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- Otros - / Existencia de serie de Fourier
« en: 25 Junio, 2020, 04:44 am »
Hola!
Esperando se encuentren bien, me gustaría preguntarles acerca de algún libro que me recomienden donde pueda consultar la demostración del llamado Teorema de Fourier (sobre la existencia de la representación en serie de Fourier para una función que cumpla ciertas condiciones). Se los agradecería mucho!   

En mi caso me bastaría con revisar la prueba que sirva para polinomios o funciones reales continuas en un intervalo cerrado (pues luego puedo extenderla a una función periódica y la continuidad me asegura otras condiciones necesarias para la existencia de la serie de Fourier);
sin embargo, supongo que lo más común es enunciar el resultado de forma más general. Mencioné esta parte sólo por si acaso tienen conocimiento de algún texto donde pueda consultar la demostración del resultado que asegure la existencia de la serie de Fourier en este caso particular (pues supongo sería más simple; aunque no será estrictamente el Teorema de Fourier). De cualquier forma me será útil las referencias que me proporcionen   :)

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Álgebra / Demostrar igualdad para la adjunción de campos
« en: 30 Julio, 2018, 04:21 pm »
¡Hola!  Estoy tratando de resolver el ejercicio siguiente:
Sean F, L, M, K y E todos subcampos de algún campo, tales que \( F\subset{L} \subset{M}\subset{K} \) y E extensión Galois finita de F.  Suponga que EL= K demostrar que \( M=L \left(E\cap{M}\right) \).

En mi notación EL es el campo compuesto de E y L, mientras que \( L \left(E\cap{M}\right) \) representa la adjunción de \(  E\cap{M} \) a M.
Spoiler
Ya he probado una inclusión;  pero no logro demostrar que
 \( M\subseteq{}L \left(E\cap{M}\right) \)
El avance que llevo en cuanto esta es:
A consecuencia de que E/F es extensión Galois finita, en particular \( E=F\left(a_1,\cdots ,a_m \right) \) y usando la hipótesis de que K=EL he deducido que K/L es extensión de Galois

Entonces por un lado se cumple que \( L \left(E\cap{M}\right)= 
  L\left ( F\left(a_1,\cdots ,a_m \right)\cap{M}\right ) \)
Mientras que por otra parte  observo que \( LF\left(a_1,\cdots ,a_m \right)=
L\left(a_1,\cdots ,a_m \right)=K\supset{M}
 \)

Así que pensaba que tal vez haya una manera de relacionar las expresiones anteriores mediante alguna igualdad pues es lo que me gustaría para poder concluir lo deseado; pero no he logrado justificarlo (si es que fuera así un camino correcto) ¿Me podrían apoyar con esta parte por favor?
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Topología (general) / Re: Topología cofinita y conjunto derivado
« en: 09 Marzo, 2018, 09:02 pm »
Ya comprendo ¡muchas gracias!

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Topología (general) / Topología cofinita y conjunto derivado
« en: 09 Marzo, 2018, 04:02 am »
¡Hola! ¡Buen día!
Tengo un ejercicio que dice: Sea \( (X, \tau ) \) espacio topológico, pruebe que la topología cofinita es más gruesa que \( \tau \) sí y sólo si \( \forall{x}\in{X}, \{x\}'=\emptyset \).
Spoiler
Si supongo que \( \forall{x}\in{X}, \{x\}'=\emptyset \)
Lo que he notado es que por ser topologías definidas en un mismo conjunto entonces X y el vacío deben pertenecer a ambas topologías, además los complementos de conjuntos que constan de un único elemento pertenecen a la topología cofinita y que el hecho de que el conjunto derivado de un conjunto unipuntual sea vacío implica que ese conjunto unipuntual es cerrado y por ello su complemento es un abierto en \( (X, \tau ) \)
Sin embargo no estoy segura de cómo concluir que la topología cofinita está contenida en \( \tau \) porque ¿Cómo aseguro que todos los elementos de la topología cofinita son de la forma que he mencionado anteriormente y no hay más?...

¿y para la recíproca, podrían darme alguna sugerencia por favor? 
[cerrar]

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¡Hola! ¡Buen día!
Me he quedado estancada en un ejercicio que dice: Se requiere proporcionar una energía de 25 keV a un electrón en una colisión de Compton.  ¿Cuál es la mínima energía del fotón necesaria?

