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Mensajes - Hasclepio

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1
Hola

No, no es \( x=1 \) si no el valor de \( x \) para el cual \( F=1 \), es decir: el más elevado de x (que no tiene por qué ser uno). Por escribirlo rápido lo puse incorrectamente, he editado el mensaje y resaltado el rojo. Es decir, todas las muestras con \( x=0 \) y el valor de \( x \) tal que \( F=1 \), en ambos me aparecen \( log(0) \), \( log \) como neperiano. Estoy ajustando con valores \( (xi, Fi) \).

Entiendo. Pero la frecuencia acumulada exactamente igual a 1 sólo te aparece necesariamente para el último dato; y ahí si es razonable quitar ese único dato.

Citar
Sí, sé que puedo sumar un valor suficientemente pequeño, pero cuando se trata de un volumen de muestras alrededor de \( 10^5 \) o más, no puedo hacer eso. Por ejemplo, la precisión de la medida podría rondar el orden de magnitud de ese epsilon. Es decir, físicamente no puedo hacerlo.

No acabo de entender muy bien porque no puedes hacerlo. Si el error de los datos es de \( \pm \delta \), pues les sumas o les restas por ejemplo \( \delta/2 \).

Citar
Mi duda es matemática, ¿esas muestras de \( x \) que implican logaritmos de cero, he de eliminarlas si realizo un ajuste por mínimos cuadrados?

Para ser sincero no sabría decirte con toda seguridad como gestionar el asunto. Busca información sobre "weibull distribution fitting". Por ejemplo:

https://stats.stackexchange.com/questions/19866/how-to-fit-a-weibull-distribution-to-input-data-containing-zeroes

https://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-distributions-en.pdf

Saludos.

Por supuesto, puedo quitar datos pero (no sé si me estoy explicando bien) he de saber de antemano que no hay otro camino para proceder. Sabiendo eso me pongo manos a la obra (esta todo programado en R).

Matemáticamente sumar esa cantidad es perfecto, exacto (como lo son las matemáticas). Desde el punto de vista físico hay que tener mucho cuidado porque son muchísimas muestras (aunque den un mismo valor) y ver si afecta o no a otras magnitudes.  También tengo que invertir después matrices de datos  y esos números tan pequeños desde el punto de vista del cálculo numérico meten unos errores muy grandes (cuando están dividiendo, por ejemplo), teniendo que modificar (al menos considerar) si me va a afectar mucho o no.

Muchas gracias por los enlaces y tus respuestas. Saludos

2
Hola

 ¿Que problema hay con \( x=1 \)?.

 Por otro lado para gestionar el valor \( x=0 \) puedes sumar a todos los valores un \( \epsilon \) suficientemente pequeño; por ejemplo menor que la precisión de los datos.

Saludos.

Hola

No, no es \( x=1 \) si no el valor de \( x \) para el cual \( F=1 \), es decir: el más elevado de x (que no tiene por qué ser uno). Por escribirlo rápido lo puse incorrectamente, he editado el mensaje y resaltado el rojo. Es decir, todas las muestras con \( x=0 \) y el valor de \( x \) tal que \( F=1 \), en ambos me aparecen \( log(0) \), \( log \) como neperiano. Estoy ajustando con valores \( (xi, Fi) \).

Sí, sé que puedo sumar un valor suficientemente pequeño, pero cuando se trata de un volumen de muestras alrededor de \( 10^5 \) o más, no puedo hacer eso. Por ejemplo, la precisión de la medida podría rondar el orden de magnitud de ese epsilon. Es decir, físicamente no puedo hacerlo.

Mi duda es matemática, ¿esas muestras de \( x \) que implican logaritmos de cero, he de eliminarlas si realizo un ajuste por mínimos cuadrados?

Muchas gracias

3
Hola

Tengo que hallar la distribución de una serie temporal (un conjunto muy elevado de valores de una variable) que sé que se ajusta a una distribución Weibull. Sabiéndolo parto de la forma de función de probabilidad acumulada:

\( F(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-e^{-\left(\frac{x}{c}\right)^k},\,x\geq 0\\0,\qquad \quad \;\; x<0\end{array}\right. \)

Y tomo logaritmos en ambos miembros buscando una ecuación de una recta:

\( \color{red}log(-log(1-F)\color{black})=k log\left(\frac{x}{c}\right)=k(log(x)-log(c)) \)

Entonces la pregunta es, ¿qué hago con los datos experimentales \( x=0 \) y \( F=1 \), ya que me aparecen valores para los que no están definidos los logaritmos neperianos. Por ejemplo, el primero tiene mucho sentido físico (podría ser viento cero), y el segundo la distribución para  el último valor de la velocidad.

