Rincón Matemático

Matemática => Teoría de números => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: minette en 27 Julio, 2016, 12:49 pm

Título: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Julio, 2016, 12:49 pm
Hola

Supongamos que las dos siguientes fracciones son iguales:

\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

entonces

\( a^{n}-x_{0}c^{n}a^{n-1}=-b^{n}-y_{0}c^{n}b^{n-1} \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}) \)
 

de aquí \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Con lo cual las dos fracciones son iguales

Otro razonamiento:

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

para que la igualdad sea posible

\( -b-y_{0}c^{n}<a-x_{0}c^{n} \)
 

\( x_{0}c^{n}-y_{0}c^{n}<a+b \)
 

\( c^{n}(x_{0}-y_{0})<a+b \)
 

como \( x_{0}>y_{0} \)   esta desigualdad es imposible y por tanto las dos fracciones no son iguales.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Julio, 2016, 01:30 pm
Hola

Hola

Supongamos que las dos siguientes fracciones son iguales:

\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

entonces

\( a^{n}-x_{0}c^{n}a^{n-1}=-b^{n}-y_{0}c^{n}b^{n-1} \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}) \)
 

de aquí \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)

Para que ese último paso sea cierto se supone que sabes que:

\( x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}=1 \)
 
Citar
Con lo cual las dos fracciones son iguales

Otro razonamiento:

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

para que la igualdad sea posible

\( -b-y_{0}c^{n}<a-x_{0}c^{n} \)
 

\( x_{0}c^{n}-y_{0}c^{n}<a+b \)
 

\( c^{n}(x_{0}-y_{0})<a+b \)
 

como \( x_{0}>y_{0} \)   esta desigualdad es imposible y por tanto las dos fracciones no son iguales.

Ahí lo que se tiene es que \( (-b-y_{0}c^{n}) \) y \( (a-x_{0}c^{n}) \) son negativos; por tanto lo que he marcado en rojo no es cierto.

Por ejemplo \( 5>3 \) y también \( -3>-5 \) pero \( 5\cdot (-3)=3\cdot (-5) \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Julio, 2016, 06:50 pm
Hola y gracias el_manco

Correcto: \( x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}=1 \)
 

Por otro lado \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

Para saber si

\( -b-y_0c^n<a-x_0c^n \)

comprobemos que

\( y_0c^n+b>x_0c^n-a \)

\( b+a>c^n(x_0-y_0) \)

y esto no es cierto.

Y si esto no es cierto, tampoco es cierto que

\( -b-y_0c^n <a-x_0c^n \)

con lo cual me corrijo a mi misma.

Pero si lo anterior no es cierto será cierto \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y entonces la igualdad no es posible.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Julio, 2016, 09:53 am
Hola

Pero si lo anterior no es cierto será cierto \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y entonces la igualdad no es posible.

Vuelves a insistir en el mismo error. Es perfectamente compatible que \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y que la igualdad sea cierta.

Te lo indiqué con un ejemplo aquí:

Por ejemplo \( 5>3 \) y también \( -3>-5 \) pero \( 5\cdot (-3)=3\cdot (-5) \).

Es decir, puede ocurrir perfectamente que \( b^{n-1}>a^{n-1} \), \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y al mismo tiempo que \( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \), ya que \( -b-y_0c^n<0 \).

Te lo escribo de otra manera para que lo veas más claro.

La igualad:

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)

equivale a (sin más que cambiar de signo) a:

\( b^{n-1}(b+y_0c^n)=a^{n-1}(x_0c^n-a) \)

La desigualdad \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) equivale a (sin más que cambiar de signo ambos términos y por tanto cambiar el sentido de la desigualdad):

\( b+y_0c^n<x_0c^n-a \)

Entonces (ahora con todos los factores positivos) tenemos que:

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)

\( b+y_0c^n<x_0c^n-a \)

y

\( b^{n-1}(b+y_0c^n)=a^{n-1}(x_0c^n-a) \)

No hay nada contradictorio ahí.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Julio, 2016, 06:42 pm
Hola el_manco

En tu razonamiento (respuesta 3) das por cierta la desigualdad

\( -b-y_{0}c^{n}>a-x_{0}c^{n} \)   sin nada que lo justifique . Idem para \( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \).

En el inicio de este hilo escribo

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

¡Ojo! Pero enseguido escribo:

para que la igualdad sea posible.

Es decir: he supuesto arriba el signo = .

Finalmente terminas:

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

\( b+y_{0}c^{n}<x_{0}c^{n}-a \)
 

Nada autoriza a afirmar, como haces, que el producto de los dos primeros miembros de las citadas desigualdades sea igual al producto de los segundos miembros.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Julio, 2016, 11:02 am
Hola

Hola el_manco

En tu razonamiento (respuesta 3) das por cierta la desigualdad

\( -b-y_{0}c^{n}>a-x_{0}c^{n} \)   sin nada que lo justifique . Idem para \( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \).

Lo que digo es que esas dos desigualdades son la misma sin más que transponer términos o cambiar de signo.

Citar
En el inicio de este hilo escribo

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

¡Ojo! Pero enseguido escribo:

para que la igualdad sea posible.

Es decir: he supuesto arriba el signo = .

Finalmente terminas:

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

\( b+y_{0}c^{n}<x_{0}c^{n}-a \)
 

Nada autoriza a afirmar, como haces, que el producto de los dos primeros miembros de las citadas desigualdades sea igual al producto de los segundos miembros.

Es que yo no digo que esas desigualdades e igualdad TENGAN que darse; lo que digo es que NO es imposible, con las premisas que se han manejado, que sean ciertas. Es decir AFIRMO que son relaciones COMPATIBLES, que pueden darse. Que se den o no, dependerá de los valores concretos de las variables o de hipótesis adicionales que puedan hacerse intervenir.

En otras palabras lo único que he querido señalar es que estos dos razonamientos que haces están mal:

como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 
para que la igualdad sea posible

\( -b-y_{0}c^{n}<a-x_{0}c^{n} \)

Pero si lo anterior no es cierto será cierto \( -b-y_0c^n>a-x_0c^n \) y entonces la igualdad no es posible.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Agosto, 2016, 01:18 pm
Hola

Me declaro culpable de haber organizado este lío.

Tenía que haber iniciado este hilo así:

Se trata de demostrar que las fracciones

\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}  \)  y \( \frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

NO son iguales.

Multiplicando en cruz se llega a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

con lo cual se demuestra que no son iguales.

Con esta convicción trataba de demostrar la desigualdad de las dos fracciones por otro camino y decía: Si FUERAN iguales

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

o bien

\( b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)
 

como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

El factor \( (y_{0}c^{n}+b) \)   No puede ser igual, ni tampoco mayor, al factor \( (x_{0}c^{n}-a) \).
 

Tiene que ser

\( (y_{0}c^{n}+b)<(x_{0}c^{n}-a) \)
 

Si fueran iguales:

\( y_{0}c^{n}+b=x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a=c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

lo cual es imposible:

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

Si \( y_{0}c^{n}+b>x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a>(x_{0}-y_{0})c^{n} \)
 

Lo cual es imposible

Entonces la única posibilidad es

\( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

Lo cual es cierto

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^{n}+b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
 

\( b^{n}+b^{n-1}a=(a^{2n-1}+a^{n-1}b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
 

Si prescindimos del factor \( (x_{0}-y_{0}) \)   positivo

\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{2n-1}+a^{n-1}b^{n} \)
 

El término \( b^{n}<a^{n-1}b^{n} \)
 

El término \( b^{n-1}a \)   ? \( a^{2n-2}\cdot a \)
 

\( b^{n-1} \)   ? \( a^{2n-2} \)
 

\( b^{n-1}  \)  ? \( a^{n-1}a^{n-1} \)
 

sacando raiz \( b^{n-1} \)   :

\( b<a^{2} \)

Saludos.
 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Agosto, 2016, 11:09 pm
Hola

Tenía que haber iniciado este hilo así:

Se trata de demostrar que las fracciones

\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}  \)  y \( \frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

NO son iguales.

Multiplicando en cruz se llega a \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

con lo cual se demuestra que no son iguales.

De manera más precisa se demuestra que la igualdad de esas fracciones (y teniendo en cuenta las especiales características de \( x \) e \( y \) que apenas has citado de pasada en este hilo, pero si has detallado en otros) equivale a la igualdad de \( a^n+b^n=c^n \). Supuesto que admitimos que esta igualdad no se da, entonces tampoco se da la de las fracciones que indicas.

Citar
Con esta convicción trataba de demostrar la desigualdad de las dos fracciones por otro camino y decía: Si FUERAN iguales

\( b^{n-1}(-b-y_{0}c^{n})=a^{n-1}(a-x_{0}c^{n}) \)
 

o bien

\( b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)
 

como \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

El factor \( (y_{0}c^{n}+b) \)   No puede ser igual, ni tampoco mayor, al factor \( (x_{0}c^{n}-a) \).
 

Tiene que ser

\( (y_{0}c^{n}+b)<(x_{0}c^{n}-a) \)
 

Si fueran iguales:

\( y_{0}c^{n}+b=x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a=c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

lo cual es imposible:

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

Si \( y_{0}c^{n}+b>x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a>(x_{0}-y_{0})c^{n} \)
 

Lo cual es imposible

Entonces la única posibilidad es

\( y_{0}c^{n}+b<x_{0}c^{n}-a \)
 

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)
 

Lo cual es cierto

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

\( b+a<c^{n}(x_{0}-y_{0}) \)

Hasta aquí de acuerdo.

Pero ahora ya no sé a que viene ni de donde sale esta igualdad (y por tanto lo que sigue):
 
Citar
\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^{n}+b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
 
Saludos.

P.D. Como te he repetido por activa y por pasiva si esto pretende ser una demostración del Teorema de Fermat, a vuelapluma es inmediato ver que está mal: no se usa de manera decisiva en ningún sitio que las variables implicadas toman valores enteros. Y para números reales la ecuación de Fermat si tiene soluciones no triviales.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Agosto, 2016, 12:52 pm
Hola

La igualdad que dices "no sé a qué viene ni de donde sale (y por tanto lo que sigue)", viene del producto de las dos desigualdades:

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
\( b+a<c^n(x_0-y_o) \)

y si pongo el signo = es porque no te gusta que ponga el ? para esperar hasta el final determinar el signo real del ?

De otro modo

Asi como

\( 25>10 \)
\( 30<45 \)

Para que la suma de las dos desigualdades tome el signo =, tiene que ocurrir que 25-10= 45-30

Por lo mismo de

\( b^{n-1}> a^{n-1} \)
\( b+a<c^n(x_0-y_0) \)

entonces
\( b^{n-1}-a^{n-1}=c^n(x_0-y_0)-(b+a) \)

y esta igualdad no es posible.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Agosto, 2016, 01:07 pm
Hola

La igualdad que dices "no sé a qué viene ni de donde sale (y por tanto lo que sigue)", viene del producto de las dos desigualdades:

\( b^{n-1}>a^{n-1} \)
\( b+a<c^n(x_0-y_o) \)

y si pongo el signo = es porque no te gusta que ponga el ? para esperar hasta el final determinar el signo real del ?

Pero es que no es esa la cuestión. La pregunta es a que viene estudiar la posible igualdad:

\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^{n}+b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)

Si la intención inicial era estudiar la posible igualdad:

\(
b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)

No acabo de ver que la igualdad (o no) de una implique la igualdad (o no) de la otra.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Agosto, 2016, 06:19 pm
Hola

Cuando en mi respuesta 6 afirmo que

\( y_0c^n+b<x_0c^n -a \)

y que no existe otra posibilidad, esa afirmación equivale a

\( b+a<c^n (x_0-y_0) \)

Y es al multiplicar el primer miembro \( (b+a) \) por \( b^{n-1} \), y el segundo por \( a^{n-1} \) es de donde sale

\( b^n+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^n+b^n)(x_0-y_0) \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Agosto, 2016, 04:04 pm
Hola

\( b^n+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^n+b^n)(x_0-y_0) \)

Pero insisto: esa igualdad no equivale a la primera, no equivale a esta:

\( b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)

Cualquier conclusión que saques de una no nos dirá nada útil sobre la otra.

Para que lo entiendas mejor.  Si tienes una igualdad de números positivos de la forma:

\( A(B+C)=D(E+F) \)  (1)

Si \( A>D \) para que se cumpla tiene que darse que \( B+C<E+F \). Pero si ahora trasponemos términos en está última desigualdad: \( B-E<F-C \) de manera que tengamos la desigualdades:

\( A>D \)
\( B-E<F-C \)

aunque se cumpla (1), NO tiene porque cumplirse la igualdad:

\( A(B-E)=D(F-C) \)

Sólo se daría si \( A=D \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Agosto, 2016, 06:55 pm
Hola

Sin entrar a considerar tu respuesta 11, llego por mi misma a afirmar que cometo una barbaridad creyendo equivalentes las igualdades

\( b^{n-1}(y_{0}c^{n}+b)=a^{n-1}(x_{0}c^{n}-a) \)
 

\( b^{n}+b^{n-1}a=a^{n-1}(a^{n}+b^{n})(x_{0}-y_{0}) \)
 

Ahora tomo otro camino:

\( (K_{1})\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}\neq\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}}(K_{2}) \)
 

para ello las elevamos al cuadrado y multiplicamos en cruz.

Operando se llega a

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})+a^{2n}\neq c^{n}y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})+b^{2n} \)
 

\( a^{n-1}[c^{n}x_{0}(c^{n}-2a^{n})+a^{n+1}]\neq b^{n-1}[c^{n}y_{0}(2b^{n}-c^{n})+b^{n+1}] \)
 

Si los corchetes son iguales

Primer miembro \( < \)  2º miembro \( \rightarrow K_{1}<K_{2} \)
 

Lo mismo ocurre si el corchete del primer miembro es menor que el del segundo \( \rightarrow K_{1}<K_{2} \).

Por tanto la única posibilidad de que ambos miembros sean iguales pasa porque el corchete del primer miembro sea mayor que el del segundo. Veamos si esto es posible:

\( c^{n}x_{0}(c^{n}-2a^{n})-c^{n}y_{0}(2b^{n}-c^{n}) \)   ? \(  b^{n+1}-a^{n+1} \)
 

\( c^{n}x_{0}(b^{n}-a^{n})-c^{n}y_{0}(b^{n}-a^{n}) \)   ? \( b^{n+1}-a^{n+1} \)
 

\( c^{n}(b^{n}-a^{n})(x_{0}-y_{0}) \)   ? \( b^{n+1}-a^{n+1} \)
 

\( (b^{2n}-a^{2n})(x_{0}-y_{0})>b^{n+1}-a^{n+1} \)
 

Efectivamente vemos que el corchete del primer miembro es mayor que el de segundo.

Entonces para saber si la desigualdad inicial es posible (y no se produce la igualdad) multiplicamos el primer miembro por \( a^{n-1} \)   y el segundo por \( b^{n-1} \)
 

\( a^{n-1}(b^{2n}-a^{2n})(x_{0}-y_{0})  \)  ? \( (b^{n+1}-a^{n+1})b^{n-1} \)
 

\( (b^{2n}a^{n-1}-a^{3n-1})(x_{0}-y_{0}) \)   ? \( b^{2n}-a^{n+1}b^{n-1} \)
 

Prescindimos de momento del factor \( (x_{0}-y_{0}) \)
 

\( b^{2n}a^{n-1}+a^{n+1}b^{n-1}  \)  ? \( b^{2n}+a^{3n-1} \)
 

\( (1) b^{n-1}(b^{n+1}a^{n-1}+a^{n+1}-b^{n+1}) \)   ? \( a^{n-1}a^{2n} \)
 

Por un lado \( b^{n-1}>a^{n-1} \)
 

Veamos como son los otros dos factores:

\( b^{n+1}a^{n-1}-b^{n+1}  \)  ? \( a^{2n}-a^{n+1} \)
 

\( b^{n+1}(a^{n-1}-1) \)   ? \( a^{n+1}(a^{n-1}-1) \)
 

por tanto \( b^{n+1}(x_{0}-y_{0})>a^{n+1} \)
 

o sea, los dos factores del primer miembro de (1) son mayores que los dos del segundo.

En consecuencia \( K_{1}>K_{2} \)
 

Las dos fracciones iniciales no son iguales.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Agosto, 2016, 05:10 pm
Hola

 No tengo tiempo de entrar en detalles.

 Pero no estás teniendo en cuenta que en tu razonamiento \( K_1 \) y \( K_2 \) son negativos. Por tanto que \( K_1^2<K_2^2 \) NO significa que \( K_1<K_2 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 29 Agosto, 2016, 11:50 am
Hola

En mi respuesta 12 concluyo

\( K_1>K_2 \)

Tu dices que \( K_1^2 <K_2^2 \) NO significa  que \( K_1<K_2 \).

Lo importante en mi opinión, es que signifique que \( K_1<K_2 \) ó \( K_1>K_2 \), lo que no puede significar es

\( K_1=K_2 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 29 Agosto, 2016, 07:54 pm
Pero sin operar tanto, minette, yo puedo dar valores arbitrarios a “a” y “b”, etc; por ejemplo:

\( a^{3}=\pi\Rightarrow a=\pi^{1/3}=1,464...
  \)

\( b^{3}=e\Rightarrow b=e^{1/3}=1.395...
  \)

\( c^{3}=\pi+e=5,859...\Rightarrow c=1,802...
  \)

\( x_{0}=3
  \)

sustituyendo aquí

\( {\displaystyle \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}}} \)
 

Tienes

\( {\displaystyle \frac{1,464...-3\cdot5,859...}{1,395^{2}...}=\frac{-1,395..-y_{0}\cdot5,859}{1,464^{2}...}}
  \)...

Y si se despeja sale un valor para \( y_{0}
  \) (a lo mejor me he equivocado al sustituir valores o algo, pero eso no cambia que exista, y se pueden dar infinitos valores de manera que esa “y” tenga solución).

Si me dices que hay números irracionales, sí, es cierto, pero qué tiene que ver con que exista o no la igualdad a partir de considerar si son mayores o menores; los irracionales también cumplen ser mayores o menores, es una propiedad que sirve para ellos al igual que para los racionales y, mira, sí existe eso; luego tu consideración tiene que estar mal, porque, si no, funcionaría también para esos valores irracionales, ya que, la relación de orden que usas es más general, no es sólo para enteros ni racionales.

Como te darás cuenta, ese hecho, considerar signos o números mayores y menores, no puede explicar qué pasa con los racionales, no explica por qué no pueden ser racionales y, por ende, por qué no puden ser enteros.

Para demostrar esto es necesario suponer cuestiones de divisibilidad; y usarlas fuertemente; es decir, de manera que impliquen decisivamente deducciones que nos puedan acercar a la demostración.

Piensa que si tuviera soluciones enteras, dividiendo la ecuación por un mismo número, la igualdad las tendría racionales, con decimales, existirían; luego la diferencia en estos tipos de números es diabólicamente esquiva, porque hay que dilucidar por qué esa "cantidad" de decimales no puede ser tan grande como se quiera y finita, pero sí infinita:


para que lo veas, en eso no sería diferente de lo que pasa aquí

\( 3^{2}+4^{2}=5^{2}
  \)

\( \dfrac{3^{2}}{1231}+\dfrac{4^{2}}{1231}=\dfrac{5^{2}}{1231}
  \)

es evidente que las soluciones enteras, si existen, obligan a que existan infinitas igualdades relacionadas de número con decimales, racionales no enteros; luego eso no puede existir para lo que queremos demostrar; y lo que buscamos realmente es, entonces, demostrar que los decimales, la cantidad de éstos, tiene que ser infinita para que no implique la existencia de soluciones enteras (de ahí que sea tan difícil escapar al método de descenso al infinito para demostrar estas cosas; casi no queda más remedio)


Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Agosto, 2016, 12:26 pm
Gracias Feriva

Te informo:

\( a, b, c, n, x_o, y_o \) son ENTEROS.

\( n\geq{3} \).

Te ruego, a partir de lo anterior, reformules tu respuesta 15.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Agosto, 2016, 12:50 pm
Hola

Perdona por haberme olvidado de estos datos:

\( c>b>a \)
\( a+b>c \)
\( x_0>y_0 \)

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Agosto, 2016, 01:01 pm
Hola

Entonces para saber si la desigualdad inicial es posible (y no se produce la igualdad) multiplicamos el primer miembro por \( a^{n-1} \)   y el segundo por \( b^{n-1} \)
 

\( a^{n-1}(b^{2n}-a^{2n})(x_{0}-y_{0})  \)  ? \( (b^{n+1}-a^{n+1})b^{n-1} \)

Ahí estás cayendo en el mismo error que habías cometido antes en este hilo.

Tu quieres analizar si es posible la igualdad:

\( a^{n-1}[\color{red}c^{n}x_{0}(c^{n}-2a^{n})+a^{n+1}\color{black}]=b^{n-1}[\color{red}c^{n}y_{0}(2b^{n}-c^{n})+b^{n+1}\color{black}] \) (*)

Pero lo que haces primero es, para comparar los factores en rojo, transpones algunos términos; de manera que te queda:

\( (b^{2n}-a^{2n})(x_{0}-y_{0}) \)  y \( b^{n+1}-a^{n+1} \)

pero ahí algunos tos términos qu estaban a la izquierda ahora están a la derecha y viceversa; entonces no tiene sentido que multipliques a la izquierda por \( a^{n-1} \) y a la derecha por \( b^{n-1} \). Eso no corresponde a la misma expresión que tenías aquí (*).

Gracias Feriva

Te informo:

\( a, b, c, n, x_o, y_o \) son ENTEROS.

\( n\geq{3} \).

Te ruego, a partir de lo anterior, reformules tu respuesta 15.

No tiene nada esencial que reformular. Ni tampoco con este añadido:

Perdona por haberme olvidado de estos datos:

\( c>b>a \)
\( a+b>c \)
\( x_0>y_0 \)

Lo que está diciendo feriva es algo que ya te hemos comentado en otras ocasiones y que no has logrado entender (lo cual supone que continúes dando palos de ciego y perdiendo el tiempo). La ecuación de Fermat y las que derivas de ellas SI tienen soluciones no enteras; si en tus argumentos no usas de manera decisivia que los números que intervienen son enteros (es decir, argumentos que valgan para enteros pero no necesariamente para no enteros), entonces automáticamente se deduce que ese intento de demostración está mal.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Agosto, 2016, 06:01 pm
Hola

En más de una ocasión he dicho que \( a, b, c, n\geq{3} \) son enteros.

Me ciño ahora al caso

\( a^2+b^2=c^2 \)

Está demostrado que

\( a^n+b^n<c^n \)  para \( n\geq{3} \)

Vamos a suponer que para otra clase de números se cumple  \( a^n+b^n=c^n \) \( n\geq{3} \)

Pregunto, ¿este  hecho invalida que \( a^n+b^n<c^n \) para \( a, b, c, n\geq{3} \) enteros?

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 30 Agosto, 2016, 06:55 pm

Citar
Te ruego, a partir de lo anterior, reformules tu respuesta 15.

Voy a hacer algo mejor, aunque sea largo. Voy a analizar (como lo hago para mí con cualquier problema) la herramienta que estás usando; quizá te dé ideas para tomar otro camino mejor en cuanto al ataque del intento de demostración; lo dejo en spoiler

Spoiler

Pongo un ejemplo sobre la marcha de una ecuación diofántica lineal:

\( 35x+30y=20
  \)

Para que tenga solución, el máximo común divisor de los coeficientes, 35 y 30 en este caso (que es mcd=5) debe dividir al término independiente de la ecuación, que es 20; y se cumple.

Despejando cualquier sumando y sacando el factor común más grande se ve

\( 35x=20-30y\Rightarrow35x=5(4+6y)
  \)

Y el factor común más grande, que no es otra cosa que el m.c.d., divide al coeficiente de x

(la afirmación inicial se puede demostrar formalmente y no es difícil, se basa en esto mismo).

Existe siempre al menos un factor común igual o más pequeño, el 1, pero, al ser el mínimo, sólo es el m.c.d. de (a.b) cuando los números “a”, y “b” son coprimos

Una vez que sabemos que van a existir soluciones, empezamos aplicando el algoritmo de Euclides. Pero si a uno le interesan estas cosas porque tiene pretensiones de intentar una demostración de algo relacionado, es obvio que uno no debe contentarse con conocerlo como una simple receta, hay que saber por qué funciona, hay que saber qué es; si no, ¿cómo vamos a poder deducir cosas relacionadas?

En primer lugar, intuitivamente, podemos pensar en dos segmentos largos de distinta longitud. Si vamos montando el segmento corto a lo largo del otro pueden pasar dos cosas: que al final nos sobre un trozo de ese segmento o no nos sobre nada, en cuyo caso el segmento corto dividiría al largo.

Supongamos que sobra un trozo “r”. Ese sobrante es el resto o residuo. Si ahora tomamos el resto y medimos con él, de la misma manera, el propio segmento corto que hemos utilizado como medida del largo, y si hecho eso también nos sobra, ese nuevo sobrante o resto será, obviamente, más corto que el segmento largo que estamos midiendo; por tanto, tenemos un residuo más pequeño que antes. La simple intuición nos hace ver que, repitiendo este proceso, llegaremos a que no nos sobre nada, o sea, a encontrar un trozo con el que medir en partes exactas al anteriormente usado; y eso trozo será una medida común para los dos segmentos iniciales  que teníamos.

Escrito como teorema, el algoritmo de Euclides dice que dados dos enteros “a” y “b” (con a>b) y siendo “d” el máximo común divisor de ambos y “r” el sobrante de la división (el resto) ocurre que el máximo común divisor de los valores “b” y “r” tienen el mismo máximo común divisor “d”.

Demostrar esta afirmación es sencillo y mucho más fácil que intentar demostrar Fermat, desde luego; sera bueno intentar hacerlo, porque difícilmente podremos demostrar cosas complicadas si antes no demostramos primero lo sencillo:

Sea “d” el m.c.d. de “a” y “b”; o sea \( (a,b)=d \)

Entonces podemos escribir “a” y “b” en función de ese divisor común:

\( a=k_{1}d
  \), \( b=k_{2}d
  \)

Por otra parte, al dividir “a” entre “b”, tenemos esto

*\( a=b\cdot cociente+resto
  \) o sea \( a=b\cdot q+r
  \)

Y sustituyendo es

\( k_{1}d=b=k_{2}d\cdot q+r
  \)

\( d(k_{1}-k_{2}q)=r
  \)

Lo que implica que “d” es divisor de “r”.

Como “d” es también divisor de “b”, entonces “d” es un divisor común de “b” y “r”. Ahora bien, esto todavía no demuestra el teorema del todo, porque no se ha demostrado aún que sea el divisor más grande de ambos, el máximo, que sería el propio “d”; y que es lo que se va a demostrar seguidamente:

Llamemos \( d_2 \), entonces, a ese divisor común de “b” y “r”; es decir: \( (b,r)=d_{2}
  \)

Análogamente a como hemos hecho antes, escribimos “b” y “r” en función del divisor común:

\( b=m_{1}d_{2}
  \) y \( r=m_{2}d_{2}
  \)

Yéndonos más arriba, a donde está el asterisco, es decir, a esta expresión \( a=b\cdot q+r
  \), sustituimos:

\( a=m_{1}d_{2}\cdot q+m_{2}d_{2}
  \)

Donde vemos que \( d_2 \) es común a los dos sumandos y, por tanto, divisor de “a”.

Entonces, como también es divisor de \( b \), ocurre que si divide a los dos es porque divide a su máximo común divisor, pues es lo que tienen de común ambos en cuanto a factores; o sea, \( d_2 \) es divisor de \( d \).

Pero, al mismo tiempo, \( d
  \) es divisor de \( d_2 \), porque es divisor de “b” y “r” que tienen de divisor común a “d”.

Luego \( d=d_2 \); ya que, dos números diferentes no pueden ser divisores a la vez uno del otro; por ejemplo, 5 divide a 10, pero 10 no divide a 5; obviamente, porque es mayor.

...

Demostrado esto, vamos a ver un ejemplo práctico tomando dos números cualesquiera: 210 y 77, que, de antemano, podemos ver que tienen de m.c.d.= 7, porque \( 210=2*3*5*{\color{blue}7}
  \) y \( 77={\color{blue}7}*11
  \)

Empezamos haciendo lo dicho, dividimos \( 210/77
  \), toca a 2 y el resto es 56.

Por lo demostrado en el teorema, 77 y 56 tienen que tener el mismo m.c.d; y en efecto así es, 7 divide a ambos y no hay un divisor común más grande.

Luego tenemos estas parejas con el mismo mcd: (210,77) y (77,56)

Seguidamente dividimos 77 entre 56.

Toca a 1 y el resto se ve a primera vista \( 77-56=21 \)

Una vez más, por lo ya demostrado, 56 y 21 tienen el mismo m.c.d.

Tenemos estas parejas con el mismo m.c.d: (210,77) y (77,56) y (56,21)

Y ahora dividimos 56 entre 21, toca a 2 y el resto es 14.

Luego tenemos estas parejas con mcd=7: (210,77) y (77,56) y (56,21) 7 (21,14)

Seguimos dividiendo 21 entre 14, que toca a 1 y el resto es 7; resultando que este último resto es el m.c.d de todas las parejas; evidentemente, al haber llegado aquí, la siguiente división, 14 entre 7, dará resto cero y el proceso acabará.

...

Volvamos a la ecuación que ponía al principio:

\( 35x+30y=20
  \)

Como en el ejemplo, procedemos dividiendo 35 entre 30, la primera pareja de números. El cociente es 1 y el resto es obviamente 5; lo expresamos según el algoritmo de la división:

\( 35=30\cdot1+5
  \)

Tenemos las parejas (35,30) y (30,5) con m.c.d=5; o sea, que ya nos ha salido el resto que tiene el valor del m.c.d.

Dividimos 30 entre 5 y el resto es cero

\( 30=5\cdot6+0
  \)

luego, como ya se ha visto en el ejemplo anterior, al ocurrir esto, el m.c.d coincide con este último divisor utilizado, 5; claro, pues todas las parejas tienen el mismo m.c.d., pero al llegar aquí es cuando lo vemos (sin necesidad de descomposciones previas, digo).

Tomando entonces esta última igualdad (la que tiene el resto igual al m.c.d) ésta

\( 35=30\cdot1+5
  \)

despejamos el resto y ya vemos los coeficientes de “x” e “y” de 35 y 30:

\( 5={\color{blue}35}\cdot{\color{red}1}+({\color{red}-1}){\color{blue}30}
  \) en este caso hemos acabado enseguida.

(en casos con más pasos, como en el del ejemplo en que tomaba los números 210,77, habría que ir sustituyendo la expresión algebraica de los restos, -desde la última igualdad, la que tiene por divisor el m.c.d- hasta llegar a donde hemos empezado, para así encontrar los coeficientes de forma similar a como se hace en este sencillo caso; pero con cuidado de no perderse uno, siempre mirando a qué números queremos llegar).

Lo que hay que hacer ahora, seguidamente, es que el término independiente (en este caso 5, el que no está multiplicado por coeficientes -los cuales he señalado en rojo-) sea el mismo de la ecuación diofántica; que es 20. Luego multiplicamos toda la igualdad por 4 para conseguir lo dicho:

\( 5\cdot4={\color{blue}35}\cdot{\color{red}1\cdot4}+({\color{red}-1\cdot4}){\color{blue}30}
  \)

Y ahora vemos que los números rojos, los coeficientes, son “x” e “y”, ya que están acompañados de los factores 35 y 30 de la ecuación:

\( 20={\color{blue}35}{\color{red}x}+{\color{blue}30}{\color{red}y}
  \)

Luego unas soluciones particulares son:

\( x_{0}=4
  \)

\( y_{0}=-4
  \)

Demostrar cuál es la forma de las soluciones generales es muy sencillo, basta plantear el sistema de ecuaciones siguiente:

\( ax+by=c
  \)

\( ax_{0}+by_{0}=c
  \)

Claro, porque \( x_{0}
  \) es también “x”, es uno de los valores de “x”, y lo mismo pasa con “y”, así que ambas expresiones darán un mismo resultado “c”.

Restando a la primera ecuación la segunda, y sacando factores comunes “a” y “b”, tenemos:

\( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=c-c
  \)

\( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0
  \)

y de ahí llegamos a

\( a(x-x_{0})=-b(y-y_{0})
  \)

o lo que es igual

\( a(x-x_{0})=b(y_{0}-y)
  \)

Ahora dividimos entre el m.c.d de “a” y “b” (al que llamamos “d”) a los dos lados:

\( \dfrac{a}{d}(x-x_{0})=\dfrac{b}{d}(y_{0}-y)
  \)

Al hacer esto, los valores “a” y “b” han sido divididos por todos sus factores comunes, así que “a/d” y “b/d” son coprimos.

Entonces, si ahora dividimos entre (a/b) a los dos lados, nos queda

\( (x-x_{0})=\dfrac{(\dfrac{b}{d})(y_{0}-y)}{(\dfrac{a}{d})}
  \)

Como \( (x-x_{0})
  \) es un entero, el otro miembro de la igualdad también lo es, y al no dividir “a/d” a “b/d”, por ser coprimos, tiene que dividir a \( (y_{0}-y)
  \) para que \( (x-x_{0})
  \) sea entero.

Esto implica, naturalmente, que \( (y_{0}-y)
  \) se pueda expresar en función de este divisor suyo \( \dfrac{a}{d}
  \) multiplicado por un cierto entero “k”:

\( y_{0}-y=k\cdot\dfrac{a}{b}
  \)

de donde despejando tenemos el valor de “y”:

\( y=y_{0}-k\cdot\dfrac{a}{d}
  \)

Con el mismo razonamiento, siguiendo los pasos análogos, llegaremos a obtener “x”:

\( {\color{blue}x=x_{0}+\dfrac{b}{d}k}
  \)

En el caso de nuestra ecuación sería

\( x=x_{0}+\dfrac{30}{5}k
  \)

\( y=y_{0}-\dfrac{35}{5}k
  \)

\( x=4+6k
  \)

\( y=-4-7k
  \)

Y así funciona básicamente (se podría decir más) lo que es una ecuación lineal diofántica. No te hago ninguna crítica “técnica” en esta ocasión, simplemente reflexiona tú lo que quieras. Tampoco estoy dando “una clase” a nadie, simplemente analizo y razono en voz alta (con los aciertos y con los errores que pueda tener). Pero una cosa es cierta, estas cosas que usas se basan en unas demostraciones previas y fíjate en qué argumentos se utilizan; ¿se habla de mayores, menores, signos? Nada o casi nada; y las demostraciones ésas no me las he inventado yo, las he leído. El material que se usa para demostrarlas es divisibilidad, divisibilidad y más divisibilidad; y eso es lo que, a la vez, hay que plantear para poder demostrar cosas con ellas, con las ecuaciones diofánticas.



Y, aparte de esto, algo más para reflexionar:

\( 5>3 \); una desigualdad cualquiera.

Elige ahora cualquier tanda de números, arbitrariamente. Elige una segunda tanda, también arbitrariamente.

Toma estas dos cosas \( 5, \) y \( 3, \) y, seguidamente, del mismo arbitrio modo, ponles detrás las tandas de números; voy hacerlo a ver qué pasa:

\( 5,1123221 \) 

\( 3,9999999998888 \)
Por casualidad le he puesto los números más grandes al más pequeño, 3, y además son más números, pero sigue siendo menor que el otro; luego no puede cambiar la desigualdad este hecho.

[cerrar]

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 31 Agosto, 2016, 12:03 pm
Hola

Gracias Feriva por tu respuesta 20 con su spoiler. Has trabajado mucho para mí. Gracias otra vez.

Ahora por favor te pido a tí, y a todos los usuarios y moderadores que contestéis a la pregunta que formulo en mi respuesta 19.

Saludos.


Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 31 Agosto, 2016, 12:12 pm
Hola

Me ciño ahora al caso

\( a^2+b^2=c^2 \)

Está demostrado que

\( a^n+b^n<c^n \)  para \( n\geq{3} \)

Vamos a suponer que para otra clase de números se cumple  \( a^n+b^n=c^n \) \( n\geq{3} \)

Pregunto, ¿este  hecho invalida que \( a^n+b^n<c^n \) para \( a, b, c, n\geq{3} \) enteros?

No sé si te estoy entendiendo.

Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n  \) para \( n\geq 3 \) independientemente de que los números \( a,b,c \) sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).

Si NO trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \) entonces el hecho de que existan números (posiblemente no enteros) verificiando  \( a^n+b^n=c^n \) \( n\geq{3} \) no dice nada (ni quita ni pone) respecto a que se cumpla o no que \( a^n+b^n<c^n \) para \( a, b, c, n\geq{3} \) enteros.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 31 Agosto, 2016, 01:56 pm
Hola

Gracias Feriva por tu respuesta 20 con su spoiler. Has trabajado mucho para mí. Gracias otra vez.

Ahora por favor te pido a tí, y a todos los usuarios y moderadores que contestéis a la pregunta que formulo en mi respuesta 19.

Hola, minette. De nada, lo hago con toda mi buena voluntad para que logres visualizar la cuestión de la misma manera que lo intento yo (no sólo el de Fermat, si no el de tantas cosas involucradas) que intento, digo, porque tampoco digo que la visualice maravillosamente, ni mucho menos.

En cuanto a la respuesta ya ha contestado el_manco, qué podría añadir yo... Como mucho puedo intentar ilustrar con un ejemplo lo mismo que él nos ha dicho.

Spoiler

¿Qué condiciones tomas para los números en cuanto a que puedan ser enteros?, ¿se consideran pares, coprimos, etc?

Realmente, cuando decimos, por ejemplo, “a” es un entero par y entonces “a+1” es impar, no es verdad que “a” sea un entero par ni impar ni entero ni nada, es una letra; pero se habla así, y en realidad deberíamos decir (no hace, falta porque se sobreentiende) que “si a es un par...” (si lo fuera, condicionado a eso) “entonces a+1 sería un impar”.

Pero también para esa misma letra podemos decir “si 'a' valiera 1/2” (condicionalmente) “entonces tendríamos 2·a – 1=0”; y la letra es la misma, lo que cambia es lo que suponemos de ella.

Veamos un ejemplo:

Hagamos particularmente \( n=3
  \), que con eso nos va a valer.

Hagamos también \( a=5+x
  \) y hagamos \( b=7+y
  \); estos números están elegidos a voleo, pero si “x” puede tomar valor positivo o negativo podemos representar cualquier número con eso pese a la arbitrariedad:

Toma cualquier a voleo, \( -231 \), entonces

\( a=5+x=5+(-231)=-226
  \)

Con el siete, igual, o eligiendo otros números, igual, vamos a representar un “a” más grande o más pequeño sea cual sea su valor; dicho sea de paso, yo diría que aquí se esconde una propiedad muy antigua que ya Arquímedes usaba (y antes de su época, seguramente).

Ah, se me había olvidado; dicho lo cual, tomemos también un \( c=(11+z)
  \) tal que

\( c=(11+z)=(5+x)+(7+y)=12+x+y
  \)

Expuesto esto, buscamos la igualdad

\( (5+x)^{3}+(7-y)^{3}=(12+x+y)^{3}
  \)

Nadie ha impuesto aquí ni a la “x” ni a la “y” ninguna condición de divisibilidad, por tanto, como ellas no saben quiénes son, por mucho que les digas que son enteros, al hacer las cuentas, según las reglas del álgebra de batalla (que sirven para todos los números reales) podrán ser cualquier número real.

De hecho, yo puedo elegir arbitrariamente un valor para una de las variables, como por ejemplo \( x=\pi
  \) y mirar a ver si existe un valor real para “y”; por qué no, ¿acaso alguien ha dicho que esas variables tienen que ser pares o múltiplos de 23 o algo parecido? Nadie ha puesto una condición propia de los enteros; y haciendo las cuentas te saldrá que existe esa “y”, su valor en números reales ronda esta cantidad \( -3,338
  \).
 
Y con ese valor, con pi y lo demás, puedes hallar el valor de de la terna (a,b,c); no son enteros, pero ¿quién a puesto restricciones de divisibilidad para considerar si pueden serlo o no? Yo no encuentro esas restricciones, encuentro restricciones en cuanto al orden, a lo de ser mayor o menor.

Ante este panorama, la conclusión es que, al menos, existen números no enteros tales que se puede dar la igualdad, pero no sabemos nada de qué puede pasar con los enteros.

En este caso tenemos

\( a^{2}=66,28...
  \)

\( b^{2}=106,87...
  \)

\( c^{2}=341,49...
  \)

\( a^{2}+b^{2}<c^{2}
  \)

Donde se cumple la desigualdad que dices para los cuadrados, pero, sin embargo, se da la igualdad para los cubos; no tiene por qué coincidir que yo vea (salvo que me haya equivocado, que eso sí es posible).

perdona, que planteabas la igualdad de los cuadrados, no la desigualdad; en cualquier caso, el problema es el ya dicho, que no se definen condiciones para los enteros y no se puede saber nada
[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 31 Agosto, 2016, 06:34 pm
Hola

Muchísimas gracias el_manco.

De tu respuesta 22 me quedo con: "Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \), independientemente de que los números \( a<b<c \), sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).

Trabajo ahora bajo la hipótesis \( a^2+b^2<c^2 \)

Está demostrado que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \) siendo \( c>b>a \).

Vamos a suponer que para otra clase de números cumpliendo \( a^2+b^2<c^2 \) y \( c>b>a \) se llega a \( a^n+b^n<c^n \) \( n\geq{3} \)

Pregunto este último hecho ¿influye o invalida la demostración inicial?

Saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 31 Agosto, 2016, 07:37 pm

 quedo con: "Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \), independientemente de que los números \( a<b<c \), sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).


Pero piensa que si te apoyas en eso sólo conseguirías demostrarlo para las ternas pitagóricas; quiero decir, yo puedo tomar estas dos ternas

(3,4,5) y (48,55,73)

y cambiar un número


(3,4,73) y (5,48,55)

de forma que tenga ternas no pitagóricas; y puedo hacer infinitos cambios porque hay infinitas ternas. ¿Cómo demostrarías que no puede existir la igualdad para cierto “n” y ciertas ternas no pitagóricas?

Saludos.

Añado

Spoiler
Te voy a decir una cosa que nunca te han dicho: de hecho, el teorema de Fermat es falso (mira los ojos que deben de estar poniendo todos los moderadores)

Sí, lo que pasa es que también es verdadero; depende de las reglas que establezcamos en el juego.

Este número tiene 230 cifras:


1796949159794106673291612844957324615636756180801260007088891//
8835531726460341490933493372247868650755230855864199929221814//
4366847228740520652579374956943483892631711525225256544109808//
19170611742509702440718010364831638288518852689


La parte entera de su raíz cúbica es

2619259915565703028701681495465270233270616921388372483367901//5332572932603904

Si elevamos al cubo esta parte entera nos da un valor menor que el número, como es lógico, porque le falta la mantisa; sin embargo, la proporción entre ambos valores se acerca bastante a 1, es

1.0000000000000295

(los cálculos los he hecho con un programa para estas cosas, una calculadora no podría con números tan grandes, como es natural).

Si tomamos un número muchísimo más pequeño, como puede ser 53, la parte entera de su raíz cúbica es 3, y si elevamos 3 al cubo es 27; la proporción es 53/27, igual a 1.962; casi 2, lo que significa que los números son menos parecidos que en el caso de los grandes.

Pero los números pueden tener cifras sin fin; ¿qué hubiera pasado en ese caso en cuanto a la proporción del número grande y la parte entera de su raíz elevada al cubo? Si la cantidad de cifras fuera infinita, la proporción hubiera sido ésta

1.0000000000000000000000...
 
y nunca encontraríamos más que ceros, nunca; por tanto, el resultado teórico en ese caso ha de ser 1, lo que implica que todo número “natural” de infinitas cifras tiene raíz cúbica “exacta” siempre; y no sólo cúbica, de todos los colores.

 Por lo que el UTF falla con esos “naturales”, resulta falso.

Pero las reglas del juego (las habituales al considerar estos problemas) no son ésas, porque un número de infinitas cifras, aunque no tenga coma, no es, por definición, un número natural ni entero tampoco.


Quizá estés pensando que (como yo no soy matemático, ni físico ni nada de esto) no me he enterado bien del asunto y estoy equivocado. Pues si lo pensaras, no es así.  Esto yo tampoco lo sabía hasta hace unos años, no lo tenía claro, me lo aclaró un día Carlos Ivorra (y precisamente se lo comenté hace muy poco a Proyecto en el hilo del  UTF 5).

Yo sí que había pensado de antes de entrar al foro en cosas como que un número que no acaba no puede ser par (porque al no acabar no acaba en cero o en par, ni múltiplo de 3, porque sus cifras nunca suman un múltiplo de tres, ya que no tienen fin y no suman un múltiplo de nada...) y más cosas, pero no había captado el concepto és que te he contado del todo; mucho de lo que sé lo he aprendido de los usuarios de este foro; de todos, no sólo de los que son profesores o alumnos avanzados, de ti también. Como dice el dicho latino “relata refero”, sólo cuento lo que he oído.

El propio Wiles dice en el minuto 05:26 de este vídeo


algo así: “ Fermat sólo dijo que nunca encontraríamos números que cumplieran esta condición...”

No dice “no se cumple o no hay números...”, dice que nunca los encontrará nadie; y sabe muy bien lo que dice, porque sabe eso de los números de infinitas cifras que he dicho.

No importa la coma, con coma o sin coma el problema es el mismo, no está la cuestión ahí:

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}
  \)

\( \dfrac{a^{n}}{c^{n}}+\dfrac{b^{n}}{c^{n}}=1
  \)

\( (\dfrac{a}{c})^{n}+(\dfrac{b}{c})^{n}=1
  \)

Esos números de los paréntesis, si son coprimos, no son enteros nunca, ni ellos ni sus potencias. Luego el teorema escrito así dice, también, que no hay números no enteros, elevados a una misma potencia, que sumen 1. Y se refiero no sólo a no enteros, si no a no enteros con número finito de cifras; porque con infinitas cifras pasa lo mismo que los muy grandes, sí los hay.
[cerrar]

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Septiembre, 2016, 12:53 pm
Hola Feriva

En cierta respuesta tuya preguntaste por la condición de los enteros \( a,b,c \), y la única condición es \( c>b>a \), con esta condición puedes emplear los que quieras (primos, coprimos, pares, impares, etc.).

Yo trato de abordar el UTF considerando 3 casos:

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

la condición que he citao antes es para los dos primeros casos, a los cuales me he referido hasta este momento.

A la cuestión que en los dos casos citados planteo no me la has contestado.

El_manco me ha contesta a una de ellas.

Ya sé que el caso \( a^2+b^2=c^2 \)

se refiere a ternas pitagóricas exclusivamente. Cualquier variación que hagas en cualquier terna pitagórica llegará  a

\( a^2+b^2<c^2 \)
ó
\( a^2+b^2>c^2 \)

siempre con \( c>b>a \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 01 Septiembre, 2016, 01:16 pm
Hola, minette, muy buenos días.

Te contesto a título de aficionado que es lo que soy, espera la respuesta de el_manco o cualquier moderador (o aunque no sea moderador, pero que sepa más) para tomarla como digamos oficial.

Citar
Cualquier variación que hagas en cualquier terna pitagórica llegará  a...

Creo que todo árbitro de demostraciones te diría que tienes que argumentar la afirmación que haces de manera que se vea y no quede ninguna duda de lo que aseveras; a base de razonamientos y partiendo de las definiciones y axiomas de los números enteros. Es decir, yo no te digo que no pase eso, no lo sé, porque hay tantos números que no estoy completamente seguro de lo que pueda pasar.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Septiembre, 2016, 06:35 pm
Hola Feriva

Ten la seguridad de que sabes más de matemáticas que yo.

Dicho esto si estás de acuerdo en que dados tres enteros \( a,b,c \) ; con \( c>b>a \) ; con sus cuadrados SÓLO pueden darse estas tres posibilidades:

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

Para argumentar la afirmación anterior creo que basta la lógica del Sentido Común.

Ahora bien, como es bien sabido que el Sentido Común es el MENOS común de los sentidos, no excluyo que sea una barbaridad. De esto, de barbaridades, me he acusado bastantes veces a mí misma y el_manco es testigo de ello.

Si la terna pitagórica \( (5,12,13) \) la cambiamos por \( (5,8,13) \), entonces \( 5^2+8^2<13^2 \)

y si la cambiamos por \( (11,12,13) \)

\( 11^2+12^2>13^2 \)

y, repito, no hay más posibilidades.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 01 Septiembre, 2016, 07:30 pm
Hola, buenas tardes, minette.

Citar

Dicho esto si estás de acuerdo en que dados tres enteros \( a,b,c \) ; con \( c>b>a \) ; con sus cuadrados SÓLO pueden darse estas tres posibilidades:

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

Para argumentar la afirmación anterior creo que basta la lógica del Sentido Común.

Sí, de eso te puedo dar el visto bueno yo sin necesidad a esperar que venga el_manco; no hay más posibilidades.

Pero en esto que dices


Citar
se refiere a ternas pitagóricas exclusivamente. Cualquier variación que hagas en cualquier terna pitagórica llegará  a

\( a^2+b^2<c^2 \)

ó

\( a^2+b^2>c^2 \)

siempre con \( c>b>a \)

es más engañoso de lo que parece; por ejemplo:

\( 3^{2}+4^{2}=(-5)^{2}
   \)

y entonces si b=4, a=3 y c=-5, ocurre que

\( b>a>c
   \)

Ya sé que es una “puñetería”, pero es que los matemáticos son muy puñeteros y hacen todas las precisiones habidas y por haber, y son a los que tienes que convencer; por mucho que yo te diga que algo está bien... independientemente de que haya acertado o no al corregir, ni pincho ni corto.


Tienes que precisar más:

Éstas dos son ternas pitagóricas (3,4,5) y (5,12,13) y puedo cambiar el “c” de una por el “a” de otra y entonces no es cierto lo que dices porque se quedan igual y sigue dándose la igualdad; y me había fijado en este ejemplo y no sabía qué contestarte, por miedo a meter la pata. Son detalles que parecen muy tontos y que se sobreentienden, pero puede haber otras cosas que a lo mejor no he visto, no puedo decirte que sí sin estar completamente seguro (o al menos sin creer estarlo) y no lo estaba. 


