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Mensajes - pepito

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Lógica / Re: Conjunto de testigos
« en: 15 Febrero, 2014, 11:10 am »
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aplicando la capacidad innata que tenemos todos los humanos de reconocer lo universalmente cierto
Para mí hablar así es puro autoengaño.
Aún suponiendo que fuera cierto (que yo no me lo creo, ni hace falta tampoco) que el ser humano tiene una capacidad innata para reconocer lo "universalmente cierto", eso no quiere decir que lo que estás afirmando como cierto en determinado contexto sea "universalmente cierto", y por lo tanto no es claro que esté bien justificado "así" eso que estás afirmando.

Es que lo decía en un sentido mucho más inocente, como vos mismo dijiste cierta vez:

Cita de: argentinator
Tengo el problema de que no soy capaz de tildar a nadie de "loco".
No razona el que no quiere.

Si yo sé que \( p \) implica \( q \) y también sé que no ocurre \( q \), eso me permite asegurar que no ocurre \( p \). Eso es universalmente cierto, y el que no lo reconoce así es porque no quiere.

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Lógica / Re: Conjunto de testigos
« en: 15 Febrero, 2014, 04:35 am »
argentinator:

Al principio del curso se aclara que sólo se va a trabajar con lenguajes con cantidades a lo sumo numerables de símbolos. Se menciona que muchos de los resultados también son ciertos para lenguajes no numerables (dando a entender que existen), pero que eso ya requiere "maquinaria más pesada".

Por supuesto que usar la palabra "numerable" ya implica un montón de cosas. La idea que yo me hice de esto desde el principio es esa que mencionás de los naturales "intuitivos". Es que es imposible arrancar sin un conjunto de naturales, desde el momento en que uno dice que un lenguaje tiene, entre otras cosas, constantes \( c_0,c_1,c_2,\ldots \). Ahora, como uno puede explicitar una biyección entre los naturales y \( \mathbb{Q} \), se puede reemplazar esos subíndices por racionales sin problemas, y también se entiende los que significa \( < \) (para mí). Pero no creo que sea un abuso del formalismo matemático.

Carlos:

cuando uno reflexiona sobre ese ejemplo en concreto llega a entender la curiosa situación de que en un modelo puede haber unos cuantos objetos "distinguidos" de modo que cualquier propiedad que cumplan objetos cualesquiera la cumplen también esos objetos

Es que en una primera lectura eso es esencialmente la definición de conjunto de testigos, más allá de lo que uno vaya a hacer después.

lo cual es bastante insólito

Súper insólito, diría yo. Mi reacción al leer esa definición fue "bueno, pero ¿podré diseñar un lenguaje y ciertas sentencias en él de forma que pueda afirmar que con algunas de las constantes se conforma un conjunto de testigos, o estoy hablando de una situación que nunca voy a poder observar?".

En cuanto al resto, creo entenderte. El ejemplo de los números primos me parece lo más ilustrativo. Es que, te digo la verdad, sin haber estudiado "qué viene primero, si el huevo o la gallina" (o sea, teoría axiomática de conjuntos), por ahora nunca sé (ni me detengo a indagar) cuándo estoy asumiendo que tal o cual teoría es consistente y cuándo estoy simplemente aplicando la capacidad innata que tenemos todos los humanos de reconocer lo universalmente cierto. Tampoco me detengo a indagar si habrá alguna diferencia entre una cosa y la otra. Pero bueno, voy a tener en cuenta todo esto y cuando tenga un entendimiento más amplio te digo qué me parece.

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Lógica / Re: Conjunto de testigos
« en: 14 Febrero, 2014, 04:29 am »
Ya he indicado en algunos hilos que los planteamientos de los libros y cursos de lógica por lo general me producen urticaria.

En defensa del curso puedo decir que nada de lo que puse en el mensaje anterior lo leí allí. Es sólo la idea que se hace alguien que a penas va por la mitad del mismo.

Creo que, por el camino que describes, terminarás encontrando un círculo vicioso que no podrás despachar con los argumentos que das en el mensaje anterior, pero no es algo que ahora deba preocuparte. Si te lo terminas encontrando, ello debería hacerte cuestionar la forma de concebir los resultados que estás estudiando, pero no los argumentos que estás empleando, así que en ningún caso te encontrarás con que "lo que has estudiado no vale".

La verdad, ahora me da mucha intriga saber cuál podría ser ese círculo vicioso. En principio me cuesta encontrar alguna objeción a definir algo que uno entiende que se comporta igual que el razonamiento matemático y estudiarlo, incluso si para ello se aplica esa misma forma de razonamiento. Las conclusiones a las que se llegue serían tan ciertas como cualquier otra dentro de las matemáticas. Bueno, en realidad ahora que lo escribo se me ocurre que tal vez la cosa pase por "¿qué tan ciertas son todas esas otras conclusiones?", o "¿qué es lo que las hace ciertas?". No sé, veremos.

Cuando termine con la parte de lógica de primer orden voy a leer entero tu artículo de la revista. Cierta vez lo había ojeado y me acuerdo que al final hablaba sobre el propósito de la lógica de primer orden (y que no tenía nada que ver con lo que escribo).

Como no me resisto a criticar un poco el ejercicio (es decir, criticar a quien lo haya considerado ilustrativo de algo, no a ti que lo estás siguiendo), me parece que es un ejemplo bastante atípico y, por lo tanto, nada representativo. Se aprovecha de una propiedad de indescirnibilidad de los conjuntos totalmente ordenados densos sin máximo ni mínimo que es muy peculiar y que nada tiene que ver con los sistemas de testigos que se construyen para probar el teorema de completitud. Quiero decir que, en efecto, es un caso en el que se cumple la definición, pero que la explicación de que se cumpla no tiene nada que ver con la explicación de cómo se consigue que se cumpla en otros sistemas deductivos a base de modificarlos un poco. Es como si para ilustrar la fauna de África te muestran un caniche que está ahora en África porque acompaña casualmente a un turista.

Ojo que en el curso se hace una aclaración parecida, aunque no a ese nivel, claro. Dice que este ejemplo definitivamente esta armado a propósito para que dé lo que tiene que dar, pero que no es representativo para el caso general. Me imagino que será para poner un ejemplo concreto de conjunto de testigos, porque si lo que uno hace después es "agregarlos por fuerza bruta", tal vez se termina trabajando con una noción demasiado abstracta sin entender lo que se está haciendo (creo yo).

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Lógica / Re: Conjunto de testigos
« en: 13 Febrero, 2014, 05:32 pm »
Vi tu prueba, Carlos, y creo entender por dónde va la cosa.