¿Los tengo que desechar?

Un saludo y muchas gracias

Edito porque no escribí bien el mensaje.

4
Hola

Llevo un rato atascado con un libro de Mecánica de Fluidos y no me sale esta demostración, que no me quiero aprender de memoria.

Por ejemplo, sea \( \mathbf{v} \) un campo vectorial en el espacio, que también depende del tiempo. Después, el mismo campo dividido por su norma (que aquí llaman unitario), \( \hat{v}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} \).

En el libro me pone \( \hat{v}\cdot \dfrac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=\dfrac{\partial |\mathbf{v}|}{\partial t} \)

Si a alguien se le ocurre se lo agradecería, muchas gracias.

5
Hola

Estoy cursando esa asignatura y no entiendo lo siguiente: está demostrando la expresión del tensor de esfuerzos, y lo halla. Después, tiene que demostrar que es simétrico y hace lo siguiente: toma momentos para demostrar la simetría. En definitiva, aparece una integral y supone un dato que no sé cómo lo deduce y es lo siguiente; esta es la expresión de los momentos locales de las fuerzas ejercidas por el fluido adyacente sobre un tetraedro de caras paralelas a los planos cartesianos coordenados:

\( \int \epsilon_{ijk} r_j \sigma_{kl} n_l dA \)


\( \sigma_{kl} \) componentes del tensor de esfuerzos, \( n_l  \) las normales de cada cara del tetraedro. Y las r son el brazo del momento.

Ahora aplica el Teorema de la Divergencia, quedando:

\( \int \epsilon_{ijk} \dfrac{\partial r_j \sigma_{kl}}{\partial r_l} dV =\int \epsilon_{ijk} \left(\sigma_{kl}+r_j \dfrac{\partial r_j \sigma_{kl}}{\partial r_l}\right)dV \)

Hasta ahí bien. Ahora, comenta que si el volumen se reduce a cero de modo que la configuración del contorno de volumen se conserve de la misma forma, el primer término del segundo la parte derecha de la igualdad, tiende a cero más rápidamente con \( V^{4/3} \)

 ???

Y no explica el por qué de los 4/3, sólo pone eso sigue. ¿Alguien sabe, por favor, de dónde sale esa idea? Muchas gracias. Es una duda conceptual, no tengo que demostrar nada, etc.

Fuente: https://books.google.es/books?id=aXQgAwAAQBAJ&pg=PA618&dq=batchelor+fluid+dynamics&hl=es&sa=X&ei=A5T1VK6JBsXvUOeVgPAL&ved=0CCAQ6AEwAA#v=onepage&q=batchelor%20fluid%20dynamics&f=false página 11.

6
Hola

Estoy buscando algún software que, conocida una tabla de miles de datos, me diga a qué distribución se ajustan mejor. O al menos diciéndole el tipo (Weibull, etc), me calcule sus parámetros característicos. ¿R lo hace? He estado buscando sobre análisis de datos pero no llego a nada en claro.

Un saludo y muchas gracias.

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Cálculo 1 variable / Re: Ordenes de magnitud y notación O grande
« en: 13 Julio, 2014, 11:13 pm »
Sinceramente no lo sé, nunca había oído eso de "O grande de landau"

Es archiconocido en matemáticas. big O notation http://en.wikipedia.org/wiki/Landau_notation

Citar
In mathematics, big O notation describes the limiting behavior of a function when the argument tends towards a particular value or infinity, usually in terms of simpler functions. It is a member of a larger family of notations that is called Landau notation, Bachmann–Landau notation (after Edmund Landau and Paul Bachmann),[1][2] or asymptotic notation

8
Cálculo 1 variable / Re: Ordenes de magnitud y notación O grande
« en: 13 Julio, 2014, 11:11 am »
Gracias por la respuesta. También suelen decir en ese mismo contexto y usando la O grande de Landau, que tienen el mismo orden de magnitud. Es decir, la potencia de 10 igual en sus magnitudes, ¿qué relación tiene con esa notación? Es lo que no entiendo realmente.

