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Matemática => Matemática de escuelas primaria, secundaria, bachillerato => Mensaje iniciado por: spairoa en 04 Diciembre, 2007, 03:55 pm

Título: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: spairoa en 04 Diciembre, 2007, 03:55 pm
Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo...

si tengo la raiz cuadrada del cuadrado de -1.. ¿cual es el resultado? ¿1 ó -1?

\( \sqrt[2]{(-1)^2} \)
Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: aladan en 04 Diciembre, 2007, 04:24 pm
Hola spairoa

Las raices cuadradas de números negativos NO son reales, precisamente su existencia en múltiples cálculos dió lugar a la aparición de los números complejos, números con parte real y parte imaginaria.
La unidad imaginaria es precisamente

                              \( \sqrt[ ]{-1}=i\Longrightarrow{i^2=-1} \)

¿ Has oido hablar de los números complejos?
No obstante lo que planteas en tu consulta no es la raiz cuadrada de un número negativo porque
                                   \( (-1)^2=1 \)

y
                           \( \sqrt[ ]{(-1)^2}=\pm{1} \)

no olvides que todo número real positivo tiene dos raices cuadradas de igual valor absoluto, una positiva y otra negativa.
Saludos

Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: physlord en 04 Diciembre, 2007, 04:36 pm
Para que lo que preguntaste tenga entido dentro de los imaginarios podrías replantearlo como \( i^2 \) o escrito de otra forma \( (\sqrt{-1})^2 \), que como, lo indica tu intuición,es igual a \( -1 \)
Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: kilua zaoldieck en 04 Diciembre, 2007, 06:11 pm
Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo...

si tengo la raiz cuadrada del cuadrado de -1.. ¿cual es el resultado? ¿1 ó -1?

\( \sqrt[2]{(-1)^2} \)

Creo que esta mal  lo que dicen  arriba,  esto  lo  vi en mi prueba de seleccion universitaria  y luego de darla investigué del tema y me encontré  con que la función raíz cuadrada  esta definida como :
\(
\[
\sqrt x  = |a|
\]
 \)

Lo  que quiere decir es que el  resultado  de una raiz  solo considera los valores positivos.

se utiliza  el \( \pm{} \)  cuando  quedó producto de una  ecuación la raíz


En este caso el resultado es 1
Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: spairoa en 04 Diciembre, 2007, 06:25 pm
Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo...

si tengo la raiz cuadrada del cuadrado de -1.. ¿cual es el resultado? ¿1 ó -1?

\( \sqrt[2]{(-1)^2} \)

Creo que esta mal  lo que dicen  arriba,  esto  lo  vi en mi prueba de seleccion universitaria  y luego de darla investigué del tema y me encontré  con que la función raíz cuadrada  esta definida como :
\(
\[
\sqrt x  = |a|
\]
 \)

Lo  que quiere decir es que el  resultado  de una raiz  solo considera los valores positivos.

se utiliza  el \( \pm{} \)  cuando  quedó producto de una  ecuación la raíz


En este caso el resultado es 1

si es así como dices, entonces tengo buena esa pregunta jaja, ya que yo también estaba dando la prueba de seleccion universitaria y me quedó esa duda.

gracias por las respuestas.
Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: ManDraKE en 05 Diciembre, 2007, 05:11 am
No siempre consideras el valor positivo, todo depende de que es lo que estés haciendo. Ejemplo:

\( y^2+x=2 \)

\( y=\pm{}\sqrt{2-x} \)

Ahi si solo tomas el valor positivo, pierdes una de las ramas de la parábola.
Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: kilua zaoldieck en 05 Diciembre, 2007, 05:16 am
No siempre consideras el valor positivo, todo depende de que es lo que estés haciendo. Ejemplo:

\( y^2+x=2 \)

\( y=\pm{}\sqrt{2-x} \)

Ahi si solo tomas el valor positivo, pierdes una de las ramas de la parábola.

Como dije  en mi post mas arriba

ahí tú estás  resolviendo una ecuación cuadrática, pero no resolviendo una funcion raíz cuadrada...

para efectos de ecuaciones  se obtienen 2 valores,pero  por definición en la función sólo se obtiene un resultado, que es el valor absoluto de la raiz del número, que se interpreta como positivo
Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: aladan en 06 Diciembre, 2007, 04:01 am
Creo que esta mal  lo que dicen  arriba,  esto  lo  vi en mi prueba de seleccion universitaria  y luego de darla investigué del tema y me encontré  con que la función raíz cuadrada  esta definida como :
\(
\[
\sqrt x  = |a|
\]
 \)

Lo  que quiere decir es que el  resultado  de una raiz  solo considera los valores positivos.

se utiliza  el \( \pm{} \)  cuando  quedó producto de una  ecuación la raíz


En este caso el resultado es 1
Me temo que el resultado de tu investigación no es correcto, o más bien la conclusión que aportas a esa investigación, verás la raiz enesima de cualquier valor,x, sea real o complejo es todo valor y que satisfaga la siguiente igualdad

                                    \( y^n=x \)