Yo he dado por hecho que el contexto del problema es la teoría de modelos formalizada en la teoría de conjuntos, de manera que todo lo dicho (tanto por pepito como por mí) debe entenderse como teoremas de ZFC.

Creería que sí, aunque no sé mucho de eso la verdad. Esto es de una serie de ejercicios que van guiando al lector hacia los teoremas de lógica proposicional, lógica de primer orden, computabilidad e incompletitud. Para definir los conceptos con los que se va a trabajar se apela a las mismas nociones previas de siempre (conjuntos, funciones, etcétera) y uno se encuentra permanentemente demostrando sus propiedades mediante las mismas técnicas de razonamiento con las que trabajaba en cualquier otra rama de la matemática, como si se tratara de una más de ellas, que no viene "antes" del resto (eso es lo que tengo entendido que significa el que sean teoremas de ZFC). A mí no me preocupa demasiado "usar la lógica para demostrar ciertas propiedades de la lógica" porque no veo todo esto como un intento de fundamentar al razonamiento matemático sino como un intento de estudiarlo. Estudiarlo, en principio, para averiguar sus alcances y sus limitaciones. De esa manera, ante un problema no resuelto uno eventualmente podría aplicar todo este estudio para decir algo como "con el mismo tipo de argumentación con el que vos pretenderías resolverlo, yo puedo demostrar que no se puede resolver", y entonces ya quedaría descartada la posibilidad de resolverlo mediante ese tipo de argumentación, a no ser que ese tipo de argumentación conduzca a contradicciones (como la que se presentaría acá, el que el problema en cuestión pueda y no pueda ser resuelto).

No sé, esa es la idea que me hago por ahora. Igual tengo recién al final de la guía la parte de incompletitud pero a una página de donde estoy ahora el teorema de completitud para lógica de primer orden, así que tendría que ver bien qué significan y en qué contexto se aplica cada uno de ellos.

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Lógica / Re: Conjunto de testigos
« en: 12 Febrero, 2014, 03:10 am »
Bueno, me parece que lo logré, sólo que las deducciones formales las pensé pero no las escribí, es que si no esto se hace interminable. De paso, lo que sugería en el mensaje original no sirve para nada.

Lema 1: Si \( \alpha \) es \( \tau_1\vee\ldots\vee\tau_h \) para ciertas fórmulas atómicas \( \tau_1\ldots\tau_h \), entonces para cualquier variable \( x \) existe una fórmula \( \beta \) sin cuantificadores tal que \( \Sigma\vdash\forall x\alpha\leftrightarrow\beta \). Es más, en \( \beta \) sólo ocurren las variables que ocurren en \( \alpha \) y que no son \( x \).

Idea de la demostración
Si \( x \) no ocurre en \( \alpha \) basta tomar \( \beta \) igual a \( \alpha \). Si \( x \) no ocurre en \( \tau_1,\ldots,\tau_a \) y sí en \( \tau_{a+1},\ldots,\tau_h \) entonces \( \vdash\forall x(\tau_1\vee\ldots\vee\tau_a\vee\tau_{a+1}\vee\ldots\vee\tau_h)\leftrightarrow\tau_1\vee\ldots\vee\tau_a\vee\forall x(\tau_{a+1}\vee\ldots\vee\tau_h) \). Por lo tanto, puedo suponer que \( x \) ocurre en todas las fórmulas atómicas. Si entre las fórmulas atómicas tenés \( x=x \) basta tomar \( \beta \) igual a \( c_0=c_0 \). Y si entre las fórmulas atómicas tenés \( x<x \) y hay alguna fórmula atómica que no es \( x<x \), entonces es lo mismo que si todas las \( x<x \) no estuvieran (acá uso la sentencia 2). Y si todas son \( x<x \) basta tomar \( \beta \) igual a \( \lnot c_0=c_0 \). Por lo tanto, también puedo suponer que en cada una de las fórmulas atómicas ocurre una y sólo una \( x \).

Las acomodo así: \( \vdash\alpha\leftrightarrow(x<b_1\vee\ldots\vee x<b_{j'})\vee(x=c_1\vee\ldots\vee\x=c_{k'})\vee(d_1<x\vee\ldots\vee d_{l'}<x) \), donde \( b_1,\ldots,b_{j'},c_1,\ldots,c_{k'},d_1,\ldots,d_{l'} \) son variables que no son \( x \) o bien constantes. Si el paréntesis de la derecha está vacío, por la sentencia 6 sé que puedo tomar \( \beta \) igual a \( \lnot c_0=c_0 \). Y si el de la izquierda está vacío, también, por la sentencia 7. Si ninguno de los dos está vacío, me permito el abuso de escribir

\( \vdash\alpha\leftrightarrow(x\le a_1\vee\ldots\vee x\le a_i)\vee(x<b_1\vee\ldots\vee x<b_j)\vee(x=c_1\vee\ldots\vee\x=c_k)\vee(x>d_1\vee\ldots\vee x>d_l)\vee(x\ge e_1\vee\ldots\vee x\ge e_m) \)

sólo por claridad, porque igual es muy fácil ordenarlos de esta manera usando sólo los símbolos de este lenguaje. Asumo que si un término que no es \( x \) ocurre en el tercer paréntesis, entonces no ocurre en el segundo ni en el cuarto (esto es importante). Observar que no hay una única manera de conseguir esto, pero no importa, con cualquiera funciona. Entonces puedo tomar \( \beta \) igual a

\( \left(\displaystyle\bigvee_{\begin{matrix}1\le s\le l \\ 1\le w\le j\end{matrix}}d_s<b_w\right)\vee\left(\displaystyle\bigvee_{\begin{matrix}1\le s\le l \\ 1\le w\le i\end{matrix}}d_s\le a_w\right)\vee\left(\displaystyle\bigvee_{\begin{matrix}1\le s\le m \\ 1\le w\le j\end{matrix}}e_s\le b_w\right)\vee\left(\displaystyle\bigvee_{\begin{matrix}1\le s\le m \\ 1\le w\le i\end{matrix}}e_s\le a_w\right) \)

Lo más fácil es pensarlo como \( \Sigma\vdash\beta\rightarrow\forall x\alpha \) y \( \Sigma\vdash\lnot\beta\rightarrow\lnot\forall x\alpha \). Acá se usan las sentencias 2, 3, 4 y 5.
[cerrar]

Observación:

