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Mensajes - Protágoras

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Álgebra / Re: Numeros complejos (sistema de ecuaciones)
« en: 15 Julio, 2019, 05:34 pm »
Hola,

podrías usar la siguiente propiedad de los números complejos:

"Un número complejo es nulo (0) si su parte real y su parte imaginaria son iguales a cero".

En tu caso:
\( x+iy=1 \Leftrightarrow (x-1)+iy=0 \)

Para tu número complejo \( (x-1)+iy \) su parte real es \( x-1 \) y su parte imaginaria \( y \).

Por lo cual tendrías que resolver las siguientes ecuaciones:
\( \begin{cases} x-1=0\\y=0\end{cases} \)

Como referencia te serviría cualquier libro de introducción al análisis complejo, por ejemplo: Complex Variable and aplications, James W. Brown and  Ruel V. Churchill.

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Hola a todos.

No entiendo la siguiente pregunta (sobre el problema de Sturm-Liouville).

Sea \( \{ f_n(x) \} \) una familia de funciones mutamente ortogonales de \( 0 \) a \( \infty \) con función peso \( e^{-x} \). Encuentre la ecuación diferencial de la forma \( xf''_n(x)+g(x)f'_n(x)+\lambda f_n(x)=0 \) que es satisfecha por \( f_n(x) \).

Yo intenté calcular la derivada respecto a \( t \) de \(  \int_0^t(f_n(x))^2e^{-x}dx=1 \) y finalmente comparar los coeficientes. Pero no estoy convencido de eso pues el producto interno es \( (f_n,f_m)=\int_0^{\infty}f_n(x)f_m(x)e^{-x}dx \), no es cierto?

Les agradezco su ayuda.

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Libros / Re: Redacción matemática
« en: 17 Junio, 2018, 03:00 pm »
Hola, gracias por la respuesta.

Aunque todos tenemos una intuición y experiencia de como escribir matemáticas, cierto es que algunos escriben mejor que otros e incluso tienen mucha experiencia escribiendo artículos, libros y  comunicaciones. Busco alguna "luz" sobre estilos y algunas sugerencias en general para que una demostración quede bien explicada y un artículo bien organizado. Tal vez alguien con mucha experiencia haya organizado su metodología de redacción en algunas notas. Al final toda publicación en una revista pasa por una revisión.

Bueno, en esta búsqueda acabo de encontrarme con estas referencias (que estoy empezando a leer)

  • Mathematical writing de Franco Vivaldi
  • How to write mathematics de P.R. Halmos, Dieudonné y otros

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Libros / Redacción matemática
« en: 17 Junio, 2018, 01:24 pm »
¡Buen día a todos!

¿Podrían darme referencias sobre libros de redacción matemática?

¡Se los agradezco de antemano!


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Álgebra / Re: Temas álgebra.
« en: 11 Diciembre, 2017, 07:33 pm »
Hola Duv,

podrías ver aquí:

https://www.freelibros.org

tiene una colección de libros de álgebra de nivel pre. En particular no sé cual seria mejor.

En esta otra página también hay una buena colección de libros nivel pre (aunque por el momento parece que la página no está funcionando)

http://www.elibros.cl/

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Hola Luis.

También podrías considerar tu constante como un polinomio \( a=a(x) \) y usar tus otras dos condiciones. Nota que \( f(x)-2 \) tiene una raíz \( x=0 \) y \( f(x)+10 \) tiene una raíz \( x=-1 \). Luego tendrás dos nuevas condiciones  \( a(0)=y_1,\ \ a(-1)=y_2 \) y recuerda que por dos puntos pasa una única recta (con el grado mínimo ).

Es una idea, espero que te ayude.

