Hola a todos.

No entiendo la siguiente pregunta (sobre el problema de Sturm-Liouville).

Sea \( \{ f_n(x) \} \) una familia de funciones mutamente ortogonales de \( 0 \) a \( \infty \) con función peso \( e^{-x} \). Encuentre la ecuación diferencial de la forma \( xf''_n(x)+g(x)f'_n(x)+\lambda f_n(x)=0 \) que es satisfecha por \( f_n(x) \).

Yo intenté calcular la derivada respecto a \( t \) de \(  \int_0^t(f_n(x))^2e^{-x}dx=1 \) y finalmente comparar los coeficientes. Pero no estoy convencido de eso pues el producto interno es \( (f_n,f_m)=\int_0^{\infty}f_n(x)f_m(x)e^{-x}dx \), no es cierto?

Les agradezco su ayuda.

¡Buen día a todos!

¿Podrían darme referencias sobre libros de redacción matemática?

¡Se los agradezco de antemano!

Hola Luis.

También podrías considerar tu constante como un polinomio \( a=a(x) \) y usar tus otras dos condiciones. Nota que \( f(x)-2 \) tiene una raíz \( x=0 \) y \( f(x)+10 \) tiene una raíz \( x=-1 \). Luego tendrás dos nuevas condiciones  \( a(0)=y_1,\ \ a(-1)=y_2 \) y recuerda que por dos puntos pasa una única recta (con el grado mínimo ).

Es una idea, espero que te ayude.

Gracias por la respuesta.

En la pregunta dice que la variedad está en \( \mathbb{A}^{10} \). Por eso que intenté resolverlo así, viéndolo en una carta afín dentro de \( \mathbb{P}^{10} \) (y creo que estaría adicionando una variable \( X_0 \)). Remplazando \( X_1=1 \) en las primeras 5 ecuaciones conseguía poner \( X_4,X_7,X_9 \) en función de las otras y substituyendo esas variables en las otras dos ecuaciones pues daba 0=0, por eso me quedé solo con las 3. También pensé que como las ecuaciones son homogéneas puedo tomarlo en \( \mathbb{P}^{9} \). En fin, estaba errado.

Por otro lado, ahora estaba estudiando las bases de Groebner para intentar resolverlo. Pensé que tal vez existía algún otro camino "mágico" para calcular la dimensión en este caso particular (Polinomio de Hilbert, teorema del ideal principal de Krull...¿?).

Bueno, seguiré adelante y contaré después aquí como me fue.

Muchas gracias.

Saludos

Hola, aquí dejo una mejor imagen del ejercicio

Resolví el problema. Escribiré parte de lo que hice por si a alguien más le interesa.

\( U: f(x,t)=0,\ \ \ \ f(x,t)=x^2-3-10t^4-3t^8 \)

\( V: g(z,w)=0,\ \ \ \ g(z,w)=w^2-z^6+1 \)

Notemos que \( (0,0)\notin U \) y \( (0,0)\notin V \)

Veamos también que
\( \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}=2x=0 \Longleftrightarrow x=0\\ \frac{\partial f}{\partial t}=-8t^4(5+3t^4)=0 \Longleftrightarrow t=0 \vee t^4=-5/3 \end{cases}  \)
y
\( \begin{cases} \frac{\partial g}{\partial z}=2z=0 \Longleftrightarrow z=0\\ \frac{\partial g}{\partial w}=2w=0 \Longleftrightarrow w=0\end{cases}  \)

Por lo tanto U y V son suaves.

Además \( (\pm{4},\pm{1})\notin U \)

Ahora, para probar que \( F \), es holomorfa lo hago por casos:

Sea \( p\in U\backslash(\pm{4},\pm{1}) \)

I)\( \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(p)\neq 0 \Longleftrightarrow x\neq 0 \)

Existe \( h \) holomorfa tal que \( x=h(t) \) e a carta \( \pi_2(h(t),t)=t \)

I.1) \( \frac{{\partial f}}{{\partial t}}=0 \Longleftrightarrow t=0 \)

Entonces \( p=(\pm{\sqrt[ ]{3}},0) \),

además \( F(p)=(1,0)=(z_0,w_0) \)

\( z_0\neq 0 \Longleftrightarrow \frac{{\partial g}}{{\partial z}}(F(p))\neq 0 \)

por el teorema de la función implícita existe \( \tilde{h} \) holomorfa tal que \( z=\tilde{h}(w) \) e a carta \( \pi_2(\tilde{h}(w),w)=w \)

tenemos o mapa local (en una vecindad de \( t=0 \)) tal que \( t \mapsto \pi_2\circ F \circ \pi_2^{-1}(t)=\displaystyle\frac{2h(t)t}{(1-t^2)^3} \)

que es una función holomorfa.

Para ver si es un punto de ramificación, veamos la serie de Laurent en una vecindad de \( 0 \) de

\( \displaystyle\frac{1}{(1-t^2)^3}=1+\dots \)

\( h(t)=h(0)+\dots, \ \ \ h(0)=\pm{\sqrt{3}}\neq 0 \)

Por tanto la serie de Laurent del mapa local, en una vecindad de \( 0 \)

\( \displaystyle\frac{2th(t)}{(1-t^2)^3}=2t+\dots \)

Y por el lema 4.4 del libro (dice que la multiplicidad en un punto es uno a más que el orden de la derivada del mapa local)

\( mulp_pF=1 \), p no es un punto de ramificación.

De forma análoga continué en los otros casos.

Si alguien tiene una mejor manera de hacer esto le agradecería la explicación.