Acá se puede asumir que toda fórmula \( \varphi \) sin cuantificadores está compuesta únicamente por fórmulas atómicas, conectores \( \vee \) y \( \wedge \) y paréntesis (sin \( \lnot \) ni \( \rightarrow \)). Es decir, si \( \varphi \) es una fórmula sin cuantificadores entonces existe una fórmula \( \tilde{\varphi} \) compuesta únicamente por fórmulas atómicas, conectores \( \vee \) y \( \wedge \) y paréntesis tal que \( \Sigma\vdash\varphi\leftrightarrow\tilde{\varphi} \). Si \( \varphi \) es atómica, no hay nada que probar. Si \( \varphi \) es \( \lnot\alpha \) para cierta fórmula atómica \( \alpha \), la sentencia 3 permite afirmar esto. Si \( \varphi \) es \( \lnot\alpha \) para cierta fórmula \( \alpha \) que no es atómica, se asume por hipótesis inductiva que esto es cierto para \( \alpha \) y se aplican las propiedades distributivas de \( \lnot \) respecto a \( \vee \) y \( \wedge \). Y si \( \varphi \) es \( \alpha\rightarrow\beta \), entonces \( \varphi \) es \( (\lnot\alpha)\vee\beta \), y entonces se obtiene el resultado asumiendo por hipótesis inductiva que es cierto para \( \lnot\alpha \) y \( \beta \).

Es más, usando inducción y las propiedades distributivas de \( \vee \) y \( \wedge \) es muy fácil ver que para esa \( \tilde{\varphi} \) se tiene que \( \vdash\tilde{\varphi}\leftrightarrow(\tau_1^1\vee\ldots\vee\tau_{h_1}^1)\wedge\ldots\wedge(\tau_1^r\vee\ldots\vee\tau_{h_r}^r) \) para ciertas fórmulas atómicas \( \tau_1^1,\ldots,\tau_{h_1}^1,\ldots,\tau_1^r,\ldots\tau_{h_r}^r \). Como además

\( \vdash\forall x((\tau_1^1\vee\ldots\vee\tau_{h_1}^1)\wedge\ldots\wedge(\tau_1^r\vee\ldots\vee\tau_{h_r}^r))\leftrightarrow\forall x(\tau_1^1\vee\ldots\vee\tau_{h_1}^1)\wedge\ldots\wedge\forall x(\tau_1^r\vee\ldots\vee\tau_{h_r}^r) \)

el lema 1 se puede generalizar a:

Lema 2: Si \( \alpha \) es una fórmula sin cuantificadores, entonces para cualquier variable \( x \) existe una fórmula \( \beta \) sin cuantificadores tal que \( \Sigma\vdash\forall x\alpha\leftrightarrow\beta \). Es más, en \( \beta \) sólo ocurren las variables que ocurren en \( \alpha \) y que no son \( x \).

Y de ahí, por inducción se prueba muy fácilmente lo que resuelve todo este lío:

Proposición: Si \( \alpha \) es una fórmula cualquiera en este lenguaje entonces existe una fórmula \( \beta \) sin cuantificadores tal que \( \Sigma\vdash\alpha\leftrightarrow\beta \). Es más, en \( \beta \) sólo ocurren las variables que ocurren libres en \( \alpha \).

Bueno, con ese resultado en mano y usando la observación, las posibilidades para una fórmula \( \alpha \) en la que no ocurren variables libres salvo eventualmente \( x \) son muy limitadas (esencialmente). Estudiando los pocos casos posibles y aplicando las sentencias de \( \Sigma \) ya se puede probar que \( C \) es un conjunto de testigos para \( \Sigma \) en este lenguaje.

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Lógica / Conjunto de testigos
« en: 06 Febrero, 2014, 09:54 pm »
Hola, ¿cómo andan? Volví después de una larga ausencia con una duda que me aqueja. Me dicen lo siguiente:

Si \( \Sigma \) es un conjunto de sentencias en un lenguaje \( \mathcal{L} \) y \( C \) es un conjunto formado por algunas de las constantes de \( \mathcal{L} \), entonces \( C \) es un conjunto de testigos para \( \Sigma \) en \( \mathcal{L} \) si para toda fórmula \( \alpha \) en la que ninguna variable ocurre libre salvo eventualmente \( x \), hay alguna constante \( c\in C \) para la cual \( \Sigma\vdash\exists x\alpha\to\alpha_c^x \)

Me dan como ejemplo lo siguiente: \( \mathcal{L} \) es un lenguaje con un único relator \( < \), ningún funtor, y una constante \( c_q \) para cada \( q\in\mathbb{Q} \). \( \Sigma \) incluye las siguientes sentencias:

1) \( c_q<c_p \) para todos \( q,p\in\mathbb{Q} \) tales que \( q<p \)
2) \( \forall x(\lnot x<x) \)
3) \( \forall x\forall y(x<y\lor x=y\lor y<x) \)
4) \( \forall x\forall y\forall z(x<y\to(y<z\to x<z)) \)
5) \( \forall x\forall y(x<y\to\exists z(x<z\land z<y)) \)
6) \( \forall x\exists y(x<y) \)
7) \( \forall x\exists y(y<x) \)

Me dicen que entonces \( C=\{c_q:q\in\mathbb{Q}\} \) es un conjunto de testigos para \( \Sigma \) en \( \mathcal{L} \), y no tengo idea de cómo terminar de probarlo. Lo que pude probar hasta ahora es que si uno elimina cualquier sentencia de \( \Sigma \), esto deja de ser cierto, o sea que en la prueba va a haber que usarlas todas. Con lo que hice hasta ahora, para terminar me bastaría probar que para toda fórmula \( \alpha \) en la que ninguna variable ocurre libre salvo eventualmente \( x \) se tiene

\( \Sigma\cup\{\alpha_{c_q}^x:q\in\mathbb{Q}\}\vdash\alpha \)

¿Cómo se podría probar esto último? O si no, ¿cómo se podría probar por otro camino que \( C \) es un conjunto de testigos para \( \Sigma \) en \( \mathcal{L} \)?

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Motivación para la definición de longitud de una curva en el plano

Introducción

Para inventar una definición matemática que modele algo que uno cree ya conocer se empieza asumiendo determinadas propiedades que uno quisiera que cumpla aquello que se está definiendo y se analizan las consecuencias que traerían en caso de ser ciertas. Un ejemplo sería la definición de lo que se entiende por área encerrada bajo la gráfica de una función. Para funciones escalonadas es algo que se puede hacer sin problemas, simplemente se la define como la suma de las áreas de los rectángulos que conforman la región encerrada bajo la gráfica de la función en cuestión. Para generalizar esto a otras funciones (según Riemann) se asume que:

(*) Si una función toma valores mayores o iguales que otra en todo el intervalo en el que ambas están definidas entonces el área encerrada bajo la gráfica de la primera es mayor o igual al de la segunda.

