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Mensajes - Jorge klan

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Estructuras algebraicas / Re: Subanillos
« en: 19 Febrero, 2012, 11:04 pm »
Hola

Cita de: john_reuer en 13 Febrero, 2012, 12:56 pm
Con respecto a la última parte sobre los ideales primos de \( A \), ¿alguna sugerencia?

Te dejo algunas indicaciones:

1. Demuestra que todo anillo Booleano (anillo que cumple la condición de tu problema) que es también un dominio integro es isomorfo a \( \mathbb{Z}_2 \).

Spoiler
Sea \( a\in A \) que no es ni 0 ni 1, luego \( a-1 \) es no trivial. Nota que \( a(a-1)=0 \) lo cual es una contradicción al hecho que es dominio integro.
[cerrar]

2. Prueba que cualquier imagen homomórfica de un anillo Booleano es también un anilllo Booleano.

3. Como \( P \) es un ideal primo de \( A \), entonces \( A/P \) es un dominio integro (resultado conocido). Por otro lado, \( A/P \) es imagen homomórfica de \( A \) mediante la proyección natural, luego también es un anillo Booleano.

4. Utiliza 1 y el hecho que \( \mathbb{Z}_2 \) es un cuerpo para concluir que \( P \) es maximal.


Saludos

2
Estructuras algebraicas / Re: Primer teorema de isomorfismo 3
« en: 10 Febrero, 2012, 07:00 pm »
Hola

Te recomiendo abrir un hilo nuevo para una nueva pregunta. Por esta vez he separado los temas para que los usuarios sepan que estás preguntando y no respondiendo a un problema anterior. Bueno, con respecto a tu pregunta

Cita de: SantiagoUy en 10 Febrero, 2012, 04:36 pm
En la parte b, plantie el grupo cociente de la siguiente manera: \( \mathbb{Z}^2/N = \{\overline{(a,b)} : a,b \in \mathbb{Z}\} \), el cual es de orden infinito ya que por cada elemento de \( \mathbb{Z}^2 \) hay una clase de equivalencia.

Es falso que para cada elemento hay sólo una clase (eso es lo que interpreto de lo que dices), por ejemplo, \( (3,1) \) y \( (6,2)  \) están en la misma clase. Geométricamente las clases de equivalencias son rectas en el plano \( Z^2 \) y un sistema de representantes de clases laterales es el conjunto \( \{(0,x)\mid x\in \mathbb{Z}\}\cong \mathbb{Z} \) (esto lo puedes notar en el isomorfismo que acabas de comprobar).

Cita de: SantiagoUy en 10 Febrero, 2012, 04:36 pm
Por último, en la parte c utilizé el primer teorema de isomorfismo para demostrar que los grupos son isomorfos, sin embargo me pide hallar la imagen de \( <(1,2)> \) por ese isomorfismo y aqui es donde viene el problema, ¿cómo defino el isomorfismo? sé que los grupos son isomorfos pero no sé cuál es el isomorfismo.

Se refieren al isomorfismo que se extrae del primer teorema: \( f:Z^2\to Z \) epimorfismo y \( \pi:Z^2\to Z^2/N \) epimorfismo canónico entonces existe un único isomorfismo \( \overline{f}:Z^2/N\to Z \) tal que \( \overline{f}\circ\pi=f \). En estricto rigor lo que te piden es encontrar la imagen de \( <\overline{(1,2)}> \) mediante \( \overline{f} \), pero para esto basta encontrar la imagen de \( \overline{(1,2)} \), pues \( \overline{f} \) es un homomorfismo (basta conocer la imagen para el generador).

Saludos

3
Estructuras algebraicas / Re: Primer teorema de isomorfismo
« en: 10 Febrero, 2012, 01:12 am »
Hola

Tu procedimiento es correcto. Además

Cita de: SantiagoUy en 09 Febrero, 2012, 11:15 pm
Si hay alguna razón por la que deba ser \( \phi(x) = 1/|x| \) agradezco si me lo aclaran, en caso contrario quisiera saber si el procedimiento es correcto.

Un isomorfismo no es único, esta función que indicas también es isomorfismo al igual que la función \( \phi(x)=x^2 \).