Llevas, como yo, mucho tiempo en el foro y seguramente has visto cómo alguna vez me han “regañado” (entre comillas) por contestar deprisa, alegremente y sin pensar las cosas lo necesario; así que no es por fastidiarte, es por prudencia.

En cualquier caso, seguro que el_manco pasa por aquí pronto y te dirá qué puedes considerar y qué no.

Saludos. 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Septiembre, 2016, 12:15 pm
Hola Feriva

Gracias por todo

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 02 Septiembre, 2016, 02:07 pm
Hola Feriva

Gracias por todo

Saludos.

De nada, minette.

Para no quedarme con mal sabor de boca por mi respuesta poco comprometida, si puedo contestarte haciendo la suposición (que creo que es la que haces) de que los números sean positivos y distintos. En ese caso, evidentemente, si cambiamos uno o varios números, siempre de manera que la terna pitagórica no la transformemos en otra terna también pitagórica, las desigualdades que dices se cumplen; la una o la otra, pues no puede darse la igualdad porque entonces tendríamos otra terna pitagórica; condición que de antemano hemos vetado.

O sea, que lo que dices, con esas precisiones previas que lo dejan tan claro (y que es a lo que me refería al decirte que lo argumentaras más) lo puedes afirmar tranquilamente, nadie te lo va a negar.

Saludos.

 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Septiembre, 2016, 12:16 pm
Hola

Hola

Muchísimas gracias el_manco.

De tu respuesta 22 me quedo con: "Si trabajas bajo la hipótesis de que \( a^2+b^2=c^2 \), entonces se cumple que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \), independientemente de que los números \( a<b<c \), sean o no enteros (bajo la única premisa de que sean positivos).

Trabajo ahora bajo la hipótesis \( a^2+b^2<c^2 \)

Está demostrado que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{3} \) siendo \( c>b>a \).

Vamos a suponer que para otra clase de números cumpliendo \( a^2+b^2<c^2 \) y \( c>b>a \) se llega a \( a^n+b^n<c^n \) \( n\geq{3} \)

Pregunto este último hecho ¿influye o invalida la demostración inicial?

No entiendo la pregunta. ¿Por qué habría de invalidar demostración alguna, si esa otra "clase de números" sigue cumpliendo la misma propiedad que afirmabas al principio.

Sea como sea de nuevo la afirmación en rojo es trivialmente cierta para cualesquiera números positivos (enteros o no).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 09 Septiembre, 2016, 06:28 pm
Hola el_manco

Gracias por tu respuesta 32.

Contesto a tu respuesta 18:

\( [c^nx_0(c^n-2a^n)+a^{n+1}] \) ? \( [c^ny_0(2b^n-c^n)+b^{n+1}] \)

\( a, b, c, x_0, y_0, n   \) son ENTEROS

El interrogante que separa estas dos expresiones sea \( =, > \)  o \( < \) no se altera en absoluto si cuando se traspone un término de la derecha a la izquierda o de la izquierda a la derecha se le cambia el signo\(  + \) por\(  - \), o bien \( - \) por \( + \) .

Dicho esto repaso mi respuesta 12 al final \( b^{n+1}(x_0-y_0)>a^{n+1} \)

falta multiplicar primer miembro por \( b^{n-1} \) y segundo miembro por \( a^{n-1} \) :

\( b^{2n}(x_0-y_0)>a^{2n} \)

Cabe añadir que siendo \( K_1>K_2 \), al ser ambos valores \( K_1 \) y \( K_2 \) negativos, entonces \( K_1<K_2 \)

Esto se comprueba perfectamente con ejemplos numéricos.

Saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Septiembre, 2016, 01:32 pm
Hola

Contesto a tu respuesta 18:

\( [c^nx_0(c^n-2a^n)+a^{n+1}] \) ? \( [c^ny_0(2b^n-c^n)+b^{n+1}] \)

\( a, b, c, x_0, y_0, n   \) son ENTEROS

El interrogante que separa estas dos expresiones sea \( =, > \)  o \( < \) no se altera en absoluto si cuando se traspone un término de la derecha a la izquierda o de la izquierda a la derecha se le cambia el signo\(  + \) por\(  - \), o bien \( - \) por \( + \) .

Dicho esto repaso mi respuesta 12 al final \( b^{n+1}(x_0-y_0)>a^{n+1} \)

falta multiplicar primer miembro por \( b^{n-1} \) y segundo miembro por \( a^{n-1} \) :

\( b^{2n}(x_0-y_0)>a^{2n} \)

Sigues incidiendo en el mismo error aquí comentado (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg363757#msg363757); es cierto que el carácter =,>,< de la expresión azul no cambia si se transponen términos; pero es que tu no quieres sólo analizar esa expresión, sino una más compleja donde cada uno de los términos a izquierda y derecha aparecen multiplicados por \( a^{n-1} \) unos y por \( b^{n-1} \) los otros.

Si transpones términos y sigues multiplicando a izquierda y derecha por \( a^{n-1} \) y por \( b^{n-1} \), entonces dado que los factores han cambiado de lado ya no estás manejando la expresión que pretendías analizar porque al haber cambiado elementos de lado, términos que antes eran multiplicados por \( a^{n-1} \) ahora lo son por \( b^{n-1} \) y viceversa.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 21 Septiembre, 2016, 04:33 pm
Hola

Si las fracciones\(  \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{-y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

también serán iguales \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 

\( \frac{x_{0}^{2}c^{2n}-2x_{0}c^{n}a+a^{2}}{b^{2n-2}}=\frac{y_{0}^{2}c^{2n}+2y_{0}c^{n}b+b^{2}}{a^{2n-2}} \)
 

\( x_{0}^{2}c^{2n}a^{2n-2}-2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+a^{2n}=y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}+2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( x_{0}^{2}c^{2n}a^{2n-2}-y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}+a^{2n}=2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( c^{2n}(x_{0}a^{n-1}+y_{0}b^{n-1})+a^{2n}=2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}y_{0}b^{n-1}+\frac{a^{2n}}{c^{n}}=2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
 

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}y_{0}b^{n-1}-2x_{0}a^{2n-1}-2y_{0}b^{2n-1}=\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

dividido por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)
 

\( \frac{c^{n}x_{0}a^{n-1}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{c^{n}y_{0}b^{n-1}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}-\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}=\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n)}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( +\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}-\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}=\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( +\frac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}}?-\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}   \); \( (positivo)\frac{c^{n}}{2a^{n}}>1(negativo) \)
 

\( +\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}?-\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}  \) ; \( \frac{c^{n}}{2b^{n}}positivo<1(negativo) \)
 

\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   diferencia a favor \( positivo \)

\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \)  diferencia a favor \( negativo  \)

diferencia a favor \( positivo \) \( > \) diferencia a favor \(  negativo \)

\( \frac{b^{n}-a^{n}}{2a^{n}}-\frac{b^{n}-a^{n}}{2b^{n}}=\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

dividido por \( (b^{n}-a^{n}) \)
 

\( \frac{1}{2a^{n}}-\frac{1}{2b^{n}}=\frac{b^{n}+a^{n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( \frac{1}{a^{n}}-\frac{1}{b^{n}}=\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}}{a^{n}b^{n}}-\frac{a^{n}}{a^{n}b^{n}}=\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}-a^{n}}{a^{n}b^{n}}=\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( (b^{n}-a^{n})2x_{0}a^{2n-1}y_{0}b^{2n-1}=a^{n}b^{n} \)
 

\( (b^{n}-a^{n})2x_{0}a^{n-1}y_{0}b^{n-1}>1 \)
 

primer miembro >   segundo miembro

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Septiembre, 2016, 11:05 am
Hola

\( \color{blue}+\dfrac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}+\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}-\dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}=\dfrac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}\color{black} \)
 

\( +\dfrac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}}?-d\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}   \); \( (positivo)\dfrac{c^{n}}{2a^{n}}>1(negativo) \)
 

\( +\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}?-\dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}  \) ; \( \dfrac{c^{n}}{2b^{n}}positivo<1(negativo) \)
 

\( \dfrac{c^{n}}{2a^{n}}-\dfrac{2a^{n}}{2a^{n}}=\dfrac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   diferencia a favor \( positivo \)

\( \dfrac{2b^{n}}{2b^{n}}-\dfrac{c^{n}}{2b^{n}}=\dfrac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \)  diferencia a favor \( negativo  \)

diferencia a favor \( positivo \) \( > \) diferencia a favor \(  negativo \)

\( \color{red}\dfrac{b^{n}-a^{n}}{2a^{n}}-\dfrac{b^{n}-a^{n}}{2b^{n}}=\dfrac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}}\color{black} \)

En el paso de la igualdad que marco en azul, a la igualdad que marco en rojo, has omitido los factores \( x_0 \) e \( y_0 \) que aparecían en los denominadores del primer término.

Por tanto la igualdad en rojo está mal, no tiene nada que ver con la inicial.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Octubre, 2016, 11:57 am
Hola,

Parto de las fracciones

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \(  c^{n} \)  :

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Dividimos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)
 

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}=positivo \)
 

comparamos los términos positivos con los negativos:

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \);  \( \rightarrow1 (positivo)  <\frac{c^{n}}{2a^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}} \);  \( \rightarrow1 (positivo) >\frac{c^{n}}{2b^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   Diferencia a favor de \( Negativo  \)

\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \) Diferencia a favor de \( Positivo \)

Siendo los numeradores de las fracciones iguales, \( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} (Negativo)>\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} (Positivo) \)
 

Entonces los cuatro términos del primer miembro suman \( NEGATIVO\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)  \( POSITIVO \)   entero o decimal.
 


Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Octubre, 2016, 12:14 pm
Hola

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \(  c^{n} \)  :

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Dividimos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)
 

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}}=positivo \)
 

comparamos los términos positivos con los negativos:

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}\cdot2y_{0}b^{2n-1}} \);  \( \rightarrow1 (positivo)  <\frac{c^{n}}{2a^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}} \);  \( \rightarrow1 (positivo) >\frac{c^{n}}{2b^{n}}(negativo) \)
 

\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)   Diferencia a favor de \( Negativo  \)

\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}  \) Diferencia a favor de \( Positivo \)

Siendo los numeradores de las fracciones iguales, \( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} (Negativo)>\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} (Positivo) \)
 

Entonces los cuatro términos del primer miembro suman \( NEGATIVO\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)  \( POSITIVO \)   entero o decimal.

Esencialmente el mismo razonamiento que pretendías hacer antes (aunque trasponiendo términos) y por tanto exactamente el mismo error que te apunté: al final omites los factores \( x_0 \) e \( y_0 \) del denominador.

Es un poco desesperante este intercambio de mensajes porque no pareces asimilar nada de lo que indico; en ningún momento dejas claro si has comprendido mi crítica. No dices nada. Ni que estés de acuerdo ni que no.

Simplemente intentas rehacer sin más el argumento; pero el hecho de que repitas una y otra vez el error hacer evidente que no lo entiendes.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Octubre, 2016, 01:13 pm
Hola el_manco,

Perdóname por incomodarte tanto.

Creo que no me sé explicar.

Si yo comparo las fracciones

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

Creo que el ? (sea el que sea) continuará el mismo si multiplico ambos miembros (ambas fracciones) por

\( 2y_{0}b^{2n-1} \)  quedando:

\( \frac{1}{1}?\frac{c^{n}}{2a^{n}} \)
 

por ese hecho desaparece el factor \( y_{0} \)
 

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Octubre, 2016, 01:18 pm
Hola

Perdóname por incomodarte tanto.

No me incomodas.

Citar
Creo que no me sé explicar.

Lo que haces está claro; lo que pasa es que está mal.

Citar
Si yo comparo las fracciones

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2a^{n}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

Creo que el ? (sea el que sea) continuará el mismo si multiplico ambos miembros (ambas fracciones) por

\( 2y_{0}b^{2n-1} \)  quedando:

\( \frac{1}{1}?\frac{c^{n}}{2a^{n}} \)
 
por ese hecho desaparece el factor \( y_{0} \)
 

Pero es que luego pretendes evaluar la suma de esa fracción y otra de distinto signo, comparando ambas y ahí los factores que has eliminados que son distintos en una y otra fracción (\( x_0 \) e \( y_0 \)) son relevantes.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Octubre, 2016, 12:09 pm
Hola,

A ver si consigo que me entiendas.

Tenemos una suma de cuatro sumandos:

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

Dos sumandos son negativos y dos positivos.

La suma de los cuatro será cero, negativa o positiva.

Y segruirá ocurriendo lo mismo si dividimos los cuatro sumando por \( +2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)   quedando:

\( +\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}} \)
 

Ocurre que la suma de los valores absolutos de los dos sumandos negativos es mayor que la suma de los dos sumandos positivos. Con lo cual la suma de los cuatro es negativa.

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Octubre, 2016, 12:51 pm
Hola

A ver si consigo que me entiendas.

Tenemos una suma de cuatro sumandos:

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

Dos sumandos son negativos y dos positivos.

La suma de los cuatro será cero, negativa o positiva.

Y segruirá ocurriendo lo mismo si dividimos los cuatro sumando por \( +2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \)   quedando:

\( +\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}+\frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}} \)

Hasta ahí de acuerdo.
 
Citar
Ocurre que la suma de los valores absolutos de los dos sumandos negativos es mayor que la suma de los dos sumandos positivos. Con lo cual la suma de los cuatro es negativa.

Aquí está el problema. Tu no pruebas lo que afirmas ahí. Porque cuando comparas los términos, no utilizas esos cuatro sumandos. Sino que para comparar utilizas los pares:

\( +\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}} \)

y

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}-\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}} \)

¡Pero, y esta es la clave, el primer par con el \( y_0 \) simplificado, es decir, multiplicado por \( y_0 \) y el segundo multiplicado por \( x_0 \)! Pretendes que la comparación que haces entre esas dos magnitudes multiplicadas por factores distintos te se mantenga en la expresión inicial, olvidando que los has perturbado de manera diferente.

Saludos.

P.D. Por enésima vez:si entendieses que todos esos razonamientos si fuesen válidos, se podrían hacer igualmente para números reales, y mostrarían que la igualdad de Fermat tampoco es cierta para números reales (¡lo cuál es falso!), evitarías perder el tiempo con ellos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Octubre, 2016, 01:33 pm
Hola

De momento voy a contestar a tu P.D.

Supongamos, por un momento, que del os tres casos:

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

sólo existieran los dos casos primeros, con lo cual el UTF está demostrado: No existen tres enteros, \( a,b,c \) que cumplan \( a^n+b^n=c^n \) para \( n\geq{3} \). Te pregunto, si existieran tres números reales que cumplieran \( a^n+b^n=c^n \) para \( n\geq{3} \), este hecho ¿invalidaría la demostración para números enteros a los que SÓLO se refería FERMAT?

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Octubre, 2016, 01:55 pm
Hola


Supongamos, por un momento, que del os tres casos:

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

sólo existieran los dos casos primeros, con lo cual el UTF está demostrado: No existen tres enteros, \( a,b,c \) que cumplan \( a^n+b^n=c^n \) para \( n\geq{3} \). Te pregunto, si existieran tres números reales que cumplieran \( a^n+b^n=c^n \) para \( n\geq{3} \), este hecho ¿invalidaría la demostración para números enteros a los que SÓLO se refería FERMAT?

Es que bajo el supuesto de que \( a^2+b^2\leq c^2 \) es imposible que \( a^n+b^n=c^n \) para \( n>2 \) y eso es cierto tanto para números enteros no nulos como para números reales no nulos; y se puede demostrar con argumentos válidos en general.

Tu problema es que en lo que tu haces utilizas argumentos donde en nada influye que en los números sean reales o enteros, pero que llevan a una conclusión falsa para números reales. Por tanto los argumentos tienen que estar mal.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Octubre, 2016, 05:36 pm
Hola

Cito el último párrafo de tu respuesta 44:

"Tu problema es que en lo que tu haces utilizas argumentos donde en nada influye que en los números sean reales o enteros, pero que llevan a una conclusión falsa para números reales. Por tanto los argumentos tienen que estar mal."

Te pregunto ¿te refiere al caso \( a^2+b^2>c^2 \)?

Si efectivamente te refieres al caso

\( a^2+b^2>c^2 \)

En todas mis respuestas SIEMPRE cito:

\( a,b,c \)  \( n\geq{3} \) enteros 

cuando \( a^2+b^2>c^2 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Octubre, 2016, 05:57 pm
Hola

"Tu problema es que en lo que tu haces utilizas argumentos donde en nada influye que en los números sean reales o enteros, pero que llevan a una conclusión falsa para números reales. Por tanto los argumentos tienen que estar mal."

Te pregunto ¿te refiere al caso \( a^2+b^2>c^2 \)?

Si efectivamente te refieres al caso

\( a^2+b^2>c^2 \)

En todas mis respuestas SIEMPRE cito:

\( a,b,c \)  \( n\geq{3} \) enteros 

cuando \( a^2+b^2>c^2 \).

Pero que lo cites es indiferente; la cuestión es si lo usas. La cuestión es que si algún argumento de los que usas es válido para enteros pero dejaría de serlo para reales. Y el hecho es que no; no hay ningún argumento de los que exhibes donde sea decisivo que los números implicados sean enteros. Por ejemplo cuando divides la ecuación \( +2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \) eso sigue siendo válido independientemente de si los números son reales o enteros. Y así con todo lo que usas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 06 Octubre, 2016, 01:12 pm
Hola

En más de una ocasión te has referido a que pierdo el tiempo tratando de demostrar el UTF.

Mucho antes de Einstein el tiempo psicológico ya era totalmente relativo.

Supongo que quieres decir que no voy a conseguir demostrar el UTF. Si piensas que para desligar los números enteros de los reales hay que recurrir a las curvas elípticas y las formas modulares que Wiles copió de los matemáticos japoneses Taniyama-Shimura creo, en mi opinión, que estás en un error.

Si yo consigo demostrar (de modo irreprochable) el caso \( a^2+b^2>c^2 \) para números enteros (que es lo que pedía Fermat), ¿por qué insistes en que esa demostración está mal basándote en que hay números reales que cumplen  \( a^n+b^n=c^n \)?

La conjetura de Fermat se refería ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE a números enteros.

Debes saber que no sólo no pierdo el tiempo sino que además lo paso muy bien intentándolo como si fuera un crucigrama super-difícil.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Octubre, 2016, 01:53 pm
Hola

En más de una ocasión te has referido a que pierdo el tiempo tratando de demostrar el UTF.

Pues... quizá te haya dicho eso alguna vez; no lo recuerdo, pero no lo descarto.

Lo que si sé que te he dicho (y es diferente, el matiz es crucial) es que siguiendo tal o cuál tipo de argumentación, estás perdiendo el tiempo porque objetivamente es imposible que llegue a buen puerto. Y eso es a lo que me he referido en mis mensajes anteriores.

Citar
Supongo que quieres decir que no voy a conseguir demostrar el UTF.


Lo que he dicho, repito, es que si usas un argumento que en caso de estar bien funcionaría igual para números reales, entonces con toda seguridad ese argumento está mal y por tanto con él no vas a poder conseguir demostrar el UTF.

Adicionalmente, si me preguntas mi impresión, creo que no, que en ningún caso vas a ser capaz de demostrar el UTF; no al menos con ese tipo de matemática elemental. Pero esto es lo de menos. Esto, si quieres, es subjetivo. Cosa mía.

Citar
Si piensas que para desligar los números enteros de los reales hay que recurrir a las curvas elípticas y las formas modulares que Wiles copió de los matemáticos japoneses Taniyama-Shimura creo, en mi opinión, que estás en un error.

Como he dicho antes, lo que pienso (con fundamento, pero subjetivamente) es que no se puede demostrar con matemáticas elementales.

Y lo que está claro es que objetivamente, con los argumentos que has presentado, hasta ahora no lo has demostrado.

Citar
Si yo consigo demostrar (de modo irreprochable) el caso \( a^2+b^2>c^2 \) para números enteros (que es lo que pedía Fermat)

Pero eso es una tautología: si lograses demostrar de modo irreprochable el teorema de Fermat, pues claro, no habría nada que objetar a la demostración.

Pero la cuestión es que no lo has conseguido; todos tus intentos, tienen "reproches", errores, muy claros y gruesos.

Citar
¿por qué insistes en que esa demostración está mal basándote en que hay números reales que cumplen  \( a^n+b^n=c^n \)?

Esa frase es imprecisa en dos sentidos:

1) No me baso sólo en que haya números reales que cumplen  \( a^n+b^n=c^n \), sino además en que no usas ningún argumento que funcione sólo para enteros y no para reales (y no llega decir: "lo uso para enteros"; lo importante es si seguiría funcionando o no para reales).

2) Adicionalmente me he molestado en mostarte los errores de tus demostraciones sin acudir a ese "atajo", que sólo te menciono como añadido.

Citar
La conjetura de Fermat se refería ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE a números enteros.

Correcto. Pero eso no invalida nada de lo que digo.

Citar
Debes saber que no sólo no pierdo el tiempo sino que además lo paso muy bien intentándolo como si fuera un crucigrama super-difícil.

Pues me alegro mucho de que lo disfrutes.

Ahora supón que alguien intenta averiguar una clave de ocho números que le permitiría acceder a una valiosa información; alguien le puede decir que es muy difícil acertar la clave, pero no es imposible desde luego; y el podría disfrutar probando y probando números. Ahora si en vez de meter ocho números, se empeña en probar con ocho letras, ya no es que sea muy difícil acertarla, sino que será imposible. Por que la clave es de números. Y en ese caso, independientemente de si disfruta o no el camino, si su objetivo es acertar la clave, indiscutiblemente estaría perdiendo el tiempo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 11 Octubre, 2016, 12:57 pm
Hola el_manco

La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n}  \) la podemos presentar así:

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}  \) (1) (ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL)

Aplicando Bèzout \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
 

Multiplicando por \(  c^{n} \)
 

\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)
 

Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0}c^{n})-Ka^{n-1}=b\rightarrow K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

\( K_{1}  \) ha de ser igual a \( K_{2} \)  y ser un entero.

\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \)  ; \( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
 

Siendo el paréntesis 1 ; si la conjetura de Fermat es cierta los valores de \( K \)  han de ser distintos.

Igualamos las fracciones, elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \( c^{n} \) :

(hasta ahora no nos hemos movido de los enteros).

Y es así como llegamos a

(2) \( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}=\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Hasta aquí, ¿ves esto correcto?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 11 Octubre, 2016, 01:35 pm
Hola

Comprobemos y observemos ahora la dificultad de demostrar la desigualdad (2)

\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})\rightarrow POSITIVO \)
 

\( x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})\rightarrow NEGATIVO \)
 

\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})-x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Si aplicamos \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \):
 

\( y_{0}b^{n-1}(b^{n}-a^{n})-x_{0}a^{n-1}(b^{n}-a^{n})\neq\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{(b^{n}+a^{n})} \)
 

dividiendo po r\(  (b^{n}-a^{n}) \):
 

\( y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1}=1 \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Octubre, 2016, 11:17 am
Hola

La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n}  \) la podemos presentar así:

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}  \) (1) (ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL)

Aplicando Bèzout \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)

Creo que ahí te has comido un signo menos (que si pones en las siguientes ecuaciones):

 \( a^{n-1}\color{red}(-x_{0})\color{black}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
 

Citar
Multiplicando por \(  c^{n} \)

\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)
 
Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0}c^{n})-Ka^{n-1}=b\rightarrow K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

\( K_{1}  \) ha de ser igual a \( K_{2} \)  y ser un entero.

\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \)  ; \( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
 

Siendo el paréntesis 1 ; si la conjetura de Fermat es cierta los valores de \( K \)  han de ser distintos.

Igualamos las fracciones, elevamos al cuadrado, multiplicamos en cruz y dividimos por \( c^{n} \) :

(hasta ahora no nos hemos movido de los enteros).

Y es así como llegamos a

(2) \( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}-c^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}=\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Hasta aquí, ¿ves esto correcto?

De acuerdo.

Sólo un matiz tu dices: "hasta ahora no nos hemos movido de los enteros". Bien pero eso no contradice el hecho de que todos los razonamientos que has hecho siguen siendo igualmente válidos para números NO enteros.

Spoiler
Con esto quiero decir que aunque yo comience un argumento, el que sea, como: "Sean \( x,y \) enteros; entonces \( x^2-y^2=(x-y)(x+y) \)", eso no contradice que esa misma identidad \( x^2-y^2=(x-y)(x+y) \) sea también cierta para \( x,y \) NO enteros. De manera que en lo ahí escrito el razonamiento sería válido para enteros y para no enteros.
[cerrar]

Comprobemos y observemos ahora la dificultad de demostrar la desigualdad (2)

\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})\rightarrow POSITIVO \)
 

\( x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})\rightarrow NEGATIVO \)
 

\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})-x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}} \)
 

Si aplicamos \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \):
 

\( y_{0}b^{n-1}(b^{n}-a^{n})-x_{0}a^{n-1}(b^{n}-a^{n})\neq\frac{(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})}{(b^{n}+a^{n})} \)
 

dividiendo po r\(  (b^{n}-a^{n}) \):
 

\( y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1}=1 \)
 

Aquí haces unas cuentas con la igualdad (2) para terminar llegando de nuevo a la igualdad de Bezout de la que habías partido. Es un razonamiento circular que no lleva a ninguna conclusión útil.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 13 Octubre, 2016, 01:03 pm
Hola

Gracias el_manco.

Me pones el ejemplo \( x^2-y^2 \).

Te recuerdo que trabajo con una ecuación diofántica lineal:

Se llama ecuación diofántica lineal a cualquier ecuación algebraica de dos incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan raices enteras, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Octubre, 2016, 10:54 am
Hola

Me pones el ejemplo \( x^2-y^2 \).

Te recuerdo que trabajo con una ecuación diofántica lineal:

Se llama ecuación diofántica lineal a cualquier ecuación algebraica de dos incógnitas, cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números enteros, de las que se buscan raices enteras, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números enteros.

Pues sigues sin entender. Ya no sé como explicarlo. Un último intento.

Comienzas así:

La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n}  \) la podemos presentar así:

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}  \) (1) (ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL)

Esa ecuación sigue teniendo sentido aunque \( a,b,c,x,y \) no sean enteros.

Citar
Aplicando Bèzout \( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)

Aunque \( a,b \) no sean enteros igualmente existen números reales \( x_0,y_0 \) verificando la igualdad de Bezout. Luego sigue teniendo sentido para números reales.
 
Citar
Multiplicando por \(  c^{n} \)
 
\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)

Si multiplicas por \( c^n \) la ecuación de Bezout llegas a la que indicas independientemente de que \( a,b,c,x_0,y_0 \) sean o no enteros.
 
Citar
Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a\rightarrow K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0}c^{n})-Ka^{n-1}=b\rightarrow K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

Igualmente las raíces de la ecuación (1) se pueden obtener así incluso en el caso de que todos los números implicados sean reales.
 
Citar
\( K_{1}  \) ha de ser igual a \( K_{2} \)  y ser un entero.

\( k_1 \) ha de ser igual \( k_2 \) aunque no sean enteros.

Citar
\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \)  ; \( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)

Esas tres igualdades siguen siendo ciertas aunque los números implicados no sean enteros....
 
Y en fin.. etcétera..etcétra..etcétera...

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 14 Octubre, 2016, 12:56 pm
Hola

Si yo consigo demostrar que \( K_1\neq{K_2} \) (y lo superdifícil que es lograrlo me sugiere que es un  muy buen camino) habré demostrado el UTF.

Fermat siempre se refirió a enteros en su conjetura y habría aceptado mi demostración.

El hecho de que esa demostración no es válida para números no enteros, a Fermat le hubiera importado muy poco.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Octubre, 2016, 01:07 pm
Hola

Si yo consigo demostrar que \( K_1\neq{K_2} \) (y lo superdifícil que es lograrlo me sugiere que es un  muy buen camino) habré demostrado el UTF.

Si, eso no te lo discuto (salvo la percepción de que eso sea un buen camino, que yo no la tengo; pero es es subjetivo e intrascendente).

Si logras demostrar que \( k_1\neq k_2 \) habrás demostrado el UTF.

Todo lo que te comento no es para negar lo anterior. Lo que quiero decir que si en tu candidata demostración, no usas en algún momento de manera decisiva que los números de manejas son enteros, seguro que por en medio esa demostración tiene un error.

Fíjate que si la demostración estuviese bien, eso no iba a ocurrir. Es decir si está bien, con toda seguridad en algún sitio tendrías que usar de manera decisiva el carácter entero de los números implicados. Es decir tiene que haber algún paso ineludible que sea cierto para números enteros, pero no para números reales.

En tus intentos recientes no hay tal paso: eso es un indicio de que estaban mal. No debes de olvidar además que en todo los casos e independientemente de estas últimas reflexiones te he mostrado el error concreto.

Si por fin entiendes todo esto, en tus futuros intentos de demostraciones deberías de comprobar tu misma si hay algún paso en el que usas de manera decisiva (no vale simplemente decir "que son enteros", sino dejar claro que si no fuesen enteros ese paso en concreto ya no sería cierto) que las variables son enteras; porque si no lo encuentras, ten por seguro que tu intento de demostración está mal.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 24 Octubre, 2016, 10:51 am
Hola el_manco

Paso a referirme a tu respuesta 42.

No intento rebatirla porque, vieniendo de quien viene, tiene que ser correcta.

Me limito a hacer unas cuentas en relación a la terna (5,8,9).

\( n=3 \)   ; \( x_{0}=-23 \)   ; \( y_{0}=+9 \)
 

\( 2x_{0}a^{2n-1}=+143750 \)
 

\( 2y_{0}b^{2n-1}=+589824 \)
 

\( Suma =  +733574 \)
 


\( c^{n}y_{0}b^{n-1}=-419904 \)
 

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}=-419175 \)
 

\( Suma =-839079 \)
 

Con lo cual la suma de los cuatro términos es \( -105505 \)
 

Recurriendo a las fracciones:

\( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}=1,916 \)
 

La diferencia a favor negativo es \( +143750  -419175=-275425 \)
 

Esta cifra \( -275425    \)se deduce también así:

\( 143750x1,916=275425  \) (con signo negativo)

La diferencia a favor positivo es \( 589824-419904=+169920 \)
 

\( \frac{2b^{n-c^{n}}}{2b^{n}}=0,288085937 \)
 

La cifra +169920   se deduce también así:

\( 589824x0,288085937=+169920 \)
 

Finalmente

\( -275425+169920=-105505 \)
 

Una vez he dividido los cuatro sumandos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}  \)  me limito a aplicar la propiedad asociativa de la suma.

Por favor te ruego tus comentarios al respecto.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Octubre, 2016, 11:53 am
Hola

No intento rebatirla porque, vieniendo de quien viene, tiene que ser correcta.

Me limito a hacer unas cuentas en relación a la terna (5,8,9).

\( n=3 \)   ; \( x_{0}=-23 \)   ; \( y_{0}=+9 \)
 

\( 2x_{0}a^{2n-1}=+143750 \)
 

\( 2y_{0}b^{2n-1}=+589824 \)
 

\( Suma =  +733574 \)
 


\( c^{n}y_{0}b^{n-1}=-419904 \)
 

\( c^{n}x_{0}a^{n-1}=-419175 \)
 

\( Suma =-839079 \)
 

Con lo cual la suma de los cuatro términos es \( -105505 \)
 

Recurriendo a las fracciones:

\( \frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}=1,916 \)
 

La diferencia a favor negativo es \( +143750  -419175=-275425 \)
 

Esta cifra \( -275425    \)se deduce también así:

\( 143750x1,916=275425  \) (con signo negativo)

La diferencia a favor positivo es \( 589824-419904=+169920 \)
 

\( \frac{2b^{n-c^{n}}}{2b^{n}}=0,288085937 \)
 

La cifra +169920   se deduce también así:

\( 589824x0,288085937=+169920 \)
 

Finalmente

\( -275425+169920=-105505 \)
 

Una vez he dividido los cuatro sumandos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1}  \)  me limito a aplicar la propiedad asociativa de la suma.

Por favor te ruego tus comentarios al respecto.

Pues no sé que quieres que te comente. Lo que yo dije en mi respuesta 42 que resumo aquí:

Citar
¡Pero, y esta es la clave, el primer par con el \( y_0 \) simplificado, es decir, multiplicado por \( y_0 \) y el segundo multiplicado por \( x_0 \)! Pretendes que la comparación que haces entre esas dos magnitudes multiplicadas por factores distintos te se mantenga en la expresión inicial, olvidando que los has perturbado de manera diferente.

La comparativa que haces de unos términos antes de multiplicarlos o dividirlos por unos ciertos factores diferentes, no tiene porqué mantererse. No nos permite concluir nada. Dependiendo de los números concretos habrá casos en los que se mantenga y habrá casos en los que no se mantenga.

Así que el ejemplo no aporta nada.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 18 Enero, 2017, 06:35 pm
Hola

Supongamos que \( \frac{A}{A'}\neq{}\frac{B}{B'} \)
 

y también que \( \frac{C}{A'}\neq\frac{D}{B'} \)
 

Queremos demostrar estas desigualdades suponiendo sus igualdades:

\( \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'} \)
 

\( \frac{C}{A'}=\frac{D}{B'} \)
 

Si esto ocurre: \( \frac{A}{A'}+\frac{C}{A'}=\frac{B}{B'}+\frac{D}{B'} \)
 

Pero entonces se comprueba que

\( \frac{A}{A'}+\frac{C}{A'}\neq\frac{B}{B'}+\frac{D}{B'} \)
 

Cabe inferir entonces que \( \frac{A}{A'}\neq\frac{B}{B'} \)
 

o bien que \( \frac{C}{A'}\neq\frac{D}{B'} \)
 

¿Puede ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?

Datos:\(  A>B \);   \( A'>B' \)  ; \(  C>D \)  ; \(  A>C \)   ; \(  B<D \)
 

todas las letras son enteros. Y las fracciones también.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 18 Enero, 2017, 08:15 pm

 
¿Puede ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?

Datos:\(  A>B \);   \( A'>B' \)  ; \(  C>D \)  ; \(  A>C \)   ; \(  B<D \)
 
todas las letras son enteros. Y las fracciones también.


Hola, minette, cuánto tiempo sin verte.

Pues creo que sí, si no me he equivocado al buscar los ejemplos:

\( \dfrac{A}{A^{'}}=\dfrac{8000}{40}
  \)

\( \dfrac{B}{B^{'}}=\dfrac{38}{19}
  \)

\( \dfrac{C}{A^{\prime}}=\dfrac{800}{40}
  \)

\( \dfrac{D}{B^{\prime}}=\dfrac{57}{19}
  \)

Creo que se cumplen las condiciones que pones.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 20 Enero, 2017, 01:06 pm
Hola

Gracias Feriva por tu respuesta.

Voy a ser mas concreta:

Supongamos que \( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

y también que \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 

Supongo ahora que estas dos desigualdades son igualdades.

Entonces la suma de los dos primeros miembros ha de ser igual a la suma de los dos segundos miembros:

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}+\frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}}+\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 

\( \frac{2x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{2y_{0}c^{n}}{a^{n-1}}\rightarrow2x_{0}c^{n}a^{n-1}=2y_{0}c^{n}b^{n-1} \)
 

\( x_{0}a^{n-1}\neq y_{0}b^{n-1} \)
 

Cabe inferir entonces que \( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

o bien que \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 

¿Puedo ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 20 Enero, 2017, 07:12 pm
Hola

Gracias Feriva por tu respuesta.

 
¿Puedo ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?



De nada.

Pues lo que puedo hacer es operar un poco y mirar a ver qué veo:

\( {\displaystyle \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}}}
  \)

Multiplicando en cruz

\( a^{n-1}x_{0}c^{n}+a^{n}\neq b^{n-1}y_{0}c^{n}-b^{n}
  \)

despejando

\( a^{n}+b^{n}\neq b^{n-1}y_{0}c^{n}-a^{n-1}x_{0}c^{n}
  \)

y sacando factor común

\( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})
  \)

llegamos aquí:

\( \left(\dfrac{a}{c}\right)^{n}+\left(\dfrac{b}{c}\right)^{n}\neq b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0}
  \)

Con la otra llegaríamos aquí:

...

\( \left(\dfrac{a}{c}\right)^{n}+\left(\dfrac{b}{c}\right)^{n}\neq a^{n-1}x_{0}-b^{n-1}y_{0}
  \)

Sumando ambas tenemos

\( 2\left(\dfrac{a}{c}\right)^{n}+{\color{red}2}\left(\dfrac{b}{c}\right)^{n}\neq0
 
  \)

o sea

\( a^{n}+b^{n}\neq0\Rightarrow a^{n}\neq-b^{n}
  \)

Y hasta aquí llego, eso es lo que pasa, si no me he equivocado.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Enero, 2017, 06:05 pm
Hola Feriva

Aunque el paréntesis \( (\displaystyle\frac{b}{c})^n \) le falta un 2 delante, o sea \( 2(\displaystyle\frac{b}{c})^n \), tu razonamiento es correcto:

La suma de dos igualdades produce una desigualdad. Entonces, como mínimo, una de las dos igualdades es una desigualdad.

Insisto en mi pregunta:

¿Puede ser que ambas presuntas igualdades fueran desigualdades?

Espero no molestarte si digo que echo de menos la opinión de el_manco.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 23 Enero, 2017, 07:02 pm


Espero no molestarte si digo que echo de menos la opinión de el_manco.

Saludos.

 En absoluto, cómo me va a molestar eso; quién no echa de menos la opinión de el_manco cuando tiene una duda.

 Yo no sé decirte más, eso eso es lo que veo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Enero, 2017, 12:58 pm
Hola

¿Puede ser que ambas presuntas igualdades fueran desigualdades?

Lo que has razonado es que no es posible que simultáneamente se cumpla que:

\( \dfrac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}=\dfrac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

y

\( \dfrac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}=\dfrac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)

Queda abierta cualquier otra posiblidad: que las dos sean desigualdades, o que lo sea una sola de ellas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Febrero, 2017, 06:03 pm
Hola

Dada la ecuación diofántica

\( 25x+64y=1 \)
 

Demostrar quelos valores de \( x \), \(  y \)   se obtienen así:

\( x=64T+41 \)
 

\( y=-25T-16 \)
 

Siendo \( T  \)  un entero positivo o negativo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Febrero, 2017, 07:19 pm
Hola

Dada la ecuación diofántica

\( 25x+64y=1 \)
 

Demostrar quelos valores de \( x \), \(  y \)   se obtienen así:

\( x=64T+41 \)
 

\( y=-25T-16 \)
 

Siendo \( T  \)  un entero positivo o negativo..

Está explicado aquí en general:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=26781.0

¿Hay algún paso que no entiendas?.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 02 Febrero, 2017, 01:21 am


Demostrar quelos valores de \( x \), \(  y \)   se obtienen así:



Hola, minette. Me acuerdo de haberte puesto algo en otro post sobre esto, pero como no tengo sueño me he entretenido en hacerlo... y, vaya por Dios, no me da eso, he demostrado otra cosa (aunque funciona también).

Primero dividimos el mayor entre el menor, después el divisor (el menor) entre el resto que ha quedado y así sucesivamente hasta que el resto es el anterior a cero.

\( 25x+64y=1 \)

1ª \( \dfrac{64}{25}\Rightarrow64=2\cdot25+14
  \)

2ª \( \dfrac{25}{14}\Rightarrow25=1\cdot14+11
  \)

3ª \( \dfrac{14}{11}\Rightarrow14=1\cdot11+3
  \)

4ª \( \dfrac{11}{3}\Rightarrow11=3\cdot3+2
  \)

5ª \( \dfrac{3}{2}\Rightarrow3=1\cdot2+1
  \)

...

Ahora, en la quinta ecuación, vamos a ir susituyendo sucesivamente los restos de la 4ª, 3ª, etc., tal como se ve según el color azul que va indicando los cambios:

4ª \( 11-3\cdot3={\color{blue}2}\Rightarrow
  \)

5 ª\( 3=1\cdot{\color{blue}2}+1\Rightarrow
  \)

5ª \( 3=1\cdot({\color{blue}11-3\cdot3})+1
  \)

...

3ª \( 14-1\cdot11={\color{blue}3}
  \)

5ª \( 3=(11-3\cdot{\color{blue}3})+1
  \)

5ª \( 3=(11-3\cdot{\color{blue}(14-11)})+1
  \)

5ª \( 14-1\cdot11=-3\cdot14+4\cdot11+1
  \)

En este punto basta cambiar sólo uno de los treses del producto, pues va a quedar en cualquier caso, como se ve, un múltiplo de 11 y otro de 14, y después vamos a cambiar en función de esos restos. Pero no hay que dejar de sustituir el del otro lado de la igualdad porque, si no, ya no lo podríamos cambiar después (ya no se pone el 3 en función de nada porque ya se ha usado); y, además, viendo esto, es el momento adecuado para despejar el mcd, que es 1 en este caso y lo tenemos ahí esperando.

5ª \( -1=-3\cdot14+4\cdot11-14+11
  \)

5ª \( -1=-4\cdot14+5\cdot11
  \)

5ª \( 1=4\cdot14-5\cdot11
  \)

...

2ª \( 25-14={\color{blue}11}
  \)

5ª \( 1=4\cdot14-5\cdot11
  \)

5ª \( 1=4\cdot14-5\cdot({\color{blue}25-14})
  \)

5ª \( 1=9\cdot14-5\cdot25
  \)

...

1ª \( 64-2\cdot25={\color{blue}14}
  \)

5ª \( 1=9\cdot({\color{blue}64-2\cdot25})-5\cdot25
  \)

5ª \( 1=9\cdot({\color{blue}64-2\cdot25})-5\cdot25
  \)

5ª \( 1=-23\cdot25+9\cdot64
  \)

Ésa es una solución particular, con coeficientes 9 y -23 para los números 64 y 25 respectivamente

(en cuanto a la demostración de la general, aparte del enlace de el_manco, te la puse yo también por ahí en el otro post )

Tendríamos entonces

\( x=-23+64t
  \)

\( y=9-25t
  \)

de tal forma que

\( (-23+64t)\cdot25+(9-25t)\cdot64=1
  \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Febrero, 2017, 06:02 pm
Hola Feriva

En el hilo que me recomienda el_manco no llego a encontrar la demostración.

Respecto a tí, yo también recuerdo que fuste tú quien me facilitó las formulas que cito.

He intentado encontrarlas otra vez pero no me ha sido posible.

No entiendo cómo han podido desaparecer.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 02 Febrero, 2017, 06:52 pm
Hola Feriva

No entiendo cómo han podido desaparecer.

Saludos.

Hola, minette.

No habrá desaparecido, lo que pasa es que el foro ya es como la biblioteca de Alejandría, se pierde uno.

Pero no importa porque he encontrado el borrador que tenía guardado:

Para demostrarlo planteamos un sistema de dos ecuaciones

\( ax+by=c
   \)

\( ax_{0}+by_{0}=c
   \)

Porque \( x_{0}  \) es también “x”, es uno de los valores de “x”, y lo mismo pasa con “y”, así que ambas expresiones darán un mismo resultado “c”.

Restando a la primera ecuación la segunda, y sacando factores comunes “a” y “b”, tenemos:

\( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=c-c
   \)

\( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0
   \)

y de ahí llegamos a

\( a(x-x_{0})=-b(y-y_{0})
   \)

o lo que es igual

\( a(x-x_{0})=b(y_{0}-y)
   \)

Ahora dividimos entre el m.c.d de “a” y “b” (al que llamamos “d”) a los dos lados:

\( \dfrac{a}{d}(x-x_{0})=\dfrac{b}{d}(y_{0}-y)
   \)

Al hacer esto, los valores “a” y “b” han sido divididos por todos sus factores comunes, así que “a/d” y “b/d” son coprimos.

Entonces, si ahora dividimos entre (a/d) a los dos lados, nos queda

\( (x-x_{0})=\dfrac{(\dfrac{b}{d})(y_{0}-y)}{(\dfrac{a}{d})}
   \)

Como \( (x-x_{0})
   \) es un entero, el otro miembro de la igualdad también lo es, y al no dividir “a/d” a “b/d”, por ser coprimos, tiene que dividir a \( (y_{0}-y)
  \) para que \( (x-x_{0})
  \) sea entero, como es obvio.

Esto implica, naturalmente, que \( (y_{0}-y)
  \) se pueda expresar en función de este divisor suyo \( \dfrac{a}{d}
   \) multiplicado por un cierto entero “k”:

\( y_{0}-y=k\cdot\dfrac{a}{b}
   \)

de donde despejando tenemos el valor de “y”:

\( y=y_{0}-k\cdot\dfrac{a}{d}
  \)

Con el mismo razonamiento, siguiendo los pasos análogos, llegaremos a obtener la expresión para “x”:


Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 06 Febrero, 2017, 05:42 pm
Hola

Perdona mi inepcia el_manco.

En el hilo que me recomiendas en tu respuesta 66 iniciado por tí, me preguntas si hay algún paso que no entienda.

Partiendo de la ecuación

\( 25x +64y=1 \)

no consigo demostrar que los valores \( x \) , \( y \) se deduzcan así:

\( x=64T+41 \)
\( y=-25T-16 \)

¿Puedes explicármelo?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 06 Febrero, 2017, 05:57 pm


Partiendo de la ecuación

\( 25x +64y=1 \)

no consigo demostrar que los valores \( x \) , \( y \) se deduzcan así:

\( x=64T+41 \)
\( y=-25T-16 \)



Hola, minette. Supongo (ahora mismo no he hecho las cuentas) que si vas a esta respuesta mía

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg375560#msg375560

y donde sustituyo sólo un 3 en el producto 3·3 ése que digo, en la cuarta ecuación, por (14-11) sustituyes los dos, saldrá esa otra solución.

(perdón por la intromisión, que la pregunta es para el_manco, pero ando por aquí y por apuntar eso para que mires a ver)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Febrero, 2017, 06:13 pm
Hola

Perdona mi inepcia el_manco.

En el hilo que me recomiendas en tu respuesta 66 iniciado por tí, me preguntas si hay algún paso que no entienda.

Partiendo de la ecuación

\( 25x +64y=1 \)

no consigo demostrar que los valores \( x \) , \( y \) se deduzcan así:

\( x=64T+41 \)
\( y=-25T-16 \)

Te lo ha explicado feriva. Te lo resumo para ese caso particular:

1) Por el algoritmo extendido de euclides (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=26742.0) encontramos dos números enteros \( x_0,y_0  \) tales que:

\( 25x_0+64y_0=1 \)

El algortimo es constructivo y así la propia descripción del mismo dada en el enlace es prácticamente su demostración.

2) Para cualquier otra otra solución \( (x,y) \):

\( 25x+64y=1 \)
\( 25x_0+64y_0=1 \)

restando y operando:

\( \dfrac{25}{64}=\dfrac{y_0-y}{x-x-x_0} \)

Dado que \( 25 \) y \( 64 \) son primos entre si, necesariamente:

\( y_0-y=25t \) y \( x-x_0=64t \)

y de ahí el resultado.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 09 Febrero, 2017, 12:34 pm
Hola, gracias el_manco, gracias feriva

Recordemos: Cuando \( y_{0}  \) positivo; \( x_{0} \)  negativo:

\( K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  \) ; \( K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

se obtienen valores de \( K_{1} \) , \( K_{2} \)  positivos

para este caso \( y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1}=1 \)
 

Cuando \( x_{0}  \) positivo; \( y_{0}  \) negativo

\( K_{1}^{\text{´}}=\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}} \)  ; \( K_{2}^{\text{´}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

se obtienen valores de \( K_{1} \)  , \( K_{2}  \) negativos

en este caso

\( x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}=1 \)
 

Recordemos también que según mi respuesta 60

o bien \( K_{1}\neq K_{2} \)
 

o \( K_{1}^{\text{´}}\neq K_{2}^{\text{´}} \)
 

Veamos qué ocurre poniendo un caso práctico con la terna \( (5,8,9) \)  .

Calculamos el valor de \( n \)  :

\( 5^{2}+8^{2}=89>81   \);  \(  5^{3}+8^{3}=637<9^{3} \)
 

Entonces \( n-1=2 \)   ; \( n=3 \)
 

Ahora, partiendo de la identidad de Bèzout:

\( 25x_{0}+64y_{0}=1 \)
 

Veamos los valores que pueden tomar \( x_{0} \) , \( y_{0} \)  .

\( x_{0}=64T+41 \)
 

\( y_{0}=-25T-16 \)
 

Si \( T=-1 \) ; \( x_{0}=-23 \)  ;  \( y_{0}=+9 \)
 

Estamos en el caso de valores de \( K  \) positivos y

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Si \( T=1  \)  \( x_{0}=+105  \) ;  \( y_{0}=-41 \)
 

Estamos en el caso de valores de \( K \)  negativos y

\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}\neq\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

Quiero concluir que si admitimos que

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

esta desigualdad implica la

\( \frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}\neq\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 20 Febrero, 2017, 11:15 am
Hola

Por favor el_manco; por favor feriva.

Os ruego vuestra opinión sobre mi respuesta 73.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Febrero, 2017, 12:17 pm
Hola

Os ruego vuestra opinión sobre mi respuesta 73.

Es que no sé muy bien que se supone que pretendes concluir de ahí.

En primer lugar hay algo confuso en lo que haces. Escribes:

Recordemos: Cuando \( y_{0}  \) positivo; \( x_{0} \)  negativo:

\( K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  \) ; \( K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

se obtienen valores de \( K_{1} \) , \( K_{2} \)  positivos

para este caso \( y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1}=1 \)
 

Cuando \( x_{0}  \) positivo; \( y_{0}  \) negativo

\( K_{1}^{\text{´}}=\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}} \)  ; \( K_{2}^{\text{´}}=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

se obtienen valores de \( K_{1} \)  , \( K_{2}  \) negativos

en este caso

\( x_{0}a^{n-1}-y_{0}b^{n-1}=1 \)

En esas dos expresiones está usando valores de \( x_0 \) (y análogamente de \( y_0 \)) DISTINTOS; en el primer caso el valor de \( x_0 \) es negativo y en el segundo positivo.

En esencia son la misma expresión con un cambio de notación.

