn}\\a_{21}x_{11}+a_{22}x_{21}+\cdots +a_{2n}x_{n1}&a_{21}x_{12}+a_{22}x_{22}+\cdots +a_{2n}x_{n2}&\cdots&a_{21}x_{1n}+a_{22}x_{2n}+\cdots +a_{2n}x_{nn}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}x_{11}+a_{n2}x_{21}+\cdots +a_{nn}x_{n1}&a_{n1}x_{12}+a_{n2}x_{22}+\cdots +a_{nn}x_{n2}&\cdots&a_{n1}x_{1n}+a_{n2}x_{2n}+\cdots +a_{nn}x_{nn}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{array}\right) \)

De donde tenemos igualando cada elemento de las dos matrices por columnas que:

\( \left\{ \begin{array}{lcc}
             a_{11}x_{11}+a_{12}x_{21}+\cdots +a_{1n}x_{n1}=1 \\
             \\ a_{21}x_{11}+a_{22}x_{21}+\cdots +a_{2n}x_{n1}=0 \\
             \\ \cdots \\
             \\ a_{n1}x_{11}+a_{n2}x_{21}+\cdots +a_{nn}x_{n1}
             \end{array}
   \right. \)
que también lo podemos expresar como:

\( \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_{11}\\
x_{21}\\
\cdots \\
x_{n1}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
0\\
\cdots \\
0
\end{pmatrix} \)
Este mismo sistema te sale igualando los coeficientes de la matriz de cada columna (te lo he hecho sólo por la primera, pero es análogo y coincide con el sistema que te dan en el libro).

Saludos.

17
Sea \( A\subset \mathbb{R} \) un subconjunto no vacío de números reales. Supongamos que \( A \) está acotado superiormente y sea \( (s_n) \) una sucesión convergente de cotas superiores de \( A \). Probar que el límite de esta sucesión es también una cota superior de \( A \).

Supongamos que \( s=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{s_n} \) no fuera cota superior de \( A. \) Entonces, existiría \( a\in A \) tal que \( s<a. \) Si \( \epsilon=(a-s)/2 \) todos los elementos del intervalo \( (s-\epsilon,s+\epsilon) \) son menores que \( a \) y contiene algún \( s_m \) de la sucesión i.e. \( s_m <a \) y \( s_m \) no sería cota de \( A \) (contradicción).

Muchas gracias por responder. Lo único que no entiendo es la elección de \( \epsilon \) y por qué aquel intervalo contiene algun valor de la sucesión.

Saludos.

18
A ver si alguien me puede ayudar con la siguiente demostración. No sé como empezarla:

Sea \( A\subset \mathbb{R} \) un subconjunto no vacío de números reales. Supongamos que \( A \) está acotado superiormente y sea \( (s_n) \) una sucesión convergente de cotas superiores de \( A \). Probar que el límite de esta sucesión es también una cota superior de \( A \).

Gracias

Saludos

19
Circunferencias / Re: Area de un círculo
« en: 31 Agosto, 2018, 08:09 pm »
gracias , serias tan amable de insertar un dibujo con las variables que introduces
me  perdi con la notación donde aparece "a"



Como que el círculo es tangente a OY, la abscisa del centro coincide con el radio en valor absoluto; y el valor de la Y del centro es el radio más una constante a arbitraria (que será la distancia des de el eje de las abscisas hasta el punto más bajo de la circunferencia. En tu dibujo se ve claramente que a = 8).

Saludos.

20
Circunferencias / Re: Area de un circulo
« en: 31 Agosto, 2018, 10:16 am »
La circunferencia de abajo tiene centro \( F(9,0) \) y radio \( R_1=9 \).
La circunferencia de arriba tiene centro \( E(0,9) \) y radio \( R_2=9 \).
Sea \( C \) el centro de la circunferencia pequeña y sea \( R \) su radio.
Entonces, como es tangente a \( OY \), \( C(R, R+a) \).
Por las tangencias: \( d(C,F)=R+9 \) y \( d(C,E)=9-R \). Esto implica que \( \sqrt{(R-9)^2+(R+a)^2}=R+9 \) y \( \sqrt{R^2+(R+a-9)^2}=9-R \)
Resolviendo: \( a=8 \) y \( R=4 \). Entonces, \( S=\pi R^2=\boxed{16\pi} \)

Saludos.

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