Saludos

4
Estructuras algebraicas / Re: Problemas de anillos
« en: 08 Febrero, 2012, 07:13 am »
Hola

Cita de: john_reuer en 08 Febrero, 2012, 03:40 am
Para el recíproco, como \( m.c.d(x,n) = 1 \), entonces por la identidad de Bézout \( ax + bn = 1 \). O sea, \( ax \equiv 1 \) (mod \( n \)). Esto es igual a \( \overline{ax} = \overline{a}\; \overline{x} = 1 \). De aquí se sigue que \( \overline{x} \) es una unidad de \( \mathbb{Z}_{n} \). (¿Esto está bien?)

Está muy bien.

Cita de: john_reuer en 08 Febrero, 2012, 03:40 am
Para el directo, no estoy muy seguro de qué hacer con el hecho de que, dado \( \overline{x} \), exista \( \overline{y} \in \mathbb{Z}_{n} \) tal que \( \overline{x}\;\overline{y} = \overline{y}\;\overline{x} = 1 \).

Siguiendo lo que indicas, esto quiere decir que \( xy+nt=1 \) para algún \( t\in \mathbb{Z} \). Ahora, supongamos que \( m.c.d(x,n)=d \), luego, existen \( u,v\in \mathbb{Z} \) tales que \( x=ud \) y \( n=vd \). Reemplazando estos valores en la igualdad anterior se tiene que

\( duy+vdt=1\Leftrightarrow{} d(uy+vt)=1 \)

Concluye cuál es, necesariamente, el valor de \( d \) y listo.

Saludos


5
Estructuras algebraicas / Re: Problemas de anillos
« en: 07 Febrero, 2012, 04:51 pm »
Hola

Cita de: john_reuer en 07 Febrero, 2012, 03:55 pm
1. Sea \( \overline{x}=x + n\mathbb{Z} \), con \( x \in \mathbb{Z} \). Pruebe que \( \overline{x} \in \mathbb{Z}_{n} \) es una unidad de \( \mathbb{Z}_{n} \) si y sólo si \( x \) y \( n \) son primos relativos.

Inspírate en la identidad de Bézout

Cita de: john_reuer en 07 Febrero, 2012, 03:55 pm
2. Un anillo \( R \) es regular cuando, para cada \( a \in R \), existe \( x \in R \) tal que \( axa=a \). Pruebe que \( R \times \mathbb{Z} \) nunca puede ser regular.

Analiza qué ocurre si para cada par \( (a,b)\in R\times \mathbb{Z} \) existe \( (x,y)\in R\times \mathbb{Z} \) tal que

\( (a,b)(x,y)(a,b)=(axa,byb)=(a,b) \)

es decir, si \( axa=a \) y \( byb=b \). Intenta trabajar la segunda igualdad, pues \( \mathbb{Z} \) es conocido y puedes obtener información concreta para verificar que \( R\times \mathbb{Z} \) no es regular...

Spoiler
nota que \( byb=b \) si y sólo si \( b(by-1)=0 \). Ahora, utiliza el hecho que \( \mathbb{Z} \) es un dominio de integridad...
[cerrar]

Saludos

6
Estructuras algebraicas / Re: Cuerpos
« en: 07 Febrero, 2012, 02:22 am »
Cita de: alemunozgar en 06 Febrero, 2012, 08:26 pm
Al demostrar la existencia de un módulo para la suma y para el producto, ¿debo demostrar que son únicos?

No entiendo a qué te refieres con la existencia de un módulo  ???. ¿Te refieres a probar la buena definición de la suma y el producto en \( \mathbb{Z}_7 \)?

Cita de: alemunozgar en 06 Febrero, 2012, 08:26 pm
En el caso del inverso aditivo y multiplicativo sí debe ser único, o ¿me equivoco?

Sí, aunque la unicidad no es necesaria probarla. Debes centrarte únicamente en probar los axiomas que te dejé en el enlace anterior, la unicidad es consecuencia inmediata de estos axiomas.

Cita de: alemunozgar en 06 Febrero, 2012, 08:26 pm
¿Alguna idea de cómo demostrar los inversos en la suma y el producto de clases si están definidas naturalmente?