Pero luego pretendes aplicar lo que razonabas en tu respuesta 60:

Citar
Recordemos también que según mi respuesta 60

o bien \( K_{1}\neq K_{2} \)
 
o \( K_{1}^{\text{´}}\neq K_{2}^{\text{´}} \)

Pero en tal respuesta 60, manipulabas esas dos expresiones con un mismo valor de \( x_0 \):

Voy a ser mas concreta:

Supongamos que \( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 
y también que \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 
Supongo ahora que estas dos desigualdades son igualdades.

Entonces la suma de los dos primeros miembros ha de ser igual a la suma de los dos segundos miembros:

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}+\frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}}+\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 
\( \frac{2x_{0}c^{n}}{b^{n-1}}=\frac{2y_{0}c^{n}}{a^{n-1}}\rightarrow2x_{0}c^{n}a^{n-1}=2y_{0}c^{n}b^{n-1} \)
 

\( x_{0}a^{n-1}\neq y_{0}b^{n-1} \)
 

Cabe inferir entonces que \( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 
o bien que \( \frac{x_{0}c^{n}-a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}+b}{a^{n-1}} \)
 
¿Puedo ocurrir que estas dos desigualdades se den simultáneamente?

Por tanto nada de lo que haces allí (en la respuesta 60) aplicar lo que ahora acabas de escribir.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 20 Febrero, 2017, 05:24 pm
Hola

Gracias el_manco. Admiro tu paciencia.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 21 Febrero, 2017, 12:10 pm
Hola

En relación a mi respuesta 60 me acuso de haber cometido una gran barbaridad matemática.

No sólo, como afirma el_manco los valores de \( x_0 \) , \( y_0 \) son distintos en ambas desigualdades-igualdades, sino además las ternas \( (a, b, c) \) también son distintas.

Lamento las respuestas a la mía 60, tanto de el_manco como de feriva sean respuestas a una barbaridad.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 14 Marzo, 2017, 12:20 pm
Hola

Tengo demostrado que probar la desigualdad de estas dos fracciones

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

equivale a demostrar el UTF.

Confirma esto el hecho de que si en ambas fracciones sustituimos \( c^n \) por \( a^n +b^n \) se llega a la igualdad de dos fracciones. Se hace esta sustitución y se multiplica en cruz y fácilmente se llega a la igualdad.

Llevo mucho tiempo, muchísimo tiempo, intentando demostrar la desigualdad de las dos fracciones arriba citadas.

Esta grandísima dificultad me confirma la dificultad grandísima de demostrar el UTEF y que es un buen camino para lograrlo.

A ver si alguien se anima.

Saludos.
 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 28 Marzo, 2017, 06:04 pm
Hola
Dejando aparte la veracidad o no de la afirmación de minette según la cual demostrar la desigualdad de las dos fracciones supone demostrar el UTF, sólo como simple ejercicio de matemáticas, me resulta superextraño que con los grandísimos matemáticos que actúan en Rincón Matemáticos, nadie lo ha intentado ni tan siquiera pedir datos para abordarlo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Marzo, 2017, 11:26 pm
Hola

Dejando aparte la veracidad o no de la afirmación de minette según la cual demostrar la desigualdad de las dos fracciones supone demostrar el UTF, sólo como simple ejercicio de matemáticas, me resulta superextraño que con los grandísimos matemáticos que actúan en Rincón Matemáticos, nadie lo ha intentado ni tan siquiera pedir datos para abordarlo..

Es que no hay ningún indicio a favor (y si en contra) de que sea más sencillo abordar esa desigualdad de fracciones, que la desigualdad inicial (que es todavía de planteamiento más sencilla) \( a^n+b^n\neq c^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 29 Marzo, 2017, 12:05 pm
Hola

Por favor, el_manco, ¿puedes redactar tu respuesta 80 de otro modo que me resulte más asequible de entender?

Perdona mi cortedad.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Marzo, 2017, 12:15 pm
Hola

Por favor, el_manco, ¿puedes redactar tu respuesta 80 de otro modo que me resulte más asequible de entender?

Que no hay ningún motivo para pensar que es más fácil demostrar que:

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

que demostrar que:

\( a^n+b^n\neq c^n \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 12 Abril, 2017, 11:09 am
En mi opinión, la respuesta 82 de el_manco es un hito, todo lo minúsculo que se quiera, que se apunta Rincón Matemático, y del que es autora minette, al afirmar que demostrar la desigualdad de las dos fracciones es tan difícil como demostrar \( a^n +b^n \neq{c^n} \).
En mi opinión también, demostrar la desigualdad de las dos fracciones equivale a demostrar \( a^n +b^n\neq{c^n} \).
Pienso que Euler lo hubiera conseguido.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Abril, 2017, 11:29 am
Hola

En mi opinión, la respuesta 82 de el_manco es un hito, todo lo minúsculo que se quiera, que se apunta Rincón Matemático, y del que es autora minette, al afirmar que demostrar la desigualdad de las dos fracciones es tan difícil como demostrar \( a^n +b^n \neq{c^n} \).
En mi opinión también, demostrar la desigualdad de las dos fracciones equivale a demostrar \( a^n +b^n\neq{c^n} \).

No entiendo muy bien cual es el hito.  ???

Citar
Pienso que Euler lo hubiera conseguido.

Difícil de comprobar...

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 12 Abril, 2017, 04:33 pm
Creo que procede expresar la siguiente acepción del término hito según el DRAE:
"Persona, cosa o hecho clave y fundamental dentro de un ámbito o contexto."
Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Abril, 2017, 11:04 pm
Hola

Creo que procede expresar la siguiente acepción del término hito según el DRAE:
"Persona, cosa o hecho clave y fundamental dentro de un ámbito o contexto."

Se cuál es la definición de hito. Pero no entiendo en que sentido mi respuesta 82 es un hito. Lo que digo es que minette ha manipulado un poco la ecuación de Fermat hasta llegar a otra equivalente tanto o más complicada que la original, lo cual en principio no ayuda en nada a la demostración del UTF. Sin pretender desmerecer el esfuerzo y mérito personal de minette en su trabajo, es el esquema típico de cualquier "demostración" fallida del teorema.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 18 Abril, 2017, 05:59 pm
Hola

Recapitulemos,

La identidad de Bèzout:

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
 

no tiene una unicidad de valores para \( x_{0}  \), \( y_{0} \)  .

\( a \)  , \( b \)  son enteros primos entre sí.

Puede darse  \( x_{0} \)=  negativo ; \( y_{0} \)=  positivo.

valores de \(  K \)  positivos según:

\( K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  \) ; \( K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

O bien \(  x_{0}^{\prime}=\text{} \) positivo; \( y_{0}^{\prime} \)= negativo

Valores de \( K \)  negativos según:

\( K_{1}^{\prime}=\frac{a-x_{0}^{\prime}c^{n}}{b^{n-1}} \)  ; \( K_{2}^{\prime}=\frac{-b-y_{0}^{\prime}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

Quiero remarcar que para una misma terna \( (a,b,c \)),  según la naturaleza de\(  x_{0} \) , \( y_{0}  \), si demostramos \( K_{1}\neq K_{2} \)  automáticamente demostramos \( K_1^{\prime}\neq K_{2}^{\prime} \)   . Y viceversa.

Continuaremos.

¿Estáis de acuerdo?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Abril, 2017, 10:00 am
Hola

Recapitulemos,

La identidad de Bèzout:

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
 

no tiene una unicidad de valores para \( x_{0}  \), \( y_{0} \)  .

\( a \)  , \( b \)  son enteros primos entre sí.

Puede darse  \( x_{0} \)=  negativo ; \( y_{0} \)=  positivo.

valores de \(  K \)  positivos según:

\( K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  \) ; \( K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

En realidad si partes de:

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)

tendrías que:

\( a^{n-1}x_0c^n+b^{n-1}y_0c^n=c^n \)

Las distintas soluciones enteras de la ecuación \( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^n \) son de la forma:

\( (x,y)=(x_0c^n,y_0c^n)+k(b^{n-1},-a^{n-1}) \)

Si pretendemos que \( (a,b) \) sea solución:
 
\( (a,b)=(x_0c^n,y_0c^n)+k(b^{n-1},-a^{n-1}) \)

Y de ahí despejando \( k \):

\( k=\dfrac{a-x_0c^n}{b^{n-1}}=K_1 \)

\( k=\dfrac{y_0c^n-b}{a^{n-1}}=K_2 \)

Lo que pasa es que tu quieres decir otra cosa. Si \( x_0 \) es negativo e \( y_0 \) positivo, reescribes la ecuación de Bezout de otra forma para que \( x_0,y_0 \) siempre sean ambos números positivos quedándote:

\( -a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)

\( -a^{n-1}x_0c^n+b^{n-1}y_0c^n=c^n \)

Ahora las distintas soluciones enteras de la ecuación \( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^n \) son de la forma:

\( (x,y)=(-x_0c^n,y_0c^n)+k(b^{n-1},-a^{n-1}) \)

Si nuevamente pretendemos que \( (a,b) \) sea solución:
 
\( (a,b)=(-x_0c^n,y_0c^n)+k(b^{n-1},-a^{n-1}) \)

Y de ahí despejando \( k \):

\( k=\dfrac{a+x_0c^n}{b^{n-1}}=K_1 \)

\( k=\dfrac{y_0c^n-b}{a^{n-1}}=K_2 \)

que es lo que has escrito. Pero con la observación de que consideras \( x_0,y_0 \) positivos. Está bien con el matiz que he indicado.

Lo mismo para el otro caso.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Abril, 2017, 11:57 am
Hola

Al final de tu respuesta 88 dices "Pero con la observación de que consideras \( x_0 \) , \( y_0 \) positivos."

No se pueden considerar \( x_0 \) , \( y_0 \) ambos  positivos porque no se cumpliría la identidad de Bèzout.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Abril, 2017, 12:22 pm
Hola

Al final de tu respuesta 88 dices "Pero con la observación de que consideras \( x_0 \) , \( y_0 \) positivos."

No se pueden considerar \( x_0 \) , \( y_0 \) ambos  positivos porque no se cumpliría la identidad de Bèzout.

Relee con calma mi mensaje. Para considerar ambos positivos estoy reescribiendo la indentidad de Bezout como:

\( -a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \) (ojo al signo menos que ahora acompaña al primer término).

Si quieres mantener la identidad de Bezout tal como tu la escribes, sin ese signo menos:

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)

Entonces está mal que escribas:

valores de \(  K \)  positivos según:

\( K_{1}=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  \) ; \( K_{2}=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

Fíjate que en ese caso si \( K_1=K_2=k \) tendrías:

\( a=b^{n-1}k-x_0c^{n} \)
\( b=y_0c^n-ka^{n-1} \)

\( a^n+b^n=a^{n-1}a+b^{n-1}b=a^{n-1}b^{n-1}k-a^{n-1}x_0c^{n}+b^{n-1}y_0c^n-kb^{n-1}a^{n-1}=c^n(-a^{n-1}x_0+b^{n-1}y_0) \)

Para que esa expresión termine siendo finalmente \( c^n \) necesitas que:

\( -a^{n-1}x_0+b^{n-1}y_0=1 \) (con el signo menos delante)

y NO que:

\( a^{n-1}x_0+b^{n-1}y_0=1 \) (sin el signo menos).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Abril, 2017, 06:07 pm
Hola,

Veamos si consigo explicarme bien.

\( a^{n-1}(\pm x_{0})+b^{n-1}(\mp y_{0})=1 \)
 

\( a^{n-1}(\pm x_{0})c^{n}+b^{n-1}(\mp y_{0})c^{n}=c^{n} \)
 

las infinitas raíces de esta ecuación para \( x_{0}= \) negativo; \( y_{0}= \) positivo son:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}  \) ; \( x=a\rightarrow K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1} \)   ; \( y=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Si \(  x_{0}= \) positivo ; \( y_{0}= \) negativo

\( x=(+x_{0})c^{n}+Kb^{n-1} \)  ; \( x=a\rightarrow K=\frac{a-x_{0}c^{n}}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(-y_{0})c^{n}-Ka^{n-1} \)  ; \( y=b\rightarrow K=\frac{-b-y_{0}c^{n}}{a^{n-1}} \)
 

Creo que es lo mismo que tu me indicas. Gracias

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Abril, 2017, 09:46 am
Hola

Hola,

Veamos si consigo explicarme bien.

\( a^{n-1}(\pm x_{0})+b^{n-1}(\mp y_{0})=1 \)
 

\( a^{n-1}(\pm x_{0})c^{n}+b^{n-1}(\mp y_{0})c^{n}=c^{n} \)
 

las infinitas raíces de esta ecuación para \( x_{0}= \) negativo; \( y_{0}= \) positivo son:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}  \) ; \( x=a\rightarrow K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1} \)   ; \( y=b\rightarrow K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

Está bien, salvo con el matiz de que tal como lo escribes \( x_0 \) finalmente no es negativo sino positivo; lo que es negativo es \( -x_0 \) que es lo que usas en la fórmula.

Lo que quieres decir es que el coeficente que multiplica a \( a^{n-1} \) en la ecuación de Bezout es negativo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 20 Abril, 2017, 12:10 pm
Hola

Cuando escribo

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1} \)
 

Empleo \( -x_0 \)

lo que ocurre es que al despejar

\( K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

forzosamente en esta fracción \( x_0 \) aparece como positivo. Y si aparece como positivo es porque inicialmente es \( (-x_0) \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Abril, 2017, 12:22 pm
Hola

Cuando escribo

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1} \)
 

Empleo \( -x_0 \)

lo que ocurre es que al despejar

\( K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

forzosamente en esta fracción \( x_0 \) aparece como positivo. Y si aparece como positivo es porque inicialmente es \( (-x_0) \).

No sé si merece la pena seguir con este detalle, en mi opinión no. Pero en fin.

Lo que quiero decir es que tu aparentemente confundes que una variable tome un valor positivo o negativo, con que esa variable lleve delante en una ecuación el signo más o el signo menos.

Por ejemplo si tenemos la ecuación:

\( x+y=2 \)

los valores \( x=-5 \) e \( y=7 \) cumplen la ecuación. Y en ese caso \( x \) es negativo.

Si ahora reescribirmos la ecuación como:

\( -x+y=2 \)

entonces ahora la solución análoga es \( x=5 \) e \( y=7 \). Ahora x es positivo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 20 Abril, 2017, 05:29 pm
Hola

Gracias.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Mayo, 2017, 11:29 am
Hola,

Aunque con retraso, con bastante retraso, voy a contestar a la respuesta 86 de el_manco.

Conozco bien, creo que bastante bien, la historia de los distintos intentos de demostrar el UTF.

Todos los intentos se han basado en demostrarlo para un valor concreto del exponente n. O bien para una gama concreta de valores de \( n \): de tal valor a tal otro valor.

Pero, que yo sepa, nadie ha traducido, digámoslo así la expresión \( a^n+b^n\neq{c^n} \)  a otra, tal que demostrándola valdría para TODOS los valores de \( n \). Excepción hecha de Wiles.

Si estoy equivocada, por favor, hacédmelo notar.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Mayo, 2017, 01:43 pm
Hola

Aunque con retraso, con bastante retraso, voy a contestar a la respuesta 86 de el_manco.

Conozco bien, creo que bastante bien, la historia de los distintos intentos de demostrar el UTF.

Todos los intentos se han basado en demostrarlo para un valor concreto del exponente n. O bien para una gama concreta de valores de \( n \): de tal valor a tal otro valor.

Los intentos a los que me refiero y que se parecen a los tuyos no los encontrarás en la literatura, porque aunque son valorables desde el punto de vista personal (que alguien discurra algo para enfrentarse al Teorema de Fermat es digno de elogio), son irrelevantes desde el punto de vista científico, porque como ocurre en tu caso ni han llegado a buen puerto ni hay ningún indicio de que puedan facilitar la prueba.

Citar
Si estoy equivocada, por favor, hacédmelo notar.

Si puedes encontrar muchos de ellos en este foro. Por ejemplo:

 - Aquí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=29191.0. Sin entrar en detalles reduce la ecuación a otra (con ciertas condiciones de los coeficientes):

\( (x-y)(y-pqr)M=p^nq^nr^n \)

 En ese mismo hilo hay otros enfoques, todos fallidos.

- Aquí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=15138.0. Se propone la formulación equivalente:

Citar
La idea es la siguiente, sean A un número racional comprendido entre 0 y 1 y sea la sucesión:

\( A_n=(1-A^n)^{1/n} \)

Bastaría demostrar que:

\( (A_n \not\in{Q})\Rightarrow{}(A_{n+1}\not\in{Q})  \)            Todos los términos que siguen a uno irracional son a su vez irracionales
 
 pero no se puede concluir nada útil de ahí.

 Está bien la idea (pulida)... pero no lleva a nada. No se puede llevar a cabo.

 - Aquí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=51372.0 Otra reformulación que no lleva a nada:

Donde parto de la convención de considera (Z,X,Y) como números naturales, primos entre sí, y siendo (Z,Y) impares, X par.

\( (Z,X,Y)\in{N}

mcd (Z,X,Y) =1 \)

De ahí defino los otros términos: a,b,r, A, B, R

\( r= x+y-z

a= x-r = z-y

b= y-r = z-x
 \)

De manera similar defino a A, B, R


\( R= X^{n-1} + Y^{n-1} - Z^{n-1}

A= Z^{n-1} - Y^{n-1}

B= Z^{n-1} - X^{n-1}
 \)

Y como ya habréis deducido, se cumple el caso

\( Z^n= X^n+Y^n \)

sí y sólo si:

\( rR= aB+bA \)


- Aquí: http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=39466.0. Nueva reformulación inútil:

1) Fijado \( n\geq 3 \) supongamos que existe una solución no trivial entera de:

 \( x^n+y^n=z^n \)

 2) Si logramos encontrar un número primo \( p \) tal que:

 2.1) \( x^n\equiv -y^n \) mod \( p \).
 2.2)  \( p \) no dividiendo a \( z \).

 Entonces módulo \( p \) tendríamos que:

 \( x^n+y^n\equiv 0\not\equiv z^n \)

 y por tanto es imposible la igualdad supuesta en uno.

 Entonces "sólo" debemos de justificar la existencia de ese \( p \) primo en las condiciones 2.1) 2.2).

 Y en fin.. si rebuscas en la sección (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?board=97.0) que tenemos en el foro dedicada al Teorema de Fermat todavía hay más.,,

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 15 Mayo, 2017, 03:23 pm
Hola

Dadas las fracciones

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)  ; \(  \frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Si estas fracciones son iguales también lo serán sus cuadrados. Y, recíprocamente, si sus cuadrados no son iguales, las fracciones tampoco lo serán.

Suponiendo que los cuadrados son iguales se llega a:

\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}=c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
 

dividiendo por \( c^{n} \)  :

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+a^{n}=c^{n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{n} \)
 

Siendo \( b^{n}>a^{n} \)   para que la igualdad sea posible

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}>c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}y_{0}b^{n-1}>c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 
\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)>c^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)

\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}>c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

dividiendo por \( x_{0}a^{n-1} \)   :

\( 2a^{n}+2b^{n}+\frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}>c^{n}+\frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+c^{n} \)
 

\( \frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}>\frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}
 \)

\( \frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+a^{n} \)  ?\(  \frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+b^{n} \)
 

Para que el ? sea = :

\( \frac{2b^{n}-c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}=b^{n}-a^{n} \)
 

\( 2b^{n}-c^{n}  \)  ? \( (b^{n}-a^{n})x_{0}a^{n-1} \)
 

\( b^{n}-a^{n} \)  ?\(  (b^{n}-a^{n})x_{0}a^{n-1} \)
 

\( 1<x_{0}a^{n-1} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Mayo, 2017, 04:07 pm
Hola

 Repites un error que ya has cometido antes varias veces:

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)  ; \(  \frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Si estas fracciones son iguales también lo serán sus cuadrados. Y, recíprocamente, si sus cuadrados no son iguales, las fracciones tampoco lo serán.

Suponiendo que los cuadrados son iguales se llega a:

\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}=c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
 

dividiendo por \( c^{n} \)  :

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+a^{n}=c^{n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{n} \)
 

Siendo \( b^{n}>a^{n} \)   para que la igualdad sea posible

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}>c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}y_{0}b^{n-1}>c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 
\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)>c^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)

\( 2a^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}x_{0}a^{n-1}+2b^{n}>c^{n}x_{0}a^{n-1}+c^{n}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

dividiendo por \( x_{0}a^{n-1} \)   :

\( 2a^{n}+2b^{n}+\frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}>c^{n}+\frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+c^{n} \)
 

\( \frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}>\frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}
 \)

\( \frac{2b^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+a^{n} \)  ?\(  \frac{c^{n}}{x_{0}a^{n-1}}+b^{n} \)

Partes de la igualdad en azul, de la cuál extraes un trozo de los términos de izquierda y derecha afirmando que uno es mayor que el otro. Eso es correcto.

Pero el problema es que luego manipulas esa desigualdad entre esos trozos, la simplificas, incluso la divides por algo y luego pretendes que al volverle a sumar los factorez que dejaste fuera originalmente se mantenga la igualdad, lo cuál no tiene porque ser así.

Para entenderlo mejor, es como si dices que:

\( 8+9=4+13 \)

Como \( 9<14 \) entonces:

\( 8>4 \)

Dividimos por \( 4 \):

\( 2>1  \)

y ahora pretendes que al volver a sumar \( 9 \) y \( 13 \) se tenga la igualdad:

\( 2+9=1+14 \)

lo cual obviamente no se cumple.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Mayo, 2017, 06:05 pm
Hola

Dadas las fracciones

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)  ; \( \frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Elevando al cuadrado, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{n} \)  se llega a:

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+a^{n} \)  ? \( c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1}+b^{n} \)
 

prescindiendo de los términos sumandos \(  a^{n} \)  ;\(  b^{n} \)
 

Veamos la relación:

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}  \) ? \( c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}(2b^{n}-c^{n})  \) ? \( x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n}) \)
 

\( -y_{0}b^{n-1}(c^{n}-2b^{n}) \)  ? \( x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n}) \)
 

Siendo\(  b>a \)  :

\( c^{n}-2a^{n}>c^{n}-2b^{n} \)
 

el factor \( y_{0}b^{n-1} \)  es mayor en 1 al factor \( x_{0}a^{n-1} \)
 

El factor \( (c^{n}-2a^{n}) \)  es mayor al factor \( (c^{n}-2b^{n}) \)
 

en \( c^{n}-2a^{n}-c^{n}+2b^{n}=2b^{n}-2a^{n} \)
 

Por tanto

\( -y_{0}b^{n-1}(c^{n}-2b^{n})<x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n}) \)
 

     Positivo                        Positivo

Si sumamos al primer miembro \( a^{n} \)   y al segundo \(  b^{n} \)
 

\( -y_{0}b^{n-1}(c^{n}-2b^{n})+a^{n}<x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n})+b^{n} \)
 

y por tanto:

\( \frac{x_{0}c^{n+a}}{b^{n-1}}<\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Mayo, 2017, 11:09 am
Hola

\( c^{n}-2a^{n}>c^{n}-2b^{n} \)
 

el factor \( y_{0}b^{n-1} \)  es mayor en 1 al factor \( x_{0}a^{n-1} \)
 

El factor \( (c^{n}-2a^{n}) \)  es mayor al factor \( (c^{n}-2b^{n}) \)
 

en \( c^{n}-2a^{n}-c^{n}+2b^{n}=2b^{n}-2a^{n} \)
 

Por tanto

\( -y_{0}b^{n-1}(c^{n}-2b^{n})<x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n}) \)

Este razonamiento está mal. Es falso en general que:

\( A>0>B \) y \( D>C\quad \Rightarrow{}\quad -BD<AC \)

Por ejemplo: \( A=5 \), \( B=-4 \), \( D=2 \), \( C=1 \)

En tu caso:

\( A=\color{red}c^n\color{black}-2a^n \)
\( B=\color{red}c^n\color{black}-2b^n \)
\( D=y_0b^{n-1} \)
\( C=x_0a^{n-1} \)

Saludos.

CORREGIDO
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 29 Mayo, 2017, 12:04 pm
Hola

En mi opinión no podemos prescindir de que \(  (a,b,c) \)  son miembros de una terna.

Por ejemplo \( a=5 \)  ;\(  b=8 \)  ; \( c=9 \) .

si \(  n=3 \)
 

Entonces\(  (c^{n}-2b^{n}) \)  NO \( (c-2b^{n}) \) como tú escribes; \(  9^{3}-2\cdot8^{3}=729-1024=-295 \)
 

\( (c^{n}-2a^{n}) \)  NO \( (c-2a^{n})  \) como escribes.

\( (9^{3}-2\cdot5^{3})=729-250=479 \)
 

Si \( y_{0}b^{n-1}=2 \)  ;\(  x_{0}a^{n-1}=1 \)
 

la diferencia entre los dos paréntesis es \( 2b^{n}-2a^{n}=774 \)
 

\( 2(T)<1(T+774) \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Mayo, 2017, 12:14 pm
Hola

En mi opinión no podemos prescindir de que \(  (a,b,c) \)  son miembros de una terna.

Por ejemplo \( a=5 \)  ;\(  b=8 \)  ; \( c=9 \) .

si \(  n=3 \)
 

Entonces\(  (c^{n}-2b^{n}) \)  NO \( (c-2b^{n}) \) como tú escribes; \(  9^{3}-2\cdot8^{3}=729-1024=-295 \)

Si, ya corregí el exponente de \( c \). Era un errata simplemente.

Y para mostrar que tu argumento está mal, se puede prescindir perfectamente de que los términos vengan de una terna, porque en el paso que critico de tu "demostración" no usas que vengan de una terna sino que simplemente combinas mal un par de desigualdades.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 29 Mayo, 2017, 12:44 pm
Hola
Perdona que sea tan corta de mente. Por ello te ruego me expliques de otra forma tu respuesta 103.

Perdona también porque en mi respuesta 100 no dejo claro que \( (a,b,c) \)  son términos de una terna.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Mayo, 2017, 12:52 pm
Hola

el factor \( \underbrace{y_{0}b^{n-1}}_D \)  es mayor en 1 al factor \( \underbrace{x_{0}a^{n-1}}_C \)
 

El factor \( \underbrace{(c^{n}-2a^{n})}_A \)  es mayor al factor \( \underbrace{(c^{n}-2b^{n})}_B \)
 

en \( c^{n}-2a^{n}-c^{n}+2b^{n}=2b^{n}-2a^{n} \)
 

Por tanto

\( -\underbrace{y_{0}b^{n-1}}_D\underbrace{(c^{n}-2b^{n})}_B<\underbrace{x_{0}a^{n-1}}_C\underbrace{(c^{n}-2a^{n})}_A \)

Tu ahí simplemente está usando que \( D=C+1 \) y que \( A>B \) para afirmar que:

\( -DB>CA \)

y yo te digo que sólo con esas hipótesis esa afirmación no se sostiene, no tiene porque ser cierta (te he puesto un ejemplo).

Si en la afirmación intervienen otras hipótesis, tienes que decir como influyen para convertir la afirmación en cierta. Es decir hacer un nuevo razonamiento que sea correcto (¡el tuyo he mostrado que no lo es!) donde de verdad se tendrán que usar esas hipótesis adicionales.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 29 Mayo, 2017, 05:45 pm
Hola,

Perdóname que insista. Los valores que das en tu ejemplo tienen que provenir, ineludiblemente, de valores provenientes de una terna. En este sentido creo imposible que \( (c^n-2a^n) \) sea igual a 5. Y también que \( c^n-2b^n \) sea igual a \( -4 \).

Con los valores que pones se llega a \( +8>+5 \) lo cual sólo supondría que la fracción de la izquierda es mayor que la de la derecha. En definitiva que no son iguales.

Lo que afirmo es que

\( DB<CA \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Mayo, 2017, 07:12 pm
Hola

Perdóname que insista. Los valores que das en tu ejemplo tienen que provenir, ineludiblemente, de valores provenientes de una terna. En este sentido creo imposible que \( (c^n-2a^n) \) sea igual a 5. Y también que \( c^n-2b^n \) sea igual a \( -4 \).

Para mostrar que tu argumento está incompleto (¡pero gravemente, es decir contiene una afirmación en absoluto justificada!), no necesito poner un ejemplo que venga de una terna. Basta con poner un ejemplo que muestre que un paso concreto de tu afirmación no tiene porqué cumplirse. Esfuérzate en entender esto o no avanzarás.

Te lo digo de otra manera. ¿Cómo justificas que del hecho de que :

\( (c^n-2a^n)>(c^n-2b^n) \)
\( y_0b^{n-1}=x_0a^{n-1}+1 \)

se deduce que:

\( -y_0b^{n-1}(c^n-2n^n)<x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)?. ¿En qué propiedad de los números enteros te basas?.

Yo creo que te basas (erróneamente) en lo siguiente. Tienes:

\( (c^n-2b^n)<(c^n-2a^n) \)
\( \color{red}-y_0b^{n-1}\color{black}<x_0a^{n-1} \)

y crees que multiplicando término a término se mantiene la desigualdad. Pero no tiene porque ser cierto porque algunos términos son negativos y entonces no tienen porque conservarse las desigualdades. Ese hecho es lo que muestra mi ejemplo.

Citar
Lo que afirmo es que

\( DB<CA \)

No. Con los nombres que he dado a tus términos lo que afirmas es que:

\( -DB<CA \)

Saludos.

CORREGIDO
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Mayo, 2017, 12:06 pm
Hola

Supongamos

\( c^n=729 \)

\( 2a^n=250 \)

\( 2b^n=1024 \)

\( c>b>a \) ; \( b+a>c \)

\( c^n-2a^n =729-250=479 \)

\( c^n-2b^n=729-1024=-295 \)

En general si

\( c^n>2a^n \)

\( c^n<2b^n \)

\( c^n-2a^n>c^n-2b^n \)

Para no ponerme pesada, me paro y espero tu respuesta.

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Mayo, 2017, 01:35 pm
Hola

Supongamos

\( c^n=729 \)

\( 2a^n=250 \)

\( 2b^n=1024 \)

\( c>b>a \) ; \( b+a>c \)

\( c^n-2a^n =729-250=479 \)

\( c^n-2b^n=729-1024=-295 \)

En general si

\( c^n>2a^n \)

\( c^n<2b^n \)

\( c^n-2a^n>c^n-2b^n \)

Para no ponerme pesada, me paro y espero tu respuesta.

Es que no sé que quieres decirme con esto. Estoy totalmente de acuerdo en que  \( c^n-2a^n>c^n-2b^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Mayo, 2017, 05:32 pm
Hola

En tu respuesta 107 dices:"Y creo que te basas (erróneamente) en:

\( (c^n-2b^n)<(c^n-2a^n) \)

Luego en tu respuesta 109 dices "Estoy totalmente de acuerdo en que \( c^n-2a^n>c^n-2b^n \)." Gracias.

ACLARACIÓN.- Que debió figurar en mi respuesta 108.

Si trabajamos con la igualdad \( a^n+b^n =c^n \) cabe colegir de ella que

\( 2a^n<c^n \)
\( 2b^n>c^n \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Mayo, 2017, 06:04 pm
Hola

En mi respuesta 100 cerca del final escribo:

\( -y_0b^{b-1}(c^n-2b^n)<x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)

Estos dos miembros están formados por un productos de dos factores. El factor \( y_0b^{n-1} \) es mayor al factor \( x_0a^{n-1} \)  en 1.

El factor \( (c^n-2a^n) \) es mayor al factor \( (c^n-2b^n) \) en \( 2b^n-2a^n \)  bastante mayor que 1.

Por favor repasa tu respuesta 107 pues creo que contiene algún error.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Mayo, 2017, 06:38 pm
Hola

En tu respuesta 107 dices:"Y creo que te basas (erróneamente) en:

\( (c^n-2b^n)<(c^n-2a^n) \)

Luego en tu respuesta 109 dices "Estoy totalmente de acuerdo en que \( c^n-2a^n>c^n-2b^n \)." Gracias.

Es que no has completado el párrafo; mi frase continua:

Yo creo que te basas (erróneamente) en lo siguiente. Tienes:


\( (c^n-2b^n)<(c^n-2a^n) \)
\( -y_0b^{n-1}<x_0a^{n-1} \)

y crees que multiplicando término a término se mantiene la desigualdad. Pero no tiene porque ser cierto porque algunos términos son negativos y entonces no tienen porque conservarse las desigualdades. Ese hecho es lo que muestra mi ejemplo.

Lo que está mal no son las hipótesis que marco en verde con las que estoy de acuerdo; lo que es erróneo es lo que deduces de ellas y que he subrayado y marcado en azul.

En mi respuesta 100 cerca del final escribo:

\( -y_0b^{b-1}(c^n-2b^n)<x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)

Estos dos miembros están formados por un productos de dos factores. El factor \( y_0b^{n-1} \) es mayor al factor \( x_0a^{n-1} \)  en 1.

El factor \( (c^n-2a^n) \) es mayor al factor \( (c^n-2b^n) \) en \( 2b^n-2a^n \)  bastante mayor que 1.

Por favor repasa tu respuesta 107 pues creo que contiene algún error.

El único error era una llave que faltaba y que hacía que saliese mal el exponente de \( b \). Ya lo he corregido. Pero no cambia el fondo de lo que digo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 21 Junio, 2017, 01:00 pm
Hola el_manco

En tu respuesta 101, para contradecir mi desigualdad

\( -y_0b^{b-1}(c^n-2b^n)<x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)

afirmas: "Es falso en general que."

En mi opinión no se debe recurrir a la generalidad aritmética, cuando tratamos una cuestión muy, pero que muy concreta: Pones además un ejemplo que me reafirma:

\( -BD<AC \).

Yo creo, además, que en la desigualdad arriba citada, siendo el primer miembro el producto de dos factores negativos, podemos considerarlos ambos positivos sin que varíe su producto. Con ellos se ve más clara la desigualdad. El factor \( x_0a^{n-1} \) es menor en 1 al factor \( y_0b^{n-1} \). Y el factor \( (c^n-2a^n) \) es mayor a \( (c^n-2b^n) \)  en \( 2b^n-2a^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Junio, 2017, 10:50 am
Hola

En tu respuesta 101, para contradecir mi desigualdad

\( -y_0b^{b-1}(c^n-2b^n)<x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)

afirmas: "Es falso en general que."

En mi opinión no se debe recurrir a la generalidad aritmética, cuando tratamos una cuestión muy, pero que muy concreta:

Si tu afirmas que del hecho de que:

\( x_0a^{n-1}=y_0b^{n-1}-1 \)
\( (c^n-2a^n)>(c^n-2b^n) \)

se puede deducir que:

\( -y_0b^{b-1}(c^n-2b^n)<x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)

tienes que argumentar porqué. En que propiedad de los números y desigualdades te basas.

Lo que yo te digo es que aparentemente te basas en una propiedad que crees que es cierta, pero que en realidad es falsa.

Este razonamiento está mal. Es falso en general que:

\( A>0>B \) y \( D>C\quad \Rightarrow{}\quad -BD<AC \)

Por ejemplo: \( A=5 \), \( B=-4 \), \( D=2 \), \( C=1 \)

En tu caso:

\( A=\color{red}c^n\color{black}-2a^n \)
\( B=\color{red}c^n\color{black}-2b^n \)
\( D=y_0b^{n-1} \)
\( C=x_0a^{n-1} \)

 Si tu me dices: "no pero que mi caso es muy especial, muy conreto". Bien. Pero entonces tienes que argumentar, porque en tu caso se supone que esa propiedad que afirmas que es cierta y que en general es falsa si se cumple. No vale aplicarla "porque si".

 
Citar
Pones además un ejemplo que me reafirma:

\( -BD<AC \).

Yo creo, además, que en la desigualdad arriba citada, siendo el primer miembro el producto de dos factores negativos, podemos considerarlos ambos positivos sin que varíe su producto. Con ellos se ve más clara la desigualdad. El factor \( x_0a^{n-1} \) es menor en 1 al factor \( y_0b^{n-1} \). Y el factor \( (c^n-2a^n) \) es mayor a \( (c^n-2b^n) \)  en \( 2b^n-2a^n \).

 No el ejemplo no te reafirma en nada. El ejemplo se ajusta bastante bien a tus condiciones. También multiplico dos términos negativos, \( B=-4 \) y \( -D=-2 \) y no se trata de si varía o no el producto al considerarlos positivos, se trata de si se mantiene esa desigualdad que a ti te interesa, y el ejemplo muestra que no se mantiene.

 Insisto en esto: si tu crees que en tus condiciones si se cumple esa desigualdad tienes que dar un argumento que lo justifique.

Saludos.

P.D. Por enésima vez: si además entendieses que no estás usando ahí el carácter entero de los números, comprenderías sin dudarlo que tu argumento no puede funcionar.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Junio, 2017, 12:59 pm
Hola

Para ver si consigo entenderte.

En el ejemplo que me pones

\( A-B=5-(-4)=9 \)

y la diferencia \( A-B-=2b^n-2a^n \) ha de ser par.

También escribes \( -BD<AC \):

\( -(-4\cdot{2)<5\cdot{1}}\rightarrow{}8<5 \)

Por favor aclárame esto para poder continuar.

Saludos.




Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Junio, 2017, 01:13 pm
Hola

Para ver si consigo entenderte.

En el ejemplo que me pones

\( A-B=5-(-4)=9 \)

y la diferencia \( A-B-=2b^n-2a^n \) ha de ser par.

¡Pero no ves que eso es intrascendente! Toma si quieres \( B=-3 \) y ya tienes diferencia par.

Citar
También escribes \( -BD<AC \):

\( -(-4\cdot{2)<5\cdot{1}}\rightarrow{}8<5 \)

No entiendo cual es la duda o pregunta ahí; efectivamente 8 NO es menor que 5 lo cual muestra que la propiedad FALLA.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Junio, 2017, 12:55 pm
Hola

En el hilo "Presunta demostración" iniciado por Maite_ac, se demuestra que la terna viable con valores más pequeños es la (5,8,9) para un exponente \( n=3 \), un \( x_0 = negativo \); \( y_0=positivo \).

Con estos datos:

\( -y_0b^{n-1}(c^n-2b^n)?x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)

se llega a \( 169920<275425 \)

Para ternas mayores \( (a,b,c) \), la identidad de Bèzout con sus términos \( y_0b^{n-1}-x_0a^{n-1}=1 \) , serán cada vez mayores, como también el exponente \( n \) y los valores \( a,b,c \). Con lo cual la diferencia 1º miembro < 2º miembro también aumentará.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Junio, 2017, 01:12 pm
Hola

En el hilo "Presunta demostración" iniciado por Maite_ac, se demuestra que la terna viable con valores más pequeños es la (5,8,9) para un exponente \( n=3 \), un \( x_0 = negativo \); \( y_0=positivo \).

Con estos datos:

\( -y_0b^{n-1}(c^n-2b^n)?x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)

se llega a \( 169920<275425 \)

Para ternas mayores \( (a,b,c) \), la identidad de Bèzout con sus términos \( y_0b^{n-1}-x_0a^{n-1}=1 \) , serán cada vez mayores, como también el exponente \( n \) y los valores \( a,b,c \). Con lo cual la diferencia 1º miembro < 2º miembro también aumentará.

No sé que tiene que ver eso con la desigualdad que pretendes afirmar que es cierta; pero no das ningún argumento válido para probarlo.

Ejemplos como el que te he construido pueden hacerse también con valores muy grandes.

Por ejemplo:

\( A=12312312357 \)
\( B=-12312312353 \)
\( C=123123214 \)
\( D=123123215 \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Junio, 2017, 12:29 pm
Hola

Para que tu ejemplo sea válido:

\( \displaystyle\frac{123123215}{123123214}<\displaystyle\frac{12312312357}{-12312312353} \)

y no lo es

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Junio, 2017, 12:31 pm
Hola

Para que tu ejemplo sea válido:

\( \displaystyle\frac{123123215}{123123214}<\displaystyle\frac{12312312357}{-12312312353} \)

y no lo es.

¿Por qué tiene que ocurrir eso para qué mi ejemplo sea válido?.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Junio, 2017, 12:49 pm
Hola

Se supone

\( y_0b^{n-1}=123123215 \)

\( x_0a^{n-1}=123123214 \)

\( c^n-2b^n=12312312353 \)

\( c^n-2a^n=12312312357 \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Junio, 2017, 01:10 pm
Hola

En tu respuesta 114 afirmas

\( x_0a^{n-1}=y_0b^{n-1}-1 \)

\( (c^n-2a^n)>(c^n-2b^n) \)

Si de lo anterior se puede deducir

\( -y_0b^{n-1}(c^n-2b^n)<x_0a^{n-1}(c^n-2a^n) \)

tienes que argumentar porqué.

Creo que tienes más razón que un santo.

\( -y_0b^{n-1}c^n+2y_0b^{2n-1}<x_0a^{n-1}c^n-2x_0a^{2n-1} \)

\( 2y_0b^{2n-1}+2x_0a^{2n-1}<x_0a^{n-1}c^n+y_0b^{n-1}c^n \)

\( 2y_0b^{2n-1}+2x_0a^{2n-1}+a^n<c^ny_0b^{n-1}+c^nx_0a^{n-1}+b^n \)

\( 2x_0a^{2n-1}+a^n-c^nx_0a^{n-1}<c^ny_0b^{n-1}-2y_0b^{2n-1}+b^n \)

\( a^{n-1}(2x_0a^n+a-c^nx_0)<b^{n-1}(c^ny_0-2y_0b^n+b) \)

\( 2x_0a^n+a-c^nx_0 \) ? \( c^ny_0-2y_0b^n+b \)

\( 2x_0a^n+a+2y_0b^n \) ? \( c^nx_0+c^ny_0+b \)

\( 2x_0a^n+a+2y_0b^n \) ? \( a^nx_0+b^nx_0+a^ny_0+b^ny_0+b \)

\( x_0a^n+a+y_0b^n \) ? \( b^nx_0+a^ny_0+b \)

\( a(x_0a^{n-1}+1) \) ? \( b(b^{n-1}x_0+1) \)

\( a(x_0a^{n-1}+1)+y_0b^n<b(b^{n-1}x_0+1)+b^nx_0 \)

Saludos

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 11 Julio, 2017, 06:50 pm
Hola

De la respuesta 122 de Minette sólo estoy de acuerdo en "Creo que tienes más razón que un santo." Lo que sigue esta MAL.

Trataré de demostrarlo en otra respuesta.

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 25 Julio, 2017, 06:28 pm
Hola minette

Continúo de tu respuesta 122 a partir de la Línea

\( x_0a^n+a+y_0b^n \) ? \( b^nx_0+a^ny_0+b \)

de aquí los términos-sumandos \( a+y_0b^n \) son menores  a \( b^nx_0+b \):

\( a+y_0b^n<b^nx_0+b \)

su diferencia es

\( b^nx_0+b-y_0b^n-a=b-a+b^n(x_0-y_0) \)

esta diferencia es a favor del segundo miembro.

Por otro lado el término-sumando \( x_0a^n  \) (1º miembro) es mayor al término-sumando \( a^ny_0 \) (2º miembro)

Su diferencia \( a^n(x_0-y_0) \) es a favor 1º miembro

Comparamos ambas diferencias:

\( a^n(x_0-y_0)<b-a+b^n(x_0-y_0) \)
1º miembro < 2º miembro
1º miembro x \( a^{n-1}< \) 2º miembro x\(  b^{n-1} \)

Por favor el_manco, dime si ves correcto esto.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Julio, 2017, 12:18 pm
Hola

Por favor el_manco, dime si ves correcto esto.

Dejemos primero que opine minette.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Julio, 2017, 12:51 pm
Hola el_manco.

Empiezo por reconocer que en mi respuesta 122 me he hecho un lío.

Lío que ha puesto en evidencia Maite_ac en su respuesto 124 que creo correcta.

Ahora bien, siendo que son muchas las veces que he metido la pata, espero el dictamen tuyo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Julio, 2017, 10:36 am
Hola

Está mal.

1º miembro x \( a^{n-1}< \) 2º miembro x\(  b^{n-1} \)

No he analizado al detalla las desigualdades que pones antes, pero aun siendo correctas, ese último paso no está bien; no al menos si se pretende sacar alguna conclusión sobre la expresión inicial de la que partía minette

\( a^{n-1}(2x_0a^n+a-c^nx_0)<b^{n-1}(c^ny_0-2y_0b^n+b) \)

\( 2x_0a^n+a-c^nx_0 \) ? \( c^ny_0-2y_0b^n+b \)

\( 2x_0a^n+a+2y_0b^n \) ? \( c^nx_0+c^ny_0+b \)

\( 2x_0a^n+a+2y_0b^n \) ? \( a^nx_0+b^nx_0+a^ny_0+b^ny_0+b \)

\( x_0a^n+a+y_0b^n \) ? \( b^nx_0+a^ny_0+b \)

A partir de la expresión que marco en azul, se han eliminado a la izquierda el término \( a^{n-1} \) y a la derecha \( b^{n-1} \). Después se continúa manipulando la expresión restante transponiendo términos: algunos de la izquierda pasan a la derecha y viceversa.

No se puede pretender que si al final vuelves a multiplicar por \( a^{n-1} \) a izquierda y \( b^{n-1} \) a la derecha, se obtenga una expresión equivalente a la inicial, porque los términos a derecha e izquierda han cambiado: un término que ahora está a la derecha lo multiplicamos por \( b^{n-1} \) cuando originalmente estaba a la izquierda y debería de ser multiplicado por \( a^{n-1} \).

Saludos.

P.D. Este error lo ha cometido minette otras veces.

P.D.D. Como le he repetido a minette muchas veces aunque sin éxito, hay otro hecho que deja claro que el razonamiento no puede estar bien. Cualquier argumento que pretenda probar el Teorema de Fermat que no utilice de manera decisiva que los números son enteros, tiene que estar mal; porque para números no enteros la ecuación de Fermat si tiene soluciones.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Julio, 2017, 07:00 pm
Hola

\( -y_{0}b^{n-1}(c^{n}-2b^{n}) ? x_{0}a^{n-1}(c^{n}-2a^{n)} \)
 

\( -y_{0}b^{n-1}c^{n}+y_{0}b^{n-1}2b^{n} ? (y_{0}b^{n-1}-1)(c^{n}-2a^{n}) \)
 

\( -y_{0}b^{n-1}c^{n}+y_{0}b^{n-1}2b^{n} ? y_{0}b^{n-1}c^{n}-2a^{n}y_{0}b^{n-1}-c^{n}+2a^{n} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}2b^{n}+2a^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n} ? y_{0}b^{n-1}c^{n}+2a^{n}+y_{0}b^{n-1}c^{n} \)
 

dividido por \( y_{0}b^{n-1} \)
 

\( 2b^{n}+2a^{n}+\frac{c^{n}}{y_{0}b^{n-1}}?c^{n}+\frac{2a^{n}}{y_{0}b^{n-1}}+c^{n} \)
 

\( 2b^{n}+2a^{n}-2c^{n}+\frac{c^{n}}{y_{0}b^{n-1}} ? \frac{2a^{n}}{y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( b^{n}+a^{n}-c^{n}+\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{n-1}} ? \frac{a^{n}}{y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{c^{n}}{2}>a^{n} \)
 

\( \frac{c^{n}}{2}+a^{n} ? a^{n}+b^{n}\rightarrow\frac{c^{n}}{2}<b^{n} \)
 

Fracción de la izquierda < Fracción de la derecha

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Julio, 2017, 06:57 pm
Hola

Mi respuesta anterior 128 está mal porque los términos \( a^{n} \)  del primer miembro y  \(  b^{n} \)   (2º miembro) hay que dividirlos como a todos los demás por \( 2y_{0}b^{n-1} \)
 

\( \frac{c^{n}}{2}+\frac{a^{n}}{2y_{0}b^{n-1}}?a^{n}+\frac{b^{n}}{2y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( c^{n}+\frac{a^{n}}{y_{0}b^{n-1}}?2a^{n}+\frac{b^{n}}{y_0b^{n-1}} \)
 

\( c^{n}-2a^{n}?\frac{b^{n}-a^{n}}{y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( b^{n}-a^{n}>\frac{b^{n}-a^{n}}{y_{0}b^{n-1}} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Agosto, 2017, 06:33 pm
Hola

Una breve respuesta para decir que mis respuestas 128 y 129 no son correctas. Están mal.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 02 Noviembre, 2017, 09:14 am
Buenos días

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  ; \frac{y_{0}c^{n-b}}{a^{n-1}} \)
 

Elevándolas al cuadrado, multiplicando en cruz y dividiendo por \(  c^{n} \)  tenemos:

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+\frac{a^{2n}}{c^{n}} \)  ?\(  c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
 

\( a^{n-1}(2x_{0}a^{n}-c^{n}x_{0}+\frac{a^{n+1}}{c^{n}})  \) ? \( b^{n-1}(c^{n}y_{0}-2y_{0}b^{n}+\frac{b^{n+1}}{c^{n}}) \)
 

Trabajamos con los dos paréntesis:

\( c^{n}y_{0}>-c^{n}x_{0}\rightarrow diferencia   c^{n}y_{0}+c^{n}x_{0}  \) a favor 2º miembro

\( \frac{b^{n+1}}{c^{n}}>\frac{a^{n+1}}{c^{n}}\rightarrow diferencia   \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{c^{n}}  \)  a favor 2º miembro

\( -2y_{0}b^{n}<2x_{0}a^{n}\rightarrow diferencia   2x_{0}a^{n}+2y_{0}b^{n}  \)  a favor 1º miembro

Comparamos las diferencias:

\( 2x_{0}a^{n}+2y_{0}b^{n} \)  ? \( c^{n}y_{0}+c^{n}x_{0} \)
 

Sustituyendo \( c^{n}=a^{n}+b^{n} \):

\( x_{0}a^{n}+y_{0}b^{n}  \) ? \( a^{n}y_{0}+b^{n}x_{0} \) 

\( y_{0}(b^{n}-a^{n})<x_{0}(b^{n}-a^{n}) \)
 

\( a^{n-1}[y_{0}(b^{n}-a^{n})]<b^{n-1}[x_{0}(b^{n}-a^{n})+\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{c^{n}}] \)
 

Conclusión

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}<\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

Saludos
 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Noviembre, 2017, 11:34 am
Hola

Buenos días

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  ; \frac{y_{0}c^{n-b}}{a^{n-1}} \)
 

Elevándolas al cuadrado, multiplicando en cruz y dividiendo por \(  c^{n} \)  tenemos:

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}+\frac{a^{2n}}{c^{n}} \)  ?\(  c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
 

\( a^{n-1}(2x_{0}a^{n}-c^{n}x_{0}+\frac{a^{n+1}}{c^{n}})  \) ? \( b^{n-1}(c^{n}y_{0}-2y_{0}b^{n}+\frac{b^{n+1}}{c^{n}}) \)
 

Trabajamos con los dos paréntesis:

\( c^{n}y_{0}>-c^{n}x_{0}\rightarrow diferencia   c^{n}y_{0}+c^{n}x_{0}  \) a favor 2º miembro

\( \frac{b^{n+1}}{c^{n}}>\frac{a^{n+1}}{c^{n}}\rightarrow diferencia   \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{c^{n}}  \)  a favor 2º miembro

\( -2y_{0}b^{n}<2x_{0}a^{n}\rightarrow diferencia   2x_{0}a^{n}+2y_{0}b^{n}  \)  a favor 1º miembro

Comparamos las diferencias:

\( 2x_{0}a^{n}+2y_{0}b^{n} \)  ? \( c^{n}y_{0}+c^{n}x_{0} \)

Pero aquí estás pasando el término \( 2y_0b^n \) de la derecha a la izquierda, sin tener en cuenta que los términos de la derecha están multiplicados por \( b^{n-1} \) y los de la izquierda por \( a^{n-1} \). Entonces todo lo que obtengas de ahí dice nada sobre la desigualdad inicial.

