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Mensajes - alucard

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1
Hola

Buenas alucard,
Para el primer intervalo basta calcula la siguiente integral:

\( \displaystyle\int_{1}^{x}\ln(t)dt=(t\ln t-t)\Bigg |^x_1=(x\ln x-x)-(-1)=x\ln x -x + 1 \)

Consulta, porque si es la integral va desde 1 a x, no se incluye a la rama de abajo ??  o sea yo interpreto que la función toma valores en el intervalo \( [1,x] \) , en ese intervalo no está incluido \( x=e \)??

Porqué en el no se particiona la primera rama en
\( [1,e] \cup{(e,4]}\cup{(4,x]} \) ? debe ser algo muy tonto que no lo puedo ver aún

Les agradezco su tiempo que se toman para responderme mis dudas , muchas gracias 

2
Hola

Hola
Hola alucard

a) Tienes que analizar la continuidad de F no de f, la integral indefinida de una función integrable como la f, es siempre continua. Esto se puede demostrar en forma general

Vos decis hacer

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x dx+\displaystyle\int_{e}^{x}-1dx=e+1-x \)

Lo que no me queda muy claro , es que viendo los gráficos del logaritmo y la función constante hay una discontinuidad con salto finito en f cuando \( x=e \) . Esto no afecta en nada a la continuidad de F?


Citar
d) Averigua la derivada en e

\( F'(e)=-1 \) acá la derivada no debería ser 1/e? o sea si veo f
la primera rama su derivada en \( x=e \) es 1/e


Voy hacer un bosquejo de demostración para una función \( f:[a,b]\rightarrow{R} \) acotada tal que \( \exists{A(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt} \ \forall{x}\in{[a,b]} \) se ha de demostrar que \( A(x) \) es continua

La continuidad en todo punto x equivale a \( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{A(x+h)-A(x)}=0 \)

\( A(x+h)-A(x)=\displaystyle\int_{a}^{x+h}f(t)dt-\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt=\displaystyle\int_{x}^{x+h}f(t)dt \)

f es acotada implica \( \exists{M}\in{R^+} \ / \ \left |{f(t)}\right |<M \ \ \forall{t}\in{[a,b]} \)

Esto implica  \( -M<f(t)<M \ \ \forall{t}\in{[a,b]}\Rightarrow{-Mh<\displaystyle\int_{x}^{x+h}f(t) dt<Mh} \)

Por el teorema del sandwich se tiene que \( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{A(x+h)-A(x)}=0 \) en consecuencia es continua, es obvio que en los extremos hay continuidad también

gracias de verdad

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d) la función F se define :

\( F(x)=\begin{cases}{xlnx-x+1}&\text{si}& x\in{[1,e]}\\1+e-x & \text{si}& x\in{(e,4]}\end{cases} \)

no entiendo como armaste las ramas , o sea puedo ver que para la rama de arriba hiciste 

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} ln x dx+\displaystyle\int_{1}^{e} ln x dx
 \)
 verdad?

y para la rama de abajo

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{e} \ln dx+\displaystyle\int_{e}^{x}-1dx=e+1-x \)

no entiendo porque en la segunda rama lo hiciste así  y en la primera porqué hiciste esa partición

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Cálculo de Varias Variables / Re: Cálculo de volumen
« en: 25 Julio, 2021, 02:03 pm »
Gracias, hace diferencia en el resultado la edición que hice ?

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Cálculo de Varias Variables / Cálculo de volumen
« en: 24 Julio, 2021, 02:50 am »
Hola me piden calcular el volumen de las siguiente región

\( x^2+y^2+z\leq{5} \)

delimitado por

\( z=1\quad z=4 \)

Planteo la siguiente integral una vez pasada a coordenadas cilíndricas

\( V=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{1}^{4}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{5-z}}r drdzdt=\dfrac{15}{2}\pi \)

Algo se me escapa porque en la respuesta figura que el volumen es \( V=\dfrac{9}{2}\pi \)

Pero si no me equivoco la integral para ese resultado seria

\( V=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{1}^{2}\displaystyle\int_{1}^{5-r^2}r dzdrdt=\dfrac{9}{2}\pi \)

para mi es la primera integral y no la segunda  , alguna opinión ?

editado

5
Hola
Hola alucard

a) Tienes que analizar la continuidad de F no de f, la integral indefinida de una función integrable como la f, es siempre continua. Esto se puede demostrar en forma general

Vos decis hacer

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x dx+\displaystyle\int_{e}^{x}-1dx=e+1-x \)

Lo que no me queda muy claro , es que viendo los gráficos del logaritmo y la función constante hay una discontinuidad con salto finito en f cuando \( x=e \) . Esto no afecta en nada a la continuidad de F?