Para n = 2, no habia visto nunca la expresión que aportas y que considero válida unicamente para radicandos reales positivos, de

                                        \( \[\sqrt x  = |a|\] \)

que                                \( \forall{x}\in{R^+} \)
y
                                       \( \forall{a}\in{R} \)

la interpretación correcta no es ni mucho menos que la raiz cuadrada sea unicamente el valor positivo de
                                                                     a
, sino todo valor real cuyo valor absoluto sea
                                                                     l a l

y eso lo cumplen los dos valores que comparten
el valor absoluto opuestos entre si, es decir               
                                                                       a        -a

Para el caso que nos ocupa
                                           \( \sqrt[ ]{(-1)^2}= \left |{1}\right |\Longrightarrow{\sqrt[ ]{(-1)^2}}=1\wedge\sqrt[ ]{(-1)^2}=-1 \)   

Los dos valores tienen por cuadrado 1, compartiendo, evidentemente el valor absoluto.

No siempre consideras el valor positivo, todo depende de que es lo que estés haciendo. Ejemplo:
\( y^2+x=2 \)
\( y=\pm{}\sqrt{2-x} \)
Ahi si solo tomas el valor positivo, pierdes una de las ramas de la parábola.
Como dije  en mi post mas arriba
ahí tú estás  resolviendo una ecuación cuadrática, pero no resolviendo una funcion raíz cuadrada...
para efectos de ecuaciones  se obtienen 2 valores,pero  por definición en la función sólo se obtiene un resultado, que es el valor absoluto de la raiz del número, que se interpreta como positivo
Lo que en la cita anterior se dice, parece una broma matemática, ahí si dos valores por ..............ecuación cuadrática............raiz cuadrada, no señor son dos valores porque toda raiz cuadrada tiene siempre dos valores y para terminar solamente un ruego, repasen esa definición de raiz cuadrada que ahí se cita y la sustituyan por esta
Raiz cuadrada de un número real positivo,x,  son los dos valores reales \( \pm{a} \) cuyo valor absoluto es a , de forma que \( \pm{a^2}=x \)

Saludos
                               
Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: super_eman en 06 Diciembre, 2007, 04:08 am
La respuesta correcta es...
\( \sqrt[n ]{a^n}=\left |{a}\right | \) para n par.
Saludos.
PD: Es incorrecto si se asume que esta ley es la base de varias demostraciones inválidas, por ejemplo el demostrar que -1 = 1:

    \( -1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1 \)

donde la tercera igualdad no puede ser justificada.

Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: EnRlquE en 06 Diciembre, 2007, 04:12 am
 Hola aladan, me temo que lo que dices no es del todo correcto.

 - Si estamos trabajando en el campocmplejo, todo lo que has dicho es correcto, la raiz cuadrada de todo complejo, distinto de cero, asume dos valores, en particular para los complejos de la forma \( x+0i \).

 - Pero si estamos trabajando es el campo delos reales NO, pues en los reales, para \( A>0 \) se define la raiz cuadrada de \( A \), denotada por \( \sqrt{A} \) como el único número positivo tal que

\( (\sqrt{A})^{2}=A \)

Spoiler
No se si has notado que la gráfica de la función \( f \) definida por \( f(x)=\sqrt{x} \) tiene su gráfico en el primer cuadrante y esta función nos brinda las raices cuadradas de todos los números para los cuales esta definida la raiz cuadrada (Todo esto en los reales por supuesto).
[cerrar]

Saludos.
Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: aladan en 06 Diciembre, 2007, 04:53 am
Amigo Braguildur

La grafica de la función
                                \( y=\sqrt[ ]{x}\Longrightarrow{y^2=x} \)

es,para mi, una parábola con vértice en el origen y eje el OX, la parte ubicada en el primer cuadrante me proporciona solamente la mitad de la gráfica, correspondiente a los valores positivos de la raiz, no todos los que tiene.
Te agradeceria me digas a que función responde la parábola completa.
Saludos
Título: Re: Raiz cuadrada del cuadrado de un número negativo
Publicado por: EnRlquE en 06 Diciembre, 2007, 02:45 pm
 Hola aladan, la parábola completa, por definición de función, no representa el gráfico de ninguna función.

 Insisto en los reales, estas expresiones

\( \sqrt{x^{2}}=y \)   y   \( x^{2}=y^{2} \)

tienen soluciones diferentes, de la primera sólo se puede concluir que \( y=|x| \) sin embargo de la segunda se deduce que \( x=\pm y \).

Spoiler
De ahí que, cuando en los reales se resuelven ecuaciones del tipo \( \sqrt{f(x)}=y \), antes de hacer \( f(x)=y^{2} \), se imponen las condiciones \( y\geq{0} \) y \( f(x)\geq{0} \).

 Espero que esto aclare el asunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada (http://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada)

http://www.matematica.uns.edu.ar/ingresantes/NrosReales.pdf (http://www.matematica.uns.edu.ar/ingresantes/NrosReales.pdf) (Las seis últimas páginas)
[cerrar]

 Pero, como dije antes, en los complejos todo lo que dices es correcto.

Saludos.