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Álgebra / Imagen inversa de un sheaf
« en: 10 Diciembre, 2017, 02:19 am »
Hola a todos, mi problema es el siguiente:

Sea \( f:X\rightarrow Y \) y \( g:Y\rightarrow Z \) mapas continuos. Sea \( \mathcal{H} \) un sheaf sobre \( Z \). Tengo que probar que \( f^{-1}(g^{-1}\mathcal{H})=(g\circ f)^{-1}\mathcal{H} \). (Ejercicio 2.6 del capítulo 2 del libro de Qing Liu)

En el libro de Algebraic Geometry de Ulrich Görtz encontré una sugerencia de verificar primero que los pre-sheaves son iguales, es decir: \( f^{+}(g^{+}\mathcal{H})=(g\circ f)^{+}\mathcal{H} \) (donde \( f^{+}\mathcal{F}(U)=\displaystyle\varinjlim_{ V\supseteq{f(U)}}{\mathcal{F}(V)} \) con \( \mathcal{F} \) un sheaf). Para luego concluir que las sheafification son isomorfas \( f^{-1}(g^{-1}\mathcal{H})\cong (g\circ f)^{-1}\mathcal{H} \).

Mi primera duda es: ¿Cómo es una igualdad de pre-sheaves (o sheaves) \( \mathcal{F}=\mathcal{G} \)?,¿basta probar que para cada \( U\subset X \) se tiene que \( \mathcal{F}(U)=\mathcal{G}(U) \)? No encontré referencia sobre ello.

Y estoy tratando de "hacer las cuentas" y tengo dudas de si el camino es correcto. Pues no consigo dar la forma a la igualdad de los pre-sheaves: \( f^{+}(g^{+}\mathcal{H})(U)=\displaystyle\varinjlim_{V \supseteq{f(U)}}(\displaystyle\varinjlim_{W \supseteq{g(V)}}\mathcal{H}(W))=\displaystyle\varinjlim_{V\supseteq g(f(U))}\mathcal{H}(V)=(g\circ f)^{+}\mathcal{H}(U) \)

Tal vez hay alguna propiedad del límite directo?

Si alguien me puede dar más pistas sobre como resolver el problema se lo agradezco de antemano.

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Álgebra / Re: Dimensión de un conjunto algebraico
« en: 20 Septiembre, 2017, 12:27 pm »
Gracias por la respuesta.

En la pregunta dice que la variedad está en \( \mathbb{A}^{10} \). Por eso que intenté resolverlo así, viéndolo en una carta afín dentro de \( \mathbb{P}^{10} \) (y creo que estaría adicionando una variable \( X_0 \)). Remplazando \( X_1=1 \) en las primeras 5 ecuaciones conseguía poner \( X_4,X_7,X_9 \) en función de las otras y substituyendo esas variables en las otras dos ecuaciones pues daba 0=0, por eso me quedé solo con las 3. También pensé que como las ecuaciones son homogéneas puedo tomarlo en \( \mathbb{P}^{9} \). En fin, estaba errado.

Por otro lado, ahora estaba estudiando las bases de Groebner para intentar resolverlo. Pensé que tal vez existía algún otro camino "mágico" para calcular la dimensión en este caso particular (Polinomio de Hilbert, teorema del ideal principal de Krull...¿?).

Bueno, seguiré adelante y contaré después aquí como me fue.

Muchas gracias.

Saludos

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Álgebra / Dimensión de un conjunto algebraico
« en: 20 Septiembre, 2017, 04:41 am »
Hola,

Tengo que calcular la dimensión del conjunto algebraico afin contenido en \( \mathbb{A}^{10} \) dada por las siguientes relaciones:

\( X_1X_9+X_5X_6-X_2X_{10}=0 \)
\( X_4X_{10}+X_3X_9-X_6X_7=0 \)
\( X_1X_4+X_2X_3+X_6X_8=0 \)
\( X_8X_{10}+X_3X_5+X_1X_7=0 \)
\( X_2X_7+X_8X_9-X_4X_5=0 \)

Yo intento resolverlo viendo \( \mathbb{A}^{10}\equiv U_{1}=\{X_{1}\neq 0\}\subset \mathbb{P}^{10} \) por lo que reduzco las ecuaciones a:
\( X_9+X_5X_6-X_2X_{10}=0 \)
\( X_4+X_2X_3+X_6X_8=0 \)
\( X_8X_{10}+X_3X_5+X_7=0 \)

Pero no consigo continuar con mi idea.