Inverso en la suma: Para todo \( \overline{a}\in \mathbb{Z}_7 \) comprueba que \( \overline{7-a}\in \mathbb{Z}_7 \) es el inverso de \( \overline{a} \).

Inverso en la multiplicación: Acá debes utilizar la identidad de Bézout. Sea \( \overline{a}\in\mathbb{Z}_7-\{0\} \), luego por Bézout, existen \( x,y\in \mathbb{Z} \) tales que \( ax+7y=1 \). Aplicando clase módulo 7, se tiene que

\( \overline{a}\overline{x}=\overline{a}\overline{x}+\overline{7y}=\overline{ax+7y}=\overline{1} \)

Es decir, existe \( \overline{x}\in \mathbb{Z}_7 \) tal que \( \overline{a}\overline{x}=\overline{1} \).

Nota que las propiedades se heredan de \( \mathbb{Z} \)  ;D.

Saludos


7
Teoría de Conjuntos / Re: Demostración conjuntos - j-
« en: 04 Febrero, 2012, 07:28 pm »
Hola nktclau

Tu demostración está muy bien.

Saludos

8
Estructuras algebraicas / Re: Cuerpos
« en: 04 Febrero, 2012, 06:44 pm »
Hola

Si estás recién comenzando con las definiciones, únicamente debes verificar que \( \mathbb{Z}_7 \) satisface las propiedades de cuerpo. Acá tienes algo que te puede ayudar a saber las propiedades. Si te complica verificar una propiedad nos cuentas y te ayudamos.

Si ya conoces un par de propiedades de anillos podrás notar que \( 7\mathbb{Z} \) es un ideal maximal de \( \mathbb{Z} \) y por tanto \( \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}_7 \) es un cuerpo (un famoso resultado).

Saludos

9
Estructuras algebraicas / Re: Sylow
« en: 04 Febrero, 2012, 03:13 am »
Cita de: Jorge en 04 Febrero, 2012, 02:41 am
una duda, por qué pudiste hacer esa suposición al comienzo si no es parte de la hipótesis del problema?

Esa representación siempre es posible por el teorema fundamental del aritmética: todo entero positivo se puede escribir como producto de potencias de primos.

\( r=p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdots p_s^{n_s} \)

donde los \( p_i \) son primos distintos. Entonces se puede poner, por ejemplo,  \( r=p_1^{n_1}m \), donde \( m=p_2^{n_2}\cdots p_s^{n_s} \) y claramente \( p \) y \( m \) primos relativos.

Saludos

10
Estructuras algebraicas / Re: Isomorfismos
« en: 04 Febrero, 2012, 03:03 am »
Hola

Bueno, si no usamos herramientas avanzadas saldrá un poco más trabajoso. Es bien importante lo que dice filomate: la existencia de un elemento de orden 2. También es importante la existencia de un elemento de orden 3 (como se menciona en el caso de ramuntxo) la cuál se puede probar al preguntarse (considero el Teorema de Lagrange al razonar):

1) ¿Qué pasa si \( G \) tiene un elemento de orden \( 6 \)?, digamos \( x \). En este caso, es claro que \( x^2 \) es un elemento de orden 3.

2) En caso contrario, ¿qué ocurre si \( G \) solamente tiene elementos de orden \( 2 \) (obviamente sin contar la identidad)?. Un famoso resultado nos dice que \( G \) es abeliano, lo cual implica que \( G \) tendría un subgrupo de orden 4, lo cual no es posible (se los dejo comprobar).

Concluimos entonces que

\( G=\{1,x,x^2,y,xy,x^2y\} \)

donde \( x \) es un elemento de orden \( 3 \) e \( y \) es un elemento de orden 2. Para concluir el isomorfismo les dejo algunas pistas:

Si \( G \) es abeliano, ¿qué orden tiene el elemento \( xy \)?

Para probar el isomorfismo en el caso en que \( G \) no es abeliano depende de cómo conozcan ustedes el grupo \( S_3 \) (por medio de una presentación, a través de permutaciones, como las reflexiones del triángulo, etc...). Esto se los dejo a ustedes, pero la clave siempre es estudiar el orden de los elementos.

