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Mensajes - Julio_fmat

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Geometría y Topología / Re: Problema de rectas y plano
« en: 19 Octubre, 2020, 12:44 am »
Hola.
Gracias el_manco, me queda claro la primera parte, entonces \( r_2: (x,y, z, w)=(-1,1,0,0)+t(0,0,-1,1) \), donde \( t\in \mathbb{R} \). Y que hago despues? :banghead:
Puedes utilizar el mismo procedimiento que si fuera en \( \mathbb{R}^3 \),

Por ejemplo.

1) Puedes hallar el vector director de la recta genérica que une \(  r_1 \) y \( r_2 \) (operativamente "restando" 2 puntos uno de cada recta) tendrás el vector director en función de 2 parámetros.
2) Utilizamos la condición de ser paralelo al plano, por ello, obtienes 2 vectores directores del plano y junto con el vector de la recta recién calculada, formas una matriz de 3 filas (los 3 vectores) y 4 columnas.
3) Por ser la recta paralela , su vector director es combinación lineal de los vectores del plano, por ello el rango de la matriz debe ser 2, resultando dos determinantes 3x3 iguales a cero, de aquí obtienes el valor de los 2 parámetros y por tanto el vector director de la recta pedida.
4) El resto es fácil.

Saludos.

Gracias robinlambada por la ayuda, pero no entiendo el punto 3)  :banghead:

Tengo las ecuaciones parametricas de \( r_1,r_2 \) y del plano \( \pi. \) Es decir,

\( r_1: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{2}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{-1}\\{0}\end{pmatrix}\lambda, \hspace{0.8mm} \lambda\in \mathbb{K}
 \)

\( r_2: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}{-1}\\{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\\{-1}\end{pmatrix}\lambda, \hspace{0.8mm}\lambda \in \mathbb{K} \)

\( \pi: \begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\{w}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{5}\\{0}\\{5}\\{0}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
{-1}&{1}\\
{1}&{0}\\
{1}&{1}\\
{0}&{1}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \)

Pero sabemos que \( \ell \parallel \pi \), es decir, \( \text{Dir}(\ell)\subseteq \text{Dir}(\pi) \). Luego, \( \ell \) es combinacion lineal de los vectores directores del plano \( \pi \)??

2
Geometría y Topología / Re: Formula de Grassmann
« en: 18 Octubre, 2020, 11:48 pm »
Muchas Gracias el_manco, me ha quedado claro ahora.

Saludos.

3
Geometría y Topología / Formula de Grassmann
« en: 16 Octubre, 2020, 11:10 pm »
Sean \( \Lambda_1: x_1-x_6=x_2-x_5=x_3-x_4=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_3-x_5+x_6=x_4+x_5-2x_6=0 \) en \( \mathbb{P}_{\mathbb{R}}^5 \). Calcular \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2) \) y \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \).

Hola, por la formula de Grassmann tenemos que \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1+\dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2-\dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2) \), de donde se tiene que \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_1=5-3=2 \), \( \dim_{\mathbb{R}}\Lambda_2=5-2=3. \) Luego, \( \Lambda_1\cap \Lambda_2: x_1=x_6, x_2=x_5, x_3=x_4 \), y \( \begin{pmatrix}x_1\\{x_2}\\{x_3}\\{x_4}\\{x_5}\\{x_6}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{0}\\
{0}&{1}\\
{2}&{-1}\\
{2}&{-1}\\
{0}&{1}\\
{1}&{0}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\lambda_1}\\{\lambda_2}\end{pmatrix} \) se tiene el sistema de 2 ecuaciones y 6 variables. Por tanto, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1\cap \Lambda_2)=5-4=1. \) Luego, \( \dim_{\mathbb{R}}(\Lambda_1+\Lambda_2)=2+3-1=4. \) ¿Esta bien?