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b) F tiene un valor positivo evidentemente en e y tiene un valor negativo en 4 se halla por integración, en consecuencia si tiene por lo menos un cero

si \( F(x)=e+1-x \) al ser continua en el intervalo [1,4] si ademas

\( F(1)\cdot F(4)<0 \to \exists{c}\in (1,4)/F(c)=0 \)

\( F(1)=e\quad F(4)=e-3\to F(1) \cdot F(4)<0 \) por lo tanto
F presenta por lo menos una raíz

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d) Averigua la derivada en e

\( F'(e)=-1 \) acá la derivada no debería ser 1/e? o sea si veo f
la primera rama su derivada en \( x=e \) es 1/e

Citar
e)Al ser continua presenta máximo y mínimo

Claro por el teorema de Weirstrass

Gracias nuevamente por tu tiempo

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genial gracias 

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Gracias por las respuestas brindadas 

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Cálculo 1 variable / Función definida por una integral definida
« en: 23 Julio, 2021, 12:53 am »
Hola tengo el siguiente enunciado 

Para la función

\( f(x)=\begin{cases}{\ln x}&\text{si}& 1\leq{x}\leq{e}\\-1 & \text{si}& e<x\leq{4}\end{cases} \)

Se define la función integral F

\( F[1,4]\to R/ F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} f(z)dz \)

Analice y justifique adecuadamente

a) F es discontinua en \( x=e \)
b) F no posee ceros en el intervalo (1,4)
c) F(3)<0
d) F es derivable en el intervalo  (1,4)
e) F posee máximos y mínimos absolutos en el intervalo [1,4]

intente lo siguiente

a) Debo analizar \( f(x) \) en \( x=e \) ?? si es así f es discontinua por ende F también lo es

b)

\( F(x)=0=\displaystyle\int_{1}^{e}\ln xdx +\displaystyle\int_{e}^{4}-1dx=e-3\neq 0 \)

c)

\( F(3)=\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x dx+\displaystyle\int_{e}^{3}-1dx=e-2>0 \)

d) al no ser f continua  F no es derivable en el (1,4)

e) No se cumple el teorema de Weirstrass por ende no posee extremos absolutos en el intervalo [1,4]

Tengo dudas en la continuidad de F en el [1,4] , y los demás items, están bien justificados  ??

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Hola , entonces las curvas que se deben elegir alcanza con que sean continuas en el punto y no necesariamente estar definidas en todo el dominio de f. A lo que me refiero es que si tomo la curva \( y=\sqrt{x} \) es continua en el 0 , pero solo esta definida para \( x\geq{0} \) y el dominio de f abarca todo \( R^2 \)

A eso enfocaba mas que nada mi duda , si las curvas a tomar también deben estar definidas en todo \( R^2 \)

gracias por tu tiempo 

10
Hola



Si. Y dado que:

\( \dfrac{a^2}{b}=\dfrac{1-b^2}{b}=\dfrac{1}{b}-b \)

Para valores de \( b \) muy próximos a cero, esa suma se aproxima a más o menos infinito.

Por tanto el valor de la derivada direccional no está acotada ni superiormente ni inferiormente.

Saludos.

Entonces al no estar acotada no tiene direccional máxima ni mínima , verdad ?

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Hola tengo un enunciado que indica lo siguiente

Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa

Siendo\(  f: A\subseteq{R^n}\to R \) una función definida en un conjunto abierto , si f es continua entonces es diferenciable 

Estudiar la diferenciabilidad de la función

\( f(x,y)=\begin{cases}{\dfrac{x^5}{x^3-y^3}}&\text{si}& y\neq x\\0 & \text{si}& y=x\end{cases} \)

en el (0,0)

La afirmación seria falsa basta tomar de contraejemplo la función 

\( f(x,y)=\begin{cases}{\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}}&\text{si}& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \text{si}& (x,y)=(0,0)\end{cases} \)

Es continua en el (0,0) sin embargo no es diferenciable , correcto ?

Me genera dudas la función de la cual me piden si analice si es o no diferenciable , y entro en duda con el tipo de curvas que puedo elegir, me refiero si puedo tomar por ejemplo

\( y=ln(x+1)\quad  y=\sqrt{x} \quad y=\sqrt[ 3]{x^5+x^3} \)

o sea tienen que ser continuas y derivables en el punto ? o alcanza con la continuidad?

Si tomo la tercera curva ese limite no existe por lo tanto f no es diferenciable, pero tengo dudas en que si es válida tomar esa curva para probar que no existe L

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Hola

Hola

Ahhhh o sea que también debo tomar en cuenta las ramas de f(x,y) cuando busco las direccionales o parciales

Si; pero no es nada excepcional. Simplemente cuando evalues una función en un punto tienes que ver como está definida la función en ese punto. Si la función está definida a trozos, tendrás que fijarte en que trozo está el punto para usar la expresión adecuada en ese caso.
perfecto

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, por ejemplo tengo un ejercicio muy parecido que me pide la continuidad y si f es derivable en el (0,0)

\( f(x,y)=\begin{cases}{\dfrac{x^2}{y}}&\text{si}&(x,y)\neq (x,0)\\0 & \text{si}& (x,y)=(x,0)\end{cases} \)

en este caso la función no estaría definida cuando x=0 ¿correcto?