Sea lo que sea que uno entienda por área, en tanto se asuma que cumple (*), resulta que el área encerrada bajo la gráfica de una función es mayor o igual al supremo de las sumas inferiores y menor o igual al ínfimo de las superiores, teniendo en cuenta que toda suma inferior se corresponde con el área encerrada abajo de la gráfica de una función auxiliar que es escalonada y menor o igual a la función original en todo el intervalo de definición, y algo análogo ocurre con toda suma superior. Entonces uno decide restringirse a estudiar las funciones para las cuales el supremo y el ínfimo mencionados coinciden y define el área encerrada bajo su gráfica como el número al que equivalen estas dos cantidades. Por supuesto que una vez hecho esto falta probar, entre otras tantas cosas, que el área entendida de esa manera cumple (*). Si no resultara así se estaría trabajando con una definición que no modela la noción de área de la forma que uno había declarado desde el principio que quería. Todo el estudio previo a la definición no constituye más que una motivación para la misma, pero el estudiante honesto lo hace, y no toma las definiciones cual robot, diciendo "ah, yo no sé lo que es un área, sólo sé lo que es una suma inferior, una suma superior, un ínfimo y un supremo, y trabajo tranquilo con eso". A pesar de que en todos los libros se demuestre que la integral de Riemann cumple (*) a partir de la definición, lo cierto es que no se llegó a esa definición por otro camino más que asumiendo a priori que lo cumplía (por supuesto que esto no es un error de los libros, es sólo algo que se da por sobreentendido).

Ese es un caso sencillo comparado con el que se trata en este artículo. Lo que me propongo es sugerir una lista de propiedades razonables a asumir sobre la longitud de las curvas, análogas a (*), para demostrar que suponiéndolas verdaderas se llega a que la longitud de una curva en el plano es el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas en ella. Mi objetivo es partir de propiedades más razonables que "si dos curvas se parecen mucho, sus longitudes también".

Teorema: Sea \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) una función derivable con derivada estrictamente creciente. Dada una partición \( P=\{x_0,\ldots,x_n\} \) de \( [a,b] \), para cada \( 0\le i\le n \) sea \( T_i \) la recta tangente al gráfico de \( f \) en \( (x_i,f(x_i)) \). Para cada \( 1\le i\le n \), \( T_i \) se corta con \( T_{i-1} \) en un único punto \( P_i \). Sean, para cada \( 1\le i\le n \),  \( L_i \) el segmento que une \( (x_{i-1},f(x_{i-1})) \) con \( P_i \), \( R_i \) el segmento que une \( P_i \) con \( (x_i,f(x_i)) \) y \( D_i \) el segmento que une \( (x_{i-1},f(x_{i-1})) \) con \( (x_i,f(x_i)) \). Sean \( l_i \), \( r_i \) y \( d_i \) sus respectivas longitudes. Entonces para todo \( \epsilon>0 \) existe una partición \( P=\{x_0,\ldots,x_n\} \) de \( [a,b] \) para la cual \( \sum_{i=1}^n(l_i+r_i)-\sum_{i=1}^nd_i<\epsilon \).

Demostración:

Como \( f' \) es creciente y no puede tener discontinuidades esenciales (por ser una derivada), entonces es continua.

Primero voy a probar que bajo estas hipótesis el conjunto \( \{\sum_{i=1}^nd_i: P=\{x_0,\ldots,x_n\}\textsf{ partición de [a,b]}\} \) está acotado superiormente (cosa que voy a usar al final). Como \( f' \) es continua y su dominio es compacto, entonces es acotada. Por lo tanto, el ángulo de la recta tangente al gráfico de \( f \) en cada punto no toma valores arbitrariamente cercanos a \( -\frac{\pi}{2} \) ni a \( \frac{\pi}{2} \), y entonces su coseno no toma valores arbitrariamente cercanos al 0. Dada una partición \( P=\{x_0,\ldots,x_n\} \) de \( [a,b] \) cualquiera, por el teorema del valor medio sé que, para cada \( 1\le i\le n \), existe un \( \tau_i\in(x_{i-1},x_i) \) tal que el ángulo que forma la recta tangente al gráfico de \( f \) en el punto \( (\tau_i,f(\tau_i)) \) con la horizontal, al que llamo \( \alpha(\tau_i) \), es igual al ángulo de inclinación del segmento \( D_i \). Se tiene

\( \cos(\alpha(\tau_i))=\dfrac{x_i-x_{i-1}}{d_i} \) o sea que \( d_i=\dfrac{x_i-x_{i-1}}{\cos(\alpha(\tau_i))} \)

y por lo tanto

\( \displaystyle\sum_{i=1}^nd_i=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i-x_{i-1}}{\cos(\alpha(\tau_i))}\le M'\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})=M' (b-a)=M \),

donde \( M' \) es una cota superior para \( \frac{1}{\cos(\alpha(x))},\;\;x\in[a,b] \) y \( M=M'(b-a) \).

Ahora sí. Como \( f' \) es continua y su dominio es compacto, entonces es uniformemente continua. Por lo tanto, el ángulo de la recta tangente al gráfico de \( f \) en cada punto es una función uniformemente continua, a la que llamo \( \alpha \). Dado \( \epsilon '>0 \), sea \( \delta>0 \) tal que si \( |x-y|<\delta \) entonces \( |\alpha(x)-\alpha(y)|<\epsilon ' \). Tomo una partición \( P=\{x_0,\ldots,x_n\} \) de \( [a,b] \) para la cual \( \max_{1\le i\le n}\{x_i-x_{i-1}\}<\delta \). Para cada \( 1\le i\le n \) se tiene la siguiente situación, donde \( \alpha_{i-1}=\alpha(x_{i-1}) \) y \( \alpha_i=\alpha(x_i)=\alpha_{i-1}+\epsilon_i \), con \( 0<\epsilon_i<\epsilon ' \).



El ángulo rojo es \( \pi-\alpha-\epsilon_i \), o sea que el azul es \( \epsilon_i \), y por lo tanto, el verde (el ángulo entre los segmentos \( L_i \) y \( R_i \)) es \( \pi-\epsilon_i \).

