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Mensajes - Juan Pablo Sancho

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1
Lo pongo en spoiler por ser casi (o todo lo que se ha dicho).


Spoiler
Teorema: Supongamos que una de las derivadas parciales \(  D_1f,D_2f,\cdots,D_nf  \) existe en c y que las restantes \( n-1 \)  derivadas parciales existen en una cierta n-bola \( B(c) \) y son continuas en c.Entonces \( f \) es diferenciable en c.

Editado 2
Una función que sólo es continua y diferenciable en \( (0,0) \).

\( f(x,y) = \begin{cases} x^2+y^2 &\text{si}& (x,y) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}\\-(x^2+y^2) &\text{si}& (x,y) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R} \setminus (\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}) \end{cases} \)

Editado

\( f(x,y) = \begin{cases} x^2 \cdot sen(1/x) &\text{si}& x \neq 0 \\ 0  &\text{si}& x = 0  \end{cases} \)
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2
Directamente también puedes hacer:
Para \( k=1 \) es cierta \( \dfrac{1}{4} < 1  \) lo suponemos cierto para \( k=n \geq 1 \) entonces para \(  k = n+1  \):

\( \dfrac{(n+1)^4}{4} = \dfrac{n^4 + 4 \cdot n^3 + 6 \cdot n^2 + 4 \cdot n + 1}{4} =  \)
\( \displaystyle  = \dfrac{n^4}{4} + \dfrac{4 \cdot n^3 + 6 \cdot n^2 + 4 \cdot n + 1}{4} \leq \sum_{i=1}^n i^3 + \dfrac{4 \cdot n^3 + 6 \cdot n^2 + 4 \cdot n + 1}{4} = \sum_{i=1}^n i^3 + n^3 + \dfrac{3}{2} \cdot n^2 + n + \dfrac{1}{4}  < \sum_{i=1}^n i^3 + n^3 + 3 \cdot n^2 + 3 \cdot n + 1 = \cdots  \) 

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otra version (muy parecida) de lo que propuso geómetracat.

Sean \(  0 \leq a < b  \) existe un \( n_0 \in \mathbb{N}  \) tal que \( \dfrac{\sqrt{2}}{n_0} < b-a  \)

Sea \( m_0 \in \mathbb{N} \cup \{0\}  \) el natural más grande que verifica \( \dfrac{m_0}{n_0} \cdot \sqrt{2} \leq a  \) seguro que existen elementos así por que tenemos \( m = 0 \) y \( 0 \leq a  \).
Entonces \( \dfrac{m_0+1}{n_0} \cdot \sqrt{2} > a  \) en este caso tenemos:

\(  a < \dfrac{m_0 + 1}{n_0} \cdot \sqrt{2} = \dfrac{m_0}{n_0} \cdot \sqrt{2} + \dfrac{1}{n_0} \cdot \sqrt{2} < a + (b-a) = b  \)

Si \(  a < 0 < b  \) aplicamos el caso anterior a \(  0<b \) y si \( a<b\leq 0  \) aplicamos otra vez el primer caso con \(  0 \leq -b < -a  \)


4
Matemáticas Generales / Re: Problema de geometría
« en: 23 Junio, 2020, 08:58 pm »
Se adelanto ingmarov, lo pongo es spoiler.

Spoiler
Tienes que:
\( \vec{CB} = B-C = (-4,-1)  \) con \( \|\vec{CB}\| = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}  \)
\( \vec{BA} = A-C = (1,-4)  \) con \( \|\vec{BA}\| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}  \)

\( \vec{CB} \cdot \vec{BA} = -4 + 4 = 0  \) los vectores son perpendiculares.