No, no es correcto. Esa función está definida en todo punto. ¿Qué tiene que ver que \( x \) sea o no cero?. La función está definida en un cualquier punto \( (x,y) \) de dos formas dependiendo de si \( y=0 \) ó \( y\neq 0 \).
entiendo

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lo que implica que f es derivable en (0,0) y también es derivable para toda dirección

No estoy seguro de a que llamas "derivable en...". Que existan todas las derivadas direccionales NO garantiza que la función se derivable (diferenciable) en el punto. De hecho si la función no es continua (como es el caso) es imposible que la función sea diferenciable en el punto.

Lo que has comprobado es que existen todas las derivadas direccionales, que es distinto.

En la cursada que tuve, al decir derivable se hacia referencia a la existencia de las derivadas parciales , y derivable en toda dirección a la existencia de las direccionales , la existencia de las parciales no implicaba que f sea derivable en toda dirección , y que sea derivable en toda dirección no implicaba que f sea diferenciable
Citar
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o sea

\( f(A,\hat r)=\begin{cases}{\dfrac{a^2}{b}}&\text{si}& b\neq 0\\0 & \text{si}& b=0\end{cases} \)

correcto ?
Si quiero calcular las derivadas direccionales máximas, mínimas y nulas , tengo que trabajar con la primera rama verdad ??

No entiendo del todo la pregunta. Tienes que trabajar con todas las ramas, eligiendo cada una según la dirección en la que trabajes.

Por otra parte dado que no es diferenciable, ten cuidado porque ahora el gradiente no tiene nada que ver con las derivadas direccionales.

Por ejemplo si necesito las derivadas direccionales máximas o mínimas, en el caso que f no sea diferenciable no puedo aplicar el gradiente entonces tengo que encontrarlas a partir de

\( f'(A,\hat r)=\dfrac{a^2}{b} \) siendo \( \hat r=(a,b) \) cuyo módulo es \( a^2+b^2=1 \)

si b=0 entonces no tengo derivadas máximas ni mínimas

si b\neq 0 uso entonces usaría la rama de arriba

Correcto ??

Para las direcciones nulas que seria el mismo análisis ?

muchas gracias por tu tiempo 


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Cálculo de Varias Variables / Derivada direccional máxima
« en: 20 Julio, 2021, 05:10 am »
Hola tengo el siguiente ejercicio

Dada \( f(x,y)=a^2xy^2-x^y-3ay \) halle a para que \( f'(A,\hat r) \) sea

maxíma si \( \hat r=\dfrac{\vec r}{\left\|{\vec r}\right\|} \) con \( \vec r=(2,1) \)

Encontre el gradiente de f \( \nabla f(x,y)=(a^2y^2-2xy,2a^2yx-x^2-3a) \)

luego

\( f'((1,1),\hat r)=\nabla f(1,1)(2,1)\cdot\dfrac{1}{\sqrt 5}=\dfrac{1}{\sqrt 5}(a^2-2,2a^2-3a-5) \)

intente plantear que

\( f'_max (A)=||\nabla f(1,1)|| \) pero no llego a nada  :banghead:

Alguna sugerencia ??

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Hola

Hola perdón que me meta, seria incorrecto tomar 

\( u=x^{(2 / 3)}\quad v=y^{(2 / 3)}\quad w=z^{(2 / 3)} \)

donde el jacobiano quedaria \( \dfrac{2}{3\sqrt[3 ]{xyz}} \)

para los limites de integración es correcto decir que "si limito al primer octante"

\( 8\cdot \displaystyle\int_{0}^{a^{(2 / 3)}}\int_{0}^{a^{(2 / 3)}}\int_{0}^{a^{(2 / 3)}}\dfrac{2}{3\sqrt[3 ]{xyz}} dzdydx \)

o es incorrecto

No he comprobado el Jacobiano, pero:

- Si hace ese cambio la integral te debería de quedar en función de \( u,v,w \).

- Los limites que pones están mal. No me queda claro si los querías poner para \( x,y,z \) ó para \( u,v,w \) pero están mal en cualquier caso. El valor de una variable condiciona el limite de las demás.