9
Cálculo 1 variable / Órdenes de magnitud y notación O grande
« en: 13 Julio, 2014, 05:14 am »
Hola

Había pensado poner el mensaje en el apartado de Física pero como mi pregunta es sobre el significado matemático, prefiero ponerlo aquí. No comprendo bien qué se quiere decir en muchos libros cuando se usa esta notación. Heurísticamente se suele 'interpretar' como del mismo orden, pero no sé qué motiva ese punto de vista y me gusta entender las matemáticas de forma lógica y no 'ingenierilmente', dada la limitación que acarrea lo segundo.

Entonces, por ejemplo en un libro de Mecánica de Fluidos me aparece:

Citar
The viscous term on the right-hand side of Eq. (4.32) can be estimated as the order \( \displaystyle O\left(\frac{\nu v}{\delta^2}\right) \).

En la que el término viscoso al que se refiere es \( \nu v \), siendo dos magnitudes físicas. ¿Qué quiere decir esa frase? ¿que ambas son proporcionales y que si aumento un poco una la otra hará igual?

10
Hola

Sin querer iniciar un debate matemático sobre los diferenciales (ya hay varios), simplemente quiero plantear este tema. Está claro que dentro de la matemática "clásica" la mayoría de manipulaciones que se hacen no tienen sentido, pero en el marco del análisis no estándar (según país se llama: no convencional) sí.

Me refiero a la forma de  formularlo del matemático Abraham Robinson, en 1960.

Yo no lo he estudiado pero me entran ganas. También tengo algunas preguntas para los entendidos:

¿Por qué no se usa en las carreras de matemática aplicada este enfoque? ¿no sería mejor? Creo que el alumno podría llegar a adquirir una base bastante buena sin ser prácticamente engañado, como ahora. También ¿cuál es el mejor libro para poderlo estudiar para alguien relacionado con la matemática aplicada?

Aunque algunas demostraciones son más fáciles en el análisis no estándar (regla de la cadena etcétera) hay otras a las que le pasa lo contrario.

11
Hola

Tengo una duda muy básica; poseo la siguiente ecuación diferencial \( u''(x)+2u(x)=f(x) \) pero con \( f(x) \) definida a trozos: \( f(x)=\begin{Bmatrix} 0 & \mbox{ si }&0 \leq x \leq  \frac{1}{2}\\1 & \mbox{si}& \frac{1}{2} < x \leq  1\end{matrix} \) y condiciones \( u(0)=4 \) y \( u(1)=2 \) con \( h=\frac{1}{5} \). Me piden plantear el sistema algebraico equivalente mediante diferencias finitas. y lo que no sé es cómo incluir ahí la función a trozos  ??? Usando desarrollos de Taylor (centrados), expreso la derivada segunda en función de \( u(x-h) \), \( u(x)  \)y \( u(x+h) \):

Vamos, el sistema sería \( u_{i-1}+(2h^2-2)u_i+u_{i+1}=h^2f_i \)  pero ¿cómo "meto" aquí la función a trozos? Para \( i=0\Rightarrow u_0=1 \), \( i=5\Rightarrow u_5=2 \) y luego para los valores interiores el "soporte" \( i=1 \), \( i=2 \), \( i=3 \), \( i=4 \) no sé como hacerlo porque (por ejemplo) para \( i=3 \) estaría considerando  \( u_2 \) y \( u_3 \) a la vez y no puedo "separarlas" por intervalos de la \( x \)

*La notación es \( u_i=u(x_i) \) (igual con \( f_i \)) para el soporte (el intervalo expresado en nodos o puntos espaciados el paso) con paso \( h \) tal que \( \left\{0,\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},1\right\} \)

Un saludo y muchas gracias

12
Hola a todos,

Estoy estudiando análisis numérico: elementos finitos, EDP y todas estas cosas, y no me aclaro con lo siguiente: en una Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales de segundo orden, definida en un dominio \( \Omega \) ¿cuántas condiciones de frontera hacen falta para que exista y sea única la solución?

Serían ¿tantas iniciales como orden de derivación respecto del tiempo y de contorno suficientes como para cubrir la frontera?

Un saludo y muchas gracias.

