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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: juanc en 02 Noviembre, 2017, 01:09 pm

Título: Convergencia en probabilidad
Publicado por: juanc en 02 Noviembre, 2017, 01:09 pm
Sean \( X,X_1,X_2,...Y,Y_1,Y_2,...:\Omega\rightarrow{\mathbb{R}} \) variables aleatorias tales que
\( X_n\rightarrow{X}   \) converge en probabilidad y  \( Y_n\rightarrow{Y}  \) converge en probabilidad
Si \( f:\mathbb{R}^2\rightarrow{\mathbb{R}} \) continua
pruebe que \( f(X_n,Y_n)\rightarrow{f(X,Y)} \) converge en probabilidad

estoy haciendo la prueba de la siguiente forma :

  Sea una subsucesión de \( f(X_n,Y_n) \)  por demostrar que existe una subsucesión de la subsucesión de  \( \left\{{f(X_n,Y_n)}\right\} \)
 de tal manera que converga a \( (X,Y) \) casi seguramente

mi duda es  si toda subsucesión de  \( \left\{{f(X_n,Y_n)}\right\} \) se puede escribir \(   \left\{{f (X_{n_k},Y_{n_k}) }\right\} \)
donde \( (X_{n_k})\subseteq{(X_n)} \)   \( (Y_{n_k})\subseteq{(Y_n)} \)
Título: Re: Convergencia en probabilidad
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Noviembre, 2017, 01:34 pm
Hola

 Sin entrar en lo demás:

mi duda es  si toda subsucesión de  \( \left\{{f(X_n,Y_n)}\right\} \) se puede escribir \(   \left\{{f (X_{n_k},Y_{n_k}) }\right\} \)
donde \( (X_{n_k})\subseteq{(X_n)} \)   \( (Y_{n_k})\subseteq{(Y_n)} \)

¡Claro que si!.

Saludos.
Título: Re: Convergencia en probabilidad
Publicado por: juanc en 02 Noviembre, 2017, 01:52 pm
gracias por la ayuda, lo que no me queda claro es porque necesariamente toda subsucesión es de esa forma
Título: Re: Convergencia en probabilidad
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Noviembre, 2017, 09:51 am
Hola

gracias por la ayuda, lo que no me queda claro es porque necesariamente toda subsucesión es de esa forma

Tengo serias dudas de si has planteado bien la pregunta o de si yo la he entendido bien. Me parece muy obvia la cuestión como para que no la veas clara.

Si tienes una sucesión:

\( f(X_1,Y_1),f(X_2,Y_2),f(X_3,Y_3),\ldots \)

pues una subsucesión es quedarse con algunos de esos índices:


\( f(X_5,Y_5),f(X_7,Y_7),f(X_8,Y_8),\ldots \)

Formalmente dada \( \{f(X_n,y_n)\} \) definimos una aplicación inyectiva creciente: \( n:\mathbb{N}\to \mathbb{N} \) y obtenemos la subsucesión \( \{f(X_{n(k)},Y_{n(k)}\} \).

Saludos.