Saludos.

cierto, se me paso por alto eso, entonces los limites serian 

\( 0\leq{w}\leq{a^{2/3}-u-v}\quad 0\leq{u}\leq{a^{2/3}-v}\quad 0\leq{v}\leq{a^{2/3}} \)

y la integral \( 8\displaystyle\iiint_V \dfrac{2}{3\sqrt[3 ]{uvw}}dwdudv \)

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Ahhhh o sea que también debo tomar en cuenta las ramas de f(x,y) cuando busco las direccionales o parciales , por ejemplo tengo un ejercicio muy parecido que me pide la continuidad y si f es derivable en el (0,0)

\( f(x,y)=\begin{cases}{\dfrac{x^2}{y}}&\text{si}&(x,y)\neq (x,0)\\0 & \text{si}& (x,y)=(x,0)\end{cases} \)

en este caso la función no estaría definida cuando x=0 ¿correcto?
En la continuidad esta bien así ?

\( \exists{f(0,0)} \) dado que cuando y=0 la función vale 0

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to{(0,0)}}{f(x,y)} \)

Si \( y=0 \) el limite vale 0

Con \( y\neq 0 \) se analiza \( \displaystyle\lim_{(x,y)\to{(0,0)}}{\dfrac{x^2}{y}} \)

si me "acerco" por \( y=x^2 \) entonces \( L=1 \) por lo tanto f no es continua en el (0,0)

Para la derivabilidad lo encare por el lado de las direccionales para no hacer dos veces la cuenta 

\( f'(A,\hat r)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(ha,hb)}{h}}=\dfrac{a^2}{b} \)

Si \( b=0  \)  entonces

\( f'(A,\hat r)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(ha,0)}{h}}=0 \)

porque corresponde con la segunda rama de f, correcto

Si \( b\neq 0 \) entonces

\( f'(A,\hat r)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(ha,hb)}{h}}=\dfrac{a^2}{b} \)

Por lo tanto \( f'_x(0,0)=0\quad f'_y(0,0)=0 \)

lo que implica que f es derivable en (0,0) y también es derivable para toda dirección

o sea

\( f(A,\hat r)=\begin{cases}{\dfrac{a^2}{b}}&\text{si}& b\neq 0\\0 & \text{si}& b=0\end{cases} \)

correcto ?
Si quiero calcular las derivadas direccionales máximas, mínimas y nulas , tengo que trabajar con la primera rama verdad ??

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Muchas gracias por las aclaraciones Luis 

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muchas gracias a los dos por su tiempo

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Si es bastante confuso , pero de la manera que lo planteas tampoco es la respuesta que brinda la guía  :banghead:

Mira a ver si la respuesta que dan es la que hace que \( \nabla f(1,-2)=(0,1) \), otra cosa no se me ocurre.

Tenés razón en la guía la despejaron a en lugar de b quedando

\( a=\dfrac{b-2}{4}\quad b\neq\dfrac{2}{3} \)

pregunto , si en un parcial hacemos lo que vos sugerís estaría bien también , o hay algún criterio en particular por lo que la respuesta este así y no como la planteaste , que la verdad es mas simple que hacer todo lo otro.

Y otra consulta , como aseguro que esos valores hacen la dirección máxima?. Debo probar algo mas o con eso alcanza  ?

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Hola perdón que me meta, seria incorrecto tomar 

\( u=x^{(2 / 3)}\quad v=y^{(2 / 3)}\quad w=z^{(2 / 3)} \)

donde el jacobiano quedaria \( \dfrac{2}{3\sqrt[3 ]{xyz}} \)

para los limites de integración es correcto decir que "si limito al primer octante"

\( 8\cdot \displaystyle\int_{0}^{a^{(2 / 3)}}\int_{0}^{a^{(2 / 3)}}\int_{0}^{a^{(2 / 3)}}\dfrac{2}{3\sqrt[3 ]{xyz}} dzdydx \)

o es incorrecto

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Hola
Hola

Edite el enunciado, ahora si esa es la función por tramos, afecta la conclusión final esa corrección que hice  ???

Así tiene más sentido y cambian las cosas.

La derivada direccional en el punto  \( (0,4)[tex] en la dirección [tex](a,b) \) es:

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{f((0,4)+(a,b))-f(0,4)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{f(a,4+b)}{h} \)

Si \( b=0 \), entonces:

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{f(a,4+0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{f(a,4)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{0}{h}=0 \)

es decir la derivada parcial en respecto de \( x \) existe y vale \( 0 \).

Saludos.

perdona que pregunte algo tan simple , pero no me queda claro , porque ahora si cambia y la derivada parcial en x existe al hacer la corrección del enunciado, y porque antes no, o sea , al efectuar 

\( f(ha,4+hb)=\displaystyle\frac{h^2a^2 \ sen(16-(16+8hb+h^2b^2))}{(4+hb)-4}=\displaystyle\frac{ha^2 \ sen(-h^2b^2-8hb)}{b} \)

Si b=0 no veo aún como ese límite existe , y antes no  :banghead:

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