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« en: 13 Noviembre, 2008, 11:20 pm »
Aquí está, y qué contento estoy de decirlo, uno de los mayores problemas del aprendizaje del cálculo integral. Un problema que turba a todos los alumnos (a mí en su día por ejemplo) y que supone errores conceptuales, que se acumulan, y que se deben solventar lo antes posible. Intentaré ser breve pero dejar las cosas un poco claras. Por ello empezaré de lo más general e iré particularizando.
1)Empiezo por el final. La integración puede usarse para calcular distancias, áreas y volúmenes, medidas, en general de conjuntos. Pero este no es más que un enfoque que lo restringe bastante. Intuitivamente, hay que interpretar una integral como algo que dada una función que actúa sobre un conjunto, nos da un valor de la magnitud en que la función actúa globalmente sobre el conjunto.\( \displaystyle\int_{A}^{}f \).
2) Concretemos. Una integral es una suma continua, una manera de sumar los valores que toma una función, teniendo en cuenta que varían cada poquísimo tiempo. Piensa en el caso del cálculo del área de una integral simple (volveremos luego) y verás que es eso. Piensa en el cálculo de la masa de un sólido con densidad no uniforme, y te harás una idea general. Ahora bien:
3) En general, si integras directamente la función 1, es decir, si estás valorando como actúa la función 1 sobre un conjunto, o mejor, como sumas 1 para cada valor del conjunto, te saldrá un valor representativo del conjunto, su "medida". Siguiendo con esta idea podríamos clasificar así:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}1dx= b-a \) Es una integral simple, sobre un conjunto de una dimensión, nos da una distancia.
\( \displaystyle\int_{A}^{}1dxdy \) Es una integral doble, sobre un conjunto de dos dimensiones, nos da un área.
\( \displaystyle\int_{A}^{}1dxdydz \) Es una integral triple, sobre un conjunto de tres dimensiones, nos da un volumen.
Y se puede generalizar. ¡Ojo! Fíjate que estoy integrando la función uno, es decir, estoy asociando a cada conjunto su "medida", que tiene su misma "dimensión". Compáralo con la suma, si defino \( S = \left\{{1,6,8}\right\} \) y hago:
\( \displaystyle\sum_{i\in{S}}^{}1 \) me dará 3 que es el cardinal del conjunto (me está sumando tantas veces 1 como elementos hay en el conjunto. Este es el enfoque particular de las integrales, según la teoría de la medida. Volvamos un poco para arriba.
4) Si la función que actúa no es la función 1, entonces al deformar el conjunto, este adquiere una dimensión más (la anterior x la nueva variable real). Por lo tanto, puede interpretarse una integral simple como un área, una doble como un volumen... pero unicamente bajo ciertas condiciones. Parece que hay cierta inconsistencia... Para nada, la clave de relacionar las dos cosas nos las da el teorema de fubini. Mira este ejemplo.
Queremos calcular el área de un cuarto de disco de radio unidad. Según lo que se ve en Bachillerato (interpretar las integrales como una suma, que de hecho, es correcto por supuesto) sería:
\(
\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt[ ]{1-x^2}dx =\displaystyle\frac{\pi}{4} \)
El cálculo se hace mediante un cambio de variable -piensa lo que significa gráficamente ese cambio- supongo que sabrás, pero este no es el objetivo de mi exposición.
Ahora que has aprendido a integrar un poco mejor, te puedes preguntar, cómo es que no calculamos un área con una integral doble. Por supuesto se puede. Hagámoslo. El área del disco es, estarás de acuerdo:
\( \displaystyle\int_{D}^{}dxdy \). ¿No ves? Una integral doble de la función 1, precisamente sobre el disco del cual queremos calcular la medida (ver punto 3).
Vamos a hacer este cálculo de dos maneras distintas, de formas que veas la gracia del asunto:
Usando el teorema del cambio de variable -de nuevo fíjate en lo que estás haciendo gráficamente- :
\( \displaystyle\int_{D}^{}dxdy=\displaystyle\int_{[0,1]\times{[0,\pi/2]}}^{}rdrd\theta \) (no olvides el jacobiano del cambio, si tienes alguna duda pregunta). Ahora, aplicando Fubini:
\( A=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}rdrd\theta = \displaystyle\frac{\pi}{4} \)
Ahora de la otra forma, aplicando directamente Fubini sobre la integral inicial:
\( \displaystyle\int_{D}^{}dxdy=\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{1-x^2}}\displaystyle\int_{0}^{1}dydx =\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt[ ]{1-x^2}dx \). ¡Tachán! Simplemente aplicando Fubini hemos llegado a la integral simple que representa el área. El teorema de Fubini te permite reducir integrales de ordenes superiores a integrales simples para luego usar las técnicas más fáciles de cálculo, en otras palabras, es lo que relaciona la "medida" de un conjunto, con la interpretación de esta como descomposición en dos (o las que sean) direcciones de dimensión del conjunto. Es difícil de explicar sin un dibujito, trata de imaginarlo.
5) Las integrales de variable vectorial (¡ojo, variable vectorial! no significa que aparezcan vectores), sólo son una notación que significa integrar por componentes (y a veces es cómoda).
6) Las integrales sobre curvas, sobre superficies, y sobre variedades en general, no son más que las integrales de toda la vida, simplemente que por estar el elemento sobre el que integras "curvado" en el espacio, pues tienes que deshacer esa curvatura, pasarlo a la recta para hacer una integral simple (integrales curvilíneas o sobre trayectorias) o al plano para hacer una integral doble (integrales de superficie o flujos), eso es lo que se hace intuitivamente cuando aparecen los elementos de "aplanamiento" como pueden ser vectores normales, vectores tangentes o productos escalares y vectoriales por dichos elementos. Simplemente estás transformando una integral sobre algo "raro" en algo que tú controlas más, porque todas las direcciones de integración son "perpendiculares y en las diferentes direccones del espacio". Así, si quieres calcular distancias, áreas volúmenes de cosas curvadas en el espacio, tendrás que pasar primero por un aplanamiento (Cálculo vectorial) y después por el cálculo de una integral simple-doble-triple según quieras calcular una distancia-área-volumen (Cálculo en varias variables). Tienes que tener muy presente que lo que haces para pasar del cálculo vectorial al cálculo en varias variables no es un cambio de variable ni mucho menos, es "allanar el terreno". Aunque no te preocupes, en realidad todo son definiciones de las diferentes integrales sobre variedades que concuerdan con la interpretación en términos de geometría diferencial que se hace de las cosas.
Espero haber sido claro, porque creo que este es un problema muy común y trascendental en la gente que suele estudiar matemáticas y no tiene demasiado tiempo que dedicarle a esto.
Un problema para acabar: Calcula de dos maneras diferentes (con una integral doble y con una triple) el volumen de un cuarto de bola de radio unidad y la superficie del cuarto de la esfera que la engloba.
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que basen su construcción en: "Pues a ver, definimos la función coseno2 como la geométrica, como satisface el mismo PVI es la misma" y se queden tan anchos. Muchas gracias.
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