Saludos


11
Estructuras algebraicas / Re: Sylow
« en: 04 Febrero, 2012, 02:17 am »
Hola tocayo  ;D

Supongamos que \( |G|=p^nm \) con \( (p,m)=1 \). Ahora si consideras la acción clásica \( G\times Syl(G)\to Syl(G) \) (\( Syl(G) \) denota el conjunto de p-subgrupos de Sylow de \( G \)) dada por conjugación podrás notar que por otro famoso teorema se tiene que \( p^nm=|G|=|Estab_H||O_H| \). Nota además que

1) \( Estab_H=\{x\in G\mid xHx^{-1}=H\}=N_G(H) \).
2) \( |N_G(H)|\geq |H| \), pues todo grupo es subgrupo de su normalizador.
3) \( |O_H| \) es justamente el número de conjugados de \( H \).

Concluimos entonces que

\( p^nm=|G|=|N_G(H)||O_H|\geq |H||O_H|=p^n |O_H| \)

¿Qué ocurriría entonces si el número de conjugados de \( H \) es un múltiplo de \( p \)?

Saludos

12
Estructuras algebraicas / Re: Problemas de Homomorfismos
« en: 28 Diciembre, 2011, 10:13 pm »
Hola

Cita de: filomates en 28 Diciembre, 2011, 02:05 am
No veo el problema 1 resuelto porque hemos de dar A y B, dos grupos, \(  N\triangleleft{A}  \) y \(  \phi (N)  \)  donde \(  \phi  \) debe ser un homomorfismo de grupos. En la resolución propuesta faltan elementos.

Entiendo que john considera \( N=A=\mathbb{Z}_2 \) y \( B=S_3 \), ¿por qué dices que faltan elementos?

Cita de: filomates en 28 Diciembre, 2011, 02:05 am
Propongo  \(  A= Z_4  \), \(  B= S_4  \), \(  N=\left\{{0,2}\right\}  \)
\(  \phi : Z_4  \longrightarrow{S_4} \) definida por \(  \phi (0)=identidad  \),  \(  \phi(1) = \begin{bmatrix} 1 & 2  & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{bmatrix}  \) definiéndose para 2 y 3 de manera coherente para que sea homomorfismo

Sólo un comentario: Un homomorfismo basta definirlo para el conjunto generador (en este caso \( 1 \) genera a \( Z_4 \), así que bastaba definirlo para este elemento), las imágenes de los otros elementos se obtienen inmediatamente como consecuencia de las propiedades de un homomorfismo.

Por lo demás, tu ejemplo es bueno. Si es que se requiere que el subgrupo \( N \) sea propio, tu ejemplo es el acertado.

Saludos

13
Estructuras algebraicas / Re: Problemas de Homomorfismos
« en: 26 Diciembre, 2011, 01:34 am »
Hola

Tal vez llego un poco tarde, pero lo dejo de todos modos.

Cita de: john_reuer en 22 Diciembre, 2011, 07:29 pm
1) Dé un ejemplo tal que \( N \lhd A \) no implique \( \varphi (N) \lhd B \) cuando \( \varphi : A \rightarrow B \) es un homomorfismo arbitrario.

Para el primero, consideré el homomorfismo \( \varphi : \mathbb{Z}_{2} \rightarrow S_{3} \), dado por \( \varphi (0) = \rho_{0} \) y \( \varphi (1) = \mu_{1} \), donde \( \rho_{0} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\  1 & 2 & 3\end{bmatrix} \) son las rotaciones y \( \mu_{1}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2\end{bmatrix} \) son las reflexiones en los bisectores de los ángulos (Recuerde que \( S_{3} \) es igual al grupo simétrico de triángulos equilateros \( D_{3} \)). \( \mathbb{Z}_{2} \) es un grupo normal, y sé que \( \{\rho_{0}, \mu_{1}\} \) no es un subgrupo normal de \( S_{3} \), pero no sé cómo probarlo.
¡Ayuda con esto, por favor!