Le he dado muchas vueltas al tratar de resolverlo. Inicialmente escribí la expresión de la conservación de la energía \( E_{fi}=E_{ff}+K_e \) esto es \( \frac{hc}{\lambda_i}=\frac { hc}{\lambda_f}+K_e \)

Por otra parte,  para el efecto Compton tengo la expresión \( \Delta \lambda = \lambda_f - \lambda_i= \frac { h}{mc}(1- \cos \phi) \)

Pensé que para obtener la energía mínima del fotón podría maximizar la longitud de onda inicial, de manera que \( \Delta \lambda = \frac{h}{mc} \) y luego escribir la longitud final en términos de la longitud inicial en la ecuación de la conservación de la energía, reescribirla para resolver una ecuación de segundo grado en la variable \( \lambda_i \) y sustituir ese en la expresión de la energía para un fotón; pero no he logrado llegar a la solución.

¿Qué está mal en mi planteamiento? ... ¿Cuál es la forma correcta proceder?...



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Álgebra / Re: Equivalencia Dominio de Factorización Única
« en: 22 Junio, 2017, 04:56 am »
Hola.

 Siento la tardanza, estos días ando algo corto de tiempo.

No te preocupes Enrique,  al contrario te agradezco por tomarte el tiempo para responderme.

Me parece que tus dudas son más bien conceptuales o de entender qué es lo que se trata de probar, así que trataré de responderte rápidamente y si tienes más dudas, pregunta. Por cierto, parece que estás confundiendo necesidad con suficiencia y viceversa.

 Sobre esto:
En cuanto a la necesidad,  continuo a partir de lo que has desarrollado en el mensaje anterior
uso que
Como los ideales son maximales entonces son ideales primos y por ello cada \( a_i \) es primo; pero en un dominio entero ser elemento primo implica ser elemento irreducible y concluyo. Es correcto? ...

Está bien, pero para probar que se trata de un dominio de factorización única (DFU) todavía hace falta probar que la factorización es única.

 Sobre tu primera duda, suponiendo que \( A \) es un DFU, lo que hay que probar es que cada ideal principal, digamos \( (x) \), es el producto de ideales principales maximales. Para esto, a partir de la descomposición (de la definición de DFU) \( x=ua_{1}\dots a_{k} \) trata de probar que \( (x)=(a_{1})(a_{2})\dots(a_{k}) \) donde cada \( (a_{k}) \) es maximal.

Saludos,

Enrique.

Gracias por las explicaciones! Necesito  tomarme un tiempo más de reflexión porque ando algo confundida aún, creo que es porque no he descansado bien. Tal vez mas adelante me de cuenta de que le he dado vueltas a un asunto que no es tan complicado como me ha sucedido en varias ocasiones; pero sino ya estaré molestando de nuevo con mas preguntas.

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Álgebra / Re: Equivalencia Dominio de Factorización Única
« en: 17 Junio, 2017, 05:20 am »
Muchas gracias Enrique!  Ahora veo cuál es la forma correcta de deducir la expresión que me mencionaba el_manco y a partir de ahí uso que

 Trata de continuar y si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

Sí.  Muchas gracias Enrique!  La recíproca (suficiencia) aún no logro mostrarla. Me podrían orientar por favor?  Tenía que al suponer que A es Dominio de factorización única entonces todo elemento no cero y no unidad se expresa como \( x=a_1\ldots a_k \) donde cada uno de los factores son elementos irreducibles
 
Luego considero el ideal <x>  el cual es ideal principal no trivial de A, tengo que es producto de un número finito de ideales principales;  pero qué me asegura que son maximales?

En cuanto a la necesidad,  continuo a partir de lo que has desarrollado en el mensaje anterior
uso que
Como los ideales son maximales entonces son ideales primos y por ello cada \( a_i \) es primo; pero en un dominio entero ser elemento primo implica ser elemento irreducible y concluyo. Es correcto? ...

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Álgebra / Re: Equivalencia Dominio de Factorización Única
« en: 16 Junio, 2017, 04:33 pm »
Gracias!
Entonces tendría que \( x\in{<x>} \) luego \( x\in{<a_i>}\Rightarrow{x=a_i^{n_i}=a_i^{n_i-1}a_i} \) pero \( a_i^{n_i-1} \) es invertible. De aquí obtendría entonces la expresión que mencionas considerando la unidad como el producto \( u=\displaystyle\prod_{i=1}^{i=k}{}a_i^{n_i-1} \) Como los ideales son maximales entonces son ideales primos y por ello cada \( a_i \) es primo; pero ser elemento primo implica ser elemento irreducible y concluyo. Es correcto? ...