Este error ya lo has/habéis (minette o tu o ambas) cometido más veces.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Noviembre, 2017, 04:47 pm
Hola

Como dice Luis, este error ya lo hemos cometido más de una vez.

\( 2x_{0}a^{2n-1}-c^{n}x_{0}a^{n-1}+\frac{a^{2n}}{c^{n}} \) ? \( c^{n}y_{0}b^{n-1}-2y_{0}b^{2n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
 

\( \frac{b^{2n}}{c^{n}}>\frac{a^{2n}}{c^{n}} \)  favor 2º miembro

\( c^{n}y_{0}b^{n-1}>-c^{n}x_{0}a^{n-1} \)  favor 2 miembro; diferencia \( c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

\( 2x_{0}a^{2n-1}>-2y_{0}b^{2n-1}  \)  favor 1º miembro; diferencia \( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1} \)
 

\( 2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1}  \) ? \( c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

\( x_{0}a^{2n-1}+x_{0}a^{2n-1}+y_{0}b^{2n-1}+y_{0}b^{2n-1} \) ? \( a^{n}y_{0}b^{n-1}+y_{0}b^{2n-1}+x_{0}a^{2n-1}+b^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

\( x_{0}a^{2n-1}+y_{0}b^{2n-1} \)  ? \( a^{n}y_{0}b^{n-1}+b^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

\( a^{n}x_{0}a^{n-1}+b^{n}y_{0}b^{n-1} \) ? \( a^{n}y_{0}b^{n-1}+b^{n}x_{0}a^{n-1} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}(b^{n}-a^{n}) \)  ? \( x_{0}a^{n-1}(b^{n}-a^{n})\rightarrow1>0 \)
 

\( \frac{a^{2n}}{c^{n}}+1 \)   ? \( \frac{b^{2n}}{c^{n}}  \)  ; \( 1 \)   ? \( \frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}}  \)  ; \(  1  \) \( < \) \(  b^{n}-a^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 06 Noviembre, 2017, 12:10 pm
Hola,

Sólo quiero decir que mi respuesta 133 no es correcta. Está MAL.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 07 Noviembre, 2017, 06:11 pm
Hola,

Elevando al cuadrado las dos fracciones, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{2n} \)   llegamos a:

\( x_{0}a^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}+y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \)   ? \( y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)+x_{0}a^{n-1}(\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1)  \)  ? \( \frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}} \)
 

si \( x_{0}a^{n-1}=y_{0}b^{n-1} \)  y dividimos por \( y_{0}b^{n-1} \)
 

\( \frac{2b^{n}}{c^{n}}-1+\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1 \)  ? \( \frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{2b^{n}+2a^{n}}{c^{n}}-2  \)  ? \( \frac{b^{n}-a^{n}}{c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}+a^{n}}{c^{n}}-1  \)  ? \( \frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( 0<\frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Noviembre, 2017, 07:19 pm
Hola

 No estoy seguro de que pretendes concluir de el desarrollo que has expuesto. Pero:

Hola,

Elevando al cuadrado las dos fracciones, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{2n} \)   llegamos a:

\( x_{0}a^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}+y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \)   ? \( y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)+x_{0}a^{n-1}(\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1)  \)  ? \( \frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}} \)
 

si \( x_{0}a^{n-1}=y_{0}b^{n-1} \)  y dividimos por \( y_{0}b^{n-1} \)

si no me equivoco el supuesto en rojo no se da.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Noviembre, 2017, 11:59 am
Hola

Tienes toda la razón del mundo Luis al decir que

\( x_0a^{n-1}\neq{}y_0b^{n-1} \)

Yo supongo a propósito esa igualdad para observar que siendo

\( y_0b^{n-1}>x_0a^{n-1} \)

estoy beneficiando (digámoslo así) el valor del primer miembro; y, si aún así, el

primer miembro < segundo miembro más lo será usando \( x_0a^{n-1} \)  que es menor.

Saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Noviembre, 2017, 12:21 pm
Hola,

Citar
Elevando al cuadrado las dos fracciones, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{2n} \)   llegamos a:

\( x_{0}a^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}+y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \)   ? \( y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)

No veo claro como de aquí:

\( \dfrac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  ; \dfrac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)  (1)

elevando al cuadrado llegas a lo que dices. Aparecerían por ejemplo unos \( x_0^2 \) e \( y_0^2 \) que no veo por ningún lado.

Por otra parte es inmediato que si \( y_0b^{n-1}=x_0a^{n-1}+1 \) y \( a^n+b^n=c^n  \)en (1) se tiene la igualdad; así es imposible que si operas adecuadamente esa expresión obtengas nada que niegue o contradiga la posibilidad de que esas tres igualdades se cumplan simultáneamente.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Noviembre, 2017, 06:48 pm
Hola

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  \)  ?  \( \frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

\( \frac{x_{0}^{2}c^{2n}+a^{2}+2ax_{0}c^{n}}{b^{2n-2}}  \)  ?  \( \frac{y_{0}^{2}c^{2n}-2y_{0}c^{n}b+b^{2}}{a^{2n-2}} \)
 

\( a^{2n-2}x_{0}^{2}c^{2n}+2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+a^{2n} \)   ? \( y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}-2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}  \)  ?  \( c^{2n}(y_{0}^{2}b^{2n-2}-x_{0}^{2}a^{2n-2})+b^{2n} \)
 

\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}  \)  ?  \( c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})(y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
 

\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}  \) ?  \( c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
 

\( x_{0}a^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}+y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{a^{2n}}{c^{2n}}  \)  ?  \( y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)
 

\( x_{0}a^{n-1}(\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1)+y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)  ? \frac{b^{2n}}{c^{2n}}-\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \)
 

Si \( x_{0}a^{n-1}=y_{0}b^{n-1} \)   y dividimos por \( y_{0}b^{n-1} \)
 

\( \frac{2b^{n}}{c^{n}}-1+\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1  \)  ?  \( \frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{2b^{n}+2a^{n}}{c^{n}}-2 \)   ?  \( \frac{b^{n}-a^{n}}{c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}+a^{n}}{c^{n}}-1 \)   ?  \( \frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( 0<\frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Noviembre, 2017, 10:38 pm
Hola

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}  \)  ?  \( \frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

\( \frac{x_{0}^{2}c^{2n}+a^{2}+2ax_{0}c^{n}}{b^{2n-2}}  \)  ?  \( \frac{y_{0}^{2}c^{2n}-2y_{0}c^{n}b+b^{2}}{a^{2n-2}} \)
 

\( a^{2n-2}x_{0}^{2}c^{2n}+2x_{0}c^{n}a^{2n-1}+a^{2n} \)   ? \( y_{0}^{2}c^{2n}b^{2n-2}-2y_{0}c^{n}b^{2n-1}+b^{2n} \)
 

\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}  \)  ?  \( c^{2n}(y_{0}^{2}b^{2n-2}-x_{0}^{2}a^{2n-2})+b^{2n} \)
 

\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}  \)  ?  \( c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})(y_{0}b^{n-1}-x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
 

\( c^{n}(2x_{0}a^{2n-1}+2y_{0}b^{2n-1})+a^{2n}  \) ?  \( c^{2n}(y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1})+b^{2n} \)
 

\( x_{0}a^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}+y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{a^{2n}}{c^{2n}}  \)  ?  \( y_{0}b^{n-1}+x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)
 

\( x_{0}a^{n-1}(\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1)+y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)  ? \frac{b^{2n}}{c^{2n}}-\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \)
 

Si \( x_{0}a^{n-1}=y_{0}b^{n-1} \)   y dividimos por \( y_{0}b^{n-1} \)
 

\( \frac{2b^{n}}{c^{n}}-1+\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1  \)  ?  \( \frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{2b^{n}+2a^{n}}{c^{n}}-2 \)   ?  \( \frac{b^{n}-a^{n}}{c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}+a^{n}}{c^{n}}-1 \)   ?  \( \frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( 0<\frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)

Una vez aclarado, de acuerdo en todo. Salvo en la utilidad de todo esto:

Yo supongo a propósito esa igualdad para observar que siendo

\( y_0b^{n-1}>x_0a^{n-1} \)

estoy beneficiando (digámoslo así) el valor del primer miembro; y, si aún así, el

primer miembro < segundo miembro más lo será usando \( x_0a^{n-1} \)  que es menor.

El problema es que en la expresión:

\( x_{0}a^{n-1}(\color{red}\dfrac{2a^{n}}{c^{n}}-1\color{black})+y_{0}b^{n-1}(\dfrac{2b^{n}}{c^{n}}-1)  ? \dfrac{b^{2n}}{c^{2n}}-\dfrac{a^{2n}}{c^{2n}} \)

El término marcado en rojo es negativo, así que en realidad al usar \( x_0a^{n-1} \) en lugar de \( y_0b^{n-1} \) no usas un término menor sino uno mayor por culpa de ese cambio de signo (\( 2<3 \) pero \( -2>-3 \)).

Saludos.

P.D. Si reflexionases con calma sobre esto:

Por otra parte es inmediato que si \( y_0b^{n-1}=x_0a^{n-1}+1 \) y \( a^n+b^n=c^n  \)en (1) se tiene la igualdad; así es imposible que si operas adecuadamente esa expresión obtengas nada que niegue o contradiga la posibilidad de que esas tres igualdades se cumplan simultáneamente.

entenderías que ese tipo de razonamientos son un pérdida de tiempo. No llevan a nada útil.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 10 Noviembre, 2017, 05:02 pm
Hola

\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)  \)  ?  \( x_{0}a^{n-1}(1-\frac{2a^{n}}{c^{n}})+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}} \)
 

\( x_{0}a^{n-1}=y_{0}b^{n-1} \)
 

\( \frac{2b^{n}}{c^{n}}-1   \) ?  \( 1-\frac{2a^{n}}{c^{n}}+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{2b^{n}+2a^{n}}{c^{n}}  \)  ?  \( +2+\frac{b^{n}-a^{n}}{c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}+a^{n}}{c^{n}}  \)  ?  \( +1+\frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( 0<\frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

¿Me estás diciendo que es imposible demostrar la desigualdad de las dos fracciones?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Noviembre, 2017, 10:19 am
Hola

\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)  \)  ?  \( x_{0}a^{n-1}(1-\frac{2a^{n}}{c^{n}})+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}} \)
 

\( x_{0}a^{n-1}=y_{0}b^{n-1} \)
 

\( \frac{2b^{n}}{c^{n}}-1   \) ?  \( 1-\frac{2a^{n}}{c^{n}}+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{2b^{n}+2a^{n}}{c^{n}}  \)  ?  \( +2+\frac{b^{n}-a^{n}}{c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( \frac{b^{n}+a^{n}}{c^{n}}  \)  ?  \( +1+\frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

\( 0<\frac{b^{n}-a^{n}}{2c^{n}y_{0}b^{n-1}} \)
 

¿Me estás diciendo que es imposible demostrar la desigualdad de las dos fracciones?

¿Qué fracciones?

Lo que te estoy diciendo es que bajo las condiciones \( y_0b^{n-1}=x_0a^{n-1}+1 \) y \( a^n+b^n=c^n  \) es imposible que sólo mediante manipulaciones algebraicas como las que estás haciendo muestres que es imposible la igualdad en:

\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)?x_{0}a^{n-1}(1-\frac{2a^{n}}{c^{n}})+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}} \)

Porque de hecho la igualdad se cumple; lo que sabemos que es imposible (porque lo demostró Wiles, no tu, ni yo) es que eso se de para números enteros. Pero en tus argumentaciones no es relevante que los números sean enteros; son válidas para números reales; eso garantiza que NO llevan a buen puerto.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 13 Noviembre, 2017, 10:44 am
Hola

Me preguntas qué fracciones. Son estas:

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \) ; \( \displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

Te repito mi pregunta:

¿Me estás diciendo que es imposible demostrar la desigualdad de las dos fracciones?

Por favor, respóndeme con un SI ó un NO.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Noviembre, 2017, 10:50 am
Hola

Me preguntas qué fracciones. Son estas:

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \) ; \( \displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

Te repito mi pregunta:

¿Me estás diciendo que es imposible demostrar la desigualdad de las dos fracciones?

Por favor, respóndeme con un SI ó un NO.

Las preguntas tienen su contexto. No estamos manipulando esa fracción de manera descontextualizada, sino que las variables ahí indicadas tienen unas condiciones previas: son enteros, cumplen relaciones algebraicas entre ellas,...todas ellas son imprescindibles para que no se de la igualdad.

Dicho esto la respuesta sería NO, no te estoy diciendo que en general sea imposible demostrar la desigualdad de las dos fracciones.

Lo que te estoy diciendo es que, simplemente con el tipo de manipulaciones algebraicas que estás haciendo donde es indiferente la naturaleza entera de las variables que manejas, SI es imposible demostrar la desigualdad.


Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 13 Noviembre, 2017, 12:29 pm
Hola

Dado que has citado a Wiles, te diré que Wiles, aunque no se lo propusiera, ha demostrado la desigualdad de las dos fracciones; necesitando para ello cien folios.

Me baso en tu respuesta NO para animar a tantos buenos matemáticos de Rincón Matemático a que lo desmuestren con muchos menos folios.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Noviembre, 2017, 01:48 pm
Hola

Dado que has citado a Wiles, te diré que Wiles, aunque no se lo propusiera, ha demostrado la desigualdad de las dos fracciones; necesitando para ello cien folios.

Si, ya lo sé. Desde el principio las fracciones que pones, son una reescritura de la ecuación de Fermat, usando las técnicas de resolucíón de ecuaciones diofánticas de ecuaciones lineales.

Citar
Me baso en tu respuesta NO para animar a tantos buenos matemáticos de Rincón Matemático a que lo desmuestren con muchos menos folios.

Pero eso es como si directamente animas a los matemáticos del Rincón a demostrar el Teorema de Fermat en muchos menos folios (en fin, por animar que no quede...). Pero no hay ningún indicio de que sea más sencillo probar la desigualdad (o la imposiblidad de la igualdad) que propones, que la desigualdad original de Fermat: \( a^n+b^n\neq c^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 13 Noviembre, 2017, 06:24 pm
Hola

Te cito textualmente: "no te estoy diciendo que en general sea imposible demostrar la desigualdad de las dos fracciones".

"Pero no hay ningún indicio de que sea más sencillo probar la desigualdad que propones, que la desigualdad original de Fermat."

En mi opinión hay que esforzarse en encontrar ese indicio.

Al fin y al cabo el mismo Fermat dejó escrito que poseía una demostración sencilla de su teorema.

El que no se haya encontrado no indica que no la tuviera.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Noviembre, 2017, 09:55 am
Hola

Te cito textualmente: "no te estoy diciendo que en general sea imposible demostrar la desigualdad de las dos fracciones".

"Pero no hay ningún indicio de que sea más sencillo probar la desigualdad que propones, que la desigualdad original de Fermat."

En mi opinión hay que esforzarse en encontrar ese indicio.

Al fin y al cabo el mismo Fermat dejó escrito que poseía una demostración sencilla de su teorema.

El que no se haya encontrado no indica que no la tuviera.

Ahí no me meto. Que cada cual piense lo que quiera...

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Noviembre, 2017, 05:26 pm
Hola

Una cuestión Luis,

Si \( 2a^n+2b^n=2c^n \)  porque \( a^n+b^n=c^n \)

Entonces en la proposición siguiente

\( 2a^n+2b^n-2c^n+T_1 \) ? \( T_2+T_3 \)

Se sigue que  \( T_1 \) ? \( T_2+T_3 \)

o bien

\( a^n+b^n-c^n+\displaystyle\frac{T_1}{2} \) ? \( \displaystyle\frac{T_2}{2}+\displaystyle\frac{T_3}{2} \)

Gracias y saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Noviembre, 2017, 06:03 pm
Hola

Una cuestión Luis,

Si \( 2a^n+2b^n=2c^n \)  porque \( a^n+b^n=c^n \)

Entonces en la proposición siguiente

\( 2a^n+2b^n-2c^n+T_1 \) ? \( T_2+T_3 \)

Se sigue que  \( T_1 \) ? \( T_2+T_3 \)

o bien

\( a^n+b^n-c^n+\displaystyle\frac{T_1}{2} \) ? \( \displaystyle\frac{T_2}{2}+\displaystyle\frac{T_3}{2} \)

Cualquiera de las dos cosas es correcta.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 07 Diciembre, 2017, 12:37 pm
Hola

Elevando al cuadrado las dos fracciones, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{2n} \)  llegamos a:

\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)+\frac{a^{2n}}{c^{2n}}?x_{0}a^{n-1}(1-\frac{2a^{n}}{c^{n}})+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)
 

Prescindimos de las dos fracciones, las cuales \( \frac{b^{2n}}{c^{2n}}>\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}-y_{0}b^{n-1}?(y_{0}b^{n-1}-1)(1-\frac{2a^{n}}{c^{n}}) \)
 

\( y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}-y_{0}b^{n-1}?y_{0}b^{n-1}-y_{0}b^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1+\frac{2a^{n}}{c^{n}} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{2a^{n}}{c^{n}})?2y_{0}b^{n-1}-1+\frac{2a^{n}}{c^{n}} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}>\frac{2a^{n}}{c^{n}}\rightarrow dif\frac{2a^{n}}{c^{n}}(y_{0}b^{n-1}-1)  \) favor 1º mi.

\( 2y_{0}b^{n-1}>y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}\rightarrow dif2y_{0}b^{n-1}(1-\frac{b^{n}}{c^{n}}) \)  favor 2º mi.

Comparamos las diferencias teniendo en cuenta el término -1   del segundo miembro

\( \frac{2a^{n}}{c^{n}}(y_{0}b^{n-1}-1)?2y_{0}b^{n-1}(1-\frac{b^{n}}{c^{n}})-1 \)
 

DIVIDO por 2 :\( \frac{a^{n}}{c^{n}}(y_{0}b^{n-1}-1)?y_{0}b^{n-1}(1-\frac{b^{n}}{c^{n}})-\frac{1}{2} \)
 

los factores \( y_{0}b^{n-1}<y_{0}b^{n-1} \)
 

comparo los factores \( \frac{a^{n}}{c^{n}}?1-\frac{b^{n}}{c^{n}}\rightarrow\frac{a^{n}}{c^{n}}?\frac{c^{n}-b^{n}}{c^{n}}\rightarrow\frac{a^{n}}{c^{n}}=\frac{a^{n}}{c^{n}} \)
 

estos dos factores son iguales a \( \frac{a^{n}}{c^{n}} \)
 

DIVIDO por \( \frac{a^{n}}{c^{n}} \) :

\( y_{0}b^{n-1}-1?y_{0}b^{n-1}-\frac{c^{n}}{2a^{n}} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}+\frac{c^{n}}{2a^{n}}?y_{0}b^{n-1}+1\rightarrow\frac{c^{n}}{2a^{n}}>1\rightarrow c^{n}>2a^{n} \)
 

\( \frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{2n}}:2=\frac{b^{2n}-a^{2n}}{2c^{2n}} \)
 

\( \frac{b^{2n}-a^{2n}}{2c^{2n}}:\frac{a^{n}}{c^{n}}=\frac{c^{n}(b^{2n}-a^{2n})}{2a^{n}c^{2n}}=\frac{b^{n}-a^{n}}{2a^{n}} \)
 

\( c^{n}?2a^{n}+\frac{b^{n}-a^{n}}{2a^{n}}\rightarrow2a^{n}c^{n}?4a^{2n}+b^{n}-a^{n}\rightarrow-b^{n}?a^{n}(4a^{n}-2c^{n}-1) \)
 

\( -b^{n}?a^{n}(4a^{n}-2a^{n}-2b^{n}-1)\rightarrow-b^{n}?a^{n}(2a^{n}-2b^{n}-1)\rightarrow-b^{n}?2a^{2n}-2b^{n}a^{n}-a^{n} \)
 

\( 2b^{n}a^{n}-b^{n}?2a^{2n}-a^{n}\rightarrow b^{n}(2a^{n}-1)?a^{n}(2a^{n}-1)\rightarrow b^{n}>a^{n} \)
 

NOTA.- Luis creo que lo anterior no esta bien. Pero no consigo encontrar el fallo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Diciembre, 2017, 11:43 pm
Hola

Hola

Elevando al cuadrado las dos fracciones, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{2n} \)  llegamos a:

\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}-1)+\frac{a^{2n}}{c^{2n}}?x_{0}a^{n-1}(1-\frac{2a^{n}}{c^{n}})+\frac{b^{2n}}{c^{2n}} \)
 

Prescindimos de las dos fracciones, las cuales \( \frac{b^{2n}}{c^{2n}}>\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}-y_{0}b^{n-1}?(y_{0}b^{n-1}-1)(1-\frac{2a^{n}}{c^{n}}) \)
 

\( y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}-y_{0}b^{n-1}?y_{0}b^{n-1}-y_{0}b^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}-1+\frac{2a^{n}}{c^{n}} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}(\frac{2b^{n}}{c^{n}}+\frac{2a^{n}}{c^{n}})?2y_{0}b^{n-1}-1+\frac{2a^{n}}{c^{n}} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}\frac{2a^{n}}{c^{n}}>\frac{2a^{n}}{c^{n}}\rightarrow dif\frac{2a^{n}}{c^{n}}(y_{0}b^{n-1}-1)  \) favor 1º mi.

\( 2y_{0}b^{n-1}>y_{0}b^{n-1}\frac{2b^{n}}{c^{n}}\rightarrow dif2y_{0}b^{n-1}(1-\frac{b^{n}}{c^{n}}) \)  favor 2º mi.

Comparamos las diferencias teniendo en cuenta el término -1   del segundo miembro

\( \frac{2a^{n}}{c^{n}}(y_{0}b^{n-1}-1)?2y_{0}b^{n-1}(1-\frac{b^{n}}{c^{n}})-1 \)
 

DIVIDO por 2 :\( \frac{a^{n}}{c^{n}}(y_{0}b^{n-1}-1)?y_{0}b^{n-1}(1-\frac{b^{n}}{c^{n}})-\frac{1}{2} \)
 

los factores \( y_{0}b^{n-1}<y_{0}b^{n-1} \)
 

comparo los factores \( \frac{a^{n}}{c^{n}}?1-\frac{b^{n}}{c^{n}}\rightarrow\frac{a^{n}}{c^{n}}?\frac{c^{n}-b^{n}}{c^{n}}\rightarrow\frac{a^{n}}{c^{n}}=\frac{a^{n}}{c^{n}} \)
 

estos dos factores son iguales a \( \frac{a^{n}}{c^{n}} \)
 

DIVIDO por \( \frac{a^{n}}{c^{n}} \) :

\( y_{0}b^{n-1}-1?y_{0}b^{n-1}-\frac{c^{n}}{2a^{n}} \)
 

\( y_{0}b^{n-1}+\frac{c^{n}}{2a^{n}}?y_{0}b^{n-1}+1\rightarrow\color{red}\frac{c^{n}}{2a^{n}}>1\rightarrow c^{n}>2a^{n}\color{black} \)

Hasta ahí en los términos que has estado manipulando tras separar \( \frac{b^{2n}}{c^{2n}}>\frac{a^{2n}}{c^{2n}} \), no sólo divides por dos primero y por \( a^n/c^n \) después sino que al final en el paso que he marcado en rojo estás multiplicando por \( 2a^n \).

Eso no lo tienes cuando sigues razonando volviendo a incluir los términos que inicialmente separaste.

Saludos.

P.D. En cualquier caso en nada de lo que hacías tenía trascendencia alguna que las letras representasen números enteros o reales: garantía inequívoca de que el razonamiento si llega a concluir la imposibilidad de la igualdad está mal.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 11 Diciembre, 2017, 12:28 pm
Hola

De la respuesta 146 de Luis Fuentes:

"Sí, ya lo sé. Desde el principio las fracciones que pones, son reescritura de la ecuación de Fermat, usando las técnicas de resolución de ecuaciones diofánticas de ecuaciones lineales".

Yo creo que lo que reconoces en este párrafo me lo atribuyo como mérito propio que nadie antes ha encontrado.

Dices que "no hay ningún indicio de que sea más sencillo probar la desigualdad que propones a la desigualdad original de Fermat: \( a^n+b^n\neq{c^n} \)"

Pienso Luis que lo anterior es algo subjetivo de lo que se puede discrepar.

Respecto a tu respuesta 152 tengo que reconocerte como un magnífico matemático.

Respecto a lo que dices de los números reales, te contestaré cuando haya demostrado la desigualdad de las dos fracciones.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Diciembre, 2017, 12:52 pm
Hola

"Sí, ya lo sé. Desde el principio las fracciones que pones, son reescritura de la ecuación de Fermat, usando las técnicas de resolución de ecuaciones diofánticas de ecuaciones lineales".

Yo creo que lo que reconoces en este párrafo me lo atribuyo como mérito propio que nadie antes ha encontrado.

Bien. Mérito concedido.

Citar
Dices que "no hay ningún indicio de que sea más sencillo probar la desigualdad que propones a la desigualdad original de Fermat: \( a^n+b^n\neq{c^n} \)"

Pienso Luis que lo anterior es algo subjetivo de lo que se puede discrepar.

Evidentemente.

Lo que es un hecho es que por ahora no ha servido para probar la desigualdad de Fermat. Eso si es objetivo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Febrero, 2018, 05:25 pm
Hola

Dada la expresión

\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}?b^{2n}-a^{2n} \)
 

si aplicamos la igualdad \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

enseguida se comprueba que el interrogante es\(  = \).

Veamos que ocurre si elevamos al cuadrado los dos miembros:

\( (c^{2n}-2a^{n}c^{n})^{2}?(b^{2n}-a^{2n})^{2} \)
 

\( c^{4n}-4a^{n}c^{3n}+4a^{2n}c^{2n}?b^{4n}-2a^{2n}b^{2n}+a^{4n} \)
 

\( c^{4n}-b^{4n}-a^{4n}-4a^{n}c^{3n}+4a^{2n}c^{2n}?-2a^{2n}b^{2n} \)
 

\( 2a^{2n}b^{2n}-4a^{n}c^{3n}+4a^{2n}c^{2n}?-2a^{2n}b^{2n} \)
 

\( 4a^{2n}b^{2n}-4a^{n}c^{3n}+4a^{2n}c^{2n}? 0 \)


\( a^{n}b^{2n}-c^{3n}+a^{n}c^{2n}? 0 \)


\( b^{2n}a^{n}?c^{2n}(c^{n}-a^{n}) \)
 

\( b^{n}a^{n}?c^{2n} \)
 

\( b^{n}a^{n}<c^{2n} \)
 

Con lo cual el primer miembro es menor que el segundo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Febrero, 2018, 12:56 pm
Hola

\( \color{red}c^{4n}-b^{4n}-a^{4n}\color{black}-4a^{n}c^{3n}+4a^{2n}c^{2n}?-2a^{2n}b^{2n} \)
 

\( \color{red}2a^{2n}b^{2n}\color{black}-4a^{n}c^{3n}+4a^{2n}c^{2n}?-2a^{2n}b^{2n} \)

Ese paso está mal. Ahí estás usando que:

\( c^{4n}=(c^{2n})^2=(a^{2n}+b^{2n})^2 \)

pero esa igualdad no se da. Tienes que \( c^n=a^n+b^n \), pero no que \( c^{2n}=a^{2n}+b^{2n} \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Febrero, 2018, 06:19 pm
Hola

Luis eres un lince

Ha ocurrido que he dado a mi secretaria Mayte de dos cuartillas la que no era y que paso a transcribir:

\( c^{n}-2a^{n}?b^{n}-a^{n} \)
 

si aplicamos\(  c^{n}=a^{n}+b^{n} \) : \( c^{n}-2a^{n}=b^{n}-a^{n} \)
  .

Veamos que ocurre con:

\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}-4c^{n}a^{n}+4a^{2n}?b^{2n}-2a^{n}b^{n}+a^{2n} \)
 

\( c^{2n}-4c^{n}a^{n}+3a^{2n}?b^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

\( c^{2n}+2a^{n}b^{n}+a^{2n}+2a^{2n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

\( c^{2n}+a^{2n}-4c^{n}a^{n}?b^{2n}-2a^{2n} \)
 

\( (c^{n}-a^{n})^{2}-2c^{n}a^{n}?b^{2n}-2a^{2n} \)
 

\( b^{2n}-2c^{n}a^{n}?b^{2n}-2a^{2n} \)
 

\( -2c^{n}a^{n}?-2a^{2n} \)
 

\( -c^{n}<-a^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Febrero, 2018, 09:37 am
Hola

Luis eres un lince

Ha ocurrido que he dado a mi secretaria Mayte de dos cuartillas la que no era y que paso a transcribir:

No se si pasas a transcribir la que era o la que no era. Sea como sea vuelve a haber un error.

Citar
\( c^{2n}+\color{red}2a^{n}b^{n}\color{black}+a^{2n}+2a^{2n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

\( c^{2n}+a^{2n}-4c^{n}a^{n}?b^{2n}-2a^{2n} \)

El término \( 2a^nb^n \) de repente desaparece.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Febrero, 2018, 05:48 pm
Hola

Dadas las expresiones

\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}?b^{2n}-a^{2n} \)
 

\( c^{n}-2a^{n}?b^{n}-a^{n} \)
 

si sustituimos \( c^{n}=a^{n}+b^{n} \)  , los dos interrogantes son \( = \)
  .

Veamos que ocurre si restamos las expresiones:

\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}-c^{n}+2a^{n}?b^{2n}-a^{2n}-b^{n}+a^{n} \)
 

\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}-c^{n}+a^{n}?b^{2n}-a^{2n}-b^{n} \)
 

\( c^{n}(c^{n}-1)+a^{n}(a^{n}+1)?b^{n}(b^{n}-1)+2a^{n}c^{n} \)
 

\( c^{n}+\frac{a^{n}(a^{n}+1)}{c^{n}-1}?\frac{b^{n}(b^{n}-1)}{c^{n}-1}+\frac{2a^{n}c^{n}}{c^{n}-1} \)
 

\( c^{n}-\frac{2a^{n}c^{n}}{c^{n}-1}?\frac{b^{n}(b^{n}-1)}{c^{n}-1}-\frac{a^{n}(a^{n}+1)}{c^{n}-1} \)
 

Si hacemos \(  c^{n}-1=c^{n} \)  ; \( b^{n}-1=b^{n}  \)  ; \( a^{n}+1=a^{n} \)
 

\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}?b^{2n}-a^{2n} \)
 

con lo cual llegamos a la primera de las dos expresiones iniciales

¿Qué conjeturas se pueden hacer de este hecho? En mi opinión la de que los dos interrogantes no pueden ser \( = \)   .

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Febrero, 2018, 09:44 am
Hola

Dadas las expresiones

\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}?b^{2n}-a^{2n} \)
 

\( c^{n}-2a^{n}?b^{n}-a^{n} \)
 

si sustituimos \( c^{n}=a^{n}+b^{n} \)  , los dos interrogantes son \( = \)
  .

Veamos que ocurre si restamos las expresiones:

\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}-c^{n}+2a^{n}?b^{2n}-a^{2n}-b^{n}+a^{n} \)
 

\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}-c^{n}+a^{n}?b^{2n}-a^{2n}-b^{n} \)
 

\( c^{n}(c^{n}-1)+a^{n}(a^{n}+1)?b^{n}(b^{n}-1)+2a^{n}c^{n} \)
 

\( c^{n}+\frac{a^{n}(a^{n}+1)}{c^{n}-1}?\frac{b^{n}(b^{n}-1)}{c^{n}-1}+\frac{2a^{n}c^{n}}{c^{n}-1} \)
 

\( c^{n}-\frac{2a^{n}c^{n}}{c^{n}-1}?\frac{b^{n}(b^{n}-1)}{c^{n}-1}-\frac{a^{n}(a^{n}+1)}{c^{n}-1} \)
 

Si hacemos \(  c^{n}-1=c^{n} \)  ; \( b^{n}-1=b^{n}  \)  ; \( a^{n}+1=a^{n} \)
 

\( c^{2n}-2a^{n}c^{n}?b^{2n}-a^{2n} \)
 

con lo cual llegamos a la primera de las dos expresiones iniciales

¿Qué conjeturas se pueden hacer de este hecho? En mi opinión la de que los dos interrogantes no pueden ser \( = \)   .

Pues simplemente extraída del razonamiento que presentas es una conjetura gratuita y sin fundamente alguno.

Porque de hecho los dos interrogantes SI pueden ser =, si uno da valores reales a las variables implicadas y en nada de lo que has escrito es relevante el caracter natural, entero, o real de las variables implicadas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Febrero, 2018, 07:02 pm
Hola Luis

Vuelves, una vez más, a recordarme la cuestión (la existencia) de los números reales.

En cierta ocasión te dije que a la citada cuestión te respondería cuando tuviera demostrada la desigualdad de dos fracciones.

De todas formas te adelanto que minette jamás ha manifestado su intención de demostrar la desigualdad \( a^n+b^n \neq{c^n} \) tanto para enteros como para reales

Si así lo hubiera hecho, minette estaría loca.

En ningún momento de sus respuestas se puede atisbar la citada intención.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Marzo, 2018, 09:55 am
Hola

 Sigues si entender porque hago alusión a los números reales.

De todas formas te adelanto que minette jamás ha manifestado su intención de demostrar la desigualdad \( a^n+b^n \neq{c^n} \) tanto para enteros como para reales

Si así lo hubiera hecho, minette estaría loca.

En ningún momento de sus respuestas se puede atisbar la citada intención.

 Nadie dice que tu pretendas probar la desigualdad para números reales. Pero precisamente por eso si en el argumento del cual pretendas concluir que es imposible la igualdad no usas de manera decisiva que los números naturales, seguro que no está bien. No basta simplemente que afirmes "digo esto sólo para naurales", sino que tiene que darse que el carácter natural de los números sea troncal en el argumento.

 Si entendieses esto de una vez por todas, descartarías directamente la mayor parte de los intentos que has hecho y perderías menos el tiempo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Marzo, 2018, 06:43 pm
Hola

- ¿Son los enteros números reales?
- ¿Wiles lo demostró para TODOS los números reales?
- El Teorema de Fermat causa fascinación por ser extremadamente simple de entender en su planteamiento.

- Su \( n \) es un número entero mayor que 2, entonces no existen números ENTEROS POSITIVOS, \( a,b,c \) tales que cumplan la igualdad
\( a^n+b^n=c^n \)  Pierre de Fermat

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Marzo, 2018, 07:04 pm
Hola

- ¿Son los enteros números reales?

Si.

Citar
- ¿Wiles lo demostró para TODOS los números reales?

Si te refieres al Teorema de Fermat, no. Probó que la famosa ecuación no tiene soluciones enteras.

Citar
- El Teorema de Fermat causa fascinación por ser extremadamente simple de entender en su planteamiento.

- Su \( n \) es un número entero mayor que 2, entonces no existen números ENTEROS POSITIVOS, \( a,b,c \) tales que cumplan la igualdad
\( a^n+b^n=c^n \)  Pierre de Fermat

Amén.

Pero no sé que tiene que ver todo esto con lo que te explicado en mis mensajes anteriores.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Marzo, 2018, 05:56 pm
Hola

Os ruego, a tí Luis y a todos los visitantes de este hilo, sobre todos los que han llegado a buen puerto en alguna cuestión matemática, que me expliquéis qué es una demostración troncal.

En mi caso concreto que números reales debo incluir: Racionales, Irracionales (algebraicos, trascendentes), Enteros (Naturales, Negativos), Fraccionarios (Exactos, Periódicos).

Según tú, Luis, Wiles demostró que \( a^n+b^n\neq{c^n} \) si \( n>2 \)  sólo para enteros positivos y a mí me exiges que lo demuestre también para los reales para los que si es posible la igualdad.

Gracias y saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Marzo, 2018, 10:54 pm
Hola

Os ruego, a tí Luis y a todos los visitantes de este hilo, sobre todos los que han llegado a buen puerto en alguna cuestión matemática, que me expliquéis qué es una demostración troncal.

Yo no he hablado de "demostración troncal", sino de "argumento troncal". Un argumentro troncal en una demostración es un argumeto decisivo sin el cuál la demostración fallaría, se "caería".

Citar
En mi caso concreto que números reales debo incluir: Racionales, Irracionales (algebraicos, trascendentes), Enteros (Naturales, Negativos), Fraccionarios (Exactos, Periódicos).

Citar
Según tú, Luis, Wiles demostró que \( a^n+b^n\neq{c^n} \) si \( n>2 \)  sólo para enteros positivos y a mí me exiges que lo demuestre también para los reales para los que si es posible la igualdad.

En estos dos párrafos muestras que estás entendiendo justo al revés lo que te digo. Yo no te exijo que lo demuestres para reales, muy al contrario, te indico (no exijo) que debe de ser demostrado para los naturales; pero tu a veces hacer argumentos completos donde no usas para nada que los números sean naturales; si esos argumentos estuviesen bien, habrías probado el Teorema de Fermat para reales; pero sabemos que el Teorema de Fermat para reales es falso, por tanto esos argumentos no están bien.

Entonces muy al contrario de lo que dices ahí, precisamente lo que te reitero es que argumentes sólo para naturales y en particular, en algún punto del argumento debe de ser decisivo que los números son naturales.

Y una cosa más: independientemente de todo esto, yo te indicado los sucesivos errores de todos tus argumentos directamente, sin aludir a esto que te comento sobre los reales. Eso es una añadido que te sería útil entender, porque facilita el darse cuenta de que está mal lo que haces.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Marzo, 2018, 11:54 am
Por favor Luis dime en concreto para que clase de números reales la desigualdad \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)   es falsa:

-Racionales enteros naturales primos.

-Racionales enteros naturales compuestos.

-Racionales enteros negativos.

-Racionales fraccionarios exactos.

-Racionales fraccionarios periódicos (puros o mistos).

-Irracionles algebraicos

-Irracionales trascendentes.

Por otro lado un millón de gracias por los muchos erroes que me has hecho notar a lo largo del tiempo.

Gracias y saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Marzo, 2018, 12:13 pm
Hola

Por favor Luis dime en concreto para que clase de números reales la desigualdad \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)   es falsa:

Excluyendo el caso en el que alguna variable se anule, el Teorema de Fermat, se cumple (la desigualdad es verdadera) para:

Citar
-Racionales enteros naturales primos.

-Racionales enteros naturales compuestos.

-Racionales enteros negativos.

-Racionales fraccionarios exactos.

-Racionales fraccionarios periódicos (puros o mistos).

Resumiendo: para racionales.

Y el Teorema de Fermat no se cumple, es decir la desigualdad es falsa, es decir la ecuación \( a^n+b^n=c^n \) tiene soluciones no triviales para:

Citar
-Irracionles algebraicos

-Irracionales trascendentes.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 05 Marzo, 2018, 12:39 pm
Hola, minette, estaba escribiendo esto (aunque la pregunta no era para mí) pero ya ha contestado Luis.

Spoiler

Es falsa para los racionales; y como los racionales contienen los enteros y éstos a su vez a los naturales, etc., pues sólo es cierta para los irracionales; dicho de otra manera, para los números de infinitas cifras.

Entonces, cuando los números son racionales deben cumplir varias cosas; como estas pocas:

Si no fueran enteros pero sí racionales, en la igualdad

\( a^{n}+b^{n} = c^{n} \)

siempre se podría multiplicar a ambos lados por algún número de tal forma que se obtendría una igualdad para potencias de números enteros. Luego si existiera para racionales no enteros, implicaría también la existencia para enteros.

Como los números enteros pueden ser primos o compuestos (mientras que los números irracionales, ya sea con coma o sin coma, no son múltiplos de ningún número natural) para intentar demostrarlo se pueden usar cosas como hacer la hipótesis de que alguno sea par o múltiplo de otro u otros primos. Y a partir de esas cosas que cumplen los enteros pero no los no enteros (en particular los no enteros irracionales) llegar si es posible a un absurdo de tal forma que se muestre en general que en todo caso alguno de los “a,b,c” tiene que ser, por fuerza, un número no entero.

Pero en este teorema, por lo que parece, las simples ecuaciones algebraicas y las simples nociones de divisibilidad no llegan, no son lo suficientemente potentes para poder detectar lo que queremos.

De ahí que ya incluso en el caso más sencillo de demostrar, para n=4, haya que echar mano del descenso al finito para llegar a la conclusión de no pueden ser, los tres a la vez, enteros; y más concretamente (según se plantea en esa demostración particular) no pueden ser naturales; pues se usa el hecho de que los naturales tienen un mínimo (que es el 1, sacando el cero, que no sirve de divisor de nadie). 
[cerrar]

Saludos. 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Marzo, 2018, 12:58 pm
Hola

Es falsa para los racionales; y como los racionales contienen los enteros y éstos a su vez a los naturales, etc., pues sólo es cierta para los irracionales; dicho de otra manera, para los números de infinitas cifras.

Esa "aclaración" marcada en rojo, confunde más que clarifica. Yo diría dicho de otra manera cocientes de enteros. En otro caso te obliga a meterte en camisas de once varas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 05 Marzo, 2018, 01:16 pm

Esa "aclaración" marcada en rojo, confunde más que clarifica. Yo diría dicho de otra manera cocientes de enteros. En otro caso te obliga a meterte en camisas de once varas.

Saludos.

Es verdad, estaba pensando ahora precisamente en añadir alguna aclaración más; y me decía “qué digo, hablo de periodos y demás...”. Mucho mejor quitarla. Gracias.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Marzo, 2018, 06:10 pm
Hola

Empiezo a decir que me siento algo acomplejada por discutir (en el mejor sentido del término) con tan grandes matemáticos de este foro.

Gracias luis porque me has concretado que los números reales irracionales algebraicos e irracionales trascendentes son los únicos de los números reales que son susceptibles de hacer \(  a^{n}+b^{n}=c^{n}
  \)

Ahora, así como yo puedo poner la terna (5,8,9) como ejemplo de \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}  \). Te pido que me pongas dos ternas \( (r_{1},r_{2,}r_{3}) \)
  para las cuales \( r^n_1+r^n_2= r^n_3 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 05 Marzo, 2018, 07:49 pm

Ahora, así como yo puedo poner la terna (5,8,9) como ejemplo de \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}  \). Te pido que me pongas dos ternas \( (r_{1},r_{2,}r_{3}) \)
  para las cuales \( r^n_1+r^n_2= r^n_3 \).



Aunque la cuestión no vaya para mí, como estoy por aquí, me permito ponerte unos ejemplos:

Un buen ejemplo puede ser éste

\( 2,25+4=6,25
  \)

Son números no enteros, salvo el 4; pero son todos racionales.

Y eso es lo mismo que

\( \dfrac{3^{2}}{4}+\dfrac{4^{2}}{4}=\dfrac{5^{2}}{4}
  \)

Es decir, multiplicando \( 2,25+4=6,25
  \) a ambos lados por 4 tenemos \( 3^{2}+4^{2}=5^{2}
  \).

Entonces lo que hay que demostrar es que esto no se puede hacer en ningún caso si la potencia es mayor que 2, es decir, que no existe un número racional “k” (4 ó el que sea) tal que al multiplicar la igualdad nos dé otra igualdad pero de potencias de enteros (potencias mayores que 2).

Ahora un ejemplo con reales irracionales y cualquier potencia mayor que 2:

\( \pi^{3}+e^{3}=(3,710653823...)^{3}
  \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Marzo, 2018, 09:43 am
Hola

Ahora, así como yo puedo poner la terna (5,8,9) como ejemplo de \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}  \). Te pido que me pongas dos ternas \( (r_{1},r_{2,}r_{3}) \)
  para las cuales \( r^n_1+r^n_2= r^n_3 \).

Por ejemplo:

\( n=3 \)
\( r_1=1 \)
\( r_2=2 \)
\( r_3=\sqrt[3]{9} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 06 Marzo, 2018, 12:20 pm
Hola

Cuando pongo la terna \( (r_1, r_2, r_3) \) pensaba que los tres han de ser irracionales algebraicos o bien los tres irracionales trascendentes.

Cuando dices que mi demostración no es válida porque no tengo en cuenta los números reales, creía que no podemos mezclar enteros con irracionales.

¿Ha podido ocurrir que la demostración de Wiles no sea válida por no tener en cuenta los números reales? ¿Por no tener un argumento troncal que la ciña única y exclusivamente a enteros positivos?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Marzo, 2018, 12:54 pm
Hola

Cuando pongo la terna \( (r_1, r_2, r_3) \) pensaba que los tres han de ser irracionales algebraicos o bien los tres irracionales trascendentes.

Pues pensabas mal. Basta con que uno no sea racional para encontrar soluciones no triviales a la ecuación de Fermat, o lo que es lo mismo, para que la desigualdad no tenga porque cumplirse.

No obstante un ejemplo con todos irracionales te lo ha dado feriva y otro sería:

\( n=3, \quad r_1=\sqrt[3]{2},\quad r_2=\sqrt[3]{3},\quad r_4=\sqrt[3]{5}. \)

Citar
Cuando dices que mi demostración no es válida porque no tengo en cuenta los números reales, creía que no podemos mezclar enteros con irracionales.

Lo que dije y reitero es que no empleas ningún argumento (fundamental) que sea exclusivamente válido para enteros.

Citar
¿Ha podido ocurrir que la demostración de Wiles no sea válida por no tener en cuenta los números reales? ¿Por no tener un argumento troncal que la ciña única y exclusivamente a enteros positivos?

Yo no la he leído; pero ha sido revisada por mucha gente experta y ha sido dada por válida. Sería raro que tuviera un error. Y sería casi imposible que tuviese un error básico. Sin duda gran parte de las técnicas que usa Wiles se aplican exclusivamente a número enteros.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 06 Marzo, 2018, 06:29 pm
Hola

En mi opinión Wiles trabajó con ecuaciones elípticas-modulares (curvas).

Este tipo de ecuaciones sólo pueden venir de \( a^n+b^n=c^n \) cuando \( a,b,c \) son única y exclusivamente números naturales.

Con lo cual los números reales quedan totalmente apartados de la cuestión.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 06 Marzo, 2018, 08:21 pm
Hola

En mi opinión Wiles trabajó con ecuaciones elípticas-modulares (curvas).

Este tipo de ecuaciones sólo pueden venir de \( a^n+b^n=c^n \) cuando \( a,b,c \) son única y exclusivamente números naturales.

Con lo cual los números reales quedan totalmente apartados de la cuestión.

Saludos.

No es lo mismo una ecuación elíptica que las ecuaciones de las curvas elípticas; las que se usan para demostrar el teorema son estas últimas, y son ecuaciones de grado tres, no de grado “n”.; son de esta forma: \( y^{2}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
  \).

Como pasa con la conjetura débil de Goldbach probada por Helfgott (y medio demostrada previamente por Vinogradov y otros) detrás del trabajo de Wiles hay aportaciones decisivas, principalmente la de Taniyama, quien conjeturó la hipótesis que lleva su nombre a mediados del siglo XX y es supone la base de la demostración (veo ahora que se suicidó el año que nací yo).

https://es.wikipedia.org/wiki/Yutaka_Taniyama

Todo esto es como una construcción, los mejores matemáticos van aportando cosas hasta que uno pone la guinda al pastel; no se hace en un día ni por una persona. Así, necesariamente, tiene que ser complicado de entender todo esto, porque supone muchos razonamientos, en gran cantidad, encadenados a lo largo del tiempo.

Lo de las formas modulares se me escapa, así que no puedo opinar; lógicamente se atenderá a que no puede haber soluciones enteras para esas ecuaciones, pero eso no quiere decir que se descarten todos los reales; aquí se habla de la cerradura de “k” (el cuerpo utilizado) y los puntos k-racionales    (respecto de las ecuaciones de estas curvas):

https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_el%C3%ADptica


Así que no sé decirte.

Otro enlace más:

 https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taniyama-Shimura

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Masacroso en 06 Marzo, 2018, 09:25 pm
Muy interesante lo que comentas Feriva sobre el desarrollo histórico que dio lugar a la demostración de Wiles. Me gusta mucho contextualizar las cosas históricamente. Lástima lo de Taniyama, algunos genios suelen padecer de cuadros depresivos o una personalidad frágil (sin ir más lejos Newton, por ejemplo).

Bueno, perdón por el off-topic.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: manooooh en 06 Marzo, 2018, 09:45 pm
Hola

Ahora no dispongo de tiempo, pero tengo un libro que comenta sobre la vida de Fermat, y en un par de carillas hace el resumen de cómo se llega a este teorema (por el comentario de feriva), y se los quiero compartir, aunque sea medio básico :). Voy a editar este mensaje subiendo las fotos, si me permiten, o si veo que es un texto medio largo (lo leí hace unas semanas) puedo crear un tema nuevo.

