Rincón Matemático

Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Geometría y Topología => Triángulos => Mensaje iniciado por: Michel en 30 Junio, 2017, 09:14 am

Título: Demostrar fórmula
Publicado por: Michel en 30 Junio, 2017, 09:14 am
En el triángulo ABC, AM es una mediana.
Demostrar que \( AB^2+AC^2=2AM^2+2BM^2 \)

Título: Re: Demostrar fórmula
Publicado por: Michel en 25 Julio, 2017, 09:32 am
Pista:

En los triángulos ABM y ACM, aplicar el teorema del coseno, sin coseno.

Retroceder a 12-7-2015 en TRIÁNGULOS, problema teorema del coseno, sin coseno (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83331.0).

Se trata de evitar trigonometría.
Título: Re: Demostrar fórmula
Publicado por: Michel en 13 Septiembre, 2017, 11:25 am
Sea H el pie de la altura desde A.


En el triángulo ABM: \( AB^2=AM^2+BM^2-2BM.HM \)

En el triángulo ACM: \( Ac^2=AM^2+CM^2-2CM.HM \)

Sumando y teniendo en cuenta que BM=CM: \( AB^2+AC^2=2AM^2+1BM^2 \)

Esta expresión permite hallar las medianas de un triángulo cuando se conocen los lados.

Saludos.
Título: Re: Demostrar fórmula
Publicado por: Ignacio Larrosa en 13 Septiembre, 2017, 12:03 pm
De forma similar, sustituyendo el producto de la ceviana por el coseno del ángulo por la proyección de la ceviana sobre el lado, puede demostrarse el Teorema de Stewart (http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teorema_Stewart.html), generalización para cualquier ceviana de este teorema de la mediana:

\( d^2=\displaystyle\frac{n\cdot{}a^2 + m\cdot{}b^2 - c\cdot{}m\cdot{}n}{c} \)

Donde \( m\textrm{ y }n \) son los segmentos en que la ceviana \( CD \) de longitud \( d \) divide al lado \( c \).

Saludos,
Título: Re: Demostrar fórmula
Publicado por: Michel en 13 Septiembre, 2017, 05:34 pm
De acuerdo ilarrosa.

Sinceramente creo que, si hubieras "aparecido" antes, la marcha y el fruto de este subforo hubieran sido difereentes, por supuesto, mejores.

Saludos.