13
Hola

Estoy cursando elementos finitos, tras haber aprobado un año entero de Cálculo, Álgebra, Ecuaciones Diferenciales... y no me entero de casi nada, no sé si es por culpa del enfoque de la asignatura, por la bibliografía o qué  ???.

¿Qué libro, que empiece desde cero en este método de resolución numérica de EDP, recomendáis? Por la red hay varios, pero los que he visto me parecen demasiado complejos para un primer curso. Es para simular estructuras, problemas de calor... fluidos.

Muchas gracias y un saludo

14
Hola

 Pero vamos a ver:

 1) Fijados dos puntos en el espacio tienes un vector.

 2) Ahora fijado un vector y una base ese vector puede ser expresado como combinación lineal de los elementos de la base, y es entonces cuando hablamos de las coordenadas del vector respecto a la base.

 Entonces un vector de posición no es más que el vector que une el punto que donde se encuentra el objeto con el punto que hemos fijado como origen; esto no depende de ninguna base: sólo de los dos puntos que intervienen.

 Al expresarte vuelves a presuponer que al hablar de un vector determinado por dos puntos, se tiene que estar fijando implícitamente en que base está expresado ese vector. ¡No!. Eso sólo se hace si hablamos de las coordenadas del vector y no del vector.

 Es como si digo:

 Etapa 1- De Coruña a Madrid mi vuelo dura una hora.
 Etapa 2- En el aeropuerto de Madrid esperaré 50 minutos por el siguiente vuelo.
 Etapa 3- De Madrid a Mallorca mi vuelo dura 3000 segundos.

 

Sí, si esto lo entiendo. O eso  me parece.

Cita de: El Manco
Y ahora la afirmación:

 - El tiempo total de duración del viaje es la suma  de los tiempos de las Etapas 1,2 y 3.

 ¿Es falsa esa afirmación por el hecho de que esos tiempos estén dados en distintas unidades? No. Simplememente a la hora de hacer las cuentas tendré que pasarlos a la misma unidad.

 Ante todo tengo curiosidad por si intuitivamente (más allá del formalismo) y sin más que hacer un dibujo, ¿no ves lógica la relación que te dan en los tres vectores?.

Saludos.

Claro El Manco, pero si miras la definición que me dan están nombrando (ellos, yo no) a dos referencias, cada una con distintas bases y de cada origen respectivamente "tiran" un vector que llega hasta otro punto. Eso me induce pensar que están usando las coordenadas de esos vectores en esas dos bases, de hecho ponen entre paréntesis el vector dando a entender que está en una u otra referencia y después los suman  ???, esto es lo que no entiendo.

Tú me dices que, muy bien, como si dicen que llueve Coca Cola, que antes de expresarlos en esas referencias son vectores y que la igualdad de esos tres vectores es independiente de las bases que después defina, esto lo entiendo (por supuesto), pero si quiero operar con coordenadas tendrán que estar todos en la misma base. Por esto me estoy liando ¿para qué me dan entonces esas dos referencias (una móvil y otra "fija"). Lo lógico es definirlo como tú haces, sin nombrarlas y después decir: vale, ahora vamos a ver cómo varía el vector OP referido a la base ligada al sólido o a la fija.

Es que me dicen lo siguiente: vectores de posición \( (\mathbf{r},\mathbf{\rho}) \) en las referencias fija \( \mathcal{R}_f \) y móvil \(  \mathcal{R}_m \) respectivamente. Luego ponen esto \( \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+ \mathbf{\rho} \)

Yo lo que interpreto ahí (corrígeme si me equivoco) es que está usando coordenadas y que ha expresado cada vector en sendas bases, y luego las suma. Distinto sería que no me nombrara esas referencias y me dijera: el punto P se expresa como suma de estos dos vectores (y ya los expreso yo en la base que me convenga o al problema). No sé si me explico.

Muchas gracias

15
Por favor, yo esto sigo sin entenderlo  ???

Vamos a ver, cito textual y literalmente de un libro de Mecánica de 2º de ICCP:

Consideremos un sistema de referencia inercial \( \mathcal{R}_f=\{O_0;\mathbf{E}_1,\mathbf{E}_2,\mathbf{E}_3\} \) (fijo) y otro móvil \( \mathcal{R}_m=\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} \) ligado al sólido. El vector posición de un punto material cualquiera del sólido respecto de \( \mathcal{R}_f \) es \(  \mathbf{r} \) y respecto de \( \mathcal{R}_m \) lo denominaremos \( \mathbf{\rho} \). La relación entre los dos vectores posición es: \( \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+ \mathbf{\rho} \)

A ver, yo esto no lo entiendo  ???. Ahí me hablan de vector posición y eso (según yo he estudiado) implica que hay una base y un origen respecto al que se expresa ese vector. Aquí definen dos referencias y dos radiovectores... ¿y los suman? no lo entiendo, pero si están en bases diferentes, una hasta se mueve lo que quiere decir que en cada instante varía (en general).