Bueno, perdón por el off-topic.

Somos dos Masacroso :P

Saludos

EDIT: son 22 páginas, voy a subirlas como PDF en otro mensaje.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: robinlambada en 06 Marzo, 2018, 11:20 pm
Hola minette.
Por favor Luis dime en concreto para que clase de números reales la desigualdad \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)   es falsa:

-Racionales enteros naturales primos.

-Racionales enteros naturales compuestos.

-Racionales enteros negativos.

-Racionales fraccionarios exactos.

-Racionales fraccionarios periódicos (puros o mistos).

-Irracionles algebraicos

-Irracionales trascendentes.

Por otro lado un millón de gracias por los muchos erroes que me has hecho notar a lo largo del tiempo.

Gracias y saludos.

Más que decirte para que números  no es válido el teoremá de Fermat. Te voy a demostrar que si el teorema es cierto para los enteros entonces también es cierto para los racionales.

Por reducción al absurdo: Supongamos que el teorema es Falso para los racionales( es decir existe una terna de racioneles a,b,c tal que \( a^{n}+b^{n}= c^{n} \) es cierta)  y el teorema si es cierto para los enteros , osea no existe la terna de enteros que cumpla la ecuación.

Sea la terna \( \left\{{\displaystyle\frac{a}{a'},\displaystyle\frac{b}{b'},\displaystyle\frac{c}{c'}}\right\} \) tal que se cumple:

\( \left({\displaystyle\frac{a}{a'}}\right)^n+\left({\displaystyle\frac{b}{b'}}\right)^n=\left({\displaystyle\frac{c}{c'}}\right)^n \)

Toda igualdad( ambos miembros) la puedo multiplicar por un número y sigue siendo cierta, multiplicando por  \( m=m.c.m.(a'.b',c') \) , el mínimo común múltiplo elevado a n (\( m^n \)) con \( m=a'\cdot{a''} \), \( m=b'\cdot{b''} \) y \( m=c'\cdot{c''} \)

\( m^n\left({\displaystyle\frac{a}{a'}}\right)^n+m^n\left({\displaystyle\frac{b}{b'}}\right)^n=m^n\left({\displaystyle\frac{c}{c'}}\right)^n\Longleftrightarrow{}\left({\displaystyle\frac{m\cdot{}a}{a'}}\right)^n+\left({\displaystyle\frac{m\cdot{}b}{b'}}\right)^n=\left({\displaystyle\frac{m\cdot{}c}{c'}}\right)^n\Longleftrightarrow{}\left({a\cdot{}a''}\right)^n+\left({b\cdot{}b''}\right)^n=\left({c\cdot{}c''}\right)^n \)

Sería también falsa para los enteros, pues la terna \( (a\cdot{}a'',b\cdot{}b'',c\cdot{}c'') \) haria cierta la igualdad. lo cual es una contracición pues la ecuación no tiene soluciones enteras.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Marzo, 2018, 11:55 am
Hola

En mi opinión Wiles trabajó con ecuaciones elípticas-modulares (curvas).

No creo que describir la demostración de Wiles sea una cuestión de opinión, sino de conocerla bien. Pero sea como sea: si, con algo de "eso" trabajó. Pero ese detalle es una pista mínima de su argumento.

Citar
Este tipo de ecuaciones sólo pueden venir de \( a^n+b^n=c^n \) cuando \( a,b,c \) son única y exclusivamente números naturales.

En realidad eso no es así, o no es exacto; uno puede trabajar con ecuaciones elípticas modulares sobre cualquier cuerpo.

Citar
Con lo cual los números reales quedan totalmente apartados de la cuestión.

Lo que no sé es que viene todo esto; personalmente y sin dedicarle mucho tiempo yo no me veo capacitado para comentar la demostración de Wiles; si quieres hablar de eso te sugiero que abras otro hilo.

Has sacado todo esto como respuesta a mi comentario sobre que el hecho de que tus argumentos no sean específicos para números enteros invalidan tu demostración. Entonces nada de lo que digas sobre la demostración de Wiles, modifica ese comentario. Y nada de lo que digo sobre tu demostración es aplicable a la de Wiles, que, eso si lo sé, no tiene nada que ver con lo que tu intentas. Entonces relacionar una cosa y otra, como pareces intentar, es perder el tiempo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 07 Marzo, 2018, 12:15 pm
Hola

Un millón de gracias robinlambada por tu respuesta 181.

Te pregunto si es correcto formular ternas mezclando racionales con irracionales para evidenciar que el Teorema de Fermat no se cumple.

Porque sólo con irracionales es de perogrullo que \( (\sqrt[ n]{a})^n +(\sqrt[n ]{b})^n=(\sqrt[n ]{c})^n \) cuando

\( a+b=c \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 07 Marzo, 2018, 12:56 pm

Te pregunto si es correcto formular ternas mezclando racionales con irracionales para evidenciar que el Teorema de Fermat no se cumple.


Yo creo que eso ha quedado claro o debería haber quedado claro: digamos que es a la conclusión final que se debe llegar para demostrarlo, que tiene que haber “mezcla” en todo caso, siempre; es decir, que no pueden ser los tres enteros salvo que los tres sean cero (y los enteros son también racionales, racionales tales que así \( \dfrac{5}{1} \)). Para ello, normalmente deberemos considerar por hipótesis que sí son enteros (asignando condiciones que sólo cumplen éstos) para así concluir que es imposible.

Cuando empezaste a hacer los primeros intentos siempre considerabas pares e impares, ternas primarias... Eso no hay que dejar de considerarlo aunque no sea suficiente. Yo no tengo ni las más remota idea de como se demostró, pero seguro que esas consideraciones, de una forma u otra, iban implícitas en la demostración.

Hay cosas que no usas, como, por ejemplo, que las potencias tendrían que ser siempre números primos si se cumpliera la igualdad para enteros; algo que está demostrado y, por tanto, puedes utilizar aunque no sepas cómo se demuestra.

Otra cosa que creo que ya te dije es que puedes intentar demostrar conjeturas particulares relacionadas con el teorema; cosas que se te ocurran a ti; y que a lo mejor, si no tú, alguien del foro podría demostrar. Te tiras al corazón del teorema directamente, y es terriblemente difícil para ti y para cualquiera, no se puede apuntar tan alto. 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 07 Marzo, 2018, 05:50 pm
Hola Feriva

Me dices que las potencias (valor de \(  n \)) han de ser números primos. La demostración que estoy intentando es válida para todo valor de \(  n \) (sea par o impar).

No entiendo porqué dices "que no se puede apuntar tan alto".

De ser eso así la ciencia estaría estancada (no sólo las matemáticas).

Por otro lado si en una terna tiene que haber mezcla, ¿como tendrías que formular un teorema concluyendo que \( a^n+b^n=c^n \)?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: robinlambada en 07 Marzo, 2018, 08:03 pm
Hola.
Hola Feriva

Me dices que las potencias (valor de \(  n \)) han de ser números primos. La demostración que estoy intentando es válida para todo valor de \(  n \) (sea par o impar).
Si el teorema de Fermat es cierto para los exponentes primos tambien lo es para los compuestos.(*)

Ya que si \( n=m\cdot{}p \) con \( p \) primo. Entonces:

Si la ecuación \( a^n+b^n=c^n \) es cierta para ciertos a,b,c y n \( \Rightarrow{}\left({a^m}\right)^p+\left({b^m}\right)^p=\left({c^m}\right)^p \) también es cierta para \( a^m,b^m,c^m \) y \( p \)

Citar
No entiendo porqué dices "que no se puede apuntar tan alto".

De ser eso así la ciencia estaría estancada (no sólo las matemáticas).
Lo que yo he entendido de feriva es que no se puede apuntar tan alto de una sola vez, es decir que hay que ponerse retos intermedios y paso a paso. "vista larga y paso corto" como dice un buen amigo mio. En este sentido que es el que creo tiene la frase de feriva, así es como avanza normalmente la ciencia, aunque a veces da pasos de gigantes.

Saludos.

(*)  P.D.: Esceptuando al compuesto \( 4=2\cdot{}2 \) ya que  el caso n=2 no lo incluye el teorema. ( por ello basta probarlo para todo exponente primo y el 4 )
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 07 Marzo, 2018, 08:44 pm
Hola Feriva

Me dices que las potencias (valor de \(  n \)) han de ser números primos. La demostración que estoy intentando es válida para todo valor de \(  n \) (sea par o impar).

No entiendo porqué dices "que no se puede apuntar tan alto".

De ser eso así la ciencia estaría estancada (no sólo las matemáticas).

Por otro lado si en una terna tiene que haber mezcla, ¿como tendrías que formular un teorema concluyendo que \( a^n+b^n=c^n \)?

Saludos.


Hola, minette.

Lo que quiero decir con “no apuntar alto” es lo que dice Robin, intentar primero lo fácil, que sería “apuntar bajo”.

Si no recuerdo mal intentaste el caso n=4 ó n=3 y no pudiste demostrarlo. Una vez que ocurre eso ¿es lógico lanzarse a intentar el caso general? Pienso que no, porque es más difícil; y, si no puedes con un caso particular, menos vas a poder con el caso general.

Si intentas el caso n=3, por ejemplo, y no lo consigues, lo lógico sería restringirlo más, tomar, qué sé yo (es sólo un ejemplo) \( (3k)^{3}+b^{3}=c^{3}  \).
El hacer \( a=(3k)^{3} \) supone particularizar más el caso, hacerlo más sencillo de demostrar (en principio). Y lo puedes intentarlo demostrar tú o plantearlo para ver si te pueden ayudar o qué se puede decir de este caso.

Y, si no sale, lo lógico sigue siendo restringirlo más aún. Éste sería bastante sencillo \( (3)^{3}+b^{3}=c^{3}  \) quizá, pero entre un caso y otro aún se puede buscar uno intermedio, por ejemplo, suponiendo “k” múltiplo de 3 ó coprimo con 3...  cosas así, no sé. Es decir, en definitiva, buscar qué se puede demostrar o qué podrías ser capaz de demostrar tú en concreto. Y a partir de ahí ir recopilando pequeñas demostraciones o argumentos para poder avanzar.

Y no tiene por qué ser esa idea que he puesto, la que quieras o lo que se te ocurra; algo que te ayude a enfocarlo y a atacarlo de otra manera. Igualmente, puedes dar por bueno el teorema (porque de hecho es bueno, está demostrado) y plantear tu propio problema a partir de eso.

No digo tampoco que sea fácil de demostrar intentándolo así poco a poco, pero sí que de este modo aparecerían cuestiones distintas a tratar y el hilo cobraría más vida; porque yo lo veo estancado, Luis te contesta una y otra vez más o menos lo mismo porque no puede decirte más de lo que te dice con los argumentos que le presentas.

Se trata no sólo de demostrarlo, que es altamente difícil, sino de hablar de más cosas relacionadas con el propio teorema (e intentar otros ataques) para, entre otras cosas, que quien te conteste no pierda el interés (quien te conteste y los lectores eventuales que se puedan asomar aquí).

(por cierto, lo de “apuntar bajo”, recuerdo, se lo dije a “mente oscura” antes de que lograr su demostración particular del caso n=4; no digo que fuera por mí el que se pusiera a abordar un caso particular y ni mucho que yo influyera lo más mínimo en que lo demostrase; pero sí es verdad que se lo recomendé).



Con lo de las potencias de primos me he expresado mal porque no me acordaba, lo que quería decir es que basta que consideres potencias que sean primos (quitando el 2) con eso quedaría demostrado en general siempre que lo consiguieses demostrar; esto supone una cierta restricción y todo lo que sea restringir puede ayudar a hacerlo menos difícil.

Esto otro

Citar
Por otro lado si en una terna tiene que haber mezcla, ¿como tendrías que formular un teorema concluyendo que [texx]a^n+b^n=c^n[/texx]?

 Tú haces la hipótesis de que los tres son enteros (como es lo normal, para poder demostrar que es falso) sabiendo que con tres irracionales existen los casos; luego nunca supones o asignas la condición hipotética de ser tres irracionales, ahí no hay nada que demostrar. Así que a la postre, si se demuestra, se puede decir que ha resultado una "mezcla".

Pero no es que tenga que haber una mezcla por necesidad, es que presuponer los tres irracionales no sirve ya de antemano, con ello no se demuestra que es falsa la igualdad, porque existen infinitos casos.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Marzo, 2018, 12:41 pm
Hola Feriva

Pues recuerdas mal: yo nunca he intentado demostrar el teorema de Fermat para \( n=4 \)  ni para \( n=3 \). Aprovecho para decir que los intentos para un valor concreto de \( n \) (no quiero minimizar el trabajo de Euler), como tampoco para una gama de valores de \( n \), han sido históricamente inutiles para demostrar el Teorema. Y eso, básicamente, por haber restringido esos intentos a un caso particular siendo conscientes de ello. Y eso, insisto, la HISTORIA lo ha demostrado.

Soy perfectamente consciente y sabedora desde hace tiempo, de que basta demostrar el teorema para valores de \( n \) primos.

Con esto contesto también a robinlambada agradeciéndole su aclaración.

También me veo obligada, en otro momento, a exponer en otra respuesta mi pretendida demostración porque creo que robinlambada no la conoce.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 08 Marzo, 2018, 01:53 pm
Hola Feriva

Pues recuerdas mal: yo nunca he intentado demostrar el teorema de Fermat para \( n=4 \)  ni para \( n=3 \). Aprovecho para decir que los intentos para un valor concreto de \( n \) (no quiero minimizar el trabajo de Euler), como tampoco para una gama de valores de \( n \), han sido históricamente inutiles para demostrar el Teorema. Y eso, básicamente, por haber restringido esos intentos a un caso particular siendo conscientes de ello. Y eso, insisto, la HISTORIA lo ha demostrado.

Hola, minette.

Mi memoria es muy mala. Por ejemplo, ya no recuerdo muchas identidades trigonométricas, métodos de integración... y muchas otras cosas, todo tengo que andar mirándolo y restudiándolo si en en algún momento quiero decir algo relacionado u opinar sobre algún problema que involucre eso que he olvidado; por esta razón no intervengo todo lo que me gustaría en el foro y, cuando lo hago, utilizo muchas palabras.

Sin embargo, sí tengo cierta memoria “difusa”. No sé si llegarías a poner un hilo específico sobre un caso particular, lo que sí veo buscando es que tocaste el tema aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76850.msg343691#msg343691

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=76850.msg343767#msg343767

y en otras respuestas de ese hilo. Al menos eso, no he buscado más.



¿Cómo sabes que las demostraciones particulares no han aportado nada a la demostración general? Para mí que sí han aportado, y mucho.


Saludos.



Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Marzo, 2018, 06:18 pm
Hola Feriva

El que yo haya participado en un hilo de otro forista no te autoriza a decir que yo he intentado demostrar los casos \( n=4 \) y \( n=3 \).

Conozco un poco bien la historia del Teorema de Fermat y puedo asegurar que las demostraciones parciales no han aportado nada a la demostración general.

Otra cosa es que hayan aportado a las matemáticas en general, sobre todo a la teoría de números.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Marzo, 2018, 06:39 pm
Hola

Intento de demostración del UTF.

Aunque Luis dice que no basta con que yo lo digo, AFIRMO que \( a,b,c \) son ENTEROS POSITIVOS (Naturales). Con los cuadrados de estos números puede ocurrir estos tres casos:

\( a^2+b^2<c^2 \)

\( a^2+b^2=c^2 \)

\( a^2+b^2>c^2 \)  y no hay más casos.

recordemos que \( c>b>a \) ; \( b+a>c \)

CASO 1º  \( a^2+b^2<c^2 \)

entonces \( a^n+b^n<c^n \)  para \( n>2 \)

CASO 2º  \( a^2+b^2=c^2 \)

entonces \( a^n+b^n <c^n \)  para \( n>2 \)

Nos queda el caso \( a^2+b^2>c^2 \)  que trataremos en otra respuesta.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: manooooh en 08 Marzo, 2018, 06:47 pm
Hola minette

Intento de demostración del UTF.

Aunque Luis dice que no basta con que yo lo digo, AFIRMO que \( a,b,c \) son ENTEROS POSITIVOS (Naturales). Con los cuadrados de estos números puede ocurrir estos tres casos:

\( a^2+b^2<c^2 \)

\( a^2+b^2=c^2 \)

\( a^2+b^2>c^2 \)  y no hay más casos.

recordemos que \( c>b>a \) ; \( b+a>c \)

CASO 1º  \( a^2+b^2<c^2 \)

entonces \( a^n+b^n<c^n \)  para \( n>2 \)

CASO 2º  \( a^2+b^2=c^2 \)

entonces \( a^n+b^n <c^n \)  para \( n>2 \)

Nos queda el caso \( a^2+b^2>c^2 \)  que trataremos en otra respuesta.

Te pido disculpas por mi nueva intervención en tu propio tema, no estoy al tanto de las demostraciones de los distintos casos del UTF, pero vengo leyendo hace unos días parte de los mensajes de este tema. Pero, si me permitís decirlo, creo que estás dando círculos una y otra vez. Por ejemplo, estos casos que exponés, Luis, en su respuesta #22 (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg363823#msg363823) (y de ahí en adelante), te aclara lo que estás escribiendo ahora.

Te pido nuevamente perdón si no corresponde una cosa con la otra, pero a mi juicio se parece bastante.

Un saludo y nunca decaigas por intentar demostrar el UTF.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 08 Marzo, 2018, 06:53 pm

El que yo haya participado en un hilo de otro forista no te autoriza a decir que yo he intentado demostrar los casos \( n=4 \) y \( n=3 \).


De acuerdo, minette, no hay ningún problema, si tú dices que no lo has intentado, pues no lo has intentado y ya está (mi opinión sigue siendo que deberías empezar por algo particular, por todo las razones que ya expuse).

Citar
Conozco un poco bien la historia del Teorema de Fermat y puedo asegurar que las demostraciones parciales no han aportado nada a la demostración general.

Para yo discutir esa afirmación tendría que saber matemáticas, así que tampoco puedo discutirte aquí. Lo que he leído es que las formas modulares se trabajan con números complejos, son como una especie de simetrías en el plano complejo o algo así; pero ni idea de cómo va.

Puedo suponer (quizá me equivoco) que tenga algo que ver con los enteros gaussianos, números ciclotómicos... y cosas que se usan decisivamente en la demostración de casos particulares, como lo son n=3, n=5... y los que haya, que no me los sé todos.

Hacer una valoración de cuánto ha aportado esto a la demostración final es una labor para un matemático que conozca mucho el tema; mi sospecha es que sí han sido muy importantes esas demostraciones, pero es sólo intuición, no puedo argumentarlo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 09 Marzo, 2018, 12:33 pm
Hola

Antes de seguir creo recordar, como inciso, que alguien ha intentado demostrar el caso \( n=4 \) usando las fórmulas que nos dan todas las ternas pitagóricas. Si ello es así, entramos de lleno en el caso antes visto de \( a^2+b^2=c^2 \) de donde se deduce que \( a^n+b^n<c^n \), incluido \( n=4 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 09 Marzo, 2018, 01:38 pm

Antes de seguir creo recordar, como inciso, que alguien ha intentado demostrar el caso \( n=4 \) usando las fórmulas que nos dan todas las ternas pitagóricas. Si ello es así, entramos de lleno en el caso antes visto de \( a^2+b^2=c^2 \) de donde se deduce que \( a^n+b^n<c^n \), incluido \( n=4 \).


Pues ante el inciso, sólo un apunte:

La demostración clásica (no sólo los intentos de quien sea) usa las ternas pitagóricas y es muy simple; pero no tanto como parece que sospechas.

En el spoiler te pongo una explicación detallada que escribí sobre la demostración clásica de este caso; empezando desde lo más básico (desde cómo se llega a cierta expresión de las ternas). Es todo muy sencillo, basta ir mirando las cosas despacio.

Spoiler

El estudio de las ternas pitagóricas (A,B,C) se puede simplificar para el caso de las ternas primitivas, es decir, las ternas en las que \( A, B, C \) son coprimos; dado que, en caso de no serlo, siempre existe una terna primitiva asociada, a la cual podemos llegar simplemente dividiendo por el máximo común divisor:

\( \cancel{d^2}A^2+\cancel{d^2}B^2=\cancel{d^2}C^2 \)

Obviamente, si se demuestra para un cierto caso que no existen ternas primitivas, entonces no pueden existir ternas compuestas; por lo que concluiremos que no existen ternas pitagóricas para ese caso.

Dada la igualdad \( A^2+B^2=C^2 \), se puede demostrar fácilmente —recordando que hacemos la consideración de que los tres son coprimos— que \( A^2 \) y \( B^2 \) han de tener paridad opuesta (par e impar), por lo que \( C^2 \) va a ser impar; el mismo análisis se puede hacer para \( A \), \( B \) y \( C \), dado que las raíces de los cuadrados perfectos pares son también pares; y análogamente ocurre con los impares. 

Para verlo, supongamos primero que ambos son pares; en ese caso \( C^2 \) también será par, por lo que los tres serán divisibles por 2 y, en consecuencia, no serán primos relativos; luego queda descartado que ambos sean pares.

Supongamos ahora que  \( A \) y \( B \) son ambos impares; en ese caso tendríamos:

\( A=2k_1+1 \)  \( B =2k_ 2+1 \)

\( A^2+ B^2=C^2\Rightarrow(2k_1+1)^2+(2k_2+1)^2=C^2 \)

desarrollando llegamos a

\( (2k_1+1)^2+(2k_2+1)^2= 4({k_ 1}^2+k_ 1+{k_ 2}^2+k_ 2)+2=C^2 \)

Y resulta que 2 divide a \( C \), por lo que 4 debería dividir a \( C \cdot C=C^2 \), sin embargo, esto a la vez resulta imposible, ya que:

\( \dfrac{4({k_ 1}^2+k_ 1+{k_ 2}^2+k_ 2)+2}{4}=  ({k_ 1}^2+k_ 1+{k_ 2}^2+k_ 2)+0,5 \)

y no puede ser un entero dado que \( k_1 \) y \( k_2 \) son enteros, puesto que consideramos una terna pitagórica.

Entonces, podemos suponer indistintamente que \( A \) es par y  \( B \) impar o al revés; elijamos que  \( A \) es par y  \( B \) impar (da lo mismo porque es cuestión de letras y el orden de los factores no altera la suma).

Ahora despejemos:

\( A^2=C^2-B^2=(C+B)(C-B) \)

Dado que “B” y “C” son impares, tenemos que \( (C+B) \) y \( (C-B) \) son necesariamente pares; al igual que lo es “A”.

Hagamos entonces estos cambios de variable:

\( A=2R,\,\,\,C-B=2S,\,\,\, C+B=2T \)

Sustituyendo en la penúltima igualdad (en la de suma por diferencia, diferencia de cuadrados) tenemos:

\( (2R)^2=(2S)(2T) \) o sea \( R^2=ST \)

Por otra parte, como  \( C-B=2S,\,\,\,C+B=2T \) despejando en cada igualdad “C” vemos que

\( C+C=2C=2S+B+(2T-B)=2S+2T \) es decir

\( C=S+T \)

y operando de igual forma con “B” podemos obtener

\( B=T-S \).

Recopilando: \( R^2=ST \)  \( C=S+T \)  \( B=T-S \).

Como “B” y “C” son coprimos, también tienen que serlo “S” y “T”, dado que de lo contrario existiría un número que dividiría a \( S+T \) y a   \( T-S \); es decir, a “C” y a “B”; y entonces no serían coprimos.

Sin embargo \( ST \) es un cuadrado, y entonces, si \( S \) y \( T \) son coprimos, también tienen que ser cuadrados (existe demostración, pero se puede observar trivialmente).

Hagamos pues   \( S=M^2 \)   y   \( T=N^2 \)

Luego sustituyendo aquí  \( C=S+T \)  \( B=T-S \) queda

\( B=N^2-M^2 \) y  \( C=M^2+N^2 \)

Ahora, operando \( A^2=C^2-B^2=(M^2+N^2)^2-(N^2-M^2)^2 \) llegamos a

\( A=2NM \)

Y se puede comprobar que, en efecto, desarrollando

\( (2NM)^2+(N^2-M^2)^2= (M^2+N^2)^2 \)

o sea

\( A^2+B^2= C^2 \)

De esta forma queda demostrado el teorema —atribuido, creo, a Diofanto— que dice:

El conjunto de las ternas pitagóricas es el conjunto de las ternas (y de los múltiplos de las ternas) de la forma

\( (2NM)\,\,(N^2-M^2)\,\,(N^2+M ^2) \) con “N” y “M” coprimos y de paridad distinta.

(quien dice “M” y “N”, dice otras letras, como “a” y “b”, eso es igual).

…...............................................................................................

Ahora, a partir de este teorema, si tenemos la expresión \( (x^2)^2+(y^2)^2=z^2 \), ésta implica necesariamente la existencia de la terna \( (x^2,y^2,z) \) y de las siguientes igualdades:

\( x^2=2NM \)    \( y^2=N^2-M^2 \)      \( z=N^2+M^2 \)

o con otras letras

\( x^2=2ab \)    \( y^2=a^2-b^2 \)      \( z=a^2+b^2 \)

Si no existiera la posibilidad de este cambio de variable —por absurdo— entonces no existiría la expresión  \( (x^2)^2+(y^2)^2=z^2 \) para números enteros, es decir \( (x^2,y^2,z) \)  no sería terna pitagórica. Esto implicaría, también necesariamente, la inexistencia de la expresión \( (x^4+y^4=k^4) \) siendo  \( k^4=z^2 \) y, por tanto, implicaría la demostración de (UTF)4.

En la demostración toma la igualdad \( y^2=a^2-b^2 \) y despeja:

\( y^2+b^2= a^2 \)

Una vez más, \( y,b,a \) supone la existencia de una terna pitagórica y, por tanto, podremos aplicar el teorema de Dioafanto haciendo:

\( b=2cd \)   \( y=c^2-d^2 \)    \( a=c^2+d^2  \), con “c” y “d” coprimos.

Sustituyendo tendremos

\( x^2=2ab=(2^2cd)(c^2+d^2 ) \) con \( c,d,(c^2+d^2 ) \) coprimos.

Entonces, si el producto formado por los factores primos entre sí  \( (2^2cd) \) y  \( (c^2+d^2 ) \) son iguales a un cuadrado (concretamente a \( x^2 \)) resulta que ambos tienen que ser un cuadrado; y a la vez como \( (2^2cd) \) está formado por los factores “c” y “d” éstos tendrán que ser un cuadrado (por ser primos entre ellos, con 2, y con el otro factor). Y también el factor  \( c^2+d^2 \) será un cuadrado

(aunque esto es trivial, se puede ver una demostración aquí: http://gaussianos.com/descenso-infinito-un-metodo-de-demostracion-poco-conocido/)

Luego nada nos impide hacer:  \( c=e^2,\,\,\,d=f^2,\,\,\,c^2+d^2=g^2 \)

Y por las igualdades anteriores \( a=c^2+d^2=e^4+f^4=c^2+d^2=g^2 \)

o sea, queda claro que

\( e^4+f^4=g^2 \)

Como \( z=a^2+b^2 \) entonces \( z>a^2 \) y como \( a^2=g^2 \) entonces \( z>g^2;\,\,\,z>g \).

Habíamos partido de la terna que da lugar a la expresión  \( (x^4+y^4=z^2 \) y hemos encontrado otra terna que da lugar a una expresión de la misma forma pero con valores más pequeños: \( e^4+f^4=g^2 \). Nada impide, tampoco, repetir el procedimiento con esta nueva igualdad hasta llegar a una expresión de la misma forma con valores menores; y así sin fin. Pero los números naturales están acotados por la izquierda y resultará en algún momento que los valores serán no enteros y menores que la unidad; esto implica, en general, que no exista una terna que lleve a la forma \( e^4+f^4=g^2 \) (da igual con qué letras lo representemos, pues no hemos partido de valores concretos, sino de una generalidad).

[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 09 Marzo, 2018, 04:59 pm
Hola Feriva

Un millón de gracias por tu respuesta 195.

Por el momento me limito a rogarte me digas si ves correcto o no lo que escribo en mi respuesta 194.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 09 Marzo, 2018, 05:13 pm
Hola Feriva

Se ma ha olvidado una cosa. Por un lado te pregunto ¿cuál es la demostración clásica que citas?

Por otro, es sabido que Pierre de Fermat realizo una demostración para el caso \( n=4 \). ¿es a ésta a la que llamas demostración clásica?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Marzo, 2018, 05:57 pm
Hola

Antes de seguir creo recordar, como inciso, que alguien ha intentado demostrar el caso \( n=4 \) usando las fórmulas que nos dan todas las ternas pitagóricas. Si ello es así, entramos de lleno en el caso antes visto de \( a^2+b^2=c^2 \) de donde se deduce que \( a^n+b^n<c^n \), incluido \( n=4 \).

Si; la demostración más típica del caso \( n=4 \) usa las fórmulas de las ternas pitagóricas y es CORRECTA. Y no tiene nada que ver  con el hecho de que  \( a^2+b^2=c^2 \)  implique \( a^n+b^n<c^n \). Porque no aplica la fórmula de las pitágoricas a la terna \( (a,b,c) \) que cumple \( a^4+b^4=c^4 \) sino a \( (a^2,b^2,c^2) \), o algo análogo.

Sacar una conclusión de una afirmación tan general como "en la demostración se usa tal cosa" es difícil. Diferentes argumentos pueden usar grosso modo las "mismas cosas", pero unos ser correctos y otros disparates; se trata de usar las cosas bien y en el lugar, momento y modo adecuado.

Se me ha olvidado una cosa. Por un lado te pregunto ¿cuál es la demostración clásica que citas?

La más típica es esta:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=18414.msg76066#msg76066

https://www.gaussianos.com/¿por-que-el-caso-n4-es-tan-importante/

Citar
Por otro, es sabido que Pierre de Fermat realizo una demostración para el caso \( n=4 \). ¿es a ésta a la que llamas demostración clásica?

La de Fermat usa ideas parecidas pero no es exactamente esa:

http://fermatslasttheorem.blogspot.com.es/2005/05/fermats-one-proof.html

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 09 Marzo, 2018, 07:44 pm
Hola Feriva

Se me ha olvidado una cosa. Por un lado te pregunto ¿cuál es la demostración clásica que citas?

La misma del primer enlace (demostración típica) que pone Luis; sólo que yo empiezo explicando de dónde salen estas igualdades que dice en uno de los párrafos Argentinator:

Citar
debe cumplirse que existen enteros positivos p,q,p>q, sin factores comunes, y de distinta paridad,
tales que \( α=p^2−q^2, β=2pq, γ=p^2+q^2 \).

Para esto de las ternas me basé en una demostración que encontré por ahí, no en una de del foro; ahora ni me acuerdo de cuál podía ser la página, pero era correcta porque todo encajaba muy bien.

Dejando esto aparte, para lo que es la explicación de la demostración en sí del caso n=4, creo recordar que me basé en esa misma de Argentinator.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 12 Marzo, 2018, 12:20 pm
Hola

Dada una terna \( (a,b,c) \) de enteros positivos y dase también que  \( a^2+b^2=c^2 \), entonces cumple decir que, por definición, la terna \( (a,b,c) \) es una terna pitagórica. ¿De acuerdo? Si ello es así, me ratifico en mí respuesta 191:

si \( a^2+b^2=c^2 \)

entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \), incluído \( n=4 \).

No discuto, Luis, que aplicando la terna \( (a^2,b^2,c^2) \) o ("algo análogo")? se llegue a demostrar el caso \( n=4 \) pero seguro que es un camino más largo y complicado que el referido por mí más arriba.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Marzo, 2018, 12:34 pm
Hola

No discuto, Luis, que aplicando la terna \( (a^2,b^2,c^2) \) o ("algo análogo")? se llegue a demostrar el caso \( n=4 \) pero seguro que es un camino más largo y complicado que el referido por mí más arriba.

No es muy largo ni complicado, y lo que es más importante, es correcto.

El problema de lo que sugeriste más arriba es que es incorrecto, es decir, no demuestra nada útil.

Citar
Dada una terna \( (a,b,c) \) de enteros positivos y dase también que  \( a^2+b^2=c^2 \), entonces cumple decir que, por definición, la terna \( (a,b,c) \) es una terna pitagórica. ¿De acuerdo? Si ello es así, me ratifico en mí respuesta 191:

si \( a^2+b^2=c^2 \)

entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \), incluído \( n=4 \).

Eso lo único que demuestra es que si unos números cumplen la relación \( a^2+b^2=c^2 \) no pueden cumplir al mismo tiempo la relación \( a^n+b^n=c^n \) para \( n>2 \); pero eso no impide a priori que existan otra tripleta \( (a',b',c') \) que si la cumpla.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 12 Marzo, 2018, 06:06 pm
Hola Luis

Por favor dime qué es incorrecto en lo que escribí más arriba.

Te concreto que me refiero ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE a demostraciones para \( n=4 \)  basadas en las fórmulas:

\( a=m^2-n^2 \)
\( b=2mn \)
\( c=m^2+n^2 \)

que permiten hallar TODAS las ternas primitivas pitagóricas con \( m>n \) primos entre sí. Es decir a ternas que cumplan:

\( a^2+b^2=c^2 \)

Respecto a la tripleta \( (a\prime,b\prime,c\prime) \)  que citas, te pregunto

\( (a')^2+(b')^2?(c')^2 \) 

el ? es =, >, ó <.

Dices: "eso no impide que exista otra tripleta \( (a',b',c') \) que sí la cumpla". ¿Que cumpla qué?

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Marzo, 2018, 09:46 am
Hola

Por favor dime qué es incorrecto en lo que escribí más arriba.

Veamos, tu dices:

Dada una terna \( (a,b,c) \) de enteros positivos y dase también que  \( a^2+b^2=c^2 \), entonces cumple decir que, por definición, la terna \( (a,b,c) \) es una terna pitagórica. ¿De acuerdo? Si ello es así, me ratifico en mí respuesta 191:

si \( a^2+b^2=c^2 \)

entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \), incluído \( n=4 \).

Pues todo eso que has escrito ahí es perfecto y correcto. Lo que está mal es que nada de lo que está escrito ahí prueba el Teorema de Fermat, ni siquiera para \( n=4 \). Entonces lo que está mal es pretender que ese argumento sea una demostración más sencilla de la usual del caso \( n=4 \), como sugieres aquí:

Citar
No discuto, Luis, que aplicando la terna \( (a^2,b^2,c^2) \) o ("algo análogo")? se llegue a demostrar el caso \( n=4 \) pero seguro que es un camino más largo y complicado que el referido por mí más arriba.

Citar
Respecto a la tripleta \( (a\prime,b\prime,c\prime) \)  que citas, te pregunto

\( (a')^2+(b')^2?(c')^2 \) 

el ? es =, >, ó <.

Dices: "eso no impide que exista otra tripleta \( (a',b',c') \) que sí la cumpla". ¿Que cumpla qué?

Lo que digo es lo siguiente. Es cierto que si \( a^2+b^2=c^2 \) entonces \( a^4+b^4<c^4 \), pero eso no impide que pueda exisitr una tripleta \( (a',b',c') \) verificando sólo \( a'^4+b'^4=c'^4 \).

Spoiler
Cumpliría también que \( a'^2+b'^2>c'^2 \)
[cerrar]

Por tanto ese argumento que citabas, siendo correcto, no demuestra nada referente al Teorema de Fermat para \( n=4 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 13 Marzo, 2018, 10:57 am
Hola

Te concreto que me refiero ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE a demostraciones para \( n=4 \) basadas en las fórmulas

\( a=m^2-n^2 \)
\( b=2mn \)
\( c=m^2+n^2 \)

que permiten hallar todas las ternas primitivas pitagóricas con \( m>n \) primos entre sí. Es decir ternas que cumplan:

\( a^2+b^2=c^2 \)

Es decir \( (m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2 \)  entonces

\( (m^2-n^2)^4+(2mn)^4<(m^2+n^2)^4 \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Marzo, 2018, 11:19 am
Hola

Te concreto que me refiero ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE a demostraciones para \( n=4 \) basadas en las fórmulas

\( a=m^2-n^2 \)
\( b=2mn \)
\( c=m^2+n^2 \)

que permiten hallar todas las ternas primitivas pitagóricas con \( m>n \) primos entre sí. Es decir ternas que cumplan:

\( a^2+b^2=c^2 \)

Es decir \( (m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2 \)  entonces

\( (m^2-n^2)^4+(2mn)^4<(m^2+n^2)^4 \)

Estamos en las mismas. ¿Qué quieres decir con todo eso? Lo que escribes está bien, pero desde luego no prueba por si solo el Teorema de Fermat para \( n=4 \).

La prueba oficial (te he dado enlaces donde leerla) usa esa descripción del las ternas pitagóricas, pero de una manera que si permite probar el caso \( n=4 \) del UTF.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 13 Marzo, 2018, 12:51 pm
Hola, minette.

Si \( a^{2}+b^{2}=c^{2}
  \) es cierto y suponemos

\( a^{2}a^{2}+b^{2}b^{2}=c^{2}c^{2}
  \)

concluyendo que esto no puede ser; entonces:

no estamos suponiendo todos los casos posibles. En principio podría existir una terna \( (a,b,c)
  \) no pitagórica que cumpliera \( a^{2}+b^{2}\neq c^{2}
  \) y a la vez \( a^{2}a^{2}+b^{2}b^{2}=c^{2}c^{2}
  \) para los mismos (a,b,c).

Una de las cosas podría ser verdad y otra mentira, del mismo modo que, por ejemplo, \( 3^{1}+4^{1}=5^{1}
  \) es mentira, pero \( 3^{2}+4^{2}=5^{2}
  \) es verdad.

Al no contemplar todos los casos posibles sólo supone la demostración para algunos casos, como es evidente (el de los números que cumplen la terna pitagórica) y no se demuestra el caso n=4 de forma general; con lo que si no se demuestra en general (digo en general respecto de n=4, no en general para todo “n”) no queda demostrado el caso concreto.

La demostración típica lo que hace es suponer una terna para \( a^{4}+b^{4}=c^{4}
  \) y no una terna pitagórica, que implicaría esto otro \( a^{2}+b^{2}=c^{2}
  \); la cual que no tiene por qué ser una igualdad cierta a partir de lo primero.

Lo que sí tiene que ser cierto forzosamente es \( (a^{2})^{2}+(b^{2})^{2}=(c^{2})^{2}
  \), es decir, tiene que existir la terna pitagórica con estos valores \( {\color{blue}(a^{2},b^{2},c^{2})}
  \) (ésta sí es pitagórica necesariamente si se supone cierto \( a^{4}+b^{4}=c^{4}
  \)) cuyos valores son otros distintos de los de esta tripleta \( {\color{red}(a,b,c)}
  \), dado que \( a\neq a^{2}...etc
  \).

Con eso, la demostración típica llega (mediante consideraciones como “si son coprimos y este es par y tal, entonces esta expresión es el cuadrado de un entero...”, etc.) a que existe otra terna pitagórica \( {\color{blue}(e^{2},f^{2},g^{2})}
  \) donde los números (e,f,g) son menores que (a,b,c).

Pero entonces, como \( {\color{blue}(e^{2},f^{2},g^{2})}
  \) tiene que ser una terna pitagórica (una terna de enteros para la igualdad, por las codiciones hipotéticas asumidas que han “heredado” de “a,b,c” mediante las cosideraciones) y se pueden hacer los cambios de variable \( e^{2}=m_{2}^{2}-n_{2}^{2}...
  \) etc., igual que al principio de la demostración. De tal modo se repiten los pasos para estos nuevos números (se repite la demostración) y se llega a una terna pitagórica de valores \( {\color{blue}(h^{2},j^{2},k^{2})}
  \) menores que los de \( {\color{blue}(e^{2},f^{2},g^{2})}
  \); y esto conservando las hipótesis, o sea, que tienen la obligación de ser enteros si lo eran los primeros a,b,c (si no lo eran no, que es lo que se demuestra). Y así se ve que se puede repetir siempre.

Es decir así aparecerían infinitas ternas de enteros posibles; y siempre de valores menores que en la anterior.

¿Por qué no pueden ser enteros, en qué sentido?

Lo que se deduce es que si existe un entero “e” más pequeño que ”a” y después un “h” más pequeño que “e”... etc., sin que nada pueda frenar este proceso lógico, entonces es que “a” tiene que ser un número “natural” infinitamente grande (porque se está demostrando que hay infinitos “naturales” más pequeños; obvio). Simplmente eso es lo que demuestra.

Así que no se demuestra que alguno tenga que ser un número con una parte entera, una coma y una mantisa; no, no es eso, se demuestra que los números tienen que tener valor infinito. Y cuando los números tienen valor infinito, aunque no tengan coma y mantisa, los matemáticos no los llaman enteros.

Spoiler

De hecho, según cuenta Wiles, Fermat explicaba el teorema así: “nunca encontraŕeis números tales que...”. No decía que fueran enteros ni nada, sólo “no encotraréis”...

Eso es lo que tienes que intentar demostrar, que nadie puede llegar a encontrar números así, no pensar en números con “coma”.

Por eso te decía que yo sospecho que estos casos particulares han aportado mucho al caso general, porque de ellos han surgido métodos para atacar el problema que surge con el infinito; el cual afecta tanto a los casos particulares como al general.

En todas las demostraciones se hacen hipótesis de paridad, de ser un cuadrado... y cosas así, pero ninguna de esas hipótesis remata la demostración, sólo es un camino necesario para finalmente aplicar algún teorema relacionado con el infinito; sin eso es imposible demostrar ningún caso, ni mucho menos el general.

[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 13 Marzo, 2018, 12:58 pm
Hola Luis

Insistes en que no puede existir una demostración sencilla para \( n=4 \) porque YA existen otras demostraciones. Sin más argumentos.

Por un lado te cito de tu respuesta 201:  
 "Eso lo único que demuestra es que si unos números cumplen la relación \( a^2+b^2=c^2 \) no pueden cumplir al mismo tiempo la relación \( a^n+b^n=c^n \) para \( n>2 \); pero eso no impide a priori que existan otra tripleta \( (a',b'c') \) que sí la cumpla.

Y de tu respuesta 203:
"lo que digo es lo siguiente. Es cierto que si \( a^2+b^2=c^2 \) entonces \( a^4+b^4<c^4 \), pero eso no impide que pueda existir una tripleta \( (a',b',c') \) verificando solo \( a'^4+b'^4=c'^4 \)"

De esta misma respuesta y a mi regunta respondes \( a'^2+b'^2>c'^2 \)

Entonces ¡OJO! te sitúas en el caso tercero \( a^2+b^2>c^2 \) que aún no he abordado.

A VER SI QUEDA CLARO: En ningún momento he manifestado mi intención de demostrar el caso \( n=4 \).

Sólo a partir del caso \( a^2+b^2=c^2 \) digo, y me reconoces, que \( a^4+b^4<c^4 \)  tanto si \( a=a \) como si \( a=m^2-n^2 \) y etc.

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Marzo, 2018, 01:16 pm
Hola

Insistes en que no puede existir una demostración sencilla para \( n=4 \) porque YA existen otras demostraciones. Sin más argumentos.

No.

1) Yo no digo que no pueda existir una demostración sencilla; digo que lo que tu sugieres que puede ser una demostración, no lo es.

2) Yo no tengo que argumentar que lo que tu propones sea una demostración; al contrario eres tu la que debes de explicar la demostración sencilla del caso \( n=4 \), si la tienes. Lo que te he dicho y argumentado es que lo que tu has expuesto no es una demostración del caso \( n=4 \). ¡Básicamente has dado un argumento correcto, pero que no demuestra el teorema!.

Citar
A VER SI QUEDA CLARO: En ningún momento he manifestado mi intención de demostrar el caso \( n=4 \).

¡Acabáramos! Si empezaras por ahí, no habría discusión. Pero entonces no sé de que estamos hablando. Yo pensé que SI afirmabas haber demostrado el caso \( n=4 \) de manera sencilla porque dijiste:

Dada una terna \( (a,b,c) \) de enteros positivos y dase también que  \( a^2+b^2=c^2 \), entonces cumple decir que, por definición, la terna \( (a,b,c) \) es una terna pitagórica. ¿De acuerdo? Si ello es así, me ratifico en mí respuesta 191:

si \( a^2+b^2=c^2 \)

entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \), incluído \( n=4 \).

No discuto, Luis, que aplicando la terna \( (a^2,b^2,c^2) \) o ("algo análogo")? se llegue a demostrar el caso \( n=4 \) pero seguro que es un camino más largo y complicado que el referido por mí más arriba.

De la frase que marco en rojo se deduce que afirmas que la parte anterior en azul es un camino más sencillo que el habitual para demostrar el caso \( n=4 \); y yo te digo que la frase en azul no demuestra nada al respecto. Y si crees que si, que proporciona un camino más sencillo, explica cual.

Si como has dicho ahora no quieres demostrar el caso \( n=4 \), y con la frase en rojo querías decir otra cosa (¡¿?!) y con el párrafo en azul no pretendes estar demostrando el caso \( n=4, \) pues aquí se acaba la discusión; a este respecto, estamos de acuerdo en todo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 13 Marzo, 2018, 06:11 pm
Hola Luis

No eres el primero que ha dicho que yo he intentado una demostración para los casos \( n=4 \) y \( n=3 \) (Feriva). Tú sólo para  \( n=4 \).

Lo he demostrado para \( n>2 \), no sólo \( n=4 \), en los casos

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)

Me falta el caso \( a^2+b^2>c^2 \)

Si lo demuestro no sólo será para \( n=4 \) sino para todo valor de \( n>2 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Marzo, 2018, 10:47 pm
Hola

No eres el primero que ha dicho que yo he intentado una demostración para los casos \( n=4 \) y \( n=3 \) (Feriva). Tú sólo para  \( n=4 \).

Una vez más te reitero que fuiste tu quien lo dio a entender (para los detalles lee mi mensaje anterior); pero no creo que valga la pena insistir en esto.

Citar
Lo he demostrado para \( n>2 \), no sólo \( n=4 \), en los casos

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)

Me falta el caso \( a^2+b^2>c^2 \)

Con todos los respetos, eso es como decir que en cuanto al problema de viajar a Marte, he superado dos pasos, salir de casa y salir de la ciudad... ya "sólo" me queda llegar a Marte.

Si lo demuestro no sólo será para \( n=4 \) sino para todo valor de \( n>2 \).

Suerte.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 14 Marzo, 2018, 11:33 am
Hola Luis

Gracias.

Si consigo llegar a Marte será, sin lugar a dudas, gracias a tí.

Me imagino que "salir de casa" es el caso \( a^2+b^2<c^2 \).

"Salir de la ciudad" el caso \( a^2+b^2=c^2 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 14 Marzo, 2018, 02:13 pm

Yo no creo que puedas llegar a Marte, minette (que a lo mejor ni llena las expectativas que se puedan tener, porque lo veo un planeta muy inhóspito) pero sí creo que podrías llegar a la sierra y comer en un acogedor restaurante. Claro que a ese sitio llegarán también muchos otros; sin embargo, en cierto modo, puede ser más agradable, pues así no se siente la soledad del genio al que no entiende nadie o casi nadie. Y puedes lograr ese “pequeño” objetivo con motivación y con la ayuda de Luis y otros matemáticos; pero siempre que te dejes ayudar.

Decía Adrián Paenza, en uno de sus vídeos, que todo el mundo quiere llegar a la cima, a ser famoso; y acababa con esta frase: “yo he llegado; no hay nada”.
Yo no he llegado pero pienso que, si llegara, percibiría lo mismo que Paenza (digo “percibir” porque si de verdad hay algo o no es relativo)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 14 Marzo, 2018, 06:13 pm
Hola

Muchas gracias feriva por tus consejos.

Dado que padezco agorafobia, no me interesa llegar a un acogedor restaurante; que, siendo tan acogedor, tendrá mucha gente comiendo a mediodía o por la noche.

Si me has entendido, en ese restaurante iría encantada si me aseguraran que sólo habría una mesa para dos: Luis y minette, o bien feriva y minette.

No me interesa por tanto "ese pequeño" objetivo si me has entendido bien.

Me encanta esta frase de Paenza: "Yo he llegado; no hay nada". Yo añado: "no hay nadie".

Me atrae mucho la soledad de quien no entiende nadie o casi nadie.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 15 Marzo, 2018, 06:56 pm
Caso 3º.- Cuando \(  a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
 

Y en general cuando

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}  \)  para \( n\geq3 \)
 

Siendo \( n \)  el mayor valor que cumple la desigualdad anterior.

Si la conjetura que formuló Fermat es cierta, entonces

\( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

siguiendo

\( a^{n+1}+b^{n+1}<c^{n+1} \)
 

y así sucesivamente para \( (n+2) \)   y etc.

Si la conjetura no es cierta entonces a partir de \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)   se llega a

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Y a partir de aquí:

\( a^{n+1}+b^{n+1}<c^{n+1} \)
 

Y así sucesivamente para \( (n+2) \)  y etc.

La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)   la podemos presentar así:

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \)   (1)

Estamos ante una ecuación diofántica.

Siendo \(  a^{n-1}  \) ,\(  b^{n-1} \)  primos entre sí, su \( m.c.d. \) es 1

En consecuencia (1) tiene infinitas soluciones pues \( 1\mid c^{n} \)
  .

Por la identidad de Bèzout:

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
 

Siendo \( b>a\rightarrow x_{0}>y_{0}  \) (valores absolutos)

Si \( x_{0}=negativo  \) ; \( y_{0}=positivo \)
 

\( a^{n-1}(-x_{0})+b^{n-1}(+y_{0})=1 \)
 

\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)
 

Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a \)
 

\( K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1}=b \)
 

\( K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Conviene recordar (pese a su elementalidad) la exigencia de que cada valor dado a \( K \)   ha de ser el mismo en las dos fórmulas anteriores; y, además, entero en el caso presente y positivo.

\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \)
 

\( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \)
 

Sumando y sustituyendo \( a,b \)  por las igualdades arriba citadas se llega a:

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
 

Siendo el paréntesis \( =1 \); si la conjetura de Fermat es cierta los valores de \( K \)   han de ser distintos.

Demostrar que los valores de \( K \)   son distintos es demostrar el UTF.