Por el teorema del coseno, es

\( d_i^2=l_i^2+r_i^2-2l_ir_i\cos(\pi-\epsilon_i))\qquad\iff \)

\( d_i^2=(l_i+r_i)^2-2l_ir_i(1+\cos(\pi-\epsilon_i))\qquad\iff \)

\( (l_i+r_i)^2-d_i^2=2l_ir_i(1+\cos(\pi-\epsilon_i))\qquad\iff \)

\( (l_i+r_i-d_i)(l_i+r_i+d_i)=2l_ir_i(1+\cos(\pi-\epsilon_i))\qquad\iff \)

\( (l_i+r_i-d_i)=\dfrac{2l_ir_i}{l_i+r_i+d_i}(1+\cos(\pi-\epsilon_i)) \)

Ahora bien, por la desigualdad triangular sé que \( d_i<l_i+r_i \), y además, está claro que para \( \epsilon ' \) suficientemente chico tanto \( l_i \) como \( r_i \) son menores que \( d_i \), o sea que

\( (l_i+r_i-d_i)=\dfrac{2l_ir_i}{l_i+r_i+d_i}(1+\cos(\pi-\epsilon_i))<\dfrac{2l_ir_i}{2d_i}(1+\cos(\pi-\epsilon_i))< \)

\( \dfrac{2d_i^2}{2d_i}(1+\cos(\pi-\epsilon_i))=d_i(1+\cos(\pi-\epsilon_i)) \)

Y finalmente,

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n(l_i+r_i)-\displaystyle\sum_{i=1}^nd_i=\displaystyle\sum_{i=1}^n(l_i+r_i-d_i)<\displaystyle\sum_{i=1}^nd_i(1+\cos(\pi-\epsilon_i))< \)

\( (1+\cos(\pi-\epsilon '))\displaystyle\sum_{i=1}^nd_i\le(1+\cos(\pi-\epsilon '))M \)

cosa que puede hacerse tan chica como se quiera tomando \( \epsilon ' \) suficientemente chico.

¿Para qué sirve esto?

La longitud de un segmento del plano puede definirse sin problemas mediante el teorema de Pitágoras. Para definir la longitud de una curva se asume que, sea lo que sea que uno entienda por ello, debe cumplirse que

(1) Si se divide una curva en una cantidad finita de curvas disjuntas, la longitud de la curva original es igual a la suma de las longitudes de las curvas en las que se la dividió.

(2) Cualquier curva que una dos puntos debe tener una longitud mayor o igual a la del segmento que los une.

Cualquier definición que contradiga estos hechos estaría midiendo una magnitud que no se condice con lo que uno espera que sea la longitud de (lo que uno espera que sea) una curva. Uno busca, si es que existe, alguna definición de longitud de curva que esté de acuerdo con estos dos hechos.

Asumir (1) y (2) lleva a que el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas en una curva tenga que ser menor o igual a la longitud de dicha curva, sea lo que sea que uno entienda por longitud de la curva. A partir de ahí una posibilidad (la que se presenta en todos los libros que consulté) sería decir "no tengo más herramientas para trabajar sobre esto, así que me resigno a aceptar ese supremo como definición de longitud de curva", lo que está asumiendo que

(3) Mediante poligonales inscritas en una curva dada se puede conseguir longitudes arbitrariamente cercanas a lo que entiendo por longitud de la curva en cuestión.

La pregunta sería qué es lo que nos motiva a asumir (3). En vista de todas esas pseudo-paradojas que existen sobre la longitud de curvas, hay que ser bastante cuidadoso y no perder de vista ese principio que dice que en cálculo ninguna cantidad, por más pequeña que sea, puede ser despreciada. Y bueno, lo que pasa es que uno puede asumir

(3') Si \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) es una función convexa cuyo gráfico \( \gamma\subseteq\mathbb{R}^2 \) admite recta tangente no vertical en sus extremos, sean \( L_1 \) y \( L_2 \) las rectas tangentes a \( \gamma \) en los extremos. Estas rectas se cortan porque \( f \) es convexa (en un único punto si \( \gamma \) no es una recta). Sea \( P \) el punto de corte de \( L_1 \) y \( L_2 \) y sean \( S_1 \) el segmento que une \( (a,f(a)) \) con \( P \) y \( S_2 \) el segmento que une \( P \) con \( (b,f(b)) \). Entonces la longitud de \( \gamma \) debe ser menor o igual a la de \( S_1 \) sumada a la de \( S_2 \).

En esta noción se apoyó Arquímedes para acotar superiormente la longitud de una circunferencia (al menos esa es mi interpretación de lo que hizo). Si uno lo piensa lo suficiente, asumir (3') es tan razonable como asumir (2). Esto es decir "así como el segmento que une a \( (a,f(a)) \) con \( (b,f(b)) \) corta camino con respecto a la curva, bajo estas hipótesis la curva corta camino con respecto a \( S_1\cup S_2 \)". Son nociones previas que uno ya sabe que la longitud de una curva debería satisfacer, sea lo que sea que uno entienda por longitud de una curva.

Asumiendo (1), (2) y (3') en vez de (1), (2) y (3), como consecuencia del teorema se tiene (3) para las curvas que cumplen sus hipótesis (y por lo tanto también para, entre otras, las curvas que pueden dividirse en una cantidad finita de curvas que cumplen sus hipótesis). Entonces uno puede definir la longitud de una curva como el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas en ella con la tranquilidad de que, para las curvas "razonables" (entre ellas, las que podrían presentarse en el mundo material), lo que se está calculando es efectivamnte lo que uno entiende por longitud de una cuerda física.

En los libros que pude consultar se omite este teorema y todo esto se trata de una forma más "vaga". Por ejemplo Rudin lo expone así:

Cita de: Principios de Análisis Matemático, capítulo 6
[...]Conforme la partición se hace más fina, este polígono se aproxima al rango de \( \gamma \) cada vez más. Esto hace razonable definir la longitud de \( \gamma \) como [el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas en ella].

Es sabido por todos que no cualquier sucesión de poligonales que "se parezcan cada vez más" a una curva dada va a tener longitudes que sean siquiera acotadas. Para poder afirmar que las poligonales inscritas en una curva se "aproximan a ella" de la forma que uno necesita, a diferencia de otras poligonales cualesquiera que podrían aproximarse a la curva de otras formas, se está aplicando implícitamente una noción de tangencia que no queda para nada clara.

Y esto no es cosa menor, porque por ejemplo en física el trabajo es una integral curvilinea. Y sin haber probado este teorema, el que los cálculos que hacen los físicos den bien sería una coincidencia.Yo lo hice para estudiar integrales complejas. En ese contexto está claro que uno podría definir lo que quiera y contentarse con que, si la curva es un intervalo de \( \mathbb{R} \), se recupera la integral real. Pero personalmente no le encuentro demasiado sentido a usar una palabra que ya conozco y para la cual ya tengo un significado adjudicado, para referirme a una noción abstracta sin tener un argumento sólido que me garantice que lo que estoy haciendo es verdaderamente integrar los valores complejos que toma la función sobre la curva.

