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Matemática => Matemática Discreta y Algoritmos => Métodos Numéricos => Mensaje iniciado por: Francois en 01 Septiembre, 2017, 01:00 am

Título: Obtener las formulas de la primera y segunda derivada
Publicado por: Francois en 01 Septiembre, 2017, 01:00 am
Buenas con todos.
Por favor podrían indicarme como consigo estas formulas de la primera y segunda derivada en el siguiente problema.


Considerar un poloninomio de Lagrange punto a punto que interpola entre tres puntos a
la vez. Sea \( x_{i−1}, x_i ,  x_{i+1} \) un conjunto típico de tres puntos consecutivos.

Piden derivar las formulas de diferenciación para la primera y segunda derivada en \( x_{i} \)
Simplificar estas expresiones para data espaciada uniformemente con \( ∆ = x_{i+1} − x_i \)


Creo que tiene que ver algo con Diferencias Finitas, que  no lo estudio todavía.
Pero esta pregunta esta en el tema de Interpolation y quería saber como seria la idea.

Muchas Gracias.
Saludos!

Título: Re: Obtener las formulas de la primera y segunda derivada
Publicado por: Masacroso en 01 Septiembre, 2017, 04:28 am
Si los puntos están espaciados uniformemente entonces los polinomios de interpolación de Lagrange/Newton tienen una expresión simbólica más sencilla, y es diferenciable simbólicamente también (y sin necesidad del espaciado uniforme los polinomios de interpolación pueden derivarse simbólicamente también).

Te recomiendo estudiar el tema a fondo. Ahora mismo no recuerdo las fórmulas para polinomios con espaciado uniforme, pero se pueden sacar con algo de álgebra a partir de los polinomios de Lagrange generales.

Los polinomios de interpolación de Lagrange se definen (si no recuerdo mal) como

\( \displaystyle p[f;x_0,x_1,\ldots,x_n](x):=\sum_{k=0}^n f(x_k)L_k(x),\quad L_k(x):=L_k[x_0,x_1,\ldots,x_n](x):=\prod_{\substack{j=0\\j\neq k}}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j} \)

Es decir, los polinomios \( L_k \) cumplen la propiedad de que \( L_k(x_j)=\delta_{j,k} \), donde \( \delta_{j,k} \) es la función delta de Kronecker.

Edición: estaba haciendo memoria. Una forma equivalente del polinomio de interpolación anterior es escribirlo a través de los polinomios de Newton, es decir

\( \displaystyle p[f;x_0,x_1,\ldots,x_n](x):=\sum_{k=0}^n c_k N_k(x),\quad N_k(x):=N_k[x_0,x_1,\ldots,x_{k-1}](x):=\prod_{j=0}^{k-1}(x-x_j) \)

donde los coeficientes \( c_k \) se definen recursivamente empezando por \( c_0=f(x_0) \) (también hay que decir que utilizamos la convención del producto vacío, es decir, que \( N_0=1 \)). Es a partir de la versión de Newton del polinomio de interpolación estándar desde la cual se construye más fácilmente la expresión de los coeficientes \( c_k \) cuando la distancia entre puntos es uniforme.