Sea \( P=(x,y) \) el vértice del cuadrado que falta entonces debe verificar que :
\( \vec{PA} = \vec{CB}  \) o \(  \vec{BA} = \vec{CP}  \) usamos la primera igualdad y queda:

\( (2-x,-1-y) = (4,1)  \) entonces \(  P = (-2,-2)  \)
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Matemáticas Generales / Re: Problema de geometría
« en: 23 Junio, 2020, 03:20 pm »
Ten en cuenta que si \(  P = (x,y)  \) es el vértice que falta tenemos que:
\( \vec{AB} = \vec{CP}  \) o \( \vec{AC} = \vec{BP}  \) con \( \|\vec{AB}\| = \|  \vec{CB}\|  \)

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Cálculo 1 variable / Re: Continuidad en los racionales
« en: 21 Junio, 2020, 12:41 pm »
Ahora mismo lo corrijo.

7
Cálculo 1 variable / Re: Continuidad en las racionales
« en: 21 Junio, 2020, 12:57 am »
Otra :
Editado
Si \(  \exists \color{red} x_0 \color{black}  \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}  \) con \( f(x_0) \neq g(x_0)  \) tomamos la función \( h(x) = f(x) - g(x)  \) y por ser continua en \( \color{red} x_0 \color{black}  \) conserva el signo de \( h(\color{red} x_0 \color{black} ) \) en un entorno \( (x_0 - \tau,x_0 + \tau) \) , \( \tau > 0 \) entonces para todo
\(  q \in (x_0 - \tau , x_0 + \tau) \cap \mathbb{Q}  \) tenemos que \( f(q) \neq g(q) \).

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Álgebra / Re: Problema números primos
« en: 17 Junio, 2020, 07:40 pm »
Un detalle: hay que tener en cuenta también que uno de los primos puede ser el \( 2 \), que tiene un resto diferente.

Ostras es verdad, gracias geómetracat.


9
Álgebra / Re: Problema números primos
« en: 17 Junio, 2020, 02:09 am »
No borres el enunciado ,va en contra de las reglas del foro.
Mi respuesta no tiene ningún sentido ahora.

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Álgebra / Re: Problema números primos
« en: 17 Junio, 2020, 01:41 am »
Tienes 20 números primos \( p_i = 4 \cdot m_i + r_i  \) donde \(  i \in \{1,2,3, \cdots , 20 \}  \) y \(  r_i \in \{1,3\}  \).

Tenemos que verificar que hay \( 10 \) primos con el mismo resto, Principio del palomar.


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Debe ser:
Hola a todos y todas.
Realizando ejercicios me encontré con la siguiente pregunta: Sean \( a, b \) racionales positivos, entonces \( a^b \) es un real positivo. Entonces pensé en el número \( (\frac{5}{8})^{\frac{3}{2}} \). ¿ese número es racional?
Saludos

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Cálculo 1 variable / Re: Sustitución \(u=\tan(x/2)\)
« en: 09 Junio, 2020, 11:31 pm »
Usa que \(  \cos(\theta) = 2 \cdot \cos^2(\dfrac{\theta}{2}) - 1  \)

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Estructuras algebraicas / Re: Lema de Euclides generalizado
« en: 07 Junio, 2020, 12:30 am »
\( 6|2\cdot 3 \cdot 5  \) pero \(  6 \nmid 2  \) y \(  6 \nmid 3  \) y \(  6 \nmid 5  \)

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Te pongo esto:

Desigualdad


Lo que está en el spoiler está mal:

Spoiler
Editado
Te pongo lo que he hecho:

Para \( n = 2  \) es cierto:
\( x_1 \cdot x_2 = 1  \) y \(  x_1 + x_2 = 2  \) se deduce que \( x_1 = x_2 = 1  \)

Supongamos cierto para \(  k = n \geq 2  \) y verifiquemos para \( k = n+1  \)

Sea que \( \prod_{i=1}^{n+1} x_i = 1  \) y \( \sum_{i=1}^{n+1} x_i = n+1  \) tenemos que:

\( (\prod_{i=1}^{n-1} x_i) \cdot (x_n \cdot x_{n+1}) = 1 \) y \(  (\sum_{i=1}^{n-1} x_i ) + (x_n+x_{n+1} -1) =n  \).