Según lo que (creo) dice El Manco y atendiendo a la definición conjuntista... simplemente está relacionando dos tres puntos mediante la relación de Chasles, y de ahí surgirán vectores (sin ligarse a ninguna base), pero sigo sin verlo.

Es que no comprendo lo que se hace. También, yéndonos a otro ejemplo, en el espacio (físico) definían un vector fijo a un sólido-rígido (este sólido se mueve), fijan una referencia en el sólido, unida a él, entonces expresaban ese vector en esa referencia, pero es que realmente esto no es cierto, porque al moverse el sólido -en general- en cada instante habrá una tríada distinta de vectores que serán base  ???, de hecho las derivan (que se llega a un tensor antisimétrico que finalmente lo asocian con un producto vectorial llamándolo vector de "rotación" del sólido).

Es decir, por lo que veo consideran dos referencias, una fija, y la otra móvil (porque varían sus vectores de base en cada instante), y empiezan a expresar vectores en estas referencias sin indicarlo y te las tienes que ver y desear para entenderlo.

Si por favor me podéis poner algún ejemplo aunque fuera os lo agradecería.

16
Solo un consejo Hasclepio, que por supuesto eres muy dueño de apreciarlo en lo que consideres y seguirlo si así lo estimas, pero te lo daré. Si no cambias tu mentalidad a la hora de estudiar física vas a sufrir mucho mientras duren tus estudios, puedes estar seguro de ello. Los conceptos matemáticos para los físicos son herramientas que se usan si valen y se tiran si no, debes valorar en grado sumo los conceptos físicos, que son los que interesan, y usar las matemáticas como herramienta, solo como una herramienta.

Salu2

No entiendo qué tiene que ver esto con el hilo, de verdad  ???. Independientemente de si se tienen que usar o no esas herramientas -como las llamas- hay que entenderlas y eso es lo que estoy haciendo. Que la Física se sirva de las matemáticas para llegar a resultados no exime de entender cómo las usan los físicos.

Por lo que a mí concierne pienso seguir parándome en todos y cada uno de los detalles que me parezcan ambiguos. Sé que me podría aprender de memoria esa "fórmula" y ponerme a hacer problemas como un loco, pero no estaría más que memorizando algoritmos o esquemas de resolución de problemas y eso siempre me pareció para tontos.

No me gusta ser presuntuoso y pretendo no serlo pero con toda sinceridad te expreso que no es la primera ni segunda vez que soy de las únicas personas de una clase de más de 80 que entiende y tiene que explicar a compañeros lo que el profesor o el libro de física tiene, todo esto sin ser más inteligente que los demás y como consecuencia de que me gustan las matemáticas. Estas cosas que pregunto, aparentemente "chorradas" para muchos, a mí me aportan mucho.

Temas como Análisis de Fourier o Ecuaciones Diferenciales, sin matemáticas puedes llegar a auténticos disparates que en la vida real podrían costar muy caros tanto en vidas como en dinero.

17
Es decir, si lo  he entendido bien, quieres decir que el espacio ya está caracterizado por puntos de E y que a cada par de puntos se le asocia un vector (consecuencia de esa aplicación).

Entonces, dados dos puntos del espacio (físico, "no matemático") y consecuencia de la aplicación, se les asocia un vector (que no coordenadas de un vector). Luego (y de forma opcional) puedo expresar este vector en la base que me dé la gana (siempre y cuando cumpla los requisitos) pero el vector seguirá siendo el mismo, es decir, es algo absoluto e independiente.

Luego en esa relación, usan esto que me comentas y después ya fijan la referencia como les apetezca ¿no?

Es que en los libros de física hablan de vector ligado a un sistema de referencia y esto me llevó a pensar o deducir que estaba refiriéndose a las coordenadas de ese vector, que luego sumaría. Es que no suelen aclarar estas cosas los libros de física (equiparan componentes y coordenadas continuamente y me arman un cacao mental importante).