4
Geometría y Topología / Problema de homografia
« en: 15 Octubre, 2020, 11:26 pm »
En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \), sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos. Decir si existe una homografia \( \omega: \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5\to \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) tal que \( \omega(\Lambda_i)=\Lambda_i' \), para \( i=1,2,3 \), donde \( \Lambda_1': x_0=x_1=x_3-x_4=0 \), \( \Lambda_2': x_3=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3': x_3=x_5=x_4-x_2=x_2-x_0=0 \). Si \( \omega \) existe, escribir sus ecuaciones , mientras que si \( \omega \) no existe, justificar el porque.

5
Teoría de números / Re: Interpolacion
« en: 14 Octubre, 2020, 10:09 pm »
Hola

Hola Luis, te adjunto el apunte con la materia. No se si la materia del profesor esta bien redactada. ¿Me puedes ayudar con la solución?

Ya te he indicado la idea.

Las primeras diferencias son: \( (39-6,108-39,225-108,402-225)=(33,69,117,177) \)

Las segundas diferencias son: \( (69-33,117-69,177-117)=(36,48,60) \)

Las terceras diferencias son: \( (69-33,117-69,177-117)=(12,12) \)

Por tanto hay un polinomio constante (de grado cero) para interpolar las terceras diferencias; uno de grado uno para las segundas; uno de grado dos para las primeras; y uno de grado 4 por los puntos iniciales.

Para hallar \( p(5)  \)continua con las diferencias a la inversa:

\( (12,12,\color{red}12\color{black}) \)
\( (36,48,60,\color{red}60+12\color{black})=(36,48,60,\color{red}72\color{black}) \)
\( (33,69,117,177,\color{red}177+72\color{black})=(33,69,117,177,\color{red}249\color{black}) \)
\( (6,39,108,225,402,\color{red}402+249\color{black})=(6,39,108,225,402,\color{red}651\color{black}) \)

Saludos.

Gracias el_manco, pero podemos hacer un sistema de ecuaciones? Me queda \( P(x)=-8x^3+32x^2+19x+6 \). ¿Esta bien?

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Teoría de números / Sucesion y polinomio
« en: 13 Octubre, 2020, 07:30 pm »
Dado \( m\ge 0 \), sea \( \sigma=(s_m)_{m\ge 0} \), donde \( s_m=\displaystyle\sum_{n=0}^m (n^2+n+1). \) Mostrar que la sucesion \( (s_m)_{m\ge 0} \) es la imagen de un polinomio \( P \) de grado \( 3. \) Encontrar dicho polinomio.

Hola, de que manera planteo este problema?

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Teoría de números / Re: Interpolacion
« en: 12 Octubre, 2020, 01:30 am »
Hola Luis, te adjunto el apunte con la materia. No se si la materia del profesor esta bien redactada. ¿Me puedes ayudar con la solución?

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Teoría de números / Re: Primos de Fermat
« en: 11 Octubre, 2020, 10:16 pm »
Hola

Vemos que se cumple para \( n=1 \). Es decir, se tiene que \( F_1=2^{2^1}+1=4+1=5. \) Supongamos cierto para algún \( n\ge 1, n \in \mathbb{N} \) y mostremos que se cumple para \( k=n+1. \) Entonces,

\( \begin{eqnarray*}
\color{red}\left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n} F_k \right)\cdot F_n\color{black}&=&(F_n-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}+1-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}-1)(2^{2^n}+1)\\
&=&2^{2^{n+1}}-1\\
&=&2^{2^{n+1}}+1-2\\
&=&F_{n+1}-2
\end{eqnarray*}
 \)

Hay una errata al principio sería:

\( \left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n} F_k \right)=\left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} F_k \right)F_n=(F_n-2)F_n \)

Citar
No me queda muy claro la coprimalidad, pero se me ocurre hacer que \( \text{mcd}(F_n,F_m)=1 \), \( \forall m,n \ge 1 \). ¿Como demostrarlo?