¿Estáis de acuerdo?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Marzo, 2018, 10:04 am
Hola

La ecuación \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)   la podemos presentar así:

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \)   (1)

Estamos ante una ecuación diofántica.

Siendo \(  a^{n-1}  \) ,\(  b^{n-1} \)  primos entre sí, su \( m.c.d. \) es 1

En consecuencia (1) tiene infinitas soluciones pues \( 1\mid c^{n} \)
  .

Por la identidad de Bèzout:

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1 \)
 

Siendo \( b>a\rightarrow x_{0}>y_{0}  \) (valores absolutos)

Si \( x_{0}=negativo  \) ; \( y_{0}=positivo \)
 

\( a^{n-1}(-x_{0})+b^{n-1}(+y_{0})=1 \)
 

\( a^{n-1}(-x_{0})c^{n}+b^{n-1}(+y_{0})c^{n}=c^{n} \)
 

Las infinitas raíces de la ecuación (1) se obtienen así:

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a \)
 

\( K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1}=b \)
 

\( K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Conviene recordar (pese a su elementalidad) la exigencia de que cada valor dado a \( K \)   ha de ser el mismo en las dos fórmulas anteriores; y, además, entero en el caso presente y positivo.

\( a^{n}=a^{n-1}\cdot a \)
 

\( b^{n}=b^{n-1}\cdot b \)
 

Sumando y sustituyendo \( a,b \)  por las igualdades arriba citadas se llega a:

\( a^{n}+b^{n}=c^{n}(b^{n-1}y_{0}-a^{n-1}x_{0})+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)
 

Siendo el paréntesis \( =1 \); si la conjetura de Fermat es cierta los valores de \( K \)   han de ser distintos.

Demostrar que los valores de \( K \)   son distintos es demostrar el UTF.

¿Estáis de acuerdo?

Esencialmente si. Debe de ser la quinta o sexta vez que cuentas lo mismo en el foro.

Spoiler
Puede ser confuso decir que los valores de \( K \) son distintos (\( K \) es una variable ó toma un valor ó toma otro). Quieres decir que los valores de los cocientes:

\( \dfrac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)  y \( \dfrac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

son distintos.
[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 16 Marzo, 2018, 11:28 am

Permíteme una proposición  minette (proposición honesta, por supuesto).

Dejando aparte el caso n=4, todos los otros casos demostrados, así como el caso general, utilizan de forma decisiva los números complejos; hasta donde yo estoy informado, y si no recuerdo mal, nadie, ni Wiles, ha conseguido demostrar ni siquiera un caso particular sin en el uso de números complejos (salvo n=4).

Proyecto estuvo intentando mucho tiempo demostrar el caso n=4 sin usar el descenso al infinito; pues yo te propongo algo parecido, demostrar, por ejemplo, el caso n=3 usando descenso al infinito o lo que quieras; pero sin números complejos.

A priori (aunque esto debería sopesarlo un matemático) entre una demostración del caso general que fuera muy parecida a la existente (mismos métodos con alguna variante pero en esencia lo mismo) y una demostración particular como la que te digo, creo que tendría más impacto la segunda; sería más singular; y más si lo consigue una aficionado; aficionada en este caso.

Spoiler


Citar
Me atrae mucho la soledad de quien no entiende nadie o casi nadie.

Pero no es lo que tú quieres lograr, por lo que te vengo leyendo; tu idea es conseguir una demostración simple, algo así que pueda entender hasta a un niño, ¿no? Y, añadido a eso, supongo, te gustaría que tuviera relevancia; pues lo que yo te digo, intenta el caso n=3 sin usar complejos (si lo consiguieras, nada te impediría seguir intentando más cosas, no tienes nada que perder).

En una de las demostraciones típicas de este caso se llega a que si se da la igualdad para n=3 entonces existe necesariamente \( 2p(p^2 + 3q^2) \) con “p” y “q” coprimos de distinta paridad (uno es par y el otro no) tal que esa expresión es un cubo.

Teniendo en cuenta que esto \( (p+q)^3 \) es obviamente otro cubo, desarrollando y “mirando” se antoja altamente difícil que existan “p”y “q” enteros; casi se toca con la mano el argumento para afirmarlo, pero no se llega a justificar del todo; de ahí que haya que echar mano de los números complejos.

En este enlace tienes más información; te puedes saltar todos los párrafos donde aparecen raíces de números negativos, es decir, más en general, donde se habla de complejos (porque se trata de no usarlos). Básicamente te puedes quedar de momento con lo que te digo:


http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=18414.msg76114#msg76114

[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Marzo, 2018, 05:57 pm
Hola

Efectivamente Luis. Lo hago porque de vez en vez surgen nuevos visitantes y nuevos administradores o moderadores por si pudieran aportar alguna sugerencia como robinlambada.

Efectivamente también:

\( \displaystyle\frac{x_0c^n +a}{b^{n-1}}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 17 Marzo, 2018, 01:10 pm
Citar
Efectivamente Luis. Lo hago porque de vez en vez surgen nuevos visitantes y nuevos administradores o moderadores por si pudieran aportar alguna sugerencia como robinlambada.

Robin estuvo anoche y esta mañana por el foro. Si él o alguien atisbara algún punto por el cual empezar tan sólo a atacar el problema con eso que planteas, ya te lo hubiera comunicado. El hilo lleva mucho tiempo y, aunque no veas intervenir a más personas, es seguro que lo han mirado muchos usuarios.

Te toca a ti mover ficha y ofrecer algo más, cambiar de idea o añadir condiciones. Seguramente estás encallada porque  no se te ocurre nada más; de ahí mi idea por mostrarte otro camino a modo de nueva motivación.   

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 20 Marzo, 2018, 10:38 am
Hola feriva

Gracias por tus observaciones y consejos.

Recuerdo ahora una respuesta de Luis en la cual afirmaba que demostrar la desigualdad de las fracciones

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

es imposible (o casi).

Esta dificultad me animó a creer que mi camino tiene sentido pues también es muy difícil demostrar \( a^n+b^n\neq{}c^n \) si  \( n>2 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 20 Marzo, 2018, 12:26 pm
Hola feriva

Gracias por tus observaciones y consejos.

Recuerdo ahora una respuesta de Luis en la cual afirmaba que demostrar la desigualdad de las fracciones

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

es imposible (o casi).

Esta dificultad me animó a creer que mi camino tiene sentido pues también es muy difícil demostrar \( a^n+b^n\neq{}c^n \) si  \( n>2 \).

Saludos.


Las ecuaciones son representaciones de ideas, es más importante lo que hay detrás de ellas, las propias ideas.

Se me ocurren pocas cosas con este teorema, si se me ocurriera algo que pudiera servirte, te lo diría.

No creo que esto sirva para nada, es plantear un caso, por ejemplificar un poco:

\( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}
  \) con \( n>a;n>b;n>c
  \) para \( n>1
  \).

Esto es cierto, porque la primera terna pitagórica, la de valores naturales más bajos, es (3,4,5) y porque Fermat está ya demostrado. Si no damos por demostrado Fermat, es un caso particular a probar, pero muy amplio, que podría servir como idea inicial para arrancar y pensar poco a poco más cosas (primero se trata de arrancar, de empezar por algún sitio).

Lo más básico es la ecuación que enuncia el propio teorema, que es la última que has puesto; y es de la que menos se saca, porque con eso cuenta todo el mundo, es el principio; ahí todavía no hemos arrancado.

Entonces, por ejemplo, dado eso que decía, tenemos \( a^{a}<a^{n}
  \) y así para las otras letras; como deducción más básica.

Es un teoremilla insulso, sumamente tonto, pero no se debe despreciar nada de lo que vayamos pensando, porque la simplicidad no implica falta de utilidad.

Qué más nos podemos preguntar. Pues, por ejemplo:

Si para ciertos valores (no digo en general, sino para algunos a,b,c) se cumpliera \( a^{a}+b^{a}\neq c^{a}
  \), ¿se podría demostrar que ello implicaría \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}
  \) o viceversa?

No estoy haciendo ningún esfuerzo “matemático”, nada difícil, sólo dejo preguntas escritas. Si a mí me interesara el intento de demostrar el teorema, después, ya, tomaría papel y lápiz e investigaría (no me interesa en especial).

Hay que olvidarse un poco de las ecuaciones, al menos de las “estáticas” que todos conocen, y hacerse otras preguntas.



Spoiler

Por otro lado, en mi opinión, la parte técnica de la matemática (métodos, cuestiones operativas) no debe preocupar más de la cuenta a un aficionado o a cualquier persona para la cual esto no sea un motivo de “supervivencia”.
No sólo hay programas muy buenos que resuelven todo tipo de ecuaciones y mucho más, hay matemáticos a los que consultar si existe un método para resolver ésta o aquella cuestión, si tal o cual punto se puede demostrar o no...

Si tú tienes una idea buena, no le quita mérito (o le quita muy poco) el que alguien te ayude a ponerla en solfa.

Y, volviendo al principio, la cuestión es buscar esa idea o esas ideas que engranadas pueden quizá servir para atacar una demostración. La mayoría de las demostraciones en estas cosas constan de muchas pequeñas demostraciones. Éstas nunca son muy “difíciles”; si no se entienden el primer día, pues, consultando, preguntando, estudiando lo que sea necesario... ya se entenderán. Lo difícil es montar el “mecano” y llegar a tener una visión global del “teorema grande”; todo el mundo sabe mover un caballo en un tablero de ajedrez, todo el mundo sabe aprenderse los primeros cuatro movimientos de una apertura... pero sólo los maestros “ven” en su cabeza una gran cantidad de combinaciones.

Por eso, lo que te digo tampoco es una panacea para lograr el objetivo; la mayoría será capaz de hacerse muchas preguntas interesantes, pero no lo demostrará.

 
[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Marzo, 2018, 11:27 am
Hola

Desigualdad de dos fracciones

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)  ; \( \frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Elevándolas al cuadrado, multiplicando en cruz y dividiendo por \( c^{n} \) :

\( 2y_{0}b^{2n-1}+2x_{0}a^{2n-1}+\frac{a^{2n}}{c^{n}}?c^{n}y_{0}b^{n-1}+c^{n}x_{0}a^{n-1}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
 

Dividimos por \( 2x_{0}a^{2n-1}\cdot2y_{0}b^{2n-1} \) :

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}+\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

\( \frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}<\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}  \) ; \( 1<\frac{c^{n}}{2a^{n}} \)
 

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}>\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}  \) ; \( 1>\frac{c^{n}}{2b^{n}} \)
 

\( \frac{c^{n}}{2a^{n}}-\frac{2a^{n}}{2a^{n}}=\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)  para 2º miembro

\( \frac{2b^{n}}{2b^{n}}-\frac{c^{n}}{2b^{n}}=\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} \)  para 1º miembro

\( \frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}<\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)  (numeradores iguales y \( b^{n}>a^{n} \))

\( \frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}<\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)
 

luego

\( \frac{x_{0}c^{n+a}}{b^{n-1}}<\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)

Saludos.
 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 23 Marzo, 2018, 12:57 pm


\( \frac{x_{0}c^{n+a}}{b^{n-1}}<\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 


No he comprobado las operaciones, pero no es general.

Puedes ir a esta página y ver que para la última desigualdad existe una condición si todos son positivos: \( a(b-yc^{n})+bxc^{a}((ac)/b)^{n}<0
  \)

Luego no es cierto siempre.

Si tú a ese programa le pones esto 5>2 te indica “True”, que quiere decir “Verdad”;

https://www.wolframalpha.com/input/?i=5%3E2

 Lo mismo ocurre para una expresión con letras que sea cierta en todo caso.

Como no pones condiciones a esas letras, la desigualdad no revela nada, ¿quiénes son, que condiciones cumplen? Lo mismo puedes decir, con la boca, “son todos naturales” como que “son impares” como que “son no enteros”... No se ha definido nada, por tanto, lo que dices no es cierto (cuando una cosa no es cierta en todo caso, se dice que es falsa en general).



Editado:

Por lo que me dice Luis sí que pones algunas condiciones -insuficientes para sacar la conclusión que sacas- en otra respuesta del hilo. En ese caso, en el programa puedes indicar una condición antes de la fórmula separándola por una coma; como por ejemplo: a+b<c ó lo que sea. Para decirle al programa que trate los números como enteros tienes que indicarle que es una ecuación diofántica, también se puede hacer

Te puedes valer de ese programa para hacer comprobaciones. Pero para que funcione hay que tener cuidado de no poner las potencias y los subíndices entre llaves, sino entre paréntesis, así por ejemplo

a^(n-1)

o lo que sea.

En cuanto a lo demás, quitando alguna cosa, funciona como el Latex normal (de todas maneras si quieres probar algo y no funciona o no entiendes qué está diciendo, puedes preguntar).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Marzo, 2018, 03:46 pm
Hola

 Mal. Esta expresión:

\( \color{blue}\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}\color{black}<\color{red}\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}\color{black}+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)

No equivale la que inicialmente quieres comparar:

Citar
\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}+\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}+\frac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)

Los términos que he coloreado en la primera expresión los obtienes de la original uno multiplicando ciertos términos por \( 2y_0b^{2n-1} \) y otros por \( 2x_0a^{2n-1} \) (y el tercero dejándolo como está). Eso puede alterar por completo el carácter de igualdad o desigualdad.

Como no pones condiciones a esas letras, la desigualdad no revela nada, ¿quiénes son, que condiciones cumplen? Lo mismo puedes decir, con la boca, “son todos naturales” como que “son impares” como que “son no enteros”... No se ha definido nada, por tanto, lo que dices no es cierto (cuando una cosa no es cierta en todo caso, se dice que es falsa en general).

 Feriva: las relaciones y significado de esas letras (no son cualesquiera) están explicadas en un mensaje anterior:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg406794#msg406794

Saludos.

P.D. minette: una vez más sabrías sin dudar que tu argumento está mal si fueses consciente de que en ningún paso has usado de manera decisiva el carácter entero de las variables.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 23 Marzo, 2018, 04:34 pm

 Feriva: las relaciones y significado de esas letras (no son cualesquiera) están explicadas en un mensaje anterior:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg406794#msg406794

Saludos.


Gracias, edito.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Marzo, 2018, 06:08 pm
Hola Luis

Si \( \displaystyle\frac{2b^n-c^n}{2b^n} \) es menor que \( \displaystyle\frac{c^n-2a^n}{2a^n} \) lo seguirá siendo si al segundo miembro le sumo un positivo entero o no, Y si no se lo sumo también.

Dime por favor si estás de acuerdo con esto para seguir contestándote.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 24 Marzo, 2018, 09:20 am
Hola Luis

Si \( \displaystyle\frac{2b^n-c^n}{2b^n} \) es menor que \( \displaystyle\frac{c^n-2a^n}{2a^n} \) lo seguirá siendo si al segundo miembro le sumo un positivo entero o no, Y si no se lo sumo también.

Dime por favor si estás de acuerdo con esto para seguir contestándote.

Saludos.

Te va a decir que sí, minette, es obvio; pero la cuestión es cómo puedes sumarle un entero y cómo sabes que esos meros símbolos representan enteros. No queda más remedio que presuponer que cumplen condiciones de enteros. Básicamente los enteros cumplen que se descomponen en un producto de primos dados en una cantidad finita; además tienen un divisor mínimo (el 1 considerando un signo u otro). Y no hay mucho más, todo lo que podamos decir estará relacionado con dichos aspectos. Si yo digo, por ejemplo, que si no son enteros, entonces, puede ocurrir que \( x-y=z+k \) donde “z” es un entero y \( |k|<1 \) simplemente estoy diciendo que existe una distancia menor que 1 en ese tipo de números y eso implica que 1 no sea el mínimo; es decir lo mismo desarrollándolo un poquito más.   
Así que habrá que demostrar una contradicción, un absurdo, a partir de una hipótesis relacionada de algún modo con eso. Si usas sólo relación de orden, cosas como a>b, etc., tal cosa existe  para números enteros y no enteros, no es lo suficientemente específico y, por tanto, no puede detectar nada que ataña solo a enteros.

Te he contesto porque Luis hay fines de semana que no pasa por el foro; pero, vamos, lo que te pide  que comprendas, aunque yo no me expreso con rigor, es más o menos eso:

Citar
P.D. minette: una vez más sabrías sin dudar que tu argumento está mal si fueses consciente de que en ningún paso has usado de manera decisiva el carácter entero de las variables.

Saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Marzo, 2018, 01:32 pm
Hola

Si \( \displaystyle\frac{2b^n-c^n}{2b^n} \) es menor que \( \displaystyle\frac{c^n-2a^n}{2a^n} \) lo seguirá siendo si al segundo miembro le sumo un positivo entero o no, Y si no se lo sumo también.

Dime por favor si estás de acuerdo con esto para seguir contestándote

De acuerdo. Pero eso no tiene NADA que ver con el error que te indiqué en mi anterior mensaje.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Marzo, 2018, 11:01 am
Hola Luis; Hola feriva.

En primer lugar os adelanto que mi formación en matemáticas no es, ni de lejos, comparable a la vuestra.

Entonces si dudais de que \( a,b,c \) sean enteros, creo que tengo derecho, feriva, a dudar también de que \( z \) sea un entero como citas en tu respuesta 226. ¿Como demuestras de forma decisiva que \( z \) es entero?

Recuerdo que en los casos \( a^2+b^2<c^2 \) ; y \( a^2+b^2=c^2 \), Luis nunca me ha rebatido que \( a,b,c \) sean enteros.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Marzo, 2018, 11:21 am
Hola

Entonces si dudais de que \( a,b,c \) sean enteros, creo que tengo derecho, feriva, a dudar también de que \( z \) sea un entero como citas en tu respuesta 226. ¿Como demuestras de forma decisiva que \( z \) es entero?

Sigues sin entender la cuestión; yo no dudo de que \( a,b,c \) sean enteros. De hecho esa frase no tiene sentido. \( a,b,c \) son variables: el conjunto al que pertenecen es relevante en la medida que las transformaciones y propiedades que realizamos sobre esas variables sean correctas en ese conjunto.

Citar
Recuerdo que en los casos \( a^2+b^2<c^2 \) ; y \( a^2+b^2=c^2 \), Luis nunca me ha rebatido que \( a,b,c \) sean enteros.

Es que es cierto incluso si \( a,b,c \), son números reales (no necesariamente enteros) que si \( a^2+b^2\leq c^2 \) entonces es imposible que \( a^n+b^n=c^n \) para \( n\geq 3 \).

Spoiler
Basta tener en cuenta que  si \( a^2+b^2\leq c^2 \) :

\( c^n=(c^2)^{n/2}\geq (a^2+b^2)^{n/2}\color{red}>\color{black}(a^2)^{n/2}+(b^2)^{n/2}=a^n+b^n \)

Donde la desigualdad en rojo es cierta por que la función \( f(x)=x^{n/2} \) es convexa para \( n>2 \).
[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Marzo, 2018, 12:38 pm
Hola Luis

Claro que \( a,b,c \) son variables: Pueden tener infinitos valores; pero todos pertenecen al conjunto de los números enteros.

Gracias por tu respuesta.

¿Podría alguien decirme si la demostración de Wiles no fuera correcta por no tener en cuenta los números reales?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Marzo, 2018, 12:53 pm
Hola

Claro que \( a,b,c \) son variables: Pueden tener infinitos valores; pero todos pertenecen al conjunto de los números enteros.

Sigues sin entender que es lo relevante en todo esto. Lo relevante no es que tu digas que son número enteros; lo relevantes es si en algún paso del argumento el hecho de que sean o no enteros es decisivo en que el argumento sea o no válido.

Citar
¿Podría alguien decirme si la demostración de Wiles no fuera correcta por no tener en cuenta los números reales?

Miles de matemáticos profesionales han revisado en detalle su demostración y la han dado por buena. Así que no es esperable que tenga ningún fallo.

Yo directamente no puedo opinar, porque no la he leído y me requiría muchas  (¡muchísimas!) horas de estudio poder hacerlo con garantías de entenderla.

Ahora: para comprender completamente la demostración de Wiles hace falta una formación matemática elevada.

Para entender todas las críticas que hago a tu demostración basta el nivel de matemáticas de Bachillerato. Digo esto porque el que intentes hacer alguna analogía entre los fallos de tu demostración y los posibles fallos de la de Wiles (si los tuviese) no tiene fundamento alguno dado que tu conocimiento sobre ella, con todos los respetos, sospecho que es practicamente nulo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Marzo, 2018, 05:38 pm
Hola Luis

Quiero apelar a tu formación en pedagogía.

Me exijes, para aceptar que \( a,b,c \) son enteros, un "argumento troncal" del que, ineludiblemente, se derive que \( a,b,c \) son enteros

Yo te pido, por favor, me pongas un ejemplo (de una demostración, o del proceso matemático que sea) de como de un argumento troncal se derive la veracidad de una demostración.

Gracias y saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 26 Marzo, 2018, 07:32 pm

Recuerdo que en los casos \( a^2+b^2<c^2 \) ; y \( a^2+b^2=c^2 \), Luis nunca me ha rebatido que \( a,b,c \) sean enteros..

Pueden ser enteros o no enteros.

Por tanto, cualquier desarrollo que de igualdades o desigualdes intente concluir una mentira, una supuesta reducción al absurdo respecto de los enteros (sin usar cuestiones de divisibilidad, el 1 como mínimo y otras cosas que atañan particularmente a los enteros) es imposible; porque si se dice que no puede ser, se está diciendo en general que no existen números que cumplan tal cosa; y eso es mentira cuando se sabe que sí hay números que cumplen eso.

Y ése es el problema; yo no necesito ver las cuentas para saber que no lo demuestras (ni nadie) basta ver que los argumentos que utilizas no dicen nada de las condiciones que cumplen sólo los enteros. Un número no entero no tiene divisores, por ejemplo.

Citar
Yo te pido, por favor, me pongas un ejemplo (de una demostración, o del proceso matemático que sea) de como de un argumento troncal se derive la veracidad de una demostración.

La del caso n=4, del que ya te dio enlaces Luis (y yo te di mi explicación con las ternas y todo) te puede servir como ejemplo; y además de demostración del UTF, aunque en particular.

Pero te pongo algo más corto, para que no sea pesado; a ver si así te das cuenta:

Sean a,b números reales; demostrar si pueden ser los dos enteros.

\( 4a=4b+2
  \)

...

Si eso es cierto, como “4a” es múltiplo de cuatro en caso de que “a” fuera un entero y como “4a” es igual a \( 4b+2
  \) y lógicamente es múltiplo de 4 por ser lo mismo, entonces \( 4b+2  \) sería divisible entre 4.

Así pues, simplemente dividimos la igualdad entre 4 a los dos lados

\( a=b+\dfrac{1}{2}
  \)

\( a-b=\dfrac{1}{2}
  \)

Ahora vemos que es imposible que ambos números, “a” y “b”, sean enteros, pues la diferencia entre dos enteros es otro entero y no un racional no entero, como ocurre con \( \dfrac{1}{2}
  \); en este caso además la diferencia es menor que el mínimo de los naturales, 1.

Hemos usado divisibilidad, hemos atendido a los múltiplos de un número; que es 4 en concreto (los no enteros no son múltiplos ni de 4 ni de nadie, así que ese argumento si detecta la cuestión).

Ahora intenta demostrar lo mismo con cosas de este estilo \( 4a>4b+1
  \)... verás que no se puede porque eso no nos habla de cualidades particulares de los enteros.


Citar
creo que tengo derecho, feriva, a dudar también de que \( z \) sea un entero como citas en tu respuesta 226. ¿Como demuestras de forma decisiva que \( z \) es entero?


Digo que si “x” e “y” no son enteros, entonces no es entero “x-y”, y, si no es entero, se puede expresar como un entero más un real no entero, donde llamo “z” al entero y “k” al no entero. En cualquier caso, si dejo que "k" pueda ser cero además de un no entero, entonces también puedo representar números enteros.
Pero ahí no estaba demostrando nada, solo habla de una forma de escribir números no enteros; no es cuestión de dudar o no



Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Marzo, 2018, 10:42 am
Hola

Me exijes, para aceptar que \( a,b,c \) son enteros, un "argumento troncal" del que, ineludiblemente, se derive que \( a,b,c \) son enteros

No. Yo no te exijo nada parecido a eso.

Yo te "exijo" que des una demostración correcta. Y en todos tus intentos te he indicado que lo que haces no es correcto, mostrando claramente tu error. Ahí no he aludido para nada a "lo de los números enteros".

Mi comentario sobre los números enteros es adicional, un añadido. Algo que si entendieses te permitiría a ti misma rápidamente darte cuenta de que muchas de tus demostraciones no pueden estar bien. Pero incluso en este caso yo no te digo que des un argumento del cual se deduzca que tus variables son enteras. Lo que te digo es que si tu demostración está bien en algún sitio tendría que usarse que tus variables son enteras.

Te lo explico de forma más general a ver si lo entiendes mejor.

Supón que un teorema afirma que si se cumplen tres hipótesis se deduce una cierta tesis.

Supón que sabemos que sin la primera de las hipótesis, el teorema no es cierto, porque tenemos ejemplos donde sin esa hipótesis no se cumple la tesis.

Entonces si una pretendida demostración del teorema no usa la primera hipótesis en ningún sitio... seguro que está mal; porque si estuviese bien estaría demostrando el teorema sin necesidad de considerar la primara hipótesis; pero tenemos ejemplos que garantizan que eso no es posible.

En nuestro caso el Teorema es el Teorema de Fermat  y esa primera hipótesis es que los números implicados sean enteros.

Citar
Yo te pido, por favor, me pongas un ejemplo (de una demostración, o del proceso matemático que sea) de como de un argumento troncal se derive la veracidad de una demostración.

Esa frase no tiene demasiado sentido. Olvídate de la palabra "troncal" porque simplemente significa importante, principal, fundamentales,... pero no es imprescindible para que entender lo que digo. Obviamente cualquier demostración tiene argumentos importantes, por tanto cualquier demostración es un ejemplo de lo que pides.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Marzo, 2018, 01:27 pm
Hola

De mi respuesta 221:

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}+\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}} \)
 

Tenemos a la izquierda, primer miembro, una suma de dos sumandos. Asimismo tenemos a la derecha una suma de dos sumandos del segundo miembro.

Estas dos sumas permanecen exactamente igual así:

\( \frac{2b^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}+\frac{2a^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}} \)
 

¿De acuerdo?

Y de aquí, sin necesidad de multiplicar sino de COMPARAR:

\( \frac{2b^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}\rightarrow2b^{n}>c^{n} \)
 

\( \frac{2a^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}?\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}\rightarrow2a^{n}<c^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Marzo, 2018, 01:38 pm
Hola

De mi respuesta 221:

\( \frac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}+\frac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}} \)
 

Tenemos a la izquierda, primer miembro, una suma de dos sumandos. Asimismo tenemos a la derecha una suma de dos sumandos del segundo miembro.

Estas dos sumas permanecen exactamente igual así:

\( \frac{2b^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}\cdot2b^{n}}+\frac{2a^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}\cdot2a^{n}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}} \)
 

¿De acuerdo?

Y de aquí, sin necesidad de multiplicar sino de COMPARAR:

\( \frac{2b^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}?\frac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}\rightarrow2b^{n}>c^{n} \)
 

\( \frac{2a^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}?\frac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}\rightarrow2a^{n}<c^{n} \)

¿Y bien?  Nade de eso subsana la crítica que indiqué:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg407366#msg407366

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Marzo, 2018, 06:41 pm
Hola

\( 2b^{n}>c^{n}\rightarrow\frac{2b^{n}}{2b^{n}}>\frac{c^{n}}{2b^{n}}\rightarrow\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} \)
 

\( 2a^{n}<c^{n}\rightarrow\frac{2a^{n}}{2a^{n}}<\frac{c^{n}}{2a^{n}}\rightarrow\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)
 

\( \frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}<\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Marzo, 2018, 09:26 am
Hola

\( 2b^{n}>c^{n}\rightarrow\frac{2b^{n}}{2b^{n}}>\frac{c^{n}}{2b^{n}}\rightarrow\frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}} \)
 

\( 2a^{n}<c^{n}\rightarrow\frac{2a^{n}}{2a^{n}}<\frac{c^{n}}{2a^{n}}\rightarrow\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)
 

\( \frac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}<\frac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}} \)

Eso está bien; pero una vez más no tiene nada que ver con el error de tu argumento que te comenté aquí:

Mal. Esta expresión:

\( \color{blue}\dfrac{2b^{n}-c^{n}}{2b^{n}}\color{black}<\color{red}\dfrac{c^{n}-2a^{n}}{2a^{n}}\color{black}+\dfrac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \) (*)



No equivale la que inicialmente quieres comparar:

Citar
\( \dfrac{1}{2x_{0}a^{2n-1}}+\dfrac{1}{2y_{0}b^{2n-1}}?\dfrac{c^{n}}{2x_{0}a^{2n-1}2b^{n}}+\dfrac{c^{n}}{2y_{0}b^{2n-1}2a^{n}}+\dfrac{b^{2n}-a^{2n}}{c^{n}2x_{0}a^{2n-1}2y_{0}b^{2n-1}} \)  (**)
[/size]
Los términos que he coloreado en la primera expresión los obtienes de la original uno multiplicando ciertos términos por \( 2y_0b^{2n-1} \) y otros por \( 2x_0a^{2n-1} \) (y el tercero dejándolo como está). Eso puede alterar por completo el carácter de igualdad o desigualdad.

 Tu pareces empeñada en las répilcas a este mensaje en detallar la prueba de (*). Pero yo no digo que la desigualdad (*) esté mal; lo que digo es que de esa desigualdad no se deduce nada sobre la expresión (**), que es la que te interesa comparar.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Marzo, 2018, 12:18 pm
Hola

Como siempre, Luis, tienes toda la razón.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 04 Abril, 2018, 07:05 pm
Hola

\( a^{n}+b^{n}?c^{n} \)
 

\( x_{0}a^{n-1}+1=y_{0}b^{n-1} \)
 

Vamos a suponer que el interrogante de la primera expresión es el signo = .

Si ello es así el producto de los dos primeros miembros ha de ser igual al de los dos segundos miembros. Veamos lo que ocurre:

\( (a^{n}+b^{n})(x_{0}a^{n-1}+1)?c^{n}y_{0}b^{n-1} \)
 

\( a^{n}+x_{0}a^{2n-1}+x_{0}a^{n-1}b^{n}?c^{n}y_{0}b^{n-1}-b^{n} \)
 

Dividimos por \( a^{n} \):
 

\( 1+x_{0}a^{n-1}+\frac{x_{0}b^{n}}{a}?\frac{c^{n}}{a^{n}}y_{0}b^{n-1}-\frac{b^{n}}{a^{n}} \)
 

\( b^{n-1}+\frac{x_{0}b^{n}}{a}?\frac{c^{n}}{a^{n}}y_{0}b^{n-1}-\frac{b^{n}}{a^{n}} \)
 

\( \frac{x_{0}b^{n}}{a}+\frac{b^{n}}{a^{n}}?y_{0}b^{n-1}\frac{c^{n}}{a^{n}}-b^{n-1} \)
 

\( \frac{x_{0}b^{n}a^{n-1}}{a^{n}}+\frac{b^{n}}{a^{n}}?b^{n-1}(y_{0}\frac{c^{n}}{a^{n}}-1) \)
 

\( \frac{b^{n}(x_{0}a^{n-1}+1)}{a^{n}}?b^{n-1}(y_{0}\frac{c^{n}}{a^{n}}-1) \)
 

\( \frac{b^{n}y_{0}b^{n-1}}{a^{n}}?b^{n-1}(y_{0}\frac{c^{n}}{a^{n}}-1) \)
 

\( \frac{b^{n}y_{0}}{a^{n}}?y_{0}\frac{c^{n}}{a^{n}}-1 \)   ; \( b^{n}y_{0}?y_{0}c^{n}-a^{n} \)
 

\( a^{n}?y_{0}(c^{n}-b^{n}) \)   ; \( a^{n}<y_{0}a^{n} \)
 

Con lo cual \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Abril, 2018, 07:23 pm
Hola

 En ningún sitio es relevante que los números sean enteros: consecuencia está mal si o si.

 Pero olvidando eso,

\( \color{red}1+x_{0}a^{n-1}\color{black}+\frac{x_{0}b^{n}}{a}?\frac{c^{n}}{a^{n}}y_{0}b^{n-1}-\frac{b^{n}}{a^{n}} \)
 

\( \color{red}b^{n-1}\color{black}+\frac{x_{0}b^{n}}{a}?\frac{c^{n}}{a^{n}}y_{0}b^{n-1}-\frac{b^{n}}{a^{n}} \)

Ese paso está mal. En realidad \( 1+x_0a^{n-1}=\color{red}y_0\color{black}b^{n-1} \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Abril, 2018, 06:03 pm
Hola

Celebré, en su momento, que abandonases lo de el_manco por Luis Fuentes.

Yo propondría Santo Luis Fuentes dada la grandísima paciencia que tienes. Al menos conmigo.

Me pregunto, si hubieras sido contemporáneo de Pierre de Fermat, cuando formuló lo que, tiempo después se llamo UTF, si te hubieras dirigido al matemático frances diciéndole: "en ningún sitio de lo que ha escrito es relevante que los números sean enteros".

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Abril, 2018, 07:23 pm
Hola

Me pregunto, si hubieras sido contemporáneo de Pierre de Fermat, cuando formuló lo que, tiempo después se llamo UTF, si te hubieras dirigido al matemático frances diciéndole: "en ningún sitio de lo que ha escrito es relevante que los números sean enteros".

Pues depende de si procede decirlo o no; no te digo esa frase por capricho o por sistema; la digo porque se ajusta a lo que haces. Si hicieses otro tipo de argumentos quizá la frase no se podría aplicar a ellos.

Por ejemplo la demostración de Fermat del caso \( n=4 \) utilizaba el descenso infinito, que sólo es válido para números enteros positivos; entonces no tendría sentido que le dijese "en ningún sitio de lo que ha escrito es relevante que los números sean enteros"; sería un error por mi parte decírselo; una falsedad. Por que en el descenso infinito SI es relevante que los números sean enteros.

En general es absurdo que me preguntes genéricamente si le diría lo mismo a Wiles, a Fermat a otro. Yo no le digo esto a la persona; si no al argumento. Entonces cuando me presentes aquí un argumento concreto de Wiles, o Fermat, o quien sea, pues en ese momento lo valoraré.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Abril, 2018, 06:06 pm
Hola

Creo que estás influenciado por el caso \( n=4 \) que se basa en las ternas pitagóricas y por tanto se usan números enteros. Pero, ¿Hay alguien que pueda asegurar que es imposible demostrar \( a^4+b^4\neq{c^4} \) por otro camino que no sea el descenso infinito?

Cuando Euler, después de muchos intentos -intentos fracasados- de demostrar \( a^3+b^3\neq{c^3} \) recurre a los números complejos nadie le puede decir que nos movemos exclusivamente en los enteros positivos. Aplica el descenso infinito con número complejos.

¿Por qué yo no puedo recurrir directamente a los enteros?

Si yo consigo demostrar la desigualdad de las dos fracciones habré demostrado el UTF tal como lo propuso Pierre de Fermat. Objetar a esto que el método no es aplicable a números reales me parece una objeción difícil de entender.

Es como si una carrera de caballos ganada por un pura sangre, desvirtuáramos este triunfo en base a que un poni la corre en un tiempo menor.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Abril, 2018, 12:58 pm
Hola

Creo que estás influenciado por el caso \( n=4 \) que se basa en las ternas pitagóricas y por tanto se usan números enteros.

Crees mal. Lo que digo no tiene nada que ver con el caso n=4. Sólo hice alusión a su demostración clásica para ver si en ese contexto entendías mejor lo que quiero decir. Veo que no.

Citar
Pero, ¿Hay alguien que pueda asegurar que es imposible demostrar \( a^4+b^4\neq{c^4} \) por otro camino que no sea el descenso infinito?

No sé si hay alguien que pueda asegurar que es imposible. Yo desde luego no. Y sospecho que hay demostraciones que no hacen uso de tal descenso.

Citar
Cuando Euler, después de muchos intentos -intentos fracasados- de demostrar \( a^3+b^3\neq{c^3} \) recurre a los números complejos nadie le puede decir que nos movemos exclusivamente en los enteros positivos. Aplica el descenso infinito con número complejos.

No. No es cierto que aplique el descenso infinito a números complejos

Citar
¿Por qué yo no puedo recurrir directamente a los enteros?

Tu sabrás. Nadie te ha impedido que recurras a los números enteros. (*) Muy al contrario el fondo de lo que te digo es que en algún sitio tienes que usar alguna propiedad exclusiva de los enteros. En caso contrario si todos los pasos de tu argumento fuesen ciertos también para los reales, estarías probando el Teorema de Fermat para los reales. Pero para los reales sabemos que no es cierto. Por tanto alguno de tus argumentos estaría mal.

Citar
Si yo consigo demostrar la desigualdad de las dos fracciones habré demostrado el UTF tal como lo propuso Pierre de Fermat.

Bien. Fíjate que yo no digo que no puedas encontrar en un futuro una demostración correcta siguiendo tu idea (aunque creo que es muy improbable). Lo que es un hecho es que hasta ahora no lo has conseguido. Y lo que digo además es que un simple vistazo a los argumentos que has dado hasta ahora sirve para darse cuenta de que no pueden funcionar porque no usas de manera decisiva el carácter entero de los números.

Citar
Objetar a esto que el método no es aplicable a números reales me parece una objeción difícil de entender.

La objección es justo la contraria a la que dices. El problema es que es que tus argumentos siguen siendo ciertos (los que están bien) para números reales y los que están mal, están mal para todos los números. Por tanto no haces nada exclusivo para enteros. Y aquí caemos en (*).

Citar
Es como si una carrera de caballos ganada por un pura sangre, desvirtuáramos este triunfo en base a que un poni la corre en un tiempo menor.

Bueno pero es que más allá de que entiendas o no lo que quiero decirte, tu caballo no ha ganado ninguna carrera, se ha caido estrepitosamente en todas. Me he molestado en detallarte cada uno de tus errores (independientemente del atajo que que te sugiero que te haría darte cuenta más rápido de que lo que has hecho hasta ahora no puede funcionar).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 18 Abril, 2018, 01:08 pm
Hola

Si consigo demostrar el UTF para enteros positivos: El UTF está demostrado.

Esto no lo empaña el hecho de que ese argumento no es aplicable a números reales.

De igual modo, un argumento aplicable a cuerpos sólidos, no se desvirtúa por el hecho de no ser aplicable a líquidos.

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Abril, 2018, 01:17 pm
Hola

Si consigo demostrar el UTF para enteros positivos: El UTF está demostrado.

Esto no lo empaña el hecho de que ese argumento no es aplicable a números reales.

De igual modo, un argumento aplicable a cuerpos sólidos, no se desvirtúa por el hecho de no ser aplicable a líquidos.

De acuerdo en todo.

Pero el hecho de que apuntes lo que he marcado en rojo (con lo que estoy de acuerdo) una vez más me hace pensar que no entiendes lo que digo.

Lo que critico de tus argumentos precisamente es que SI son todos ellos aplicables a números reales. Eso si desvirtua tu intento de demostración, porque para números reales el Teorema de Fermat no es cierto luego alguno de esos argumentos tiene que estar mal.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Abril, 2018, 12:37 pm
Hola

Lo que reescribes en rojo de mi respuesta: "Esto no lo empaña el hecho de que ese argumento no es aplicable a números reales"

Y continúas: "De acuerdo en todo".

Nunca jamás Pierre de Fermat aludió en su conjetura a números reales. SÓLO a enteros positivos. Todos mis argumentos SI son aplicables a números reales. En los casos

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)

son aplicables a números reales, y en su momento me lo reconocistes.

¿Es que la expresión \( \sqrt[n ]{a^n}+\sqrt[n ]{b^n}=\sqrt[ n]{c^n} \) va a desvirtuar mis argumentos?

O ternas en que se mezclan artificiosamente distintas clases de reales, ¿los van a desvirtuar?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Abril, 2018, 12:47 pm
Hola

Nunca jamás Pierre de Fermat aludió en su conjetura a números reales. SÓLO a enteros positivos. Todos mis argumentos SI son aplicables a números reales. En los casos

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)

son aplicables a números reales, y en su momento me lo reconocistes.

¿Es que la expresión \( \sqrt[n ]{a^n}+\sqrt[n ]{b^n}=\sqrt[ n]{c^n} \) va a desvirtuar mis argumentos?

O ternas en que se mezclan artificiosamente distintas clases de reales, ¿los van a desvirtuar?

¡Es qué en el caso de que \( a^2+b^2\leq c^2 \) es cierto que no puede darse \( a^n+b^n=c^n \) con \( n>2 \) incluso para números reales!. Es decir bajo la condición añadida de que \( a^2+b^2\leq c^2 \) el Teorema de Fermat también es cierto para los reales. Por eso ahí no hay ninguna objección a que se usen argumentos que son válidos también para los números reales.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 21 Mayo, 2018, 06:35 pm
Hola

De mi caso 3º

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)  para  \( n\geq3 \)
 

\( n \)  es el mayor valor que cumple el signo\(  > \)
 

La ecuación \( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n} \)  (1)

Si \( a,b \) son primos entre sí, tiene infinitas soluciones pues \( 1\mid c^{n} \)
 

\( a^{n-1}(-x_{0})+b^{n-1}(+y_{0})=1 \)
 

multiplicamos por \( c^{n} \)  ambos miembros, entonces las infinitas raíces de (1)

\( x=(-x_{0})c^{n}+Kb^{n-1}=a \)   ; \( K=\frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}} \)
 

\( y=(+y_{0})c^{n}-Ka^{n-1}=b  \)  ;\(  K=\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Operando se llega a la conclusión de que si la conjetura de Fermat es cierta los dos valores de \( K \)   no pueden ser iguales. Es decir

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

Todo esto para \( a,b,c \) enteros positivos, siendo \( c>b>a \) ; \( a+b>c \) .

Por favor, ¿alguien me puede transcribir este razonamiento para números reales?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Fernando Moreno en 21 Mayo, 2018, 07:52 pm
Hola,

Todo esto para \( a,b,c \) enteros positivos, siendo \( c>b>a \) ; \( a+b>c \) .

Por favor, ¿alguien me puede transcribir este razonamiento para números reales?

Esta es la respuesta:  " Todo esto para \( a,b,c \) números irracionales positivos, siendo \( c>b>a \) ; \( a+b>c \) . "

No te molestes por la respuesta y disculpa la intromisión. Luis es quien mejor te puede ayudar. No obstante yo cometo un error parecido en este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=103928.0

Error del que me saca feriva. Te lo indico porque a veces se ven mejor los errores en cabeza ajena que en la propia y lo importante es verlo. El no verlo es como una puerta cerrrada que te va a impedir acceder a otra habitación mejor y de ahí a otra y a otra hasta encontrar la salida, o no.. : Este es juego y aquí andamos varios, no sólo tú; aprovecha los consejos desinteresados -no te quepa duda- como este. Hoy me has pillado así, otro día no

Un saludo,
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Mayo, 2018, 12:33 pm
Hola Feriva

Fernando Moreno me dice que visite el hilo en que tú escribes "cometes el mismo error que minette ha venido cometiendo últimamente".

Te ruego por favor contestes a mi respuesta 250 del hilo "¿Qué es lo correcto?".

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 22 Mayo, 2018, 09:22 pm
Hola Feriva

Fernando Moreno me dice que visite el hilo en que tú escribes "cometes el mismo error que minette ha venido cometiendo últimamente".

Te ruego por favor contestes a mi respuesta 250 del hilo "¿Qué es lo correcto?".

Saludos.

Hola, minette. La verdad es que tendría que seguir despacio muhcas cosas de las que has escrito para poderte dar una respuesta decente, pero como me lo ruegas no puedo negarme; intentaré ver algo sobre la marcha.

No voy a rebatir ni dejar de rebatir lo que afirmas, sólo te comento cosas.

Citar

La ecuación \( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}
  \) (1)

Si a,b son primos entre sí, tiene infinitas soluciones


Sí, si existieran enteros se podría elegir que fueran coprimos, porque para que exista la igualdad con compuestos, primero tiene que existir otra con coprimos; así es, ciertamente.

Coprimos quiere decir lo que quiere decir, son números que no tienen ningún factor en común, así que existe una igualdad tal que el mcd de los sumandos es 1; lo avala la identidad de Bézout. Y la ecuación tendrá infinitas soluciones; cierto también.

Pero cuando se pone la condición de coprimos es para usarla de alguna manera; considerando divisores, paridad y cosas así para intentar llegar a alguna contradicción.

Si no se usan esas cosas, sólo se está diciendo la frase “son coprimos”, que es como decir cualquier otra cosa, como decir que son naturales, reales, reales no enteros... lo que sea.

Porque también existirían infinitas soluciones si no fueran coprimos, la condición para que la ecuación diofántica tenga soluciones no es que sean coprimos, sino que el máximo común divisor de “a” y “b” divida a “c”.

Es algo obvio, el máximo común divisor es un factor común que se puede poner fuera de un paréntesis, por ejemplo:

si “a=2” y “b=14”

\( 2\cdot6+14\cdot3=2(6+21)
  \); donde 2 es el máximo divisor común de “a” y “b”.

Entonces claro, \( 2(6+21)=54
  \), el factor de fuera divide a 54 (el de dentro también, claro, pero no nos intersa para esto).

Pero siempre puedo dividir a los dos lados por 2 y por 3, y tendré otros números pero una ecuación equivalente de coprimos.

Esta condición es necesaria tenerla en cuenta porque hay ecuaciones que no son diofánticas, como ésta:

\( 2x+4y=7
  \)

Si la miras, parece una ecuación diofántica, pero si la miras más despacio te das cuenta de que dos pares no pueden sumar un impar. ¿Tiene soluciones? Sí, pero no enteras, enteras es imposible por lo dicho.

Otro ejemplo podría ser éste mismo:

\( 3x+9y=25
  \)

Resulta que a=3 y b=9, los dos múltiplos de tres, así que sumarán un múltiplo de 3, pero 25 no lo es, es imposible que existan soluciones enteras entonces.

Sin embargo existen muchas soluciones.

Cierto es que en estos casos no son coprimos “a” y “b”, pero también podría ser alguno de ellos un no entero, que no tiene primos en común con nadie porque los no enteros no se descomponen en primos; y también habría infinitas soluciones; basta dividir esa última ecuación entre 3

\( x+3y=\dfrac{25}{3}
  \)

y queda un no entero por ahí pero sigue teniendo infinitas soluciones.

Si yo demostrara (en igualdades así, sin potencias y con letras) que no pueden existir enteros y solamente usando que “pueden ser comprimos y tener infinitas soluciones...” no podría estar bien, porque no estaría caracterizando esas palabras usadas (enteros, coprimos) y entonces estaría diciendo que no existe solución para esto mismo \( x+3y=\dfrac{25}{3}
  \); porque realmente no le habría dicho a los números que no pueden ser no enteros; me lo habría dicho yo, con mis palabras, y me deducción estaría negando también para números no enteros.

Pero con esto no estoy rebatiendo lo que dices porque en lo tuyo hay potencias, usas desigualdades...

Llego hasta aquí, no voy más adelante; te lo dejo simplemente para que repienses si no se te escapa nada.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Mayo, 2018, 12:05 pm
Hola

Gracias feriva

No, feriva, son enteros positivos coprimos, y no otra cosa.

Claro que la condición es que el m.c.d. de \(  a \) y \( b \) divida a \( "c" \). Pero, por favor, cíñete al caso de que m.c.d. es 1 .

Por favor, gracias por los casos que pones de no enteros; pero, por favor insisto, cíñete a que \( a,b \) son enteros positivos.

Muchas gracias otra vez.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 23 Mayo, 2018, 01:15 pm
Hola

Gracias feriva

No, feriva, son enteros positivos coprimos, y no otra cosa.

Claro que la condición es que el m.c.d. de \(  a \) y \( b \) divida a \( "c" \). Pero, por favor, cíñete al caso de que m.c.d. es 1 .

Por favor, gracias por los casos que pones de no enteros; pero, por favor insisto, cíñete a que \( a,b \) son enteros positivos.

Muchas gracias otra vez.

Saludos.



Hola, minette. Si me gustaría decirte que sí, de verdad, pero es que aunque me ciña al caso del mcd 1, lo que tu usas es la forma de la identidad de Bézout; sin embargo, hay ecuaciones con esa misma forma de la identidad que no tienen coeficientes enteros.

Si yo tomo ésta misma que había puesto

\( x+3y=\dfrac{25}{3}
  \)

y multiplico toda la ecuación por \( \dfrac{3}{25}
  \) a los dos lados obtengo esta ecuación

\( \dfrac{3}{25}x+\dfrac{9}{25}y=1
  \)   corregido, que me había despistado

igualada a 1 y con infinitas soluciones, porque es equivalente.

Yo no puedo decirte mucho más, a ver si pasa Luis; que a veces me meto en camisa de once varas contestando cosas y después no tengo guardaespaladas que me saque del lío :)

Un cordial saludo.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Mayo, 2018, 06:12 pm
Hola feriva

Ya que citas a Luis, quien insiste en que aunque yo demuestre

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^n-1} \) 

esa demostración no es válida porque hay números reales que sí cumplen la igualdad de esas dos fracciones.

Insiste Luis en que no basta que yo afirme de \( a,b,c \) son enteros positivos. Tiene que haber, dice, un argumento troncal que garantice que \( a,b,c \) son enteros positivos.

Para mí el razonamiento de mi respuesta 250 es un argumento troncal, aunque para Luis no lo es. Al final de mi respuesta 250 pregunto, ¿alguien me puede transcribir este razonamiento para números reales? Es decir seguir paso a paso, todos los pasos mios con números reales para llegar a la igualdad de las dos fracciones.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 23 Mayo, 2018, 11:05 pm
Hola feriva

Ya que citas a Luis, quien insiste en que aunque yo demuestre

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^n-1} \) 

esa demostración no es válida porque hay números reales que sí cumplen la igualdad de esas dos fracciones.

Insiste Luis en que no basta que yo afirme de \( a,b,c \) son enteros positivos. Tiene que haber, dice, un argumento troncal que garantice que \( a,b,c \) son enteros positivos.