Gracias

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Pero a ver, es que lo mismo me estoy liando. Un vector por sí mismo no tiene sentido geométrico  ??? Es la geometría afín la que establece una biyección y aclara todo lo de puntos y vectores, pero antes se ha tenido que  fijar una base y un  origen, es decir una referencia \( \mathcal{R}=\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} \)

Esa suma de vectores evidentemente sí tiene sentido como elementos del mismo espacio vectorial, pero carecería de sentido geométrico (que no se sabría lo que indica). Sin embargo, teniendo en cuenta dos sistemas de referencia, con orígenes diferentes \( \mathcal{R}_f=\{O;\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3\} \) y \( \mathcal{R}_{mov}=\{O';\mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2,\mathbf{e}'_3\} \), hacen que \( \overline{OP},\overline{OO'}\in\mathcal{R}_f \)  y \( \overline{O'P}\in\mathcal{R}_{mov} \) y luego suman vectores de las distintas referencias dándome carácter geométrico, es decir la Relación de Chasles:

\( \overline{OP}= \overline{OO'}+ \overline{O'P} \)

¿Esto se puede hacer? Por aquí viene mi duda, muchas gracias.


19
Hola

Sobre la primera pregunta no puedo aportar más información porque eso es todo lo que ponen, si acaso un dibujo con dos ejes que veo redundante incluir. Simplemente dos sistemas de referencia cartesianos, uno ligado al sólido y otro exterior a él, fijo. Desde ahí hacen esa suma, y no entiendo cómo pueden hacerla si ambos vectores están definidos en referencias distintas: una se mueve y otra no  ??? Evidentemente si están todos esos vectores referidos al sistema fijo acabáramos... pero es que lo veo muy mal explicado. Yo no he escrito que esté mal lo que figura en esos libros, simplemente que no comprendo cómo suman vectores así, por eso os pregunto, si estuviera mal o fuera una errata  miraba otro libro y punto!

Sobre la segunda parte, tienes razón en eso... si es un sólido verían ambas velocidades nulas puesto están "rígidamente" unidas al sistema de referencia y se mueven con él, no obstante esta misma demostración se usa para partículas en donde no hay sólido, por eso lo pregunté.

Muchas gracias

20
Hola

Pongo aquí este hilo porque me consta que el foro tiene excelentes matemáticos que seguro (espero  :)) se habrán preguntado esto alguna vez o me pueden indicar dónde fallo en mi razonamiento.

Contextualizo un poco: para definir la velocidad de los puntos de un sólido rígido, se "demuestra" en mecánica clásica que \( \mathbf{v}_{B}=\mathbf{v}_{A}+\omega\times\overline{AB} \).

La demostración la hacen del siguiente modo: suponen una referencia cartesiana que definen como fija \( R_f=\{O,e_1,e_2,e_3\} \) y otra referencia ligada al sólido \( R_m=\{O_1,e'_1,e'_2,e'_3\} \) rígido que definen como móvil (si el sólido se mueve, evidentemente, está fija al sólido).

Después, un punto perteneciente al sólido definido como P, tiene dos radiovectores: respecto de \( R_1 \) y respecto a \( R_2 \). Bien, por ahora lo veo normal.

Y ahora ya empiezo a perderme, ahora relacionan los dos "triedros", el móvil expresado con \( R_2 \) y el fijo con \( R_1 \) del siguiente modo: \( \overline{OP}= \overline{OO_1}+ \overline{O_1P} \)

La primera duda que tengo es ¿cómo es que suma \( \overline{OO_1} \) con\(  \overline{O_1P} \) si ambos están expresados en referencias diferentes (el primero en \( R_1 \) y el segundo en \( R_2 \))?  ??? No lo entiendo ¿eso se puede hacer? es decir ¿se pueden sumar coordenadas de vectores en diferentes bases así? No entiendo este paso, por favor.

Y por último (consecuencia de lo anterior) se llega a la expresión que relaciona las velocidades del sólido... pero vuelvo a perderme respecto a quién son esas velocidades... respecto a qué triedro de referencia (es que no veo que los libros lo expliquen). ¿Es decir esas velocidades están referidas al triedro fijo?

Un saludo y muchísimas gracias

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