Un subgrupo es normal si es invariante bajo conjugación, luego basta encontrar un elemento de \( S_3 \) que no deja invariante al subgrupo \( \{\rho_{0}, \mu_{1}\} \), por ejemplo, si consideras \( \mu_2=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1\end{bmatrix} \) te queda \( \mu_2 \{\rho_{0}, \mu_{1}\} \mu_2^{-1}=\{\rho_{0},\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{bmatrix}\} \).

Cita de: john_reuer en 22 Diciembre, 2011, 07:29 pm
2) Pruebe que \( G = D_{4} \) contiene subgrupos \( A \) y \( B \) tales que \( A \lhd B \) y \( B \lhd G \) pero no se cumple \( A \lhd G \).

Considera \( B=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} \) (el cual es normal en \( G \), pues tiene índice 2) y \( A \) como el subgrupo generado por \( (14)(23) \) (intenta ver que no es normal en \( G \) conjugando por \( (1234) \))

Si no entiendes la notación en ciclos, nos dices para poder traducirla a permutación.

Cita de: john_reuer en 22 Diciembre, 2011, 07:29 pm
3) Sea \( \varphi : A \rightarrow B \) un homomorfismo de grupos. Pruebe que \( \varphi \) induce una correspondencia uno-a-uno, la cual preserva el orden, entre el conjunto de todos los subgrupos de \( A \) que contienen Ker \( \varphi \) y el conjunto de todos los subgrupos de \( B \) que están contenidos en Im \( \varphi \).


Primero prueba que si \( K \) es un subgrupo de \( A \), entonces \( \varphi(K) \) es un subgrupo de \( B \). Inversamente, si \( L \) es un subgrupo de \( B \), entonces \( \varphi^{-1}(L)=\{a\in A\mid \varphi(a)\in L\} \) es un subgrupo de \( A \). Inspírate en esto para construir tu correspondencia.

Saludos

14
Teoría de números / Re: Demostrar por inducción
« en: 04 Diciembre, 2011, 03:31 am »
Cita de: resident91 en 02 Diciembre, 2011, 11:37 pm
Me he complicado un poco, más que nada por la condición que me han dado

Bueno, únicamente debes seguir por recurrencia hasta que puedas aplicar la hipótesis inductiva. Nota que

\( \begin{array}{rcl}A_{3(k+1)+1}&=&A_{3k+4}\\
&=&A_{3k+3}+A_{3k+2}\\
&=&A_{3k+2}+A_{3k+1}+A_{3k+1}+A_{3k}\\
&=&A_{3k+1}+A_{3k}+A_{3k+1}+A_{3k+1}+A_{3k}\\
&=&2A_{3k}+3A_{3k+1}\end{array} \)

aplica la hipótesis inductiva (\( A_{3k+1} \) es par) y concluye.

Saludos

PD: Por favor. corrige tu mensaje agregando cada uno de los acentos faltantes

15
Teoría de números / Re: Demostrar por inducción
« en: 02 Diciembre, 2011, 05:59 am »
Hola

Para \( n=1 \) se tiene que \( \dfrac{1}{2}=\displaystyle\sum_{k=2}^{2}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{2}\frac{(-1)^k^+^1}{k}=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \).

Ahora supongamos que es verdadero para \( n \) y notemos que

\( \displaystyle\sum_{k=1}^{2n+2}\frac{(-1)^k^+^1}{k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k^+^1}{k}+\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+2} \)

aplicando hipótesis inductiva, nos queda que

\( \begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{k=1}^{2n+2}\frac{(-1)^k^+^1}{k}&=&\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}+\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+2}\\[5mm]
&=&\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n+1}\frac{1}{k}-\dfrac{1}{2n+2}\\[5mm]
&=&\displaystyle\sum_{k=n+2}^{2n+1}\frac{1}{k}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{2n+2}\end{array}
 \)

suma los últimos dos términos y acomoda la suma para concluir (notarás que te queda el último término de la sumatoria).