Para mí el razonamiento de mi respuesta 250 es un argumento troncal, aunque para Luis no lo es. Al final de mi respuesta 250 pregunto, ¿alguien me puede transcribir este razonamiento para números reales? Es decir seguir paso a paso, todos los pasos mios con números reales para llegar a la igualdad de las dos fracciones.

Saludos.


Hola, minette. Yo no puedo decirte que eso demuestre el teorema; y de verdad que lo siento.

He mirado más detenidamente lo que dices y voy a intentar lo que pides.

Lo que he hecho es tomar un ejemplo existente con la primera terna pitagórica; y con las ecuaciones que planteas.

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}
  \)

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1
  \)

....

Entonces

\( 3x+4y=25 \)
 

a=3
 

b=4
 

x=3
 

y=4
 

La ecuación diofántica tiene soluciones

\( x_{0}=4k+3 \)
 

\( y_{0}=-3k+4 \)
 

O sea \( x_{0}=3=a=4k+3
  \) implica k=0

\( y_{0}=4=b=-3k+4
  \) implica k=0

Funciona.

....

Tomemos unos cuadrados no enteros

\( 3,4x+4,3y=30,05 \)
 

\( a=3,4 \)
 

\( b=4,3 \)
 

\( x=3,4 \)
 

\( y=4,3 \)
 

La ecuación tiene soluciones no enteras (las pongo aproximadas)

\( y=6.98837-0.790698x_{0}
  \)

(según WolframAlpha)

Ahora, si le doy a “x subcero” el valor de “a”, o sea \( x_{0}=3,4
  \)

la otra vale

\( y=6.98837-0.790698\cdot3,4=4.2999968
  \)

Aproximadamente, 4,3; es ese valor, porque no he puesto todos los decimales

Y funciona lo mismo. O sea

\( x_{0}=3,4=a=4,3k+3,4
  \) implica k=0

\( y_{0}=4,3=b=-3,4k+4,3
  \) implica k=0

Como las ecuaciones que tú estás tratando sí tienen soluciones para números no enteros, pasa lo mismo que aquí; luego tienes que estar equivocada en eso de "que la k no vale lo mismo", porque no has puesto condiciones de enteros y sí que existe esa “k” para no enteros.

Para considerar que son coprimos, antes o paralelamente, tienes que poner condiciones de enteros; para poder usar esa condición supuesta de coprimos (supuesta, porque no los hay, no son enteros según está demostrado).

Un cordial saludo, y lo siento, de verdad, no puedo decirte otra cosa.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: manooooh en 23 Mayo, 2018, 11:16 pm
Un cordial saludo, y lo siento, de verdad, no puedo decirte otra cosa.

Claro que podés feriva... todos podemos :)
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 23 Mayo, 2018, 11:57 pm
Un cordial saludo, y lo siento, de verdad, no puedo decirte otra cosa.

Claro que podés feriva... todos podemos :)

Pero no estaría bien decir lo que no pienso :)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: manooooh en 24 Mayo, 2018, 12:43 am
Pero no estaría bien decir lo que no pienso :)

Jajaja como si se pudiera decir algo que no está en la cabeza. Me refería a que leyendo mucho y con un poco de creatividad podés contestar tus propias dudas ("Yo no puedo decirte que eso demuestre el teorema"; "No puedo decirte otra cosa"). Aunque todo pasa por nuestra cabeza y no hay nada demostrado divinamente que nos pueda llegar a iluminar un Dios... habrá que quedarse con esas frases, lamentablemente. Tenés razón.

Un cordial saludo
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Mayo, 2018, 09:52 am
Hola

Ya que citas a Luis, quien insiste en que aunque yo demuestre

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^n-1} \) 

esa demostración no es válida porque hay números reales que sí cumplen la igualdad de esas dos fracciones.

No. Estás totalmente confundida. Yo no digo eso.

Si tu demuestras eso (es decir la imposibilidad de esa igualdad para enteros) la prueba SI sería válida. Pero te marco tres obervaciones..

1) Hecho objetivo: Hasta hora no lo has probado. En todos y cada uno de tus intentos te he indicado uno o más errores.
2) Hecho subjetivo: Esa igualdad/desigualdad es más complicada que la inicial de Fermat. Nada indica que sea el más mínimo avance en la resolución del Teorema.
3) Hecho objetivo: Lo que no acabas de entender: en todas esas demostraciones erróneas no usabas de manera decisiva que los números implicados son enteros; eso sirve directamente para saber que esas demostraciones están mal, sin molestarse en encontrar el error concreto (insisto en que pese a todo yo SI te he mostrado esos errores concretos).

Citar
Insiste Luis en que no basta que yo afirme de \( a,b,c \) son enteros positivos. Tiene que haber, dice, un argumento troncal que garantice que \( a,b,c \) son enteros positivos.

No; no es eso, sino lo que te he explicado en mi párrafo anterior y en mil y un sitios...

Citar
Para mí el razonamiento de mi respuesta 250 es un argumento troncal, aunque para Luis no lo es. Al final de mi respuesta 250 pregunto, ¿alguien me puede transcribir este razonamiento para números reales? Es decir seguir paso a paso, todos los pasos mios con números reales para llegar a la igualdad de las dos fracciones.

Todo lo que pones en la respuesta 250 es cierto para números reales; simplemente hay afirmaciones que sobran (sobre primalidad o divisibilidad) pero las ecuaciones siguen siendo ciertas. La diferencia es que para números reales si puede darse la igualdad:

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}=\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^n-1} \) 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 24 Mayo, 2018, 06:09 pm
Hola Luis, hola Feriva.

Estas palabras tuyas Luis (aunque sean de tu subjetividad): "esa igualdad/desigualdad es más complicada que la inicial de Fermat", me llenan de satisfacción y orgullo. Por favor permítemelo.

Os voy a facilitar la cosa: supongamos \( n=5 \)  entonces las fracciones son

\( \displaystyle\frac{x_0c^5+a}{b^4}=\displaystyle\frac{y_0c^5-b}{a^4} \)

por favor, os lo ruego, sustituid \( a,b,c \) por números reales concretos tales que se evidencie la igualdad de las dos fracciones.

Finalmente, Luis, estas palabras tuyas."Si tú demuestras eso (es decir la imposibilidad de esa igualdad para enteros) la prueba SI sería valida." Un millón de gracias.

Es totalmente CIERTO que me has hecho ver el mogollón de errores que he cometido en TODOS mis intentos de demostrar la desigualdad de las dos fracciones. Gracias.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 24 Mayo, 2018, 07:32 pm


Os voy a facilitar la cosa: supongamos \( n=5 \)  entonces las fracciones son

\( \displaystyle\frac{x_0c^5+a}{b^4}=\displaystyle\frac{y_0c^5-b}{a^4} \)

por favor, os lo ruego, sustituid \( a,b,c \) por números reales concretos tales que se evidencie la igualdad de las dos fracciones.




Spoiler

Es que no sé qué ecuación es ésa, minette, ahora que miro hay algo que no me cuadra. Para explicar mi problema retomo tal cual el ejemplo de la ecuación cuadrática de la terna (3,4,5) que, aunque sea de grado 2, también tiene su ecuación diofántica y sus soluciones y su k.

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}
  \)

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1
  \)

Tomamos \( 3^{2}+4^{2}=5^{2}
  \) que es cierto

Entonces, con las variables x,y es lo mismo que

\( 3x+4y=25
  \)

o sea

a=3, b=4;  x=3, y=4
 

La ecuación diofántica tiene soluciones (que cualquiera puede confirmar) y son éstas:

\( x_{0}=4k+3
   \)

\( y_{0}=-3k+4
  \)

O sea \( x_{0}=3=a=4k+3
  \) con k=0 sale igual a “a”.

\( y_{0}=4=b=-3k+4
  \) con k=0 sale igual a “b”.

Ahora tomo tus ecuaciones y, según las entiendo, sustituyo:

\( {\displaystyle \frac{x_{0}c^{2}+a}{b^{1}}={\displaystyle \frac{y_{0}c^{2}-b}{a^{1}}}}
  \)

será

\( {\displaystyle \frac{3\cdot25+3}{4}\neq{\displaystyle \frac{4\cdot25-4}{3}}}
  \)

No es igual y aquí sí que hay soluciones enteras, ¿por qué no funciona entonces, qué es lo que interpreto mal?

Lo que sí funciona, despejando de las soluciones de la ecuación diofántica que te he puesto es esto:

\( x_{0}=4k+3
   \)

\( y_{0}=-3k+4
  \)

es

\( \dfrac{x_{0}-3}{4}=\dfrac{y_{0}-4}{-3}=k=0
   \)

dando los valores

\( \dfrac{3-3}{4}=\dfrac{4-4}{-3}=k=0
   \)

Pero, evidentemente, si multiplico por \( c^{2}
  \) sólo un tres y sólo un cuatro, pues no es igual.

No sé qué pasa, seguramente no es eso que interpreto; perdona (tendría que leer todo el hilo despacio)

[cerrar]

Ah, ya veo el error, mira (añado)

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}
  \)

Si las incógnitas tienen el mismo valor que las bases "a y b" no son las que hacen la ecuación igual a 1, esto no es la identidad de Bezout con esos valores.

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1
  \)

En el ejemplo que te he puesto, la identidad de Bezout es

\( 3{\color{blue}x_{0}}+4{\color{blue}y_{0}}=1
  \)

donde

\( 3({\color{blue}-1})+4({\color{blue}1})=1
  \)

Los coeficientes son (-1,1); simplemente tienes que dividir 4 entres 3 y escribir la ecuación con el resto; el algoritmo de Euclides sólo tiene una ecuación, la otra ya da cero de resto.

En realidad las soluciones que me salen a mano son x=-25+4k;  y=25-3k, pero el Wolfram me daba ésas; con unas u otras sigue sin salirme tu ecuación (dando los valores de las bases de las potencias, digo).

Añado más


Visto que la solución particular no es ésa tampoco cuando existe solución, te pongo el ejemplo con la potencia 5:

Si lo hacemos con una de grado cinco, pues lo mismo, la solución particular de la identidad de Bézout no tiene nada que ver con las bases de las potencias

\( 2^{5}+3^{5}=257
  \)

\( 2^{4}(-2)+3^{4}(3)=211
  \)

\( 2^{4}(2)+3^{4}(-3)=-211
  \)


\( 2^{4}({\color{blue}76})+3^{4}({\color{blue}-15})=1
  \)

Tu error viene desde el principio, al asumir que \( |x_{0}|=|a|
  \) y análogamente con "y" sub cero y “b”; no son los coeficientes de la identidad.

Es decir, no puedes deducir nada porque sin conocer los números y sin operar la ecuación diofántica es imposible saber los valores de las soluciones particulares de la identidad.

Es más, no usas decisivamente que el término independiente sea una potencia, que lo escribas como una potencia no quiere decir que las letras sepan que son una potencia, y de hecho, como ves ne este ejemplo, la potencia, "potencia de c",  es un número natural; si sacas la raíz no es natural, pero es que tú no usas la raíz, usas directamente la potencia al realizar la ecuación diofántica.

Aún más, dices que para "n" mayor que 2... Y ¿cómo se sabe? Sólo lo sabes porque sabes de antemano que existen ternas pitagóricas, pero en el planteamiento teórico no usas nada que diga que eso no pueda funcionar para n=2, por tanto, éste es otro aspecto más que invalida tu argumentación; no sólo hay un argumento, hay varios, como ves.

Spoiler

Citar

Estas palabras tuyas Luis (aunque sean de tu subjetividad): "esa igualdad/desigualdad es más complicada que la inicial de Fermat", me llenan de satisfacción y orgullo

¿Majestad?

:)

[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Mayo, 2018, 12:21 pm
Hola

Ah, ya veo el error, mira (añado)

\( a^{n-1}x+b^{n-1}y=c^{n}
  \)

Si las incógnitas tienen el mismo valor que las bases "a y b" no son las que hacen la ecuación igual a 1, esto no es la identidad de Bezout con esos valores.

\( a^{n-1}x_{0}+b^{n-1}y_{0}=1
  \)

En el ejemplo que te he puesto, la identidad de Bezout es

\( 3{\color{blue}x_{0}}+4{\color{blue}y_{0}}=1
  \)

donde

\( 3({\color{blue}-1})+4({\color{blue}1})=1
  \)

 Lo que hace minette es considerar la resolución de la ecuación diofántica:

\( a^{n-1}x+n^{n-1}y=c^n \)   (*)

Para ello busca enteros \( x_0,y_0 \) cumpliendo que:

\( -a^{n-1}x_0+b^{n-1}y_0=1 \)

Existen por ser \( a^{n-1},b^{n-1} \) coprimos.

Entonces multiplicando por \( c^n \), \( (-x_0c^n,y_0c^n) \) es una solución particular de (*) y \( (-x_0c^n+kb^{n-1},y_0c^n-ka^{n-1}) \) la general.

Como queremos que \( (a,b) \) sea solución:

\( a=-x_0c^n+kb^{n-1} \)
\( b=y_0c^n-ka^{n-1} \)

y despejando \( k \) en ambas e igualando:

\( \dfrac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}=\dfrac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

Estas palabras tuyas Luis (aunque sean de tu subjetividad): "esa igualdad/desigualdad es más complicada que la inicial de Fermat", me llenan de satisfacción y orgullo. Por favor permítemelo.

Mejor, aunque en la resolución de un problema lo deseable es avanzar en su simplificación y no lo contrario... También es cierto que en muchas soluciones efectivas primero aparentemente se complica el asunto, para luego despejarlo... En fin, vaguedades por mi parte.

Citar
Os voy a facilitar la cosa: supongamos \( n=5 \)  entonces las fracciones son

\( \displaystyle\frac{x_0c^5+a}{b^4}=\displaystyle\frac{y_0c^5-b}{a^4} \)

por favor, os lo ruego, sustituid \( a,b,c \) por números reales concretos tales que se evidencie la igualdad de las dos fracciones.

Pues por ejemplo \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=\sqrt[5]{275} \), \( x_0 \) el número que te de la gana e \( y_0=\dfrac{1+16x_0}{81}. \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 25 Mayo, 2018, 12:42 pm


 Lo que hace minette es considerar la resolución de la ecuación diofántica:

\( a^{n-1}x+n^{n-1}y=c^n \)   (*)

Para ello busca enteros \( x_0,y_0 \) cumpliendo que:

\( -a^{n-1}x_0+b^{n-1}y_0=1 \)

Existen por ser \( a^{n-1},b^{n-1} \) coprimos.

Entonces multiplicando por \( c^n \), \( (-x_0c^n,y_0c^n) \) es una solución particular de (*) y \( (-x_0c^n+kb^{n-1},y_0c^n-ka^{n-1}) \) la general.

Como queremos que \( (a,b) \) sea solución:

\( a=-x_0c^n+kb^{n-1} \)
\( b=y_0c^n-ka^{n-1} \)

y despejando \( k \) en ambas e igualando:

\( \dfrac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}=\dfrac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)


Eso está claro, Luis, pero es que creí haber leído aquí

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg406794#msg406794

que consideraba los mismos valores en valor absoluto para la solución particular y los coeficientes, pero leyendo de nuevo ya veo que no era eso lo que decía, sino que se trataba de una desigualdad. Tienes razón.

Saludos.


*Pues ahora estoy aún más intrigado, minette; ¿qué tenías en la cabeza para afirmar que no se da la igualdad sabiendo que no conoces los valores de \( x_0 \) y \( y_0 \) y no sabes nada de ellos, no te das cuenta de que es totalmente gratuita la afirmación? Espero que a estas alturas entiendas ya todas las objeciones que se han hecho en el hilo; son incontestables.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Mayo, 2018, 12:52 pm
Hola

*Pues ahora estoy aún más intrigado, minette; ¿qué tenías en la cabeza para afirmar que no se da la igualdad sabiendo que no conoces los valores de \( x_0 \) y \( y_0 \) y no sabes nada de ellos, no te das cuenta de que es totalmente gratuita la afirmación? Espero que a estas alturas entiendas ya todas las objeciones que se han hecho en el hilo; son incontestables.

No, gratuita no es. Si el Teorema de Fermat es cierto, es correcto que esa igualdad no puede darse (para valores enteros, en las condiciones descritas). El problema es que no ha sido capaz de probar que no puede darse, ni yo creo que sea más fácil esa nueva ecuación diofántica que la original de Fermat.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 25 Mayo, 2018, 04:58 pm
No, gratuita no es. Si el Teorema de Fermat es cierto, es correcto que esa igualdad no puede darse (para valores enteros, en las condiciones descritas). El problema es que no ha sido capaz de probar que no puede darse, ni yo creo que sea más fácil esa nueva ecuación diofántica que la original de Fermat.

Ah, que no llega afirmar que lo demuestra; tenía idea de haber leído en algún lado que sí, pero debió de ser algún error que cometió y que después le corregiste.

También recordaba mal lo que me dijo aquí; quizá porque que ella también estaba equivocada en cuanto a lo que creía que tú le habías dicho:

 http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg411508#msg411508


Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Mayo, 2018, 11:36 am
Hola

Antes de volver a intentar demostrar la desigualdad de las dos fracciones, quiero recordar que mi intento de demostrar el UTF consta de tres partes. Las dos primeras son correctas. Me falta la tercera.

Si consigo demostrar está última, es mi deseo que Rincón Matemático me acompañe en el éxito y divulgación de esta demostración del UTF. Y ello porque sin este foro me hubiera sido imposible lograrla.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 28 Mayo, 2018, 12:51 pm
Hola

Antes de volver a intentar demostrar la desigualdad de las dos fracciones, quiero recordar que mi intento de demostrar el UTF consta de tres partes. Las dos primeras son correctas. Me falta la tercera.

Si consigo demostrar está última, es mi deseo que Rincón Matemático me acompañe en el éxito y divulgación de esta demostración del UTF. Y ello porque sin este foro me hubiera sido imposible lograrla.

Saludos.


Si consigues demostrarlo te sacamos todos a hombros.

Pero una de las primeras cosas que debes hacer es escribir la hipótesis así

\( \dfrac{x_{0}c^{n+2}+a}{b^{n+1}}=\dfrac{y_{0}c^{n+2}-b}{a^{n+1}}
  \) con “n>0”, o sea, n=1,2,3...

Porque si no quitas el caso n=2, de forma que quede “plasmado”, no puedes ni empezar, ya que, sí existen valores enteros que cumplen la igualdad.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Mayo, 2018, 12:59 pm
Hola Luis

Contesto a tu respuesta 264.

Con tus datos \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=\sqrt[5 ]{275} \)

\( y_0=\displaystyle\frac{1+16x_0}{81} \)

Si tomo \( x_0=1 \)

la fracción de la izquierda me da 3,14197...
y la de la derecha 3,6072...

No se produce la igualdad.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 28 Mayo, 2018, 01:54 pm
Hola Luis

Contesto a tu respuesta 264.

Con tus datos \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=\sqrt[5 ]{275} \)

\( y_0=\displaystyle\frac{1+16x_0}{81} \)

Si tomo \( x_0=1 \)

la fracción de la izquierda me da 3,14197...
y la de la derecha 3,6072...

No se produce la igualdad.

Saludos.

A lo mejor no es fácil encontrar una con n=5 (yo encontré una con a=1 y b=2, creo recordar, no sé si me equivocaría) pero, en cualquier caso, en ésta sí se da la igualdad; y son cubos, así que ya es suficiente para que veas que existe con soluciones no enteras para potencias mayores que 2:

\( 2^{2}x+3^{2}y=35 \)

Funciona cualquiera sacando la solución con la identidad, prueba

\( 2^{4}x+3^{4}y=275
  \)\(  \)

Solución particular de la identidad  \( x_0=-5; y_0=1 \)

k=17

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Mayo, 2018, 06:58 pm
Hola

En mi respuesta 250 cito:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)  para \( n\geq{3} \)

\( n \) es el mayor valor que cumple el signo > .

Te pongo un ejemplo con la terna \( (11,12,13) \):

\( 11^2+12^2>13^2 \)
\( 11^3+12^3>13^3 \)
\( 11^4+12^4>13^4 \)
\( 11^5+12^5>13^5 \)
\( 11^6+12^6<13^6 \)

Por tanto \( n-1=5 \) ; \( n=6 \)

Sustituyendo:

\( \displaystyle\frac{x_0c^6+a}{b^5}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^6-b}{a^5} \)

No cabe feriva \( n=1,2,3... \)

Para esta terna \( (11,12,13) \)  el caso \( n=2 \)  está quitado.

Y si \( n=3 \):

\( a^2+b^2>c^2 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 28 Mayo, 2018, 08:23 pm
Hola

En mi respuesta 250 cito:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)  para \( n\geq{3} \)

\( n \) es el mayor valor que cumple el signo > .

Te pongo un ejemplo con la terna \( (11,12,13) \):

\( 11^2+12^2>13^2 \)
\( 11^3+12^3>13^3 \)
\( 11^4+12^4>13^4 \)
\( 11^5+12^5>13^5 \)
\( 11^6+12^6<13^6 \)

Por tanto \( n-1=5 \) ; \( n=6 \)

Sustituyendo:

\( \displaystyle\frac{x_0c^6+a}{b^5}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^6-b}{a^5} \)

No cabe feriva \( n=1,2,3... \)

Para esta terna \( (11,12,13) \)  el caso \( n=2 \)  está quitado.

Y si \( n=3 \):

\( a^2+b^2>c^2 \).

Saludos.



Sí, ya voy viendo lo que quieres decir, aunque tengo alguna duda.

\( 11^{5}x+12^{5}y=4757545
  \)

En efecto es menor que \( 13^{6}
  \), pero tomas un caso particular donde las bases son consecutivas, 11 y 12, hay muchos casos distintos donde una base puede ser bastante más pequeña que la otra; y yo ahí no sé qué puede pasar, sinceramente no lo veo claro (no digo que tú no lo veas).

Porque, sean como sean las bases, incluso en este caso que citas, siempre, siempre, existe “k”, porque es una ecuación diofántica de enteros, ya que, se usa \( c^{6}
  \) y no “c”:

\( x_{0}=-21229
  \)

\( y_{0}=13740
  \)

\( k=405888
  \).

La demostración sigue consistiendo entonces en poder afirmar que la raíz del entero \( c^{6}
  \) o la raíz enésima del entero \( c^{n}
  \), no puede ser un entero.

Pongo un ejemplo con bases separadas más distanciadas:

\( 2^{2}x+101^{2}y=104060417
  \)

\( x_{0}=386363;\,\, y_{0}=-3
  \)

\( k=-39022669
  \)

(si no me he equivocado, prueba a ver).

La pregunta es cómo podrías afirmar en este caso particular (sin hacer la cuenta) que la raíz cúbica de 104060417 no es un entero.

Saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Mayo, 2018, 09:56 am
Hola

Contesto a tu respuesta 264.

Con tus datos \( a=2 \), \( b=3 \), \( c=\sqrt[5 ]{275} \)

\( y_0=\displaystyle\frac{1+16x_0}{81} \)

Si tomo \( x_0=1 \)

la fracción de la izquierda me da 3,14197...
y la de la derecha 3,6072...

No se produce la igualdad.

Has hecho mal las cuentas (o me he equivocado yo...). Revisa esto:

\( \dfrac{x_0c^5+a}{b^4}=\dfrac{1\cdot 275+2}{3^4}=\dfrac{277}{81} \)

Por otra parte:

\( y_0=\displaystyle\frac{1+16x_0}{81}=\dfrac{17}{81} \)

y:

\( \dfrac{y_0c^5-b}{a^{4}}=\dfrac{\dfrac{275\cdot 17}{81}-3}{2^4}=\ldots=\dfrac{277}{81} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 29 Mayo, 2018, 12:39 pm
Hola

Tienes razón Luis. Me he equivocado yo al olvidarme de \( -3 \) .

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 29 Mayo, 2018, 06:41 pm
Hola feriva

Puedes poner la terna que quieras (tú la llamas bases). Tú supones que \( a \) puede ser mucho más pequeña que \( b \). No hay ningún problema siempre que se cumpla:

\( c>b>a \) y \( b+a>c \)

empieza como te he explicado en mi respuesta 272 y así determinas el valor de \( n \).

Aunque para llegar a las fracciones se emplea \( n \)  cuando \( n+1 \) es el mayor valor que produce el signo \( > \). El cálculo de \( n \) para una terna concreta no sirve para nada.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 29 Mayo, 2018, 07:51 pm
Hola feriva

Puedes poner la terna que quieras (tú la llamas bases). Tú supones que \( a \) puede ser mucho más pequeña que \( b \). No hay ningún problema siempre que se cumpla:

\( c>b>a \) y \( b+a>c \)

empieza como te he explicado en mi respuesta 272 y así determinas el valor de \( n \).

Aunque para llegar a las fracciones se emplea \( n \)  cuando \( n+1 \) es el mayor valor que produce el signo \( > \). El cálculo de \( n \) para una terna concreta no sirve para nada.

Saludos.

Pero, en cualquier caso, no implica esto que dices \( \displaystyle\frac{x_0c^6+a}{b^5}\neq{}\displaystyle\frac{y_0c^6-b}{a^5}] \), que es tu caballo de batalla; ya has visto que existen soluciones particulares enteras y existe k entero, siempre que elijas "a" y "b" enteros, cosa que no hay problema en elegir, porque la suma, elevando las letras a la potencia que sea, siempre da un entero. La cuestión es si la raíz de esa suma, o sea "c", es entero o no.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Junio, 2018, 12:11 pm
Hola Luis

Dado que las dos fracciones se derivan o deducen de la identidad de Bèzout, te pido por favor que escribas la identidad de Bèzout para \( a=2 \) ; \( b=3 \) ; \( c=\sqrt[5 ]{275} \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Junio, 2018, 12:32 pm
Hola

Dado que las dos fracciones se derivan o deducen de la identidad de Bèzout, te pido por favor que escribas la identidad de Bèzout para \( a=2 \) ; \( b=3 \) ; \( c=\sqrt[5 ]{275} \).

\( a^4(-x_0)+b^4(y_0)=1 \)

con \( a=2,\quad b^3,\quad x_0=1,\quad y_0=\dfrac{17}{81} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Septiembre, 2018, 05:13 pm
Hola

Siendo

\( a^n +b^n = c^n \)
\( a+b>c \)

¿Alguien puede demostrar la relación \( 3a^n? 2b^n \) ?

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: martiniano en 03 Septiembre, 2018, 05:29 pm
Hola.

Siendo

\( a^n +b^n = c^n \)
\( a+b>c \)

¿Alguien puede demostrar la relación \( 3a^n? 2b^n \)?

Disculpa, pero creo que no ha quedado clara la relación que quieres demostrar. El interrogante no sé  qué significa.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 03 Septiembre, 2018, 05:34 pm

Disculpa, pero creo que no ha quedado clara la relación que quieres demostrar. El interrogante no sé  qué significa.


Se refiere con ella a la desigualdad o desigualdades posibles siendo a,b,c,n números naturales.

Saludos. 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Septiembre, 2018, 05:57 pm
Hola

Para que quede más claro, el interrogante entre \( 3a^n \) y \( 2b^n \):

\( 3a^n?2b^n \)

Hay que dilucidar si es

=
>
<

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: robinlambada en 05 Septiembre, 2018, 07:26 pm
Hola:
Hola

Siendo

\( a^n +b^n = c^n \)
\( a+b>c \)

¿Alguien puede demostrar la relación \( 3a^n? 2b^n \) ?

Saludos

Hola

Para que quede más claro, el interrogante entre \( 3a^n \) y \( 2b^n \):

\( 3a^n?2b^n \)

Hay que dilucidar si es

=
>
<

Saludos.

Para números reales puede darse cualquier situtuación, ya que las variables a y b, son intercambiables.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: martiniano en 06 Septiembre, 2018, 08:55 am
Hola. Antes de nada, quisiera aclarar que cuando participé en este hilo por primera vez, en mi respuesta anterior, no me di cuenta de que llevabais nada más y nada menos que 280 respuestas en más de dos años. Yo pensé que lo que planteó minette era para abrir el hilo, ya que su pregunta me aparecía en una página nueva. Pido disculpas, entonces, si ya habéis hablado de algo que estoy aquí pasando por alto.

En cuanto a la pregunta de minette, yo diría que la igualdad no puede darse, ya que si \( 3a^n=2b^n \) se tendría:

\( 3c^n=3a^n+3b^n=5b^n\;\Rightarrow{}\;\displaystyle\frac{b}{c}=\sqrt[ n]{\displaystyle\frac{3}{5}}\not\in{\mathbb{Q}} \)

Y eso es absurdo.

Por otro lado, si no impones ninguna condición entre los valores \( a \) y \( b \) y hallases una solución a la ecuación del enunciado, cosa que según lo que estás intentando demostrar sólo es posible para \( n=2 \), se puede considerar, sin pérdida de generalidad \( a>b \) y entonces se tendrá \( 3a^n>2b^n \).

En cuanto a si se puede dar la otra desigualdad, pues si no excluyes el caso \( n=2 \), pueden darse ambas situaciones. Por ejemplo en la terna \( (a,b,c)=(3,4,5) \) puedes conseguir ambas desigualdades permutando la \( a \) con la \( b \), como dice robinlambada. Aunque esto no pasa siempre, por ejemplo con la terna \( (a,b,c)=(20,21,29) \) se da:

\( 3\cdot{20^2}=1200>882=2\cdot{21^2} \)

Y si permutamos, lo mismo:

\( 3\cdot{21^2}=1323>800=2\cdot{20^2} \)

Fíjate, robinlambada, en que la relación que se quiere demostrar no es simétrica.

Para \( n>2 \) no se me ocurre una demostración elemental a partir de las condiciones del enunciado de que siempre se dé \( 3a^n>2b^n \), ni tampoco de que \( a<b\;\Rightarrow{}\;3a^n<2b^n \). Y me parece que estos últimos casos son, precisamente, los que tienen más interés.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 06 Septiembre, 2018, 12:44 pm
Hola

Quiero pedir perdón a robinlambada y a martiniano por no concretar que, tal como dice feriva, se trata de números naturales.

También aclaro que   c > b > a.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: robinlambada en 06 Septiembre, 2018, 06:42 pm
Hola

Quiero pedir perdón a robinlambada y a martiniano por no concretar que, tal como dice feriva, se trata de números naturales.

También aclaro que   c > b > a.

Saludos.

No es necesario que pidas perdón, en todo caso aceptada la disculpa.

Hola. Antes de nada, quisiera aclarar que cuando participé en este hilo por primera vez, en mi respuesta anterior, no me di cuenta de que llevabais nada más y nada menos que 280 respuestas en más de dos años. Yo pensé que lo que planteó minette era para abrir el hilo, ya que su pregunta me aparecía en una página nueva. Pido disculpas, entonces, si ya habéis hablado de algo que estoy aquí pasando por alto.

En cuanto a la pregunta de minette, yo diría que la igualdad no puede darse, ya que si \( 3a^n=2b^n \) se tendría:

\( 3c^n=3a^n+3b^n=5b^n\;\Rightarrow{}\;\displaystyle\frac{b}{c}=\sqrt[ n]{\displaystyle\frac{3}{5}}\not\in{\mathbb{Q}} \)

Y eso es absurdo.

Por otro lado, si no impones ninguna condición entre los valores \( a \) y \( b \) y hallases una solución a la ecuación del enunciado, cosa que según lo que estás intentando demostrar sólo es posible para \( n=2 \), se puede considerar, sin pérdida de generalidad \( a>b \) y entonces se tendrá \( 3a^n>2b^n \).

En cuanto a si se puede dar la otra desigualdad, pues si no excluyes el caso \( n=2 \), pueden darse ambas situaciones. Por ejemplo en la terna \( (a,b,c)=(3,4,5) \) puedes conseguir ambas desigualdades permutando la \( a \) con la \( b \), como dice robinlambada. Aunque esto no pasa siempre, por ejemplo con la terna \( (a,b,c)=(20,21,29) \) se da:

\( 3\cdot{20^2}=1200>882=2\cdot{21^2} \)

Y si permutamos, lo mismo:

\( 3\cdot{21^2}=1323>800=2\cdot{20^2} \)

Fíjate, robinlambada, en que la relación que se quiere demostrar no es simétrica.
Si la relación no es simétrica, por tanto es cierto que no se da siempre la permutación. Me refería a las condiciones iniciales, que si lo son (simétricas respecto a permutaciones) e involucra en ciertos casos las dos desigualdades.

P.D.: Quizás deberia haberlo aclarado más. Pero la idea ya basta para ver que deben haber casos como el que has puesto, que la solución dependa de condiciones adicionales impuestas a "a" y "b".

Saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 17 Septiembre, 2018, 12:35 pm
Hola

La cuestión que planteo en mi respuesta 280 y que aclaro en la 283 y en la 286 no ha tenido respuesta pese a los grandes matemáticos de rincón matemático.

Diríase que es un fleco del UTF (supongo que habrá más flecos) que no permite una demostración.

Ahora os planteo otro problema:

Dadas las fracciones

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \) ; \( \displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

si son iguales, el cuadrado de una de ellas es igual al producto de ambas:

\( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^2=\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\cdot{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

Os pido que desmostréis que esta igualdad es posible.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Septiembre, 2018, 02:05 pm
Hola

La cuestión que planteo en mi respuesta 280 y que aclaro en la 283 y en la 286 no ha tenido respuesta pese a los grandes matemáticos de rincón matemático.

Diríase que es un fleco del UTF (supongo que habrá más flecos) que no permite una demostración.

No sé que quieres decir con que es un fleco.

\( a^n +b^n = c^n \)
\( a+b>c \)
¿Alguien puede demostrar la relación \( 3a^n? 2b^n \) ?

En realidad sabemos (lo demostro Wiles) que NO existen naturales verificando \( a^n+b^n=c^n \) y por tanto de esa igualdad no se deduce ninguna relación  entre \( 3a^n \) ó \( 2b^n \) o dicho de otra manera bajo esas hipótesis afirmar cualquier relación entre esas magnitudes constitue una proposición cierta, porque la premisa de la misma siempre es falsa.

En realidad sabemos que NO existen naturales verificando

Ahora os planteo otro problema:

Citar
Ahora os planteo otro problema

Dadas las fracciones

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \) ; \( \displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

si son iguales, el cuadrado de una de ellas es igual al producto de ambas:

\( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^2=\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\cdot{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

Os pido que desmostréis que esta igualdad es posible.

Que si son iguales el producto de una de ellas es igual al producto de ambas es una trivialidad. Es obvio que es cierto.

En cuanto a si se da la primera igualdad, tendrías que  especificar el significado de las variables. Pero me temo que es el usual y ya es una pregunta que se ha repetido y discutido mil veces en el foro.

Saludos.

CORREGIDO
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 17 Septiembre, 2018, 06:04 pm
Hola

Un fleco, Luis, es una consecuencia.

Perdona mi cortedad. Según tú, de la igualdad \( a^n+b^n=c^n \) no se deduce ninguna relación entre \( 3a^n \) y \( 2b^n \). Pero a continuación dice que \( 3a^n =2b^n \) ; \( 3a^n>2b^n \); \( 3a^n<2b^n \); cualquiera de esas tres posibilidades es una proposición cierta por ser falsa la premisa de las mismas. No soy capaz de entenderlo.

Por favor termina tu frase "En realidad sabemos que NO existen naturales verificando"...

La premisa \( a^n+b^n=c^n \) es falsa pero la premisa \( a^n+b^n<c^n \) NO es falsa.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Septiembre, 2018, 11:11 am
Hola

Un fleco, Luis, es una consecuencia.

De acuerdo; yo por fleco entendía un cabo suelto, un asunto sin aclarar. De todas formas sigue siendo raro que digas después que "no admite demostración".

Citar
Perdona mi cortedad. Según tú, de la igualdad \( a^n+b^n=c^n \) no se deduce ninguna relación entre \( 3a^n \) y \( 2b^n \). Pero a continuación dice que \( 3a^n =2b^n \) ; \( 3a^n>2b^n \); \( 3a^n<2b^n \); cualquiera de esas tres posibilidades es una proposición cierta por ser falsa la premisa de las mismas. No soy capaz de entenderlo.

Te lo explico, pero vaya por delante que es una cuestión formal, de fundamentos de lógica, pero no creo que te ayude en nada a tus vueltas sobre el UTF.

Una proposición lógica del tipo \( P\Rightarrow{}Q \) sólo es falsa si \( P \) es verdadero y \( Q \) es falso. Por tanto si P siempre es falso, da igual lo que afirmemos en Q: la proposición \( P\Rightarrow{}Q \) será verdadera (ojo, no digo que \( Q \) sea verdadera, sino que la proposición  \( P\Rightarrow{}Q \) será verdadera independientemente del valor de verdad de \( Q \)).

Por ejemplo todas estas proposiciones son verdaderas.

- Si la semana tiene seis días entonces el lunes tiene 29 horas.
- Si la semana tiene seis días entonces el lunes dura 5 minutos.
- Si la semana tiene seis días la tierra es plana.

En nuestro caso la premisa P es:

\( a,b,c \) son naturales verificando que a\( ^n+b^n=c^n \) y \( a+b>c \)

y por el Teorema de Fermat sabemos que nunca se cumple: no existen naturales en esas condiciones. Entonces es cierto (formalmente) por ejemplo que:

\( a,b,c \) son naturales verificando que a\( ^n+b^n=c^n \) y \( a+b>c \) implica que Luis tiene 90 dedos.

\( a,b,c \) son naturales verificando que a\( ^n+b^n=c^n \) y \( a+b>c \) implica que \( 3+4=12 \).

Fíjate que todo esto no deja de ser una cuestión técnica.

A efectos prácticos como no existen naturales en las condiciones que dices, no tiene sentido plantearse si de ahí puede deducirse de manera irrefutable alguna relación entre \( a \) y \( b \).

Cosa distinta es que en el desarrollo de una demostración concreta del UFT uno sea capaz de manipulando las hipótesis, llegar a que \( 3a^n>2b^n \) y precisamente por lo que acabo de decir eso no chocaría con que otra persona en otra demostración diferente manipulando las hipótesis sea capaz de llegar a que \( 3a^n<2b^n \). Ambas cosas con compatibles, precisamente porque la conclusión final del UFT es que no hay naturales en esas condiciones.

Citar
Por favor termina tu frase "En realidad sabemos que NO existen naturales verificando"...

Ya la terminé antes; luego se me coló ese trozo de frase repetida.

En realidad sabemos (lo demostro Wiles) que NO existen naturales verificando \( a^n+b^n=c^n \)

Citar
La premisa \( a^n+b^n=c^n \) es falsa pero la premisa \( a^n+b^n<c^n \) NO es falsa.

Pero que una premisa es falsa en un conjunto de ellas que constituyen una hipótesis, basta para que la hipótesis sea falsa.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 18 Septiembre, 2018, 01:28 pm
Hola

Gracias Luis por tu lección de Lógica filosófica.

Pero, lo que a mí me interesa es que quienes participáis en este hilo ( feriva, robinlambada, etc.) elevéis al cuadrado la fracción

\( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^2 \)

multipliquéis estas dos fracciones

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\cdot{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

y, finalmente, igualéis los resultados de ambas operaciones y comprobéis si se produce, o no, la igualdad.

Gracias a todos y saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Septiembre, 2018, 01:40 pm
Hola

Gracias Luis por tu lección de Lógica filosófica.

Sólo lógica; no filosofía.

Citar
Pero, lo que a mí me interesa es que quienes participáis en este hilo ( feriva, robinlambada, etc.) elevéis al cuadrado la fracción

\( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^2 \)

multipliquéis estas dos fracciones

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\cdot{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

y, finalmente, igualéis los resultados de ambas operaciones y comprobéis si se produce, o no, la igualdad.

Pero vamos a ver; es una trivialidad; en general si tienes dos números no nulos \( A \) y \( B \) si igualas:

\( A^2=A\cdot B \)

dividiendo ambos términos por \( A \) queda:

\( A=B \).

En tu caso \( A=\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \) y \( B=\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \).

Pero no se que conclusión pretendes sacar de ahí o que "sustancia" tiene eso.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 18 Septiembre, 2018, 05:35 pm
Hola

El caso, Luis, es que no sabemos si las citadas dos fracciones son iguales. En tu notación desconocemos si A es igual a B.

La "sustancia" es, precisamente, saber si  \( A = B \)  o bien \( A\neq{B} \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Septiembre, 2018, 05:46 pm
Hola

Hola

El caso, Luis, es que no sabemos si las citadas dos fracciones son iguales. En tu notación desconocemos si A es igual a B.

La "sustancia" es, precisamente, saber si  \( A = B \)  o bien \( A\neq{B} \).

¿Y....?

Si no sabemos si \( A=B \) tampoco sabemos si \( A^2=AB \). Es decir la dos ecuaciones son equivalentes, muy directamente equivalentes, no esperable que se pueda avanzar más usando una frente a otra y en todo caso es más sencillo comparar directamente \( A \) y \( B \) que \( A^2 \) y \( AB \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 18 Septiembre, 2018, 06:48 pm
Hola

Permíteme discrepar de tu respuesta 295. Según tú es más sencillo comparar directamente \( A \) y \( B \) que \( A^2 \) y \( AB \). A lo largo del tiempo, de mucho tiempo, es lo que he hecho: comparar \( A \) y \( B \). El resutado ha sido NULO. Por ello intento comparar \( A^2 \) con \( AB \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Septiembre, 2018, 07:25 pm
Hola

Permíteme discrepar de tu respuesta 295. Según tú es más sencillo comparar directamente \( A \) y \( B \) que \( A^2 \) y \( AB \). A lo largo del tiempo, de mucho tiempo, es lo que he hecho: comparar \( A \) y \( B \). El resutado ha sido NULO. Por ello intento comparar \( A^2 \) con \( AB \).

La ingenuidad desde mi punto de vista (pero todo esto es hablar por hablar) es pensar que vas a llegar a mejor puerto comparando \( A^2 \) con \( AB \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Septiembre, 2018, 11:26 am
Hola

El profesor siempre debe incentivar (nunca desincentivar) a sus alumnos.

Como veo que nadie se atreve, expongo lo siguiente según mi respuesta 292:

\( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^2?\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\cdot{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

Operando se llega a:

\( x_0^2c^{2n}a^{n-1}+2a^nx_0c^n+a^{n+1}?x_0y_0c^{2n}b^{n-1}-x_0c^nb^n+ay_0c^nb^{n-1}-ab^n \)

¿Alguien se atreve a continuar con matemáticas tan elementales?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 19 Septiembre, 2018, 11:57 am
Hola, minette; permíteme que insista, como dicen en el anuncio del seguro ése del coche.


El profesor siempre debe incentivar (nunca desincentivar) a sus alumnos.


Pero es que si un profesor motiva a un alumno para que intente demostrar un problema cumbre de la historia de las matemáticas, tremendamente difícil, lo más probable es que el alumno llegue a frustrarse. Hay que ir dando pasitos cortos para cualquier objetivo que se quiera alcanzar; y si luego se llega lejos, pues se llega, y, si no, pues no se llega tan lejos, pero no se puede cruzar el océano de un solo salto. Es como si alguien que quiere empezar a tocar el piano comienza por la  Fantasía cromática BWV 903 de Bach o algo así.
Ya te dije que con esa misma igualdad puedes particularizar cosas y buscar algo más sencillo sin que eso implique renunciar a nada.

Saludos. 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: martiniano en 19 Septiembre, 2018, 12:22 pm
Hola.

Yo echaría una mano encantado en lo que pudiese, pero necesito saber si lo que se pretende es hallar una demostración del UTF alternativa a la oficial, criticar esta última o demostrar algo a partir del UTF.

Saludos. 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Septiembre, 2018, 01:43 pm
Hola

El profesor siempre debe incentivar (nunca desincentivar) a sus alumnos.

No soy tu profesor; pero en cualquier caso, incentivaría una idea con algún viso de llegar a buen puerto, no algo que sólo es una pérdida de tiempo en todos los sentidos.

Citar
Como veo que nadie se atreve, expongo lo siguiente según mi respuesta 292:

\( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^2?\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}}\cdot{}\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

Operando se llega a:

\( x_0^2c^{2n}a^{n-1}+2a^nx_0c^n+a^{n+1}?x_0y_0c^{2n}b^{n-1}-x_0c^nb^n+ay_0c^nb^{n-1}-ab^n \)

¿Alguien se atreve a continuar con matemáticas tan elementales?

¿Continuar para llegar a qué? De ahí no se llega a nada útil. Lo lógico sería desde el principio simplificar la expresión, dividiendo ambos términos por:

\( \displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Septiembre, 2018, 05:33 pm
Hola

Gracias Feriva por tus palabras.

En cuanto a tí, martiniano, lo que se pretende es demostrar la desigualdad de las dos fracciones citadas. Paso importante para demostrar el UTF. Supongo que cuando citas "alternativa a la oficial" te refieres a la de Wiles. Lo que más me inclina a creer que la demostración de Wiles es correcta, el el hecho de que algunos matemáticos refutaron un paso incorrecto. Entonces Wiles, ayudado por otro matemático, corrigió el citado paso tardando en ello dos años. Lo cual no impide que, hoy día, otros matemáticos la consideran incorrecta.

En cuanto a tí, Luis, perdóname por haberte considerado profesor mío.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 20 Septiembre, 2018, 12:41 pm
Hola

Continuando lo iniciado en mi respuesta 298, en un determinado paso llego a

\( 2a^n+b^n... etcétera ? c^n... etcétera' \)

Mi pregunta es la siguiente:

¿Debo considerar en mi intento de demostración \( c^n =a^n+b^n \) a sabiendas de que \( c^n\neq{a^n+b^n} \) según Wiles, y a sabiendas de que \( c^n>a^n+b^n \)  según una premisa bien fundada de la que parto en mi intento de demostración?

De acuerdo, Luis, no eres mi profesor; pero para mí creo que puedo considerarte mi maestro. Por favor, contesta a mi pregunta.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Septiembre, 2018, 12:50 pm
Hola

Mi pregunta es la siguiente:

¿Debo considerar en mi intento de demostración \( c^n =a^n+b^n \) a sabiendas de que \( c^n\neq{a^n+b^n} \) según Wiles, y a sabiendas de que \( c^n>a^n+b^n \)  según una premisa bien fundada de la que parto en mi intento de demostración?

 Pues depende de como quieras enfocarla; si la demostración es por reducción al absurdo, que suele ser el enfoque que se le da cuando uno intenta probar la imposibilidad de una igualdad, uno comienza suponiendo que la igualdad SI es cierta y luego razona tratando de llegar a una contradicción.

 Por otra parte me resulta raro que digas que tomas como premisa que \( c^n>a^n+b^n \). En mi lenguaje y en este contexto una premisa es una hipótesis. Si como parte de las hipótesis supones que  \( c^n>a^n+b^n \)... pues ya no hay nada que demostrar entonces no se puede dar que \( c^n=a^n+b^n \).

Saludos.

P.D. Aquí tienes un ejemplo de una prueba por reducción al absurdo, la irracionalidad de \( \sqrt{2} \). Se comienza suponiendo justamente lo contrario, es decir, suponiendo que \( \sqrt{2} \) es un número racional:

https://www.gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 20 Septiembre, 2018, 05:56 pm
Hola

No sé si recordarás, Luis, que mi intento de demostración del UTF consta de tres partes:

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

y no hay más casos.

Si \( a^2+b^2<c^2 \) entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \)

Si \( a^2+b^2=c^2 \) entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \)

Para demostrar estos dos casos basta aplicar una pizca de sentido común. En ambos casos es de notar que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \)

Para el tercer caso y para que no nos centremos exclusivamente en \( n=3 \), escribo:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)

siendo n el mayor valor que cumple la anterior desigualdad. Es decir con el signo \( > \). Entonces

\( a^{n-1}\cdot{}a+b^{n-1}\cdot{}b=c^{n-1}\cdot{c}\longrightarrow{}a^n+b^n=c^n \)

o bien \( a^n+b^n<c^n \)

porque el signo \( > \) por lo que acabamos de decir NO se puede dar.

Quiero notar que si \( a^n+b^n\neq{c^n} \) entonces \( a^n+b^n<c^n \)  también en este tercer y último caso como en los dos primeros.

Si a estos tres casos los quieres llamar hipótesis, llámalos así. Espero haberme explicado mejor que en mi respuesta 303.

Saludos.
 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Septiembre, 2018, 07:01 pm
Hola

Hola

No sé si recordarás, Luis, que mi intento de demostración del UTF consta de tres partes:

\( a^2+b^2<c^2 \)
\( a^2+b^2=c^2 \)
\( a^2+b^2>c^2 \)

y no hay más casos.

Si \( a^2+b^2<c^2 \) entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \)

Si \( a^2+b^2=c^2 \) entonces \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \)

Para demostrar estos dos casos basta aplicar una pizca de sentido común. En ambos casos es de notar que \( a^n+b^n<c^n \) para \( n>2 \)

Para el tercer caso y para que no nos centremos exclusivamente en \( n=3 \), escribo:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)

siendo n el mayor valor que cumple la anterior desigualdad. Es decir con el signo \( > \). Entonces

\( a^{n-1}\cdot{}a+b^{n-1}\cdot{}b=c^{n-1}\cdot{c}\longrightarrow{}a^n+b^n=c^n \)

o bien \( a^n+b^n<c^n \)

porque el signo \( > \) por lo que acabamos de decir NO se puede dar.

Quiero notar que si \( a^n+b^n\neq{c^n} \) entonces \( a^n+b^n<c^n \)  también en este tercer y último caso como en los dos primeros.

Si a estos tres casos los quieres llamar hipótesis, llámalos así. Espero haberme explicado mejor que en mi respuesta 303.

Bien. Pero entonces estaba mal, o como mínimo era confuso, como lo expresaste aquí:

¿Debo considerar en mi intento de demostración \( c^n =a^n+b^n \) a sabiendas de que \( c^n\neq{a^n+b^n} \) según Wiles, y a sabiendas de que \( c^n>a^n+b^n \)  según una premisa bien fundada de la que parto en mi intento de demostración?

Si estás estudiando el caso \( n \), es decir, si es posible que \( c^n=a^n+b^n \) entonces lo que si puedes suponer es que \( c^m>a^m+b^m \) para \( m>n \) y que \( c^t<a^t+b^t \) para \( t<n \).

