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Estructuras algebraicas / Re: Subanillos
« en: 19 Febrero, 2012, 11:04 pm »
Hola
Te dejo algunas indicaciones:
1. Demuestra que todo anillo Booleano (anillo que cumple la condición de tu problema) que es también un dominio integro es isomorfo a \( \mathbb{Z}_2 \).
2. Prueba que cualquier imagen homomórfica de un anillo Booleano es también un anilllo Booleano.
3. Como \( P \) es un ideal primo de \( A \), entonces \( A/P \) es un dominio integro (resultado conocido). Por otro lado, \( A/P \) es imagen homomórfica de \( A \) mediante la proyección natural, luego también es un anillo Booleano.
4. Utiliza 1 y el hecho que \( \mathbb{Z}_2 \) es un cuerpo para concluir que \( P \) es maximal.
Saludos
Con respecto a la última parte sobre los ideales primos de \( A \), ¿alguna sugerencia?
Te dejo algunas indicaciones:
1. Demuestra que todo anillo Booleano (anillo que cumple la condición de tu problema) que es también un dominio integro es isomorfo a \( \mathbb{Z}_2 \).
Spoiler
Sea \( a\in A \) que no es ni 0 ni 1, luego \( a-1 \) es no trivial. Nota que \( a(a-1)=0 \) lo cual es una contradicción al hecho que es dominio integro.
[cerrar]
2. Prueba que cualquier imagen homomórfica de un anillo Booleano es también un anilllo Booleano.
3. Como \( P \) es un ideal primo de \( A \), entonces \( A/P \) es un dominio integro (resultado conocido). Por otro lado, \( A/P \) es imagen homomórfica de \( A \) mediante la proyección natural, luego también es un anillo Booleano.
4. Utiliza 1 y el hecho que \( \mathbb{Z}_2 \) es un cuerpo para concluir que \( P \) es maximal.
Saludos