Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: CKmatematico08 en 21 Octubre, 2016, 10:24

Título: Serie 2
Publicado por: CKmatematico08 en 21 Octubre, 2016, 10:24
Hola, podrian ayudarme con este ejercicio.

Sea \[ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{a_n} \] una serie divergente de términos positivos y sea \[ \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{S_n}}=0 \], donde \[ S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \]. Demostrar que \[ \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_1S_1^{-1}+a_2S_2^{-1}+\cdots+a_nS_n^{-1}}{Ln(S_n)}}=1 \]
Donde: \[ Ln= \] Logaritmo natural

Gracias.
Título: Re: Serie 2
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 21 Octubre, 2016, 16:20
Editado 2

Está bien lo que proponía (Pués no hay un pequeño error):

Pasa de esta respuesta CKmatematico08 la pongo en spoiler.

Spoiler

Aplica Stolz al límite \[  \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{a_1}{S_1} + \dfrac{a_2}{S_2} + \cdots + \dfrac{a_n}{S_n}}{\log(S_n)}  \] y te queda:

\[  \displaystyle \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{a_{n+1}}{S_{n+1}}}{\log(S_{n+1}) - \log(S_n)}  \]


Mira la ayuda del spoiler sólo si no te sale.



\[  \lim_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{a_{n+1}}{S_{n+1}}}{\log(S_{n+1}) - \log(S_n)} = \lim_{n \to +\infty}  \dfrac{\dfrac{a_{n+1}}{S_{n+1}}}{\log(\dfrac{S_{n+1}}{\color{red}S_n \color{black}})} =  \]



[cerrar]
Título: Re: Serie 2
Publicado por: CKmatematico08 en 21 Octubre, 2016, 17:39
Estas considerando como una \[ T_n=\displaystyle\frac{a_1}{S_1}+\displaystyle\frac{a_2}{S_2}+...+\displaystyle\frac{a_n}{S_n} \]
entonces Stolz \[ \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{T_{n+1}-T_n}{Ln(S_{n+1})-Ln(S_n)}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{a_{n+1}}{S_{n+1}}}{Ln(\displaystyle\frac{S_{n+1}}{S_n})}} \]
Pero luego como dices que es \[ 0 \].

Saludos.
Título: Re: Serie 2
Publicado por: Juan Pablo Sancho en 21 Octubre, 2016, 18:03
Perdona CKmatematico08 edité el mensaje tenía varios errores el límite da uno como propones.

Saludos.
Título: Re: Serie 2
Publicado por: CKmatematico08 en 21 Octubre, 2016, 18:20
Después de aplicar Stolz como llegas a que el limite es 1??.
Título: Re: Serie 2
Publicado por: EnRlquE en 21 Octubre, 2016, 23:53
Hola CKmatematico08.

 Esta es una forma alternativa de probar el límite. La estrategia es básicamente una adaptación de la prueba de que la serie armónica está "cerca" del logaritmo (https://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler-Mascheroni), usando aproximaciones por sumas de Riemann de la función logaritmo. La resumo en los siguientes pasos

\[ \bullet \] En lo que sigue llamaremos \[ A_{n}:=\frac{a_{1}}{S_{1}}+\dots+\frac{a_{n}}{S_{n}} \] y \[ B_{n}:=\frac{a_{2}}{S_{1}}+\dots+\frac{a_{n}}{S_{n-1}}. \] Además notemos que \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{S_{n}}=0 \] implica que \[ \lim_{n\to\infty}\frac{S_{n}}{S_{n-1}}\to 1, \] y la divergencia de \[ \sum a_{n} \] implica que \[ \lim_{n\to\infty}\ln S_{n}=+\infty. \]

\[ \bullet \] Consideremos la partición \[ \{a_{1}+S_{1}<S_{2}<\dots<S_{n}\} \] del intervalo \[ [a_{1},S_{n}]. \] Al comparar las sumas de Rieman, inferior y superior, con la integral de \[ x\mapsto1/x \] en \[ [a_{1},S_{n}] \] (igual a \[ \ln S_{n}-\ln a_{1} \]) obtenemos

\begin{equation}\label{E1}\frac{a_{2}}{S_{2}}+\dots+\frac{a_{n}}{S_{n}}\leq\ln S_{n}-\ln a_{1}\leq\frac{a_{2}}{S_{1}}+\dots+\frac{a_{n}}{S_{n-1}}.\end{equation}

\[ \bullet \] Fijemos \[ \varepsilon>0. \] Tenemos que existe \[ N\in\mathbb{N} \] tal que \[ 1<\frac{S_{n}}{S_{n-1}}<1+\varepsilon \] para todo \[ n> N. \] Luego, para \[ n \] suficientemente grande

\begin{equation}\label{E2}\frac{a_{2}}{S_{1}}+\dots+\frac{a_{n}}{S_{n-1}}\leq B_{N}+(1+\varepsilon)A_{n}.\end{equation}

\[ \bullet \] Combinando \eqref{E1} y \eqref{E2} resulta que

\[ 1-\frac{\ln a_{1}+B_{N}}{\ln S_{n}}\leq (1+\varepsilon)\frac{A_{n}}{\ln S_{n}} \]  y  \[ \frac{A_{n}}{\ln S_{n}}\leq 1+\frac{1-\ln a_{1}}{\ln S_{n}}, \]

de donde se deduce

\[ \displaystyle\frac{1}{1+\varepsilon}\leq\liminf_{n\to\infty}\frac{A_{n}}{\ln S_{n}}\leq\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\frac{A_{n}}{S_{n}}\leq1. \]

\[ \bullet \] Finalmente, como \[ \varepsilon>0 \] fue arbitrario, concluimos que \[ \lim_{n\to\infty}\frac{A_{n}}{S_{n}}=1. \]

Saludos,

Enrique.