Todavía no sé cómo mostrar la suficiencia, supongo que A es Dominio de factorización única entonces todo elemento no cero y no unidad se expresa como \( x=ua_1\ldots a_k \) con u unidad y los demás factores son elementos irreducibles. Luego considero el ideal <x>  el cual es ideal principal no trivial de A, tengo que es producto de un número finito de ideales principales;  pero qué me asegura que son maximales?

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Álgebra / Equivalencia Dominio de Factorización Única
« en: 15 Junio, 2017, 05:03 am »
Hola! Tengo un ejercicio que no he logrado demostrar. Dice: Sea A un dominio entero.  Pruebe que A es dominio de factorización única si, y sólo si cada ideal principal no trivial de A es el producto de un número finito de ideales principales maximales,  y estos ideales son únicos salvo el orden en el que aparezcan.

Para la suficiencia sé que para probar que A es dominio de factorización única debo tomar cualquier \( x\in{A}-\{0\} \) no unidad y verificar que éste se expresa como un producto finito de elementos irreducibles donde la descomposición es única salvo orden y asociados. Considero I=<x> es ideal principal no trivial de A y por ello usando la hipótesis se escribe como \( I=\displaystyle\prod_{k=1}^{k=n}{I_{k}} \) con cada \( I_{k} \) ideal principal maximal. Por ser principales son generados por un único elemento, digamos \( I_{k}=<a_k> \) luego \( <x>=<a_1>\ldots<a_k> \)

Me podrían apoyar para continuar con el resto de la demostración por favor?

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Evaluar integral
« en: 11 Junio, 2017, 05:16 pm »
Ya comprendo, les agradezco mucho sus aportaciones!

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Evaluar integral
« en: 11 Junio, 2017, 04:40 am »
Es cierto ilarrosa,  me he equivocado de nuevo.  Considerando esa función obtuve que el residuo de f en 1+3i es \( (1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{6i} \) Si llamo C al contorno (digamos que tiene forma de media luna con radio R) entonces por el teorema del residuo sé que \( \displaystyle\int_{C} f (z) dz=2 \pi i(1+3i) \displaystyle\frac{e^{-3+i}}{6i}  \) Ahora quisiera escribir dicha integral sobre C como la suma de dos integrales una que se integra desde -R hasta R y otra que se integra sobre la semicircunferencia de radio R. Mi intención es a ésta última aplicarle el Lema de Jordan (Dada una familia de arcos circulares donde
 \( \gamma_R={|z|=R}  \)   \( Im (z)\geq{a} \) con a real fijo si g(z) es continua en estos arcos circulares y \( \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}{máx|f(z)|=0} \) entonces \( \displaystyle\lim_{R \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{\gamma_R}g(z)e^{iaz}}=0 \) donde a>0) de manera que cuando R tiende a infinito la integral vale cero; pero no me queda tan claro si en verdad podría aplicar ese resultado. Tomando en cuenta que en este caso \( g(z)=\displaystyle\frac{z}{z^2-2z+10} \) y a=1 deberé acotar esta función por una expresión que dependa de R y que tienda a cero cuando R tiende a infinito; pero no estoy segura de cuál expresión me funciona.  Me podrían apoyar para verificar que se cumplen las condiciones del Lema de Jordan por favor? ...

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Gracias por la información! Acabo de observar que no adjunté la imagen!   :banghead:  una disculpa porque estoy en las nubes!  Muchas gracias!

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Evaluar integral
« en: 10 Junio, 2017, 12:39 pm »
....
Tendría \( I=2\pi i Res (f) \) donde \( Res (f)=\displaystyle\lim_{z \to 1+3i}{f(z)} \) pero el denominador se hace cero. Y es ahí donde está mi problema....

Pero eso no es el residuo.

\( Res(f,z_0)=\displaystyle\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z) \)
:banghead: según yo había revisado varias veces para ver si mi procedimiento estaba mal o mis cuentas y no sé por qué razón no me di cuenta de ese error.  Al final si ha sido "una metedura de pata bárbara" de mi parte.  Gracias por hacérmelo notar, trataré de avanzar y espero no equivocarme de nuevo en algo tan básico... Gracias!

