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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: alexpglez en 02 Octubre, 2016, 08:59 pm

Título: Descripciones impropias
Publicado por: alexpglez en 02 Octubre, 2016, 08:59 pm
Buenas tardes.

¿Qué significan las descripciones impropias y qué utilidad lógica tienen?
[texx] \not \exists! x \alpha \vdash x|\alpha=y|(y=y) [/texx]

Además, en matemáticas hay veces que es inevitable usarlas, por ejemplo:
[texx] F(x)=y|(x,y) \in F [/texx]
Que tiene un valor bien definido si [texx] x \in DF [/texx], pero ¿qué valor tendría si [texx] x \not\in DF [/texx]?
Título: Re: Descripciones impropias
Publicado por: Carlos Ivorra en 02 Octubre, 2016, 09:57 pm
¿Qué significan las descripciones impropias y qué utilidad lógica tienen?
[texx] \not \exists! x \alpha \vdash x|\alpha=y|(y=y) [/texx]

Eso es simplemente un convenio práctico por el que establecemos que todas las descripciones impropias, es decir, todas las expresiones de la forma \( x\mid \alpha \) cuando no existe un único \( x \) que cumple \( \alpha \), representan un mismo objeto, que en principio no está determinado, pero si una teoría axiomática puede determinar unívocamente un objeto puedes tomar como axioma que la descripción impropia es ese objeto. Por ejemplo, en una teoría de conjuntos puedes tomar como axioma que \( \forall u\ u\notin x\mid x=x \), con lo que estamos adoptando el convenio de que la descripción impropia es el conjunto vacío.

Además, en matemáticas hay veces que es inevitable usarlas, por ejemplo:
[texx] F(x)=y|(x,y) \in F [/texx]
Que tiene un valor bien definido si [texx] x \in DF [/texx], pero ¿qué valor tendría si [texx] x \not\in DF [/texx]?

Pues, si adoptamos el convenio que acabo de indicar, sería \( F(x)=\emptyset \), aunque nada te impide adoptar cualquier otro convenio alternativo para las descripciones impropias. En realidad importa poco qué objeto seleccionas para interpretarlo. Por eso mismo no pasa nada si no seleccionas ninguno en particular. No obstante, si selecciones uno definible sin descriptores (como es el caso del conjunto vacío, que está caracterizado por la fórmula sin descriptores \( \forall u\ u\notin x \)) es posible demostrar que toda fórmula es equivalente a una fórmula sin descriptores.