Si supones \( m>n \) por lo que has probado tienes que \( F_m-2 \) es múltiplo de \( F_n \). Es decir \( F_m=kF_n+2 \). Por tanto el único posible factor común entre ambos es el \( 2 \). Pero son impares.

Saludos.

Gracias Luis, se me fue al escribirlo. Ahm, esa es la justificación que me faltaba.

Saludos.

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Teoría de números / Interpolacion
« en: 11 Octubre, 2020, 10:12 pm »
Mostrar, sin calcularlo, que existe un polinomio \( P \) de grado \( 3 \) que toma valores dentro del conjunto \( \{6,39,108,225,402\} \) cuando evaluado en los elementos de \( \{0,1,2,3,4\} \). Calcular los coeficientes de \( P \). Calcular \( P(4) \) para averiguar, \( P(5) \), y hacer una representación gráfica.

Hola, no se mucho de la teoría, pero lo siguiente parece ser cierto:

\( \Delta^{(1)}a_n=0\implies b \) es constante

\( \Delta^{(2)}a_n=\Delta(\Delta a_n)=0\implies ax+b=0 \)

\( \Delta^{(3)}a_n=0\implies ax^2+bx+c=0 \)

\( \Delta^{(4)}a_n=0\implies ax^3+bx^2+cx+d=0 \)


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Teoría de números / Re: Primos de Fermat
« en: 11 Octubre, 2020, 09:30 pm »
Vemos que se cumple para \( n=1 \). Es decir, se tiene que \( F_1=2^{2^1}+1=4+1=5. \) Supongamos cierto para algún \( n\ge 1, n \in \mathbb{N} \) y mostremos que se cumple para \( k=n+1. \) Entonces,

\( \begin{eqnarray*}
\left(\displaystyle\prod_{k=0}^{n} F_k \right)\cdot F_n&=&(F_n-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}+1-2)(2^{2^n}+1)\\
&=&(2^{2^{n}}-1)(2^{2^n}+1)\\
&=&2^{2^{n+1}}-1\\
&=&2^{2^{n+1}}+1-2\\
&=&F_{n+1}-2
\end{eqnarray*}
 \)

No me queda muy claro la coprimalidad, pero se me ocurre hacer que \( \text{mcd}(F_n,F_m)=1 \), \( \forall m,n \ge 1 \). ¿Como demostrarlo?

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Teoría de números / Valor absoluto no-arquimediano
« en: 08 Octubre, 2020, 02:20 am »
Muestre que si \( |.|_p: \mathbb{Q}\to \mathbb{Z} \) es un valor absoluto no-arquimediano, entonces \( |x+y|_p\le \max\{|x|_p,|y|_p\} \).

Hola, estaba intentandolo, pero me enredo con el maximo... ¿Porque max en el exponente es max de la potencia entera?

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En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2=0, \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos. Decir si existe una homografía \( \omega: \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5\to \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) tal que \( \omega(\Lambda_i)= \Lambda_i' \) para \( i=1,2,3 \), donde \( \Lambda_1': x_0=x_1=x_3-x_4=0,  \Lambda_2': x_3=x_4=x_5=0 \), y \( \Lambda_3': x_3=x_5=x_4-x_2=x_2-x_0=0. \) Si \( \omega \) existe, escribir sus ecuaciones, mientras que si \( \omega \) no existe, justificar el porqué.

Hola, ¿cómo puedo plantear este problema?

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Geometría y Topología / Ecuaciones parametricas y cartesiana 2
« en: 05 Octubre, 2020, 09:44 pm »
En \( \mathbb{A}_{\mathbb{K}}^4 \) con \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \), considere el plano afin \( \pi \) que contiene a los tres puntos \( P_1=(1,0,-1,0), P_2=(0,1,0,0), P_3=(0,0,1,-2) \) y la recta \( r \) de ecuacion \( r: x_1+x_3=x_2+2x_3=x_4=0 \). Escribir las ecuaciones cartesianas y parametricas del hiperplano \( H \) tal que \( r\subset H \) y \( \pi \parallel H. \)

Hola, pude calcular los puntos:

\( P_2-P_1=(-1,1,1,0) \)

\( P_3-P_1=(-1,0,2,-2) \)

El tercer punto no se como se calcula... para obtener las ecuaciones parametricas. ¿Es relevante el hecho de que \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_7 \)?