Entonces \( x_1 = x_2 = \cdots = x_{n-1} = x_n + x_{n+1} - 1 = 1 \)
Queda \(  x_n + x_{n+1} = 2  \).
Estamos en el caso base \(  x_n \cdot x_{n+1} = 1  \) y \(  x_n + x_{n+1} = 2  \).

Editado 2
Un pequeño error \( x_n +x_{n+1} - 1  \) puede ser negativo, pero si un término es menor que uno otro debe ser mayor que uno para que el producto final de uno, podemos suponer que  \( x_n \leq 1 \leq x_{n+1}  \).
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La fórmula te está puesta:
\(  f(x) = m \cdot (x-1000) + 0.3  \)
Donde \(  m = \dfrac{0.004 - 0.3}{33.500} = -\dfrac{37}{4187500}  \)
El dominio son los valores que tienes  \(  [1000,34500]  \) y el codominio los valores que recibes \(  [0.3,0.004]  \)

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Es lo mismo  que te expliqué cambiando el dominio por el codominio, en este caso:
\(  f(x) = m \cdot (x-1000) + 0.3  \)
\(  f(34500) = 0.004 = m \cdot (34500 - 1000) + 0.3  \) y sacas \( m  \).
Donde \( m \) es la proporcionalidad.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Límite de una norma
« en: 26 Mayo, 2020, 02:03 am »
Un pequeño error : (Aunque es una mínima variación)
He probado que si \(  \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = b  \) entonces:
\( \displaystyle \lim_{x \to a} \|f(x)\| = \|b\|  \).

Cuando en este caso también tienes como hipótesis que \( \|f(x)\|^2 \to \|b\|^2  \)
Es una pequeña variación \( |\ \|f(x)\|^2 - \|b\|^2\ | = (\|f(x)\|-\|b\|) \cdot (\|f(x)\| + \|b\|)  \)
Como \(   \|f(x)\|  + \|b\| < K = 1 + 2 \cdot \|b\|  \) tenemos que si:
\( |\ \|f(x)\|^2 - \|b \|^2 \ |  \) se hace pequeño en valor absoluto también lo hace:

\(  |(\|f(x)\|-\|b\|) \cdot (\|f(x)\| + \|b\|)|  \) como \( \|f(x)\| + \|b\|  \) esta acotado:
\( |\|f(x)\|-\|b\| |  \) tiende a cero;
 

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Cálculo de Varias Variables / Re: Límite de una norma
« en: 26 Mayo, 2020, 01:39 am »
Toda la razón del mundo \( \|f(x)\| + \|b\|  \) puede ser cero para infinitos valores cerca de \( a \).

Como \( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = b  \) tenemos que :
Dado \( \epsilon_1 =  1  \) existe un \( \sigma > 0  \) tal que si \( 0 < \|x - a \| < \sigma  \)

Entonces \( \|f(x) - b \| <  1  \) tenemos que:

\( \|f(x)\| = \|f(x) - b + b \| \leq \|f(x) -b \| + \|b \| < 1+ \|b\|  \)

Tenemos entonces que \( \|f(x)\| + \|b\| < 1 + 2 \cdot \|b\| > 0  \)

Haz \(  \|f(x) - b\| < \dfrac{\epsilon}{1+2 \cdot \|b\|}  \) teniendo en cuenta:
\( \|f(x)- b\| \geq |\|f(x)\| - \|b\||  \).

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Esquemas de demostración - Inducción / Re: Inducción
« en: 25 Mayo, 2020, 11:12 pm »
¿Inducción generalizada te refieres inducción fuerte?
Es más sencillo.
Suponemos que para \(  k \geq 4  \) tenemos \(  k! > k^2  \) entonces para \(  k+1  \):
\( (k+1)! = (k+1) \cdot k! > (k+1) \cdot k^2 \geq 5 \cdot k^2  \)
Spoiler
\(  5 \cdot k^2 = k^2 + 2 \cdot k^2  + 2 \cdot k^2 > k^2 + 2 \cdot k + 1 \)
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