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Hola! Tengo un ejercicio donde me piden demostrar que \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\frac{x^{a-1}}{1+x}dx=\displaystyle\frac{\pi}{sin (a \pi)}  \) donde 0 <a<1

Realmente las integrales me están causando muchas dificultades,  estaba consultando varios libros y en uno de ellos encontré un ejercicio donde la función a integrar es de la forma \( x^k g (x) \) y la sugerencia es considerar la integral de contorno \( \displaystyle\int_{C}z^k g(z) dz \) donde el contorno C es como el que muestro en la figura.  Creo que en este caso tendrá sentido considerar el mismo contorno puesto que el integrando de mi caso no tiene polos en z=0 ni en la parte positiva del eje real; pero sinceramente no he podido aterrizar dichas ideas. Comenzando desde la manera de dividir la trayectoria para calcular las correspondientes integrales y sumarlas. Espero me puedan ayudar,  cualquier aportación se los agradeceré.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Evaluar integral
« en: 10 Junio, 2017, 12:14 am »
Buen día!  Necesito evaluar la integral \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{xcos (x)}{x^2-2x+10} \)

Lo que he intentado es lo siguiente:
Primero noto que el integrando es la parte real de la función \( f(z)=\displaystyle\frac{e^{iz}}{z^2-2z+10}  \) de manera que quiero calcular la integral \( I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(z)dz \) para aplicar el teorema del residuo  me fijo en los polos de f situados en el semiplano superior,  el cual es el polo simple 1+3i
Tendría \( I=2\pi i Res (f) \) donde \( Res (f)=\displaystyle\lim_{z \to 1+3i}{f(z)} \) pero el denominador se hace cero. Y es ahí donde está mi problema. Por otra parte pensaba usar el lema de Jordan;  pero no he logrado avanzar mas. Espero puedan ayudarme con este ejercicio.

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Haz \( z = \frac{1}{w} \) y desarrolla en serie de Laurent en \( w = 0 \). Luego cambias otra vez a \( z \).

Gracias por las sugerencias!  Sólo para verificar, a continuación escribo el desarrollo que he hecho tratando de seguir las indicaciones:

\( ln\left({\displaystyle\frac{z-a}{z-b}}\right)]=ln\left({\displaystyle\frac{1-aw}{1-b}}\right)=ln(1-aw)-ln(1-bw)=:f(w)
\Rightarrow{f'(w)=\displaystyle\frac{-a}{1-aw}+\displaystyle\frac{b}{1-bw}}=b\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{(bw)^i}-a\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{(aw)^i}
 \) para \( \left |{bw}\right |<1  \) y \( \left |{aw}\right |<1  \)

Luego,  integrando obtengo que
\( f(w)=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{\displaystyle\frac{(bw)^{i+1}}{i+1}}-\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{\displaystyle\frac{(aw)^{i+1}}{i+1}}=\displaystyle\sum_{i=0}^\infty{\displaystyle\frac{(b^{i+1}- a^{i+1} )w^{i+1}} {i+1}} \) de donde finalmente haciendo un cambio de índice y volviendo a la variable original, resulta que

\( f(z) =\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{b^{n}- a^{n} } {nz^n}}  \) para \( \left |{z}\right |>max (\left |{a}\right |,\left |{b}\right |) \)

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Tienes un signo mal y no hay que restar la z.

Tienes toda la razón, me había equivocado. Gracias por revisar mi respuesta y por las correcciones.

 
Sólo mostrar una forma que me parece más fácil, si conocemos el desarrollo de las series para \( \log(1-z) \) y \( \log(1+z) \).
Aún no conocía el desarrollo en series para dichas funciones;  pero también me ha sido útil.

Les agradezco mucho a ambos por sus claras explicaciones!

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Buen día!  Tengo un ejercicio en el cual me piden encontrar la expansión de la función \( ln\left({\displaystyle\frac{z-a}{z-b}}\right) \) en serie de Laurent en \( z=\infty \).

Disculpen; pero no tengo avance en la solución de éste,  mi primer dificultad es que no comprendo que significa expander en  \( z=\infty \).

Espero que me puedan explicar esa cuestión y orientar sobre cómo debo comenzar.

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Ya comprendo cuál es el procedimiento, en el caso de la serie b) he hecho lo análogo a lo que me propone ilarrosa, de modo que la suma resultó ser \( \displaystyle\frac{1}{2}ln \left({\displaystyle\frac{z+1}{z-1}}\right)-z \)

Muchas gracias por sus aportaciones!  :)

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Hola!  Tengo un ejercicio que dice: Suma las siguientes series de potencias para \( \left |{z}\right |<1 \)
a)\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{z^n}{n}} \)
b)\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{z^{2n+1}}{2n+1}} \)

Únicamente he podido darme cuenta de que la serie a) en efecto es convergente,  de hecho absolutamente convergente en el interior de la circunferencia de radio 1 por el teorema de Cauchy-Hadamard. Para la b) la reescribí como \( z \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(z^2)^n}{2n+1}} \) y usando el mismo teorema compruebo que también converge en esa región.

Ahora,  la parte interesante es hallar la suma. Me podrían orientar sobre cómo debo proceder?

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