Saludos

16
Estructuras algebraicas / Re: Centro
« en: 15 Noviembre, 2011, 07:14 pm »
Hola

Bueno, hay más de una demostración pero la más sencilla, a mí parecer, es esto:

Sea \( \sigma\in S_n \) no nulo, luego existe \( i\in \{1,2,\ldots,n\} \) tal que \( \sigma(i)=j\neq i \) (es decir, al menos hay un elemento que no es fijado por \( \sigma \)). Ahora la idea es "construir" un elemento en \( S_n \) de modo que no conmute con \( \sigma \), por ejemplo, puedes considerar \( \tau \) tal que \( \tau(i)=i \) y \( \tau(j)=k \), donde \( k \) es distinto de \( j \) y de \( i \) (nota que tienes derecho a considerarlo así, ya que \( n\geq 3 \)).

Te dejo comprobar entonces que \( (\sigma \circ \tau) (i)\neq (\tau\circ \sigma)(i)  \) y por tanto \( \sigma \circ \tau \neq \tau\circ \sigma \).

Saludos

17
Estructuras algebraicas / Re: La intersección y el cociente vuelve a ser p-Sylow.
« en: 13 Noviembre, 2011, 07:23 pm »
Hola

Para la primera parte puedes utilizar el segundo teorema de Sylow (el de la conjugación). Sea \( K \) un \( p \)-subgrupo de Sylow de \( H \), en particular, \( K \) es un \( p \)-subgrupo de \( G \), luego existe \( g\in G \) tal que \( K\leq gPg^{-1} \). Entonces \( K\leq gPg^{-1}\cap H=gPg^{-1}\cap gHg^{-1}=g(P\cap H)g^{-1} \). De este modo se tiene que \( |K|\leq |g(P\cap H)g^{-1}|=|P\cap H| \)... la otra desigualdad es inmediata utilizando el teorema de Lagrange con \( P\cap H \) sobre \( P \) y \( H \).

De la demostración anterior también es inmediata la segunda parte utilizando la famosa igualdad de ordenes que mencionas en tu mensaje.

Saludos

18
Estructuras algebraicas / Re: grado de un polinomio
« en: 10 Octubre, 2011, 06:52 am »
Hola

Sea \( x=\sqrt{2}+\sqrt{3} \), elevando al cuadrado se tiene que \( x^2=2+2\sqrt{6}+3 \), esto es si y sólo si \( x^2-5=2\sqrt{6} \). Nuevamente elevando al cuadrado, se tiene que \( (x^2-5)^2=24 \). Desarrolla el binomio y despeja para encontrar el polinomio que buscas. Con esto también puedes concluir fácilmente (a). Para (b) intenta lo mismo ( es más inmediato incluso)

Saludos

19
Teoría de Conjuntos / Re: Demostración de conjuntos 3
« en: 10 Octubre, 2011, 01:25 am »
Hola

Disculpa por llegar tarde.

Cita de: nktclau en 02 Octubre, 2011, 11:34 pm
Sólo me entró un duda de mi desarrollo si tengo

\( \underbrace{ (x \in{B'}\wedge x\in{B'})}_{tautologia} \vee (x \in{A}\wedge x \not\in{C})}\Rightarrow{(x \in{ A \wedge x \not\in{C})}}\Rightarrow{x \in{(A-C)}} \)

Está mal hacer este trozo de la demostración. Pues si tengo \( p \vee V \Leftrightarrow{V} \) es decir si tengo tautología y una proposición es equivalente a tomar solo la tautologia.

Es correcto lo que dices y como dije anteriormente tú demostración es correcta.

Saludos

20
De oposición y olimpíadas / Re: Función biyectiva
« en: 09 Octubre, 2011, 11:30 pm »
Laudan: Conviene que dediques unos minutos a leer las reglas del foro y el tutorial de Latex del mismo para que aprendas a editar bien tus fórmulas matemáticas.

Además procura encerrar con [tex][/tex] solamente las fórmulas matemáticas. También debes corregir el título de tus otros hilos, no trates de llamar la atención poniendo todo éste en mayúsculas.

Por esta vez he corregido el título y además arreglé un poco tu mensaje ya que no era del todo nítido. Los conjuntos \( \mathbb{A},\mathbb{B} \) y \( \mathbb{C} \) deberás corregirlos tú, ya que al momento de corregir noté que no ponías éstos, así que no sé realmente lo que va allí.

Saludos.

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