¿Qué faltaría?

Buscar una forma de acotar superiormente la longitud de una curva en 3 dimensiones, por ejemplo para aquellos que quieren calcular el trabajo realizado por una fuerza a lo largo de una trayectoria tridimensional y saber que el resultado que obtuvieron es efectivamente lo que en el mundo material se va a manifestar como la integral sobre esa trayectoria y no una cota inferior para dicha integral que se define como igual a ella sin mayor argumentación.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Puntos de Acumulación
« en: 23 Agosto, 2013, 04:52 pm »
Parafraseo la última oración de mi mensaje anterior porque tal vez se prestaba a confusión la forma en la que estaba redactada.

Para ver que un determinado punto \( x_0 \) es de acumulación de \( A \) tenés que fijar un \( r>0 \) genérico (es decir, al que no se le impone ninguna restricción (por ejemplo, no podés decir "pido que \( r \) sea suficientemente grande")) y hallar algún punto de \( A-\{x_0\} \) que esté a una distancia de \( x_0 \) que sea menor a \( r \) (por supuesto que un punto de \( A-\{x_0\} \) que cumpla esto para un determinado valor de \( r>0 \) podría no cumplirlo para otro menor; y nunca va a existir un mismo punto de \( A-\{x_0\} \) que cumpla esto para todo valor de \( r>0 \), pensá por qué), y el hecho de que en lo que hiciste recién no se haya impuesto ninguna restricción al valor de \( r>0 \) es lo que hace que lo que afirmaste sea cierto para todo \( r>0 \) .

Sólo cuando hayas entendido esto a la perfección y probado correctamente que un punto es de acumulación de \( A \), intentá probar que algún otro no lo es.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Puntos de Acumulación
« en: 21 Agosto, 2013, 07:46 am »
Lo que pasa es que estás confundiendo la definición con la negación de la misma.

Un punto \( x_0 \) es de acumulación de cierto conjunto \( A \) si para todo \( r>0 \) existe algún elemento de \( A-\{x_0\} \) que está a una distancia de \( x_0 \) menor que \( r \).

Por lo tanto, el punto \( x_0 \) no es de acumulación del conjunto \( A \) si para algún \( r>0 \) no existe ningún elemento de \( A-\{x_0\} \) que esté a una distancia de \( x_0 \) menor que \( r \) (esto es, la definición no se cumple.).

Por eso lo que te dice Gustavo está bien. Observá de paso que lo que ponés en el spoiler está mal. Todo punto de esos conjuntos es un punto de acumulación de \( A \) pero no por el motivo que decís. Para ver que un determinado punto \( x_0 \) de uno de esos dos conjuntos es de acumulación de \( A \) tenés que fijar un \( r>0 \) arbitrario y hallar algún punto de \( A \) que esté a una distancia menor a \( r \) de \( x_0 \), y la arbitrariedad de \( r \) es la que hace que lo que afirmaste sea cierto para todo \( r \).

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Cálculo 1 variable / Re: Estudiar convergencia de sucesión
« en: 21 Agosto, 2013, 06:54 am »
Rememorando esta pregunta que hice hace muchos muchos años...

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=17654.0

Podés acotar la sucesión de la siguiente manera:

\( \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\dfrac{1}{i}}<\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{i}}{\ln n}<\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{i}}{\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac{1}{i}} \)

Sea \( \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=a \). Te muestro lo que se puede hacer con la cota superior (resumido).

Dado \( \epsilon>0 \), sea \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( a_n<a+\epsilon \) para todo \( n\ge n_0 \). Para los \( n\ge n_0 \) vas a tener:

\( \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{i}}{\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac{1}{i}}=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n_0-1}\dfrac{a_i}{i}}{\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac{1}{i}}+\dfrac{\displaystyle\sum_{i=n_0}^n\dfrac{a_i}{i}}{\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac{1}{i}}<\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n_0-1}\dfrac{a_i}{i}}{\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac{1}{i}}+(a+\epsilon)\dfrac{\displaystyle\sum_{i=n_0}^n\dfrac{1}{i}}{\displaystyle\sum_{i=2}^{n_0-1}\dfrac{1}{i}+\displaystyle\sum_{i=n_0}^n\dfrac{1}{i}}\xrightarrow[n\to\infty]\,a+\epsilon \)

Por lo tanto, a partir de cierto \( n_1\in\mathbb{N} \) podés afirmar que

\( \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{i}}{\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac{1}{i}}<a+2\epsilon \)

Pregunta: ¿dónde usé que la sucesión \( (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \) es de términos positivos?

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A todo esto...ninguna solución con solo fracciones?  :P

Me imagino que lo que pedís son ecuaciones. Y en realidad es sensato el pedido, porque así de paso uno averigua todas las soluciones posibles (aunque no te las estén pidiendo).

Si consideramos que cada vasija contiene un litro de miel, en total tenemos 10,5 litros de miel para repartir en partes iguales entre 3 personas, lo que da un total de 3,5 litros de miel para cada una. Y 21 vasijas para repartir en partes iguales entre 3 personas, lo que da 7 para cada una. Si denotamos con A, B y C a los 3 hijos y con L, M y V a la cantidad de vasijas llenas, a medio llenar y vacías (respectivamente) que va a recibir cada uno, eso da un total de 9 incógnitas: LA, MA, VA, LB, MB, VB, LC, MC, VC. Las ecuaciones que deben satisfacer son:

LA+LB+LC=7
MA+MB+MC=7
VA+VB+VC=7

LA+0,5MA=3,5
LA+MA+VA=7

LB+0,5MB=3,5
LB+MB+VB=7

LC+0,5MC=3,5
LC+MC+VC=7

Son 9 ecuaciones con 9 incógnitas (y ya sabés de antemano que el sistema es indeterminado, porque Abdulai te está mostrando 2 soluciones diferentes). Te invito a armar la matriz, triangularla, hallar todas las soluciones, y ver cuáles de ellas tienen sus 9 coordenadas enteras positivas.

Si no te dan ganas de hacer todo eso, podés razonar como seguramente lo haya hecho Abdulai, que es:

Si alguno recibe 4 o más vasijas llenas, se pasó de los 3,5 litros de miel que le corresponden.

