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Matemática => Matemática Aplicada => Combinatoria => Mensaje iniciado por: Cecilia en 14 Junio, 2017, 05:52 pm

Título: Problema de combinatoria
Publicado por: Cecilia en 14 Junio, 2017, 05:52 pm
Hola! Necesito ayuda con un problema de combinatoria: " En las clases seminario, el profesor sortea al principio de la sesión 4 nombres para que salgan a hacer los ejercicios. Sabiendo que a estas clases de seminario acuden 25 alumnos y que en un trimestre hay 13 clases de seminario, calcular la probabilidad de que de un grupo concreto de tres estudiante no haya salido ninguno al encerado durante el cuatrimestre"

Gracias

Un saludo
Título: Re: Problema de combinatoria
Publicado por: Ignacio Larrosa en 14 Junio, 2017, 06:57 pm
Hola! Necesito ayuda con un problema de combinatoria: " En las clases seminario, el profesor sortea al principio de la sesión 4 nombres para que salgan a hacer los ejercicios. Sabiendo que a estas clases de seminario acuden 25 alumnos y que en un trimestre hay 13 clases de seminario, calcular la probabilidad de que de un grupo concreto de tres estudiante no haya salido ninguno al encerado durante el cuatrimestre"

Parece que el profesor no toma en cuenta a que alumnos ha escogido previamente, por lo las elecciones en cada clase son independientes. Por tanto será la probabilidad de que no saque a ninguno en una ocasión, elevada a trece.

Para ver la probabilidad de que no salga ninguno de los tres tienes que calcular el número de casos posibles, grupos de \( 4 \) estudiantes que se pueden extraer de los \( 25 \), y el de casos favorables, grupos de \( 4 \) estudiantes en que no figura ninguno de los tres. Es decir, grupos de cuatro estudiantes escogidos entre \( 25 - 3 \).

Saludos,
Título: Re: Problema de combinatoria
Publicado por: delmar en 14 Junio, 2017, 07:06 pm
Hola Cecilia

Bienvenida al foro

Se tiene que los resultados posibles, son 13 cuaternas ordenadas de personas.
Suponiendo que las 25 personas que asisten a los 13 seminarios son las mismas. Se puede calcular el total de resultados posibles, n.

Para las cuaternas posibles para el seminario 1 se tiene : hay 25 personas posibles  para la posición 1, 24 para la 2, 23 para la 3 y 22 para la 4. Luego para el seminario 1, las cuaternas posibles son : \( 25(24)(23)(22)=\displaystyle\frac{25!}{21!} \). Lo mismo ocurre para el seminario 2, para el 3 y asi sucesivamente hasta el seminario 13.Esto implica :\( n=(\displaystyle\frac{25!}{21!})^{13} \)

Las cuaternas donde ninguna de las 3 personas concretas esta presente, m también se puede calcular. Se detalla :

Para la cuaterna del seminario 1, se tiene : existen 22 personas posibles para la posición 1, 21 para la 2, 20 para la 3 y 19 para la 4. Luego las posibilidades para la cuaterna del seminario 1 son \( 22(21)(20)(19)=\displaystyle\frac{22!}{18!} \), lo mismo ocurre para el seminario 2, el 3 y asi sucesivamente hasta el 13. Por lo tanto : \( m=(\displaystyle\frac{22!}{18!})^{13} \)

La probabilidad P, es : \( P=\displaystyle\frac{m}{n} \)

Saludos

Ilarrosa se adelantó, considera esto como un complemento.
Título: Re: Problema de combinatoria
Publicado por: Cecilia en 14 Junio, 2017, 07:32 pm
Muchas gracias por vuestra ayuda! Sí, el complemento no era tan trivial para mi :)
Título: Re: Problema de combinatoria
Publicado por: Ignacio Larrosa en 14 Junio, 2017, 09:44 pm
Hola Cecilia

Bienvenida al foro

Se tiene que los resultados posibles, son 13 cuaternas ordenadas de personas.
Suponiendo que las 25 personas que asisten a los 13 seminarios son las mismas. Se puede calcular el total de resultados posibles, n.

Para las cuaternas posibles para el seminario 1 se tiene : hay 25 personas posibles  para la posición 1, 24 para la 2, 23 para la 3 y 22 para la 4. Luego para el seminario 1, las cuaternas posibles son : \( 25(24)(23)(22)=\displaystyle\frac{25!}{21!} \). Lo mismo ocurre para el seminario 2, para el 3 y asi sucesivamente hasta el seminario 13.Esto implica :\( n=(\displaystyle\frac{25!}{21!})^{13} \)

Las cuaternas donde ninguna de las 3 personas concretas esta presente, m también se puede calcular. Se detalla :

Para la cuaterna del seminario 1, se tiene : existen 22 personas posibles para la posición 1, 21 para la 2, 20 para la 3 y 19 para la 4. Luego las posibilidades para la cuaterna del seminario 1 son \( 22(21)(20)(19)=\displaystyle\frac{22!}{18!} \), lo mismo ocurre para el seminario 2, el 3 y asi sucesivamente hasta el 13. Por lo tanto : \( m=(\displaystyle\frac{22!}{18!})^{13} \)


Pero no es necesario distinguir el orden. La probabilidad de que ninguno resulte escogido en una de las sesiones se puede calcular como el cociente de las cuaternas (desordenadas) de los otros 22 estudiantes, entre el conjunto de las cuaternas (desordenadas) del total de los 25 estudiantes. En detalle, la probabilidad en una sola clase es:

\( P = \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{22}{4}}{\displaystyle\binom{25}{4}} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{22!}{4!18!}}{\displaystyle\frac{25!}{4!21!}}= \displaystyle\frac{22!21!}{25!18!}=\displaystyle\frac{21\cdot{}20\cdot{}19}{25\cdot{}24\cdot{23}}=\displaystyle\frac{21\cdot{}19}{5\cdot{}6\cdot{23}}=\displaystyle\frac{7\cdot{}19}{5\cdot{}2\cdot{}23}=\displaystyle\frac{133}{230}\approx{}0.57826 \)

Es decir \( \approx{}58\% \).

Para el conjunto de las 13 clases, queda \( \left(\displaystyle\frac{133}{230}\right)^{13}\approx{}0.0008 \)

Casi despreciable, como era de esperar.

Saludos,