Les agradezco su ayuda y explicación



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Temas de Física / Re: Movimiento armónico
« en: 08 Mayo, 2017, 11:33 pm »
Hola, aquí dejo una mejor imagen del ejercicio



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Temas de Física / Movimiento armónico
« en: 08 Mayo, 2017, 03:55 pm »
Hola, por favor me ayudan con la siguiente pregunta

Una esfera muy pequeña de peso \( w \) está atada a un alambre de longitud \( l \) como se muestra en la figura (gráfico adjunto). Calcular la frecuencia de vibración si se desplaza una distancia horizontal \( x \) y se abandona.

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Resolví el problema. Escribiré parte de lo que hice por si a alguien más le interesa.

\( U: f(x,t)=0,\ \ \ \ f(x,t)=x^2-3-10t^4-3t^8 \)

\( V: g(z,w)=0,\ \ \ \ g(z,w)=w^2-z^6+1 \)

Notemos que \( (0,0)\notin U \) y \( (0,0)\notin V \)

Veamos también que
\( \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=2x=0 \Longleftrightarrow x=0\\ \frac{\partial f}{\partial t}=-8t^4(5+3t^4)=0 \Longleftrightarrow t=0 \vee t^4=-5/3 \end{cases}  \)
y
\( \begin{cases} \frac{\partial g}{\partial z}=2z=0 \Longleftrightarrow z=0\\ \frac{\partial g}{\partial w}=2w=0 \Longleftrightarrow w=0\end{cases}  \)

Por lo tanto U y V son suaves.

Además \( (\pm{4},\pm{1})\notin U \)

Ahora, para probar que \( F \), es holomorfa lo hago por casos:

Sea \( p\in U\backslash(\pm{4},\pm{1}) \)

I)\( \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(p)\neq 0 \Longleftrightarrow x\neq 0 \)

Existe \( h \) holomorfa tal que \( x=h(t) \) e a carta \( \pi_2(h(t),t)=t \)

I.1) \( \frac{{\partial f}}{{\partial t}}=0 \Longleftrightarrow t=0 \)

Entonces \( p=(\pm{\sqrt[ ]{3}},0) \),

además \( F(p)=(1,0)=(z_0,w_0) \)

\( z_0\neq 0 \Longleftrightarrow \frac{{\partial g}}{{\partial z}}(F(p))\neq 0 \)

por el teorema de la función implícita existe \( \tilde{h} \) holomorfa tal que \( z=\tilde{h}(w) \) e a carta \( \pi_2(\tilde{h}(w),w)=w \)

tenemos o mapa local (en una vecindad de \( t=0 \)) tal que \( t \mapsto \pi_2\circ F \circ \pi_2^{-1}(t)=\displaystyle\frac{2h(t)t}{(1-t^2)^3} \)

que es una función holomorfa.

Para ver si es un punto de ramificación, veamos la serie de Laurent en una vecindad de \( 0 \) de

\( \displaystyle\frac{1}{(1-t^2)^3}=1+\dots \)

\( h(t)=h(0)+\dots, \ \ \ h(0)=\pm{\sqrt{3}}\neq 0 \)

Por tanto la serie de Laurent del mapa local, en una vecindad de \( 0 \)

\( \displaystyle\frac{2th(t)}{(1-t^2)^3}=2t+\dots \)

Y por el lema 4.4 del libro (dice que la multiplicidad en un punto es uno a más que el orden de la derivada del mapa local)

\( mulp_pF=1 \), p no es un punto de ramificación.

De forma análoga continué en los otros casos.

Si alguien tiene una mejor manera de hacer esto le agradecería la explicación.


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Hola, tengo la siguiente pregunta

Sea U una curva plana afín definida por \( x^2=3+10t^4+3t^8 \). Sea V la curva plana afín definida por \( w^2=z^6-1 \). Pruebe  que las curvas son suaves. Demuestre que la función \( F:U\rightarrow V \) definida por \( z=(1+t^2)/(1-t^2) \) y \( w=2tx/(1-t^2)^3 \) es holomorfa y no se ramifica siempre que \( t\neq{\pm{1}} \).

¿Cómo hago para determinar que la función \( F \) es holomorfa? ¿Tengo que tomar las cartas? ¿Puedo ver \( F:=(f_1,f_2) \)?

También les pido si tienen alguna otra referencia o notas, con ejemplos sobre este tema. ¡Muchas gracias!

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