Si alguno recibe exactamente 3 llenas, debe recibir exactamente una más a medio llenar y 3 más vacías. Quedan 4 vasijas llenas, que no puede recibirlas todas el mismo de los 2 hijos que quedan, o sea que pueden repartirse 3 y 1 entre ellos o bien 2 y 2. En el primer caso, el que recibió las 3 llenas deberá recibir una a medio llenar y otras 3 vacías y el que recibió 1 llena deberá recibir 5 a medio llenar y 1 vacía, y todos los números dan bien. En el segundo caso cada uno de los otros dos deberá recibir 3 vasijas a medio llenar y 2 vacías, y también todos los números dan bien.

Y si ninguno recibe más de 2 vasijas llenas, no se reparte el total de 7 que hay.

Por lo tanto, esas dos combinaciones que funcionan son las únicas.

Lo importante de esto es que te des cuenta que no es menos riguroso el segundo procedimiento que el primero, ni menos preciso, ni nada. Es más, en este caso es el método más apropiado para resolver el ejercicio.

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el mundo material

Qué es el "mundo material"... te la debo. :)

"No sé definirlo pero lo reconozco cuando lo veo".

Fuente:

http://en.wikipedia.org/wiki/I_know_it_when_I_see_it

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Parece que no podés pasar del plano al espacio.
No digo que sea fácil, pero a lo mejor cambiando un poco la notación ayude a repensarlo.
Planteaste la cuestión a partir de la gráfica de una función.
Eso sería una curva parametrizada del tipo (t, f(t)).
¿Por qué no intentar generalizar al caso (f(t), g(t))?
Al lograr eso en el plano, seguro será "sencillo" generalizarlo al espacio.

Para nada. Me limité a gráficas de funciones sólo para tener una forma sencilla de definir el que "la concavidad de la curva no cambie", cosa que consigo pidiendo que la función sea convexa. Y eso es lo único que hace que (3') tenga sentido. Para el caso general en el que la curva venga dada por una parametrización \( (f(t),g(t)) \), si uno quiere aplicar la acotación que provee el teorema no queda otra opción más que, cuado sea posible, dividirla en curvas que sean gráficas de funciones reales convexas (buen, y aplicar isometrías, y asumir también que las isometrías preservan la longitud de las curvas).

Adaptar esto a 3 dimensiones es otro cantar.

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Todos los cálculos y observaciones que has hecho con los ángulos parecen interesantes.
Da la sensación de que es algo que hay que tener en cuenta, como vos decís.
Y esa puede ser la razón principal por la cual deba ir en la revista. ¿No te parece?

Si es así, sí. Yo preguntaba más que nada porque esto es la clase de enunciado que uno podría encontrar como ejercicio en un libro de cálculo en una variable y no más que eso (a pesar de que nunca lo encontré en ninguno, lo que me extraña dado lo extremadamente útil que resulta desde el punto de vista didáctico para encarar el tema de las curvas). Pero si no hay un mínimo de complejidad consensuado, entonces sí.

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para determinada clase de curvas en el plano tiene sentido definir su longitud como el supremo de las poligonales inscritas por tal y tal motivo;

Pero todavía ahí usaste la frase "tiene sentido", como si dudaras de lo que significa el "sentido" de la longitud de una curva.

También puede interpretarse que quisiste decir simplemente que "se puede calcular la longitud con el método de las poligonales en ese caso".
O sea se puede calcular algo que "ya tiene sentido" de antes.

Lo que quise decir es que para determinada clase de curvas (entre ellas, todas las que pueden tener un correlato en el mundo material), asumiendo (1), (2) y (3') sobre su longitud, el teorema permite afirmar (3) sobre su longitud, o sea que nunca se va a llegar a una conclusión falsa sobre la longitud de estas curvas asumiendo (1), (2) y (3), lo que es, definir su longitud como el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas. Y

(para mí) esto es lo que motiva tal definición.

Igual la respuesta a lo de Hausdorff todavía te la debo.

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Lo que pasa es que el teorema en sí no habla de curvas en ningún momento, ni en el enunciado ni en la demostración. Es previo a la definición de curva. La idea de esto sería "cuando te hablen de curvas, y te definan lo que se entiende por su longitud, acordate de esta propiedad que tienen los gráficos de las funciones convexas derivables para entender por qué, cuando se trata de una curva suficientemente amigable, la definición de longitud es razonable".

Pero cabe señalar que todo esto se aplica sólo en el plano, y sólo para la gráfica de una curva que sea la imagen de una función de un intervalo \( [a,b] \) a \( \mathbb{R}^2 \) derivable con continuidad diferenciable con continuidad y tal que su diferencial no se anula en ningún punto, o sea que la curva de Peano y el seno del topólogo quedan excluidas. A lo que apunta todo este desarrollo es "para determinada clase de curvas en el plano tiene sentido definir su longitud como el supremo de las poligonales inscritas por tal y tal motivo; y para las demás, no importa, se puede extender esta misma definición para ellas también y que resulte lo que sea, de todas formas, son todas abstracciones matemáticas que no tienen correlato en el mundo material, así que no pasa nada si uno se encuentra con resultados inesperados al trabajar con ellas".

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Hola, ¿cómo están, tanto tiempo? ¡Cómo extrañaba al foro!

Quería compartir esto y que de paso me digan, si quieren, si está bien (o qué opinan). No sé si esto calificaría como un buen candidato a artículo de la revista, lo puse en esta sección más que nada porque no se trata tanto de una consulta del tipo "¿cómo resuelvo este ejercicio?", sino más bien de un desarrollo ya terminado sobre el cual me gustaría conocer sus opiniones.

Para mí este es un teorema que habría que agregar en los libros de cálculo antes de definir la longitud de una curva en el plano y parte de lo que habría que agregar antes de definir las integrales curvilíneas en el plano (y en particular las integrales complejas).

(El desarrollo fue trasladado al artículo.)

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Sería complicado dar una fórmula explícita de \( f \), ¿verdad?

Para nada, es una función por tramos. Llamando \( S_0=0 \), \( S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{2}{i^{\frac32}} \) para cada \( n\in\mathbb{N} \) y \( S_{\infty}=\displaystyle\sum_{i\in\mathbb{N}}\displaystyle\frac{2}{i^{\frac32}} \), sería

\( f:[0,S_{\infty}]\to\mathbb{R},\quad f|_{[S_{n-1},S_n]}(x)=\dfrac{1}{n^{\frac12}}-n\left|x-S_{n-1}-\dfrac{1}{n^{\frac32}}\right| \) para cada \( n\in\mathbb{N} \) y \( \color{red}f(S_{\infty})=0 \).

