Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Ecuaciones diferenciales => Mensaje iniciado por: Bloost en 27 Junio, 2017, 01:18 am

Título: Necesito ayuda con derivada parcial de segundo orden homogénea
Publicado por: Bloost en 27 Junio, 2017, 01:18 am
Necesito ayuda con esta:

\( \displaystyle\frac{\partial^2u }{\partial x^2} + \frac{\partial^2u }{\partial y^2} = 0 \)

\( u(x,y) = F(x)G(y) \)

\( \displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = F''(x)G(y) \)

\( \displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = F(x)G''(y) \)

Reemplazo en la ED:

\( F''(x)G(y) + F(x)G''(y) = 0 \)

\( \displaystyle\frac{F''(x)}{F(x)} = - \frac{G''(y)}{G(y)} = k \)

No sé cómo integrar los miembros con las funciones, si fuese de primer orden podría integrarlos fácilmente.
Título: Re: Necesito ayuda con derivada parcial de segundo orden homogenea
Publicado por: mathtruco en 27 Junio, 2017, 01:58 am
Vas bien. Como \( \dfrac{F''}{F} \) depende sólo de \( x \) y \( \dfrac{G''}{G} \) depende sólo de \( y \), entonces la \( k \) a continuación es constante

    \( \dfrac{F''}{F}=-\dfrac{G''}{G}=k \)

obteniendo las dos EDOS lineales de segundo orden homogéneas

    \( F''-kF=0 \)

    \( G''+kG=0 \)

las cuales seguro sabes calcular. Nota que tienes dos opciones: \( k>0 \) o \( k<0 \).

Si tuvieras condiciones de borde el problema sería del tipo Sturm Liouville (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,51180.0.html). Revisa el pdf en ese link, seguro te servirá.
Título: Re: Necesito ayuda con derivada parcial de segundo orden homogenea
Publicado por: Bloost en 27 Junio, 2017, 03:02 am
las cuales seguro sabes calcular.
Ese justamente es mi problema, no se solucionarla.
Título: Re: Necesito ayuda con derivada parcial de segundo orden homogenea
Publicado por: mathtruco en 27 Junio, 2017, 04:27 am
Vas bien. Como \( \dfrac{F''}{F} \) depende sólo de \( x \) y \( \dfrac{G''}{G} \) depende sólo de \( y \), entonces la \( k \) a continuación es constante

    \( \dfrac{F''}{F}=-\dfrac{G''}{G}=k \)

obteniendo las dos EDOS lineales de segundo orden homogéneas

    \( F''-kF=0 \)

    \( G''+kG=0 \)

Si \( k>0 \), entonces

    \( F(x)=e^{\sqrt{k}x} \)

y

    \( G(y)=e^{i\sqrt{k}y}=\cos(\sqrt{k}y)+i\sin(\sqrt{k}y) \)

por lo que

    \( u(x,y)=e^{\sqrt{k}x}\left[\cos(\sqrt{k}y)+i\sin(\sqrt{k}y)\right] \)

Sugerencia: en este contexto a menudo te encontrarás con EDO lineales, así que es buena idea que tomes un libro y las recuerdes.