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Hola de nuevo, tengo duda con la matriz

\( \begin{bmatrix}{1}&{-1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{-1}&{0}&{0}\end{bmatrix} \)

¿Como se obtiene? Aaa, en este caso solo se ha obtenido las ecuaciones parametricas de \( \Lambda_2\cap \{x_2-x_3=0\} \)? Y como puedo calcular las ecuaciones cartesianas?

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Hola

Hola, muchas gracias Luis Fuentes, pero tengo duda con el item a) \( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3) \), como queda?

\( \Lambda_2 \) está definida por tres ecuaciones independientes en  \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \), por tanto tiene dimensión \( 5-3=2 \).

\( \Lambda_4 \) está definida por cuatro ecuaciones independientes en  \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \), por tanto tiene dimensión \( 5-4=1 \).

\( \Lambda_2\cap \Lambda_4 \) está definida por las ecuaciones de \( \Lambda_2 \) y \( \Lambda_4 \), completando un sistema de seis ecuaciones independientes. Por tanto la intersección tiene dimensión \( -1 \) (no se intersecan proyectivamente; vectorialmente sólo en el cero).

Entonces:

\( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3)=\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2)+\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_3)-\dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2\cap \Lambda_3)=2+1-(-1)=4 \)

Saludos.

P.D. Me estoy refiriendo en todo momento a dimensión proyectiva.

Muchas Gracias Luis, pero no acabo de entender porque \( \dim (\Lambda_2 \cap \Lambda_3)=-1 \). Aaa, y creo que son 7 ecuaciones independientes.

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Hola, muchas gracias Luis Fuentes, pero tengo duda con el item a) \( \dim_{\mathbb{C}}(\Lambda_2+\Lambda_3) \), como queda?

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Teoría de números / Re: Factorizacion
« en: 03 Octubre, 2020, 11:29 pm »
Hola.

No se muy bien que se refiere sin hacer calculos...

Se refiere a que si tienes en cuenta que para \( p \) primo y \( k\not\in\{0,p\}  \) el número \[ \binom{p} {k}  \] es múltiplo de \( p \) puedes desarrollar por el binomio de Newton para obtener que \[ (x+a) ^p=x^p+a^p \] módulo \( p \)

Aplicado a tu caso particular \[ x^5-1=(x-1)^5 \] módulo \( 5 \)

La factorización que tú has dado no está completa porque uno de los factores se puede factorizar más.

Un saludo.

Muchas Gracias martiniano. Entonces estaba mal mi factorizacion? Y la primera factorizacion como quedaria? \( x^4-1 \)

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Teoría de números / Factorizacion
« en: 03 Octubre, 2020, 07:58 pm »
Factorizar completamente el polinomio \( x^4-1 \) modulo \( 4 \). Factorizar completamente el polinomio \( x^5-1 \) modulo \( 5 \) sin hacer cálculos.

Hola, para este caso tenemos que

\( x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x-i)(x+i)(x-1)(x+1) \)

y además,

\( x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \)

No se muy bien que se refiere sin hacer calculos...

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Teoría de números / Divisores
« en: 02 Octubre, 2020, 08:27 pm »
Sea \( n\ge 2 \) un entero y \( d \) un divisor de \( n. \) Mostrar que para cada \( x\in \mathbb{Z} \) se tiene que \( d \) divide a \( x \) si y solo si \( d \) divide al ultimo digito en base \( n \) de \( x \).

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Teoría de números / Expresar en base decimal
« en: 02 Octubre, 2020, 08:21 pm »
Expresar \( (BCD+123)_{16} \) en base decimal.

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