O lo que es lo mismo,

\( f:[0,S_{\infty}]\to\mathbb{R},\quad f(x)=\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}}\left(\dfrac{1}{n^{\frac12}}-n\left|x-S_{n-1}-\dfrac{1}{n^{\frac32}}\right|\right)\mathbb{I}_{[S_{n-1},S_n]}(x) \), donde \( \mathbb{I}_{[S_{n-1},S_n]} \) es la función indicadora del intervalo \( [S_{n-1},S_n] \) para cada \( n\in\mathbb{N} \).

Hola  creo que te puede funcionar la teoría de fourier  para 2)  mira esta :
\( f(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}{\frac{cos(3^ix)}{3^{i\alpha }}} \)

Ah, es posible. La verdad, ni idea.

17
Bueno, ¡finalmente se me ocurrió!

Hay que armar una función \( f \) cuyo gráfico esté formado por sucesivos "picos" (triángulos isósceles sin base) tales que el \( n \)-ésimo, leyendo de izquierda a derecha, tenga altura \( \dfrac{1}{n^{\frac12}} \) y base \( \dfrac{2}{n^{\frac32}} \). De esta manera, la suma de las bases converge, de forma que se tiene una función definida en un intervalo \( [a,b] \), y la suma de las alturas diverge, de forma que la función no es de variación acotada. (Agrego: Se define \( f(b)=0 \)).

Hay que ver que, con los parámetros que elegí, la función es Lipschitz de orden \( \frac13 \). La pendiente del lado izquierdo de cada pico es

\( \dfrac{\dfrac{1}{n^{\frac12}}}{\dfrac{1}{n^{\frac32}}}=n \)

y la del lado derecho, \( -n \), claro. Son estrictamente crecientes en módulo (y tienden a infinito).

Dados \( x<y\in[a,b] \), supongamos primero que se encuentran en picos diferentes. Si \( f(x) \) es mayor a la altura del pico en el que se encuentra \( y \) (agrego: o bien \( y=b \) y \( f(x)>0 \) (si fuera \( f(x)=0 \), sería inmediato)), entonces considero los puntos \( x' \) e \( y' \), donde \( x' \) está en el mismo pico que \( x \) y \( f(x')=f(x) \), pero \( x' \) está del lado derecho (por si \( x \) no estaba) e \( y' \) es el vértice inferior derecho del pico en el que se encuentra \( x \). Entonces claramente

\( \dfrac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|^{\frac13}}\le\dfrac{|f(y')-f(x')|}{|y'-x'|^{\frac13}} \)

Y si \( f(x) \) es menor o igual a la altura del pico en el que se encuentra \( y \) (agrego: supongamos que \( f(x)\ne f(y) \); si son iguales, es inmediato), entonces considero \( x' \), un punto perteneciente al mismo pico que \( y \) (y ubicado del mismo lado que \( y \)) tal que \( f(x')=f(x) \). En ese caso,

\( \dfrac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|^{\frac13}}\le\dfrac{|f(y)-f(x')|}{|y-x'|^{\frac13}} \)

(recordar que las pendientes son crecientes)

O sea que puedo suponer que \( x \) y \( y \) están en un mismo pico \( n \), y del mismo lado. Por simetría, puedo suponer que están del lado izquierdo. Es

\( f(y)-f(x)=n(y-x) \)

O sea que

\( \dfrac{f(y)-f(x)}{(y-x)^{\frac13}}=n(y-x)^{\frac23}= \) (1)

Pero como \( y-x\le\dfrac{1}{n^{\frac32}} \), queda

(1) \( \le n(n^{-\frac32})^{\frac23}=1 \)

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Un caso sencillo para la primera sería una función con una discontinuidad esencial (agrego: o evitable). Por ejemplo, cualquier función escalonada (con finitos escalones) serviría.

Pero si querés un ejemplo de una función continua, ya que estamos, podría ser

\( f:[0,\frac12]\to\mathbb{R},\quad f(x)=\begin{Bmatrix} -\dfrac{1}{ln(x)} & \mbox{ si }& x\ne0\\0 & \mbox{si}& x=0\end{matrix} \)

Faltaría ver la segunda. Lo de \( 0<\alpha<1 \) es una ayuda nomás; ya sabemos que si una función es Lipschitz de orden \( \alpha\ge1 \), entonces es de variación acotada.

19
Claro que si \( f=\sen(2\pi x) \) entonces \( \{f_n|_{[a,b]}:n\in\mathbb{N}\} \) sí va a ser cerrado en \( C([a,b]) \). Pero en el caso general podría ser, para cada \( j\in\mathbb{N} \), \( f|_{\color{red}[j,j+1]\color{black}}(x)=\max\{0,1-\frac1j-|x-j-\frac12|\} \).

20
Está bien, restrinjámonos al intervalo \( [a,b] \).

\( \{f_n|_{[a,b]}:n\in\mathbb{N}\} \) es equiacotado. Falta ver que es equicontinuo. Dado \( \epsilon>0 \), como \( f \) es uniformemente continua, sea \( \delta>0 \) tal que \( |x-x'|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x')|<\epsilon \). Como para todo \( n\in\mathbb{N} \), \( f_n \) es \( f \) desplazada horizontalmente, se tiene que \( |x-x'|<\delta\Rightarrow|f_n(x)-f_n(x')|<\epsilon \). En particular, restringiéndose al intervalo \( [a,b] \).

Y \( \{f_n|_{[a,b]}:n\in\mathbb{N}\} \) no es cerrado en el espacio de las funciones continuas de \( [a,b] \) a \( \mathbb{R} \) con la distancia del máximo, \( C([a,b]) \), pero no importa. El teorema de Arzelá-Ascoli te dice que este conjunto es relativamente compacto, o sea, su clausura en \( C([a,b]) \) es un conjunto compacto. \( (f_n|_{[a,b]})_{n\in\mathbb{N}} \) es una sucesión de elementos del conjunto \( \overline{\{f_n|_{[a,b]}:n\in\mathbb{N}\}} \), que es compacto, y por lo tanto, admite una subsucesión convergente a un elemento de \( \overline{\{f_n|_{[a,b]}:n\in\mathbb{N}\}} \), que es, la función \( g \).

Con esto probás que \( (f_n|_{[a,b]})_{n\in\mathbb{N}} \) admite una subsucesión convergente. Después tendrías que aplicar el razonamiento ese de la diagonal que te dice, que sería el mismo que te decía yo cuando evaluaba en racionales en vez de restringir a intervalos cerrados.

PD: Igual la primera forma creo que también servía.

Perdón hector manuel, ¡nos cruzamos! De paso... yo tengo una definición diferente... estoy probando una suerte de "equicontinuidad uniforme". Pero eso es lo que se usa en la demostración de la versión que yo tengo del teorema.

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