Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: CKmatematico08 en 21 Octubre, 2016, 03:24 pm

Título: Serie 2
Publicado por: CKmatematico08 en 21 Octubre, 2016, 03:24 pm
Hola, podrian ayudarme con este ejercicio.

Sea \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{a_n} \) una serie divergente de términos positivos y sea \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{S_n}}=0 \), donde \( S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \). Demostrar que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_1S_1^{-1}+a_2S_2^{-1}+\cdots+a_nS_n^{-1}}{Ln(S_n)}}=1 \)
Donde: \( Ln= \) Logaritmo natural

Gracias.
Título: Re: Serie 2
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 21 Octubre, 2016, 09:20 pm
Editado 2

Está bien lo que proponía (Pués no hay un pequeño error):

Pasa de esta respuesta CKmatematico08 la pongo en spoiler.

Spoiler

Aplica Stolz al límite \(  \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{a_1}{S_1} + \dfrac{a_2}{S_2} + \cdots + \dfrac{a_n}{S_n}}{\log(S_n)}  \) y te queda:

\(  \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{a_{n+1}}{S_{n+1}}}{\log(S_{n+1}) - \log(S_n)}  \)


Mira la ayuda del spoiler sólo si no te sale.



\(  \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{a_{n+1}}{S_{n+1}}}{\log(S_{n+1}) - \log(S_n)} = \lim_{n \to +\infty}  \dfrac{\dfrac{a_{n+1}}{S_{n+1}}}{\log(\dfrac{S_{n+1}}{\color{red}S_n \color{black}})} =  \)



[cerrar]
Título: Re: Serie 2
Publicado por: CKmatematico08 en 21 Octubre, 2016, 10:39 pm
Estas considerando como una \( T_n=\displaystyle\frac{a_1}{S_1}+\displaystyle\frac{a_2}{S_2}+...+\displaystyle\frac{a_n}{S_n} \)
entonces Stolz \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{T_{n+1}-T_n}{Ln(S_{n+1})-Ln(S_n)}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{S_{n+1}}}{Ln(\displaystyle\frac{S_{n+1}}{S_n})}} \)
Pero luego como dices que es \( 0 \).

Saludos.
Título: Re: Serie 2
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 21 Octubre, 2016, 11:03 pm
Perdona CKmatematico08 edité el mensaje tenía varios errores el límite da uno como propones.

Saludos.
Título: Re: Serie 2
Publicado por: CKmatematico08 en 21 Octubre, 2016, 11:20 pm
Después de aplicar Stolz como llegas a que el limite es 1??.
Título: Re: Serie 2
Publicado por: EnRlquE en 22 Octubre, 2016, 04:53 am
Hola CKmatematico08.

 Esta es una forma alternativa de probar el límite. La estrategia es básicamente una adaptación de la prueba de que la serie armónica está "cerca" del logaritmo (https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni), usando aproximaciones por sumas de Riemann de la función logaritmo. La resumo en los siguientes pasos

\( \bullet \) En lo que sigue llamaremos \( A_{n}:=\frac{a_{1}}{S_{1}}+\dots+\frac{a_{n}}{S_{n}} \) y \( B_{n}:=\frac{a_{2}}{S_{1}}+\dots+\frac{a_{n}}{S_{n-1}}. \) Además notemos que \( \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{S_{n}}=0 \) implica que \( \lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{S_{n-1}}\to 1, \) y la divergencia de \( \sum a_{n} \) implica que \( \lim_{n\to\infty}\ln S_{n}=+\infty. \)

\( \bullet \) Consideremos la partición \( \{a_{1}+S_{1}<S_{2}<\dots<S_{n}\} \) del intervalo \( [a_{1},S_{n}]. \) Al comparar las sumas de Rieman, inferior y superior, con la integral de \( x\mapsto1/x \) en \( [a_{1},S_{n}] \) (igual a \( \ln S_{n}-\ln a_{1} \)) obtenemos

\begin{equation}\label{E1}\frac{a_{2}}{S_{2}}+\dots+\frac{a_{n}}{S_{n}}\leq\ln S_{n}-\ln a_{1}\leq\frac{a_{2}}{S_{1}}+\dots+\frac{a_{n}}{S_{n-1}}.\end{equation}

\( \bullet \) Fijemos \( \varepsilon>0. \) Tenemos que existe \( N\in\mathbb{N} \) tal que \( 1<\frac{S_{n}}{S_{n-1}}<1+\varepsilon \) para todo \( n> N. \) Luego, para \( n \) suficientemente grande

\begin{equation}\label{E2}\frac{a_{2}}{S_{1}}+\dots+\frac{a_{n}}{S_{n-1}}\leq B_{N}+(1+\varepsilon)A_{n}.\end{equation}

\( \bullet \) Combinando \eqref{E1} y \eqref{E2} resulta que

\( 1-\frac{\ln a_{1}+B_{N}}{\ln S_{n}}\leq (1+\varepsilon)\frac{A_{n}}{\ln S_{n}} \)  y  \( \frac{A_{n}}{\ln S_{n}}\leq 1+\frac{1-\ln a_{1}}{\ln S_{n}}, \)

de donde se deduce

\( \displaystyle\frac{1}{1+\varepsilon}\leq\liminf_{n\to\infty}\frac{A_{n}}{\ln S_{n}}\leq\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\frac{A_{n}}{S_{n}}\leq1. \)

\( \bullet \) Finalmente, como \( \varepsilon>0 \) fue arbitrario, concluimos que \( \lim_{n\to\infty}\frac{A_{n}}{S_{n}}=1. \)

Saludos,

Enrique.