Por ejemplo si \( a,b,c \) verificasen \( c^5=a^5+b^5 \) entonces esos mismos números sabemos que verifican \( c^4<a^4+b^4 \) y \( c^6>a^6+b^6 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 24 Septiembre, 2018, 11:18 am
Hola

Gracias, Luis por tus sugerencias.

Dentro de mi intento de demostración llego a

\( a^n+b^n=c^n (b^{n-1}y_0-a^{n-1}x_0)+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)

\( K=\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \) ; \( K=\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

Siendo el paréntesis =1. Si la conjetura de Fermat es cierta los valores de \( K \) han de ser distintos.

En mis bastantes intentos de demostrar la desigualdad de las dos fracciones, me empiezo a dar cuenta de que si sustituyo \( c^n \) por \( a^n+b^n \)  en cualquier paso de mi demostración, indefectiblemente llego a la igualdad de las dos fracciones. Es, como vulgarmente se dice, la pescadilla que se muerde la cola. Es decir las fracciones reaccionan a la igualda \( c^n=a^n+b^n \) mostrándose "lógicamente" iguales, como si se lo olieran.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Septiembre, 2018, 11:34 am
Hola

Gracias, Luis por tus sugerencias.

Dentro de mi intento de demostración llego a

\( a^n+b^n=c^n (b^{n-1}y_0-a^{n-1}x_0)+Ka^{n-1}b^{n-1}-Ka^{n-1}b^{n-1} \)

\( K=\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}} \) ; \( K=\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}} \)

Siendo el paréntesis =1. Si la conjetura de Fermat es cierta los valores de \( K \) han de ser distintos.

En mis bastantes intentos de demostrar la desigualdad de las dos fracciones, me empiezo a dar cuenta de que si sustituyo \( c^n \) por \( a^n+b^n \)  en cualquier paso de mi demostración, indefectiblemente llego a la igualdad de las dos fracciones. Es, como vulgarmente se dice, la pescadilla que se muerde la cola. Es decir las fracciones reaccionan a la igualda \( c^n=a^n+b^n \) mostrándose "lógicamente" iguales, como si se lo olieran.

 Es que todas las ecuaciones que obtienes no son más que una reescritura enrevesada de la ecuación original  \( c^n=a^n+b^n \), de forma que la igualdad de unas equivale a la igualdad de las otras.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 24 Septiembre, 2018, 12:06 pm
Hola


Si escribo \( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^3=(\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}})^3 \)

y lo desarrollo, no veo, como tú dices, que eso sea una reescritura de \( a^n+b^n=c^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Septiembre, 2018, 12:10 pm
Hola

Si escribo \( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^3=(\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}})^3 \)

y lo desarrollo, no veo, como tú dices, que eso sea una reescritura de \( a^n+b^n=c^n \).

Si utilizas la relación de \( x_0,y_0 \) con las otras variables (porque no son arbitrarias) si lo es.

Además, lo primero que tienes que hacer para operar ahí es quitar a ambos lados la potencia al cubo que no hace más que ensuciar y complicar la ecuación tontamente.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 24 Septiembre, 2018, 01:01 pm


En mis bastantes intentos de demostrar la desigualdad de las dos fracciones, me empiezo a dar cuenta de que si sustituyo \( c^n \) por \( a^n+b^n \)  en cualquier paso de mi demostración, indefectiblemente llego a la igualdad de las dos fracciones. Es, como vulgarmente se dice, la pescadilla que se muerde la cola. Es decir las fracciones reaccionan a la igualda \( c^n=a^n+b^n \) mostrándose "lógicamente" iguales, como si se lo olieran.



El problema de esa igualdad, minette, es que todas esas letras pueden ser enteros y también puede serlo el valor de \( c^n \), lo que no existe como entero es \( c \) si elegimos a la vez que “a” y “b” sean enteros.

Es decir, haciendo este cambio,  \( c^{n}=m=entero \), tenemos que

\( {\displaystyle \frac{x_{0}m+a}{b^{n-1}}={\displaystyle \frac{y_{0}m-b}{a^{n-1}}}}
  \)
 
esa igualdad de enteros existe para todos los a,b,n que quieras y existe la solución particular.

Luego la cuestión es demostrar que \( c \) en esa igualdad no puede ser entero si lo son los demás también.

Algebraicamente  creo que habría que empezar por aislar m para intentar demostrar que \( m^{\frac{1}{n}}=c
  \) puede ser entero a la vez que lo son las otras letras. Pero si lo intentas verás que es muy complicado.
En cambio, con la igualdad original del enunciado del teorema es inmediato despejar \( c=(a^{n}+b^{n})^{\frac{1}{n}}  \); aunque tampoco se pueda hacer nada directamente con eso.

Creo que deberías investigar valiéndote de la calculadora o algún programa para observar cosas previas que pudieran ser después demostradas.

Yo he jugado un poco ahora con la calculadora y observo, por ejemplo, esto:

Tomamos \( c=m^{\frac{1}{n}}
  \) y hacemos probaturas

\( 2=4^{\frac{1}{2}}
  \)

\( 1,817120593=6^{\frac{1}{3}}
  \)

\( 1,681792831=8^{\frac{1}{4}}
  \)

\( 1,584893192=10^{\frac{1}{5}}
  \)

\( 1,513085749=12^{\frac{1}{6}}
  \)
...

Esto parece decirnos que el valor de “n” tiene que ser menor que la mitad del valor de “m”. A primera vista se me antoja demostrable; puedes intentarlo a ver si se puede.

La idea rezará igual para \( a=m^{\frac{1}{n}}
  \) y para \( b=m^{\frac{1}{n}}
  \) con distintos “m” naturales.

Si lo puedes demostrar te servirá para expresar “n” en función de la mitad del valor más pequeño que asignes  (eligiendo entre las potencias de “a” y “b”) y otra variable. A buen seguro que por sí sólo no será suficiente para demostrar ni tan siquiera un caso particular, pero ya es algo más.

Por mi experiencia con el álgebra de batalla, aunque no sea tanta como la de un profesional, sé que las operaciones con letras por sí solas sólo llevan a identidades o igualdades obvias (cuando se ha operado bien, cuando no, pueden llevar a maravillas :D ); Siempre se necesita algo más, un argumento, un teorema con el que podamos contar... algo añadido. Si te quedas estancada en jugar con el álgebra no vas a avanzar.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 24 Septiembre, 2018, 07:13 pm
Hola Luis

Te voy a contestar con un caso concreto y práctico con la terna (5,8,9) ; \( n=3 \) ; \( x_0=-23 \); \( y_0=+9 \)

De aquí sustituyendo en las fórmulas de \( k \) se obtiene \( K_1=262,0625 \) ; \( K_2=262,12 \) ;  la diferencia es pequeña.

Pero \( K_2^2-K_1^2 = 30,1461 \)

\( K_2^3-K_1^3=11849,34 \) Etcétera

Es decir en \( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^t=(\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}})^t \)

a medida que el exponente \( t \) aumenta, la diferencia \( K_2^t-K_1^t \)  aumente exponencialmente y quizás (yo sólo he trabajado con \( t=2 \)) ; con un valor \( t>2 \) se pueda conseguir, con letras, la desigualdad \( K_1\neq{K_2} \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Septiembre, 2018, 08:23 pm
Hola

Te voy a contestar con un caso concreto y práctico con la terna (5,8,9) ; \( n=3 \) ; \( x_0=-23 \); \( y_0=+9 \)

De aquí sustituyendo en las fórmulas de \( k \) se obtiene \( K_1=262,0625 \) ; \( K_2=262,12 \) ;  la diferencia es pequeña.

Pero \( K_2^2-K_1^2 = 30,1461 \)

\( K_2^3-K_1^3=11849,34 \) Etcétera

Es decir en \( (\displaystyle\frac{x_0c^n+a}{b^{n-1}})^t=(\displaystyle\frac{y_0c^n-b}{a^{n-1}})^t \)

a medida que el exponente \( t \) aumenta, la diferencia \( K_2^t-K_1^t \)  aumente exponencialmente y quizás (yo sólo he trabajado con \( t=2 \)) ; con un valor \( t>2 \) se pueda conseguir, con letras, la desigualdad \( K_1\neq{K_2} \).

Pero no se que pretendes con eso.

En primer lugar la terna que pones no cumple \( c^3=a^3+b^3 \) (¡obviamente!).

Lo de la diferencia "grande" o "pequeña" es relativo 0.001 es "pequeño" si son euros y "grande" si son miles de millones de euros.

Si comparas potencias de esos números que dices, si ciertamente su diferencia es mayor como es lógico. ¿Y...?Te adelanto yo para que no pierdas el tiempo que de ahí no sacarás nada útil.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 25 Septiembre, 2018, 12:24 pm
Hola feriva

Gracias por tu respuesta 311.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 25 Septiembre, 2018, 12:48 pm
Hola Luis

Gracias por tu respuesta 313 en todo su contenido.

Dices que la terna que pongo no cumple \( c^3=a^3+b^3 \).

Es que si lo cumpliera no existiría en Rincón Matemático el subforo Teorema de Fermat.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Septiembre, 2018, 12:55 pm
Hola

Dice que la terna que pongo no cumple \( c^3=a^3+b^3 \).

Es que si lo cumpliera no existiría en Rincón Matemático el subforo Teorema de Fermat.

 :D Evidentemente; por eso puse "obvio". Pero eso hace que los ejemplos no sirvan de mucho en estos casos.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Septiembre, 2018, 11:07 am
Hola

Siendo \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)

y siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace que esta desigualdad conserve el signo \( > \). Veamos que ocurre con \( a^n+b^n?c^n \).

Por un lado, como se ha dicho, no es posible que

\( a^n+b^n>c^n \)

por otro lado \( a^n+b^n<c^n \) no necesita demostración para el UTF.

Finalmente si \( a^n+b^n=c^n \) veamos qué ocurre:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n+b^n=c^n \)

Sumando ambos miembros:

\( a^{n-1}(1+a)+b^{n-1}(1+b)>c^{n-1}(1+c) \)

pero esto no es posible por lo dicho al principio de que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace esta desigualdad tenga el signo >.

Entonces \( a^{n-1}(1+a)=a^t \) siendo \( t \) (entero o no) \( > n-1 \) Etcétera para \( b^{n-1}(1+b) \) y \( c^{n-1}(1+c) \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Septiembre, 2018, 12:16 pm
Hola

Siendo \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)

y siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace que esta desigualdad conserve el signo \( > \). Veamos que ocurre con \( a^n+b^n?c^n \).

Por un lado, como se ha dicho, no es posible que

\( a^n+b^n>c^n \)

por otro lado \( a^n+b^n<c^n \) no necesita demostración para el UTF.

Finalmente si \( a^n+b^n=c^n \) veamos qué ocurre:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n+b^n=c^n \)

Sumando ambos miembros:

\( a^{n-1}(1+a)+b^{n-1}(1+b)>c^{n-1}(1+c) \)   (*)

Hasta aquí, de acuerdo. Pero...

Citar
pero esto no es posible por lo dicho al principio de que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace esta desigualdad tenga el signo >.

Entonces \( a^{n-1}(1+a)=a^t \) siendo \( t \) (entero o no) \( > n-1 \) Etcétera para \( b^{n-1}(1+b) \) y \( c^{n-1}(1+c) \).

¿Por que no va a ser posible la desigualdad (*)?. Fíjate que si \( a^{n-1}(1+a)=a^t \), entonces no tiene porque ocurrir que \( b^{n-1}(1+b)=b^t \) con el mismo valor de \( t \).

De hecho en todo lo que has razonado nada impide que \( n=2 \), donde SI es posible la igualdad. En ese caso podemos ver un ejemplo.

\( 3+4>5 \)
\( 3^2+4^2=5^2 \)

Sumando:

\( 3(3+1)+4(4+1)>5(5+1) \)

y

\( 3(3+1)=3^{2.26186\ldots } \)
\( 4(4+1)=4^{2.16096\ldots } \)
\( 5(5+1)=5^{2.11328 \ldots } \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Octubre, 2018, 09:10 am
Hola Luis

Recordarás que el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  ya lo tengo demostrado.

Por otro lado

\( b^{n-1}(1+b)=b^{t_{2}} \)  ; \( t_{2}>n-1 \)
 

\( c^{n-1}(1+c)=c^{t_{3}} \) ; \( t_{3}>n-1 \)
 

\( a^{n-1}(1+a)=a^{t_{1}} \) ; \( t_{1}>n-1 \)
 

Entonces

\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}\ngtr c^{t_{3}} \)
 

lo cual evidencia que

\( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Octubre, 2018, 09:58 am
Hola

Recordarás que el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  ya lo tengo demostrado.

¿Y qué tiene que ver? Lo que trato de decirte es que el último argumento que has intentado sería aplicable al caso \( n=2 \), lo cuál muestra que necesariamente está mal (o cuando menos tan incompleto, que nos deja a igual distancia de una prueba del UTF que su formulación inicial).

Citar
Por otro lado

\( b^{n-1}(1+b)=b^{t_{2}} \)  ; \( t_{2}>n-1 \)
 

\( c^{n-1}(1+c)=c^{t_{3}} \) ; \( t_{3}>n-1 \)
 

\( a^{n-1}(1+a)=a^{t_{1}} \) ; \( t_{1}>n-1 \)
 

Entonces

\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}\ngtr c^{t_{3}} \)
 

lo cual evidencia que

\( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
 
No, no lo evidencia en absoluto. ¿Por que había de evidenciarlo?  Eres tu la que debes de justificar porque crees que se deduce tal cosa, porque no has dado ningún motivo coherente. Si reflexionas sobre el ejemplo de \( n=2 \) deberías de entender que no funciona tu argumento.

Más aun, tu comienzas tomando el \( n-1 \) natural  más grande para el cuál \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \). Nada impide entonces que pudiera existir un exponente no natural \( t \) con \( n-1<t<n \) tal que \( a^t+b^t>c^t \) y menos aun impide que se de esa desigualdad para exponentes \( t_1,t_2,t_3 \) reales y distintos, hecho sobre el cual no dice nada tu suposición inicial sobre la maximalidad de \( n-1 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Octubre, 2018, 06:59 pm
Hola Luis

Permíteme que me centre en el caso

\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
 

que generalizo, para no reducirlo al n=3, así:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

por ejemplo, para la terna (11,12,13)

\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
 

5 es el mayor exponente que produce la desigualdad en el sentido \( > \) .

\( n-1=5\rightarrow n=6 \)
 

porque \( 11^{6}+12^{6}<13^{6}\rightarrow n-1=6\rightarrow n=7 \)  .

El ejemplo de la terna pitagórica (3,4,5) puedes repetirlo con éxito para las infinitas ternas pitagóricas primitivas y las más infinitas aún ternas pitagóricas secundarias. Pero no puedes aplicarlo a cualquier terna que no sea pitagórica primitiva o secundaria.

Por ejemplo la citada (11,12,13). En efecto:

\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
 

\( 11^{6}+12^{6}=13^{6} \)
 

Sumando

\( 11^{5}(1+11)+12^{5}(1+12)>13^{5}(1+13) \)
 

\( 11^{t_{1}}+12^{t_{2}}>13^{t_{3}} \)
 

y siendo \(  t_{1}>5 \)  ; \( t_{2}>5  \) ; \( t_{3}>5 \)   entonces por definición

\( 11^{t_{1}}+12^{t_{2}}\ngtr13^{t_{3}} \) .

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Octubre, 2018, 10:14 am
Hola

Permíteme que me centre en el caso

\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
 

que generalizo, para no reducirlo al n=3, así:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)

¿Para qué dices primero que te "centras" en el caso de exponente dos y luego dices que generalizas a \( n-1 \)?. No te estás centrando en nada entonces.

Citar
por ejemplo, para la terna (11,12,13)

\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
 

5 es el mayor exponente que produce la desigualdad en el sentido \( > \) .

\( n-1=5\rightarrow n=6 \)

\( 5 \) es el mayor exponente natural \( m \) tal que \( 11^m+12^m>13^m \), pero NO es el mayor exponente real tal que  \( 11^m+12^m>13^m \). Por ejemplo:

\( 11^{5.1}+12^{5.1}>13^{5.1} \)
 
Citar
El ejemplo de la terna pitagórica (3,4,5) puedes repetirlo con éxito para las infinitas ternas pitagóricas primitivas y las más infinitas aún ternas pitagóricas secundarias. Pero no puedes aplicarlo a cualquier terna que no sea pitagórica primitiva o secundaria.

Lo que refuerza mi ejemplo para \( (3,4,5) \) es que tu argumento está mal.

Citar
Por ejemplo la citada (11,12,13). En efecto:

\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
 

\( 11^{6}+12^{6}=13^{6} \)

Es bastante absurdo empezar  razonar con ese "ejemplo" porque no es cierto que
\( 11^{6}+12^{6}=13^{6} \).
 
Citar
Sumando

\( 11^{5}(1+11)+12^{5}(1+12)>13^{5}(1+13) \)
 

\( 11^{t_{1}}+12^{t_{2}}>13^{t_{3}} \)
 

y siendo \(  t_{1}>5 \)  ; \( t_{2}>5  \) ; \( t_{3}>5 \)   entonces por definición

\( 11^{t_{1}}+12^{t_{2}}\ngtr13^{t_{3}} \) .

¿Por qué definición? El hecho de que \( m=5  \) sea el mayor natural tal que \( 11^m+12^m>13^m \) no impide que puedan existir otros exponentes reales y distintos mayores que cinco tales que \( 11^{t_{1}}+12^{t_{2}}>13^{t_{3}} \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Octubre, 2018, 12:43 pm
Hola

Hay dos cosas que ya me extrañan.

Una es que con las matemáticas de tan bajo nivel (me atrevería a decir baja estofa) como son las mías, únicamente Luis Fuentes (por favor no me abandones) me replica.

La otra es que empiezo a creer que estoy empezando (perdón por la redundancia) a prostituir la conjetura que hace 300 años formuló Fermat sobre \( a^n+b^n=c^n \) de que esta igualdad no es posible si \( a,b,c \) son naturales y \( n \) (TAMBIÉN NATURAL) es mayor de 2.

Destaco lo de que \( n \) es NATURAL.

He sido yo quien ha empezado a utilizar \( n \) no natural cuando escribo

\( a^{n-1}(1+a)=a^{t_{1}}  \) siendo \( t_1 \) (entero o no) \( >n-1 \).

y soy yo quien te ha inducido a sustituir \( n \) (NATURAL) por números reales.

Me declaro culpable de ello y te pido perdón.

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 02 Octubre, 2018, 01:40 pm


Hay dos cosas que ya me extrañan.

Una es que con las matemáticas de tan bajo nivel (me atrevería a decir baja estofa) como son las mías, únicamente Luis Fuentes (por favor no me abandones) me replica.


No, minette, únicamente no; lo que pasa es que no vamos a estar interviniendo todos en todas las repuestas.

El álgebra de batalla (que yo le llamo) no son matemáticas de baja estofa ni mucho menos; puede ser algo menos complicado que otras cosas, pero no algo despreciable.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 08 Octubre, 2018, 10:34 am
Hola

Si

\( a^{2}+b^{2}<c^{2} \)   ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)   para \(  n>2 \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)   ;\(  a^{n}+b^{n}<c^{n} \)   para \(  n>2 \)
 

\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
 

y en general  \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

siendo \( (n-1) \)   el mayor exponente que permite que esta desigualdad conserve el sentido \(  > \)  .

Entonces

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Si

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

al sumar

\( a^{n-1}+a^{n}+b^{n-1}+b^{n}>c^{n-1}+c^{n} \)
 

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
 

\( a^{n-1}(a+1)=a^{t_{1}} \)  con \(  t_{1}>n-1 \)
 

\( b^{n-1}(b+1)=b^{t_{2}} \)  con \(  t_{2}>n-1 \)
 

\( c^{n-1}(c+1)=c^{t_{3}} \)  con \(  t_{3}>n-1 \)
 

Entonces por definición

\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}\ngtr c^{t_{3}} \)
 

porque estos tres exponentes como se ha dicho son mayores a \(  (n-1) \)  .

Y siendo esto así \(  a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
 

Esta demostración sólo es aplicable ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE al caso \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)  y generalizando a \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Otro razonamiento, en mi opinión válido, es que si prescindimos del \(  (+1) \)  en los tres paréntesis llegamos a \(  a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)  porque \( n>n-1 \)  .

Cabría que \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  ; pero esto es imposible precisamente por la existencia de los tres \( (+1) \)  .

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Octubre, 2018, 11:01 am
Hola

\( a^{2}+b^{2}<c^{2} \)   ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)   para \(  n>2 \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)   ;\(  a^{n}+b^{n}<c^{n} \)   para \(  n>2 \)
 

\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
 

y en general  \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

siendo \( (n-1) \)   el mayor exponente que permite que esta desigualdad conserve el sentido \(  > \)  .

Entonces

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Si

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

al sumar

\( a^{n-1}+a^{n}+b^{n-1}+b^{n}>c^{n-1}+c^{n} \)
 

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
 

\( a^{n-1}(a+1)=a^{t_{1}} \)  con \(  t_{1}>n-1 \)
 

\( b^{n-1}(b+1)=b^{t_{2}} \)  con \(  t_{2}>n-1 \)
 

\( c^{n-1}(c+1)=c^{t_{3}} \)  con \(  t_{3}>n-1 \)
 

Entonces por definición

\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}\ngtr c^{t_{3}} \)
 

porque estos tres exponentes como se ha dicho son mayores a \(  (n-1) \)  .

Y siendo esto así \(  a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
 

Esta demostración sólo es aplicable ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE al caso \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)  y generalizando a \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)

Ya se explico por activa y por pasiva porque ese argumento está mal:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg418749#msg418749

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg418641#msg418641

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg418749#msg418749
 

Citar
Otro razonamiento, en mi opinión válido, es que si prescindimos del \(  (+1) \)  en los tres paréntesis llegamos a \(  a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)  porque \( n>n-1 \)  .

Cabría que \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  ; pero esto es imposible precisamente por la existencia de los tres \( (+1) \)  .

No se entiende nada ahí.

Creo que minette si entendió mis críticas al argumento; quizá ella te lo puede explicar mejor, si leyendo mis TRES mensajes con variopintos argumentos no te queda claro.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 08 Octubre, 2018, 06:46 pm
Hola Luis

Perdona mi cortedad. Tú te empeñas, poniendo el ejemplo de la terna \( (3,4,5) \),   en desacreditar mi argumento totalmente válido para la infinidad de ternas que cumplen

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}  \)  para \(  n\geq3 \)
 

incluso recurriendo a números reales, cosa fuera de lugar.

E incluso prescindiendo de que minette tiene demostrado el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  para un exponente \( n>2 \)  .

Veamos

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Entonces

\( a^{n}+a^{n-1}+b^{n}+b^{n-1}>c^{n}+c^{n-1} \)
 

¿Estás de acuerdo, Luis, con esta suma?

Expresando esta desigualdad de otra forma

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
 

Si \(  a^{n}+b^{n}?c^{n} \)  , siendo \(  n>n-1 \)   entonces

\( a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
 

entonces si \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)   volvemos al razonamiento anterior.

¿Se puede abordar el UTF en estas tres fases:

\( a^{2}+b^{2}<c^{2} \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)
 

\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)  ?

¿Por qué interfieres el caso \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)   con el \(  a^{2}+b^{2}=c^{2} \)   siendo que este último ya está demostrado?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 08 Octubre, 2018, 07:05 pm
Hola Luis

Perdona mi olvido porque quiero añadir lo siguiente:

Si minette hubiera afirmado que quería demostrar el UTF partiendo SÓLO de \( a^2+b^2>c^2 \) entonces tu objeción es perfectamente válida.

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Octubre, 2018, 08:08 pm
Hola

Perdona mi cortedad. Tú te empeñas, poniendo el ejemplo de la terna \( (3,4,5) \), en desacreditar mi argumento totalmente válido para la infinidad de ternas que cumplen

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}  \)  para \(  n\geq3 \)
Si vuelves a leer de manera comprensiva los tres enlaces que te indiqué verás que doy otras muchas razones que muestran que tu argumento está mal, independientemente del ejemplo para \( n=2 \). Por ejemplo:

Más aun, tu comienzas tomando el \( n-1 \) natural  más grande para el cuál \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \). Nada impide entonces que pudiera existir un exponente no natural \( t \) con \( n-1<t<n \) tal que \( a^t+b^t>c^t \) y menos aun impide que se de esa desigualdad para exponentes \( t_1,t_2,t_3 \) reales y distintos, hecho sobre el cual no dice nada tu suposición inicial sobre la maximalidad de \( n-1 \).

Hasta aquí, de acuerdo. Pero...

Citar
pero esto no es posible por lo dicho al principio de que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace esta desigualdad tenga el signo >.

Entonces \( a^{n-1}(1+a)=a^t \) siendo \( t \) (entero o no) \( > n-1 \) Etcétera para \( b^{n-1}(1+b) \) y \( c^{n-1}(1+c) \).

¿Por que no va a ser posible la desigualdad (*)?. Fíjate que si \( a^{n-1}(1+a)=a^t \), entonces no tiene porque ocurrir que \( b^{n-1}(1+b)=b^t \) con el mismo valor de \( t \).

\( 5 \) es el mayor exponente natural \( m \) tal que \( 11^m+12^m>13^m \), pero NO es el mayor exponente real tal que  \( 11^m+12^m>13^m \). Por ejemplo:

\( 11^{5.1}+12^{5.1}>13^{5.1} \)
 

Y por cierto, ¿es tu argumento o el de minette?.

Sea como sea no acabáis de comprender (ni tu ni minette) que el hecho de que yo diga "solo lo uso para naturales" o "solo lo hago para \( n>2 \)" no impide que ciertos pasos intermedios sigan siendo ciertos para reales o \( n\leq 2 \). Por poner un ejemplo genérico: que \( n>1 \), \( a>b \Rightarrow{} a^n>b^n \) es cierto para reales,.... por más que yo diga que lo uso sólo para naturales.
 
Citar
Veamos

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Entonces

\( a^{n}+a^{n-1}+b^{n}+b^{n-1}>c^{n}+c^{n-1} \)
 

¿Estás de acuerdo, Luis, con esta suma?

Si, estoy de acuerdo.

Citar
Expresando esta desigualdad de otra forma

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
 

Si \(  a^{n}+b^{n}?c^{n} \)  , siendo \(  n>n-1 \)   entonces

\( a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
 

entonces si \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)   volvemos al razonamiento anterior.

El problema es que de ahí no se deduce que no pueda ser que \( a^n+b^n=c^n \). ¿Por qué había de deducirse? Los intentos que ha hecho minette de concretar el argumento han sido refutados. Lee de nuevo con calma los mensajes anteriores.


Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 15 Octubre, 2018, 05:40 pm
Hola Luis

En tu respuesta 01/10/2018 insistes en aplicar, al razonamiento sobre el UTF, números no naturales para el exponente, cosa que se aparta de la conjetura que formuló Fermat y que desvirtúa cualquier posicionamiento sea de la parte que sea.

No te extrañes de que mi secretaria Maite_ac tenga las mismas conclusiones que yo en este asunto.

Siendo \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

y \( { (n-1) }  \) el mayor exponente que cumple la desigualdad \(  > \),  entonces, siendo \( n>n-1 \)  :

\( a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
 

o bien \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  (2)

o bien \( a^{n}+b^{n}=c^{n}  \) (1)

Restando (1)-(2) \( 0>0 \)   ; y esto es imposible.

Sumando \(  2a^{n}+2b^{n}<2c^{n}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  ; y esto es posible.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Octubre, 2018, 05:58 pm
Hola

En tu respuesta 01/10/2018 insistes en aplicar, al razonamiento sobre el UTF, números no naturales para el exponente, cosa que se aparta de la conjetura que formuló Fermat y que desvirtúa cualquier posicionamiento sea de la parte que sea.

No te extrañes de que mi secretaria Maite_ac tenga las mismas conclusiones que yo en este asunto.

Los exponentes NO naturales aparecen espontáneamente en tu razonamiento cuando haces:

\( b^{n-1}(1+b)=b^{t_{2}} \)  ; \( t_{2}>n-1 \)

\( c^{n-1}(1+c)=c^{t_{3}} \) ; \( t_{3}>n-1 \)
 
\( a^{n-1}(1+a)=a^{t_{1}} \) ; \( t_{1}>n-1 \)

Para que se den las igualdades que indicas esos exponentes \( t_1,t_2,t_3 \) son necesariamente irracionales. Por ejemplo:

\( 3^4(1+3)=3^{5.261859507142914\ldots} \)

Citar
o bien \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  (2)

o bien \( a^{n}+b^{n}=c^{n}  \) (1)

Restando (1)-(2) \( 0>0 \)   ; y esto es imposible.

Eso lo único que demuestra es que no se puede dar igualdad y desigualdad al mismo tiempo.. ¡lo cuál es de perogrullo (obvio, evidente, inmediato, trivial,...)!.

Citar
Sumando \(  2a^{n}+2b^{n}<2c^{n}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  ; y esto es posible.

Y eso no sé que pretende demostrar.. pero de hecho no prueba nada.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Octubre, 2018, 06:10 pm
Hola Luis

Por tu respuesta 331 compruebo que lo único que consigo es cabrearte. Perdóname.

Cuando escribo ... “ y que desvirtua cualquier posicionamiento sea de la parte que sea”. Me estoy culpando a mí también y en primer lugar. Tenlo en cuenta.

Lo que digo, y repito, es que si \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)  y siendo \( (n-1)  \) el mayor exponente que cumple la desigualdad \(  > \)  , entonces siendo \(  n>n-1 \)  ; \(  a^{n}+b\ngtr c^{n}  \)  por tanto sólo quedan dos opciones ó \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  ; ó \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

En ningún momento afirmo que se pueda dar la igualdad y la desigualdad al msimo tiempo, sólo que si \( \ngtr  \)  entonces el signo es \( < \)   ó \( = \)  . SÓLO uno de los dos.

¿Estás de acuerdo?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Octubre, 2018, 06:16 pm
Hola

Por tu respuesta 331 compruebo que lo único que consigo es cabrearte. Perdóname.

Tu percepción es errónea; no hay motivo en este caso por el cuál debas de pedir perdón.

Citar
Cuando escribo ... “ y que desvirtua cualquier posicionamiento sea de la parte que sea”. Me estoy culpando a mí también y en primer lugar. Tenlo en cuenta.

Es que a mi me dan igual las "culpas". Lo que quiero que quede claro es que tu argumento está mal. Me parece que todavía lo defiendes y por eso te repetí los claros motivos por el cual el argumento está mal, muy mal, roza el disparate. Si ya tienes claro que está mal, nada que añadir.

Lo que digo, y repito, es que si \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)  y siendo \( (n-1)  \) el mayor exponente que cumple la desigualdad \(  > \)  , entonces siendo \(  n>n-1 \)  ; \(  a^{n}+b\ngtr c^{n}  \)  por tanto sólo quedan dos opciones ó \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  ; ó \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

En ningún momento afirmo que se pueda dar la igualdad y la desigualdad al msimo tiempo, sólo que si \( \ngtr  \)  entonces el signo es \( < \)   ó \( = \)  . SÓLO uno de los dos.

¿Estás de acuerdo?

Estoy de acuerdo en que sólo se da una de las dos; pero entonces no se porqué luego restas las dos posibilidades y pretendes concluir algo de ahí.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Octubre, 2018, 12:58 pm
Hola

Perdonad mi cerrazón mental.

Siendo \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Si \(  a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Sumando  \( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
 

\( a^{t_{1}}=a^{n-1}(a+1) \)  \(  t_{1}>n>n-1 \)
 

\( b^{t_{2}}=b^{n-1}(b+1)  \)  \( t_{2}>n>n-1 \)
 

\( c^{t_{3}}=c^{n-1}(c+1) \)   \( t_{3}>n>n-1 \)
 

En estas circunstancias y sustituyendo

\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}>c^{t_{3}} \)
 

y esto no es posible porque \( (n-1) \)  es el mayor exponente que hace la desigualdad con signo \(  > \).

Y en consecuencia

\( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
 

Y ello aunque los exponentes  \(  t_{1}, t_{2},t_{3} \)  no sean iguales.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Octubre, 2018, 02:05 pm
Hola

Perdonad mi cerrazón mental.

Siendo \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Si \(  a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Sumando  \( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
 

\( a^{t_{1}}=a^{n-1}(a+1) \)  \(  t_{1}>n>n-1 \)
 

\( b^{t_{2}}=b^{n-1}(b+1)  \)  \( t_{2}>n>n-1 \)
 

\( c^{t_{3}}=c^{n-1}(c+1) \)   \( t_{3}>n>n-1 \)

En esas igualdades los exponentes t_1,t_2,t_3 son distintos y NO enteros.

Citar
En estas circunstancias y sustituyendo

\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}>c^{t_{3}} \)
 

y esto no es posible porque \( (n-1) \)  es el mayor exponente que hace la desigualdad con signo \(  > \).

\( n-1 \) es el mayor exponente natural que hace la desigualdad con signo >, cuando los tres exponentes son iguales.. Pero dado que \( t_1,t_2,t_3 \) son distintos y NO enteros. no te vale de nada esa maximalidad de \( n-1 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Octubre, 2018, 12:55 pm
Hola

Te voy a contestar con un ejemplo

\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
 

\( 11^{6}+12^{6}<13^{6} \)
 

Si en los tres paréntesis \( (a+1) \)  , \( (b+1) \)  , \( (c+1) \)   prescindo de los tres \( (+1) \)  llegamos a

\( a^{t_{1}}=a^{n} \)
 

\( b^{t_{2}}=b^{n} \)
 

\( c^{t_{3}}=c^{n} \)
 

y tenemos \( a^{n}+b^{n}>c^{n} \)
 

lo cual es imposible.

Con más razón se produciría esta desigualdad

si contamos con los tres \( (+1)  \) por haber sumado \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Siguiendo el ejemplo del principio:

con más razón y por ejemplo

\( 11^{6,2}+12^{6,4}<13^{6,6} \)
 

\( 6>5 \)   ; \( 6>5  \)  ; \( 6>5 \)
 

\( 6,2>5 \)   ; \( 6,4>5  \)  ; \( 6,6>5 \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 22 Octubre, 2018, 01:57 pm


\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
 

\( 11^{6}+12^{6}<13^{6} \)
 

Si en los tres paréntesis \( (a+1) \)  , \( (b+1) \)  , \( (c+1) \)   prescindo de los tres \( (+1) \)  llegamos a

\( a^{t_{1}}=a^{n} \)
 


Hola, minette.

Ahí tomas tres naturales consecutivos; el ejemplo puedes escribirlo así

\( a^{n}+(a+1)^{n}=(a+2)^{n}
  \)

Es un caso muy particular.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Octubre, 2018, 02:03 pm
Hola

Te voy a contestar con un ejemplo

\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)
 

\( 11^{6}+12^{6}<13^{6} \)
 

Si en los tres paréntesis \( (a+1) \)  , \( (b+1) \)  , \( (c+1) \)   prescindo de los tres \( (+1) \)  llegamos a

\( a^{t_{1}}=a^{n} \)
 

\( b^{t_{2}}=b^{n} \)
 

\( c^{t_{3}}=c^{n} \)
 

y tenemos \( a^{n}+b^{n}>c^{n} \)
 

lo cual es imposible.

Con más razón se produciría esta desigualdad

si contamos con los tres \( (+1)  \) por haber sumado \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Siguiendo el ejemplo del principio:

con más razón y por ejemplo

\( 11^{6,2}+12^{6,4}<13^{6,6} \)
 

\( 6>5 \)   ; \( 6>5  \)  ; \( 6>5 \)
 

\( 6,2>5 \)   ; \( 6,4>5  \)  ; \( 6,6>5 \)

No valen de nada lo ejemplos. También se cumple sin embargo, que:

\( \color{red}11^{6,5}+12^{6,4}>13^{6,3}\color{black} \)

Saludos.

CORREGIDO
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Octubre, 2018, 05:47 pm
Gracias Feriva

Te sugiero que operes con

\( (a-1)^3+a^3 ? (a+1)^3 \)

Igual consigues una demostración para \( n=3 \) en este caso particular.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Octubre, 2018, 05:59 pm
Al sumarle a una desigualdad cuyos dos miembros son positivos como

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

una igualdad cuyos dos miembros son positivos como

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

la expresión que se obtienes será

1º miembro positivo > 2º miembro positivos

y

\( a^{n}+b^{n}+a^{n-1}+b^{n-1}Positivo>c^{n}+b^{n-1}Positivo  \).

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)  \)   \( > \)    \(  c^{n-1}(c+1) \)
 

Al hacer la suma obtenemos una desigualdad con los dos miembros mayores que los de la desigualdad inicial, pero su signo sigue siendo el mismo: \( > \)  .

Luis creo que

\( 11^{6,5}+12^{6,4}>13^{6,3}  \) no \( < \)  .

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 22 Octubre, 2018, 06:13 pm
Gracias Feriva

Te sugiero que operes con

\( (a-1)^3+a^3 ? (a+1)^3 \)

Igual consigues una demostración para \( n=3 \) en este caso particular.

Saludos.


Gracias, minette, lo miraré con más calma.

Yo por mi parte te planteo esto al hilo de lo anterior:

\( a^{n}+(a+1)^{n}>(a+2)^{n}
   \) si, por ejemplo, n=1 se cumple para a>1, tenemos claramente que \( 2a+1 \) es mayor que a+2 si “a” es mayor que 1.

Entonces para n+1

\( a^{1+1}+(a+1)^{1+1}\,\mathcal{R\,}(a+2)^{1+1}
  \)

\( a^{2}+a^{2}+1+2a\mathcal{\, R\,}a^{2}+4+4a
  \)

Cancelamos “a” cuadrado

\( a^{2}+1+2a\mathcal{\, R\,}4+4a
   \)

Con a=3

\( 9+1+6\mathcal{\, R\,}4+12
  \)

Y se da la relación de igualdad, 16=16, pese a que los números son consecutivos y hemos tomado la potencia siguiente a "n".

(*esa R se escribe así en latex \mathcal{R}y puede servir muy bien para indicar “relación” entre dos cosas, de hecho se usa así o parecido en teoría de conjuntos; la puedes utilizar si quieres en lugar de la interrogación; o también la R mayúscula normal, que es más cómodo).

Claro que esas potencias son 1 y 2, pero si quieres hacer ver que no se cumple para otras consecutivas mayores, tienes que demostrarlo de forma que se vea un poco (hablo en este caso sólo para tres números consecutivos). Quizá se pueda usando el binomio de Newton.

Tienes

\( (a+1)^{n}-(a+2)^{n}=-a^{n}
   \)

Si desarrollas el primer sumando, en general, es

\( (a+1)^{n}={n \choose 0}a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}1^{1}+{n \choose 2}a^{n-2}1^{2}+\cdots+{n \choose n-1}a1+{n \choose n}1^{n}
  \)

Donde los unos se quedan igual con potencia o sin potencia y se pueden quitar; los paréntesis son las combinaciones de "n" elementos tomados según el número de debajo.

\( {\color{blue}(a+1)^{n}=a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}+{n \choose 2}a^{n-2}1^{2}+\cdots+{n \choose n-1}a+1}
  \)

Y el segundo es

\( {\color{magenta}(a+2)^{n}=a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}\cdot2+{n \choose 2}a^{n-2}2^{2}+\cdots+{n \choose n-1}a2^{n-1}+2^{n}}
  \)

Al restarle éste al primero tendría que verse que no puede dar \( -a^n \). Hacerlo en general no sé si va a ser muy fácil, pero caso por caso, dando valores a “n”, seguramente no será demasiado difícil, o eso me parece.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Octubre, 2018, 09:52 am
Hola

Luis creo que

\( 11^{6,5}+12^{6,4}>13^{6,3}  \) no \( < \)  .

Si, fue una errata.

Precisamente lo que quería mostrar es que tienes:

\( 11^{5}+12^{5}>13^{5} \)

\( 11^{6}+12^{6}<13^{6} \)

y ejemplos con exponentes no enteros y distintos mayores que 6, donde la desigualdad se da en un sentido:

\( 11^{6,2}+12^{6,4}<13^{6,6} \)

ó en el otro:

\( 11^{6,5}+12^{6,4}>13^{6,3} \)

Lo cual muestra una vez más que tu razonamiento no funciona. La maximalidad de \( n=5 \) entero para la desigualdad \( 11^{n}+12^{n}>13^{n} \) no impide que esa desigualdad pueda repetirse para exponentes distintos y quizá no enteros mayores que \( 5. \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Octubre, 2018, 01:25 pm
Hola

Sean \( A,B,C,D,E,F \)  NATURALES

si

\( A+B>C \)
\( D+E=F \)

Entonces  \( A+B+D+E> C+F \)

¿Estamos de acuerdo?

A mi respuesta 340 no la has contestado.

Por favor, contesta a esta.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Octubre, 2018, 02:08 pm
Hola

Sean \( A,B,C,D,E,F \)  NATURALES

si

\( A+B>C \)
\( D+E=F \)

Entonces  \( A+B+D+E> C+F \)

¿Estamos de acuerdo?

Si; y en ningún momento he negado que se cumpla eso, que es obvio.

Citar
A mi respuesta 340 no la has contestado.

Por que no me pareció que fuese nada relevante; lo que allí dices es cierto, pero no tiene nada que ver con el error de fondo de tu argumento que es que la maximalidad del "mayor que" pare exponentes iguales y naturales no impide que para exponentes no naturales y distintos se pueda tener un "mayor que".

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Octubre, 2018, 06:23 pm
Gracias Luis

Una vez estamos de acuerdo en eso, pienso que podemos manipular tanto como queramos el valor de los exponentes siempre que se cumpla que

\( A+B+D+E>C+F \)

¿Estás de acuerdo?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Octubre, 2018, 09:43 am
Hola

Una vez estamos de acuerdo en eso, pienso que podemos manipular tanto como queramos el valor de los exponentes siempre que se cumpla que

\( A+B+D+E>C+F \)

¿Estás de acuerdo?

Pues... no estoy seguro por que es un tango vago el significado de "manipular tanto como queramos el valor de los exponentes". Concreta lo que quieres hacer y vemos.

Si es lo que ya has hecho hasta ahora no hace falta que lo repitas; te he indicado por activa y por pasiva los errores que cometes desde varios puntos de vista. Y no tienen nada que ver con la suma que haces de esa desigualdad e igualdad; eso es correcto.

Como te vengo repitiendo el fallo es este:

Citar
Por que no me pareció que fuese nada relevante; lo que allí dices es cierto, pero no tiene nada que ver con el error de fondo de tu argumento que es que la maximalidad del "mayor que" pare exponentes iguales y naturales no impide que para exponentes no naturales y distintos se pueda tener un "mayor que".

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 24 Octubre, 2018, 12:33 pm
Hola Luis

Me apresuro a pedir perdón por mi expresión "manipular tanto como queramos" porque roza la mala educación por mi parte.

Voy a ver si mi torpeza me permite explicarme mejor

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)  Una realidad
\( a^n +b^n =c^n \)     Una suposición

Sumando

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)

Lo que quiero decir es que todas las operaciones que podamos hacer tanto en el miembro de la izquierda como en el de la derecha estarán separadas por el signo > :

operaciones 1º miembro > operaciones 2º miembro

Y digo

\( a^{n-1}(a+1)>a^n \)
\( b^{n-1}(b+1)>b^n \)
\( c^{n-1}(c+1)>c^n \)

Dame tu conformidad para seguir.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Octubre, 2018, 12:34 pm
Hola

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n +b^n =c^n \)

Sumando

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)

Lo que quiero decir es que todas las operaciones que podamos hacer tanto en el miembro de la izquierda como en el de la derecha estarán separadas por el signo > :

operaciones 1º miembro > operaciones 2º miembro

Y digo

\( a^{n-1}(a+1)>a^n \)
\( b^{n-1}(b+1)>b^n \)
\( c^{n-1}(c+1)>c^n \)

Dame tu conformidad para seguir.

Todo correcto.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 25 Octubre, 2018, 06:12 pm
Hola

En tu respuesta 342 citas \( 11^5 +12^5>13^5 \) y dices:

"La maximalidad de \( n=5 \) entero para la desigualdad \( 11^n+12^n>13^n \) no impide que esa desigualdad pueda repetirse para exponentes distintos y QUIZÁ no enteros mayores que 5."

He subrayado lo de QUIZÁ porque este quizá sobra:

Si hay exponentes mayores de \(  5 \) éstos es imposible que sean enteros.

En el ejemplo que pones \( 11^{6,2}+12^{6,4}<13^{6,6} \) el valor de los exponentes es correcto: \( 6,2<6,4<6,6 \).

En el otro ejemplo\( 11^{6,5}+12^{6,4}>13^{6,3} \), los exponentes siguen un orden incorrecto \( 6,5>6,4>6,3 \)

Me desorienta, Luis, que en estas objecciones que me pones utilices exponentes no enteros. Esto se aparta totalmente dela conjetura de Fermat. Y me desconcierta.

Por ello te pido por favor, te lo ruego, te suplico y, si es necesario me pongo de rodillas, para que cuando conteste a una respuesta mía sobre el UTF SÓLO emplees naturales.

Estamos cambiando puntos de vista sobre el UTF y no caben más que NATURALES.

Gracias y saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Octubre, 2018, 07:41 pm
Hola

Me desorienta, Luis, que en estas objecciones que me pones utilices exponentes no enteros. Esto se aparta totalmente dela conjetura de Fermat. Y me desconcierta.

Por ello te pido por favor, te lo ruego, te suplico y, si es necesario me pongo de rodillas, para que cuando conteste a una respuesta mía sobre el UTF SÓLO emplees naturales.

Pues te desconciertas a ti misma. Si utilizo exponentes no enteros es porque en tu argumento aparecen exponentes no enteros:

Recordarás que el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  ya lo tengo demostrado.

Por otro lado

\( b^{n-1}(1+b)=b^{t_{2}} \)  ; \( t_{2}>n-1 \)
 

\( c^{n-1}(1+c)=c^{t_{3}} \) ; \( t_{3}>n-1 \)
 

\( a^{n-1}(1+a)=a^{t_{1}} \) ; \( t_{1}>n-1 \)
 

Entonces

\( a^{t_{1}}+b^{t_{2}}\ngtr c^{t_{3}} \)
 

lo cual evidencia que

\( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)

Esos \( t_1,t_2,t_3 \) tal como los defines ahí son NECESARIAMENTE números no enteros. Y no van a dejar de serlo por más que les supliques a mi o a ellos, o te pongas de rodillas ante mi o ante ellos, o les hagas una ofrenda a mi o a ellos. Las matemáticas no se pliegan a nuestros deseos; son como son.

Saludos.

P.D. Me he remontado 30 mensajes atrás para citar donde comenzabas el argumento. Desde entonces te he dado mil y una razones para mostrarte que está mal. No me veo capaz de decir nada nuevo. Así que antes de insistir convendría que leyeses y re-leyeses con calma todo lo que te he ido comentando.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 25 Octubre, 2018, 09:06 pm

Estamos cambiando puntos de vista sobre el UTF y no caben más que NATURALES.


Hola, minette. Caben también  los números que se nos cuelen en un momento dado.

Mira esto:

Por mi anterior respuesta teníamos que para tres números consecutivos, fueran cuales fueran, la igualdad se podía expresar así:

\( (a+1)^{n}-(a+2)^{n}=-a^{n}
   \)

Ahora, si n=5, entonces

\( (a+1)^{5}-(a+2)^{5}=-a^{5}
   \)

que se puede desarrollar o bien por medio del binomio de Newton o bien con paciencia (multiplicando (a+1) cinco veces, etc). O, mucho más cómodo, se puede hacer con Wolfram:

\( 5a^{4}-30a^{3}-70a^{2}-75a-31=-a^{5}
  \)

\( a^{5}-5a^{4}-30a^{3}-70a^{2}-75a=31
  \)

Si “a” es entero, divide a 31, luego sólo puede ser a=31 ó a=-31, por ser primo; ya que, “a” ha de ser distinto de 1 ó -1 por razones triviales.

Pero, evidentemente no es cierto, “a” no puede valer 31 con ningún signo; lo puedes calcular con Wolfram, arroja el valor; a=9,19...

Luego no existen tres naturales consecutivos que cumplan eso con n=5.

Pero lo más importante es que, en realidad, no he utilizado el Wolfram previamente; lo he hecho así:

De momento, no digo que “a” sea entero en principio.

Tomamos la expresión

\( a^{5}-5a^{4}-30a^{3}-70a^{2}-75a=31
  \).

“a” es factor común a todos los sumandos de la izquierda, por tanto, suponiendo “a” entero, puedo dividir a ambos lados por “a” de forma que quede un supuesto entero.

O sea, partimos de esto tal cual lo tenía, del lado izquierdo:

\( a^{5}-5a^{4}-30a^{3}-70a^{2}-75a
  \)

Ahora, si “a” es entero, repito, al dividirlo entre “a” queda

\( a^{4}-5a^{3}-30a^{2}-70a-75
  \),

que serían sumas de productos de enteros.

Pero en el otro lado, al dividir también por “a”, queda un 1 positivo o negativo:

\( a^{4}-5a^{3}-30a^{2}-70a-75=\pm1
  \); porque si fuera entero sólo podría ser a=31 ó a=-31.

Entonces despejo 75 y divido entre “a” a los dos lados otra vez suponiendo a=31:

\( a^{3}-5a^{2}-30a-70=\dfrac{\pm1+75}{31}
  \)

Lo de la izquierda, sustituyendo “a” por 31 ó -31, es un entero (es obvio, hasta lo puedes comprobar); lo de la derecha no lo es; no lo es ya tomemos en el numerador 75+1= 76 ó 75-1= 74.

Y ahora sí puedo afirmar con rigor (salvo despistes por ahí) que no existen tres números consecutivos que cumplan eso para "n=5"

La diferencia entre este argumento para negar la cuestión en particular y los que tú estás empelando es que en éste, para empezar, se usa una letra y con eso se generaliza el caso para tres números consecutivos; pero, lo más importante, no se dice “a” es entero, se dice “si “a” fuera entero” y, finalmente, se cierran las salidas hasta comprobar que no puede serlo; por una cuestión obvia de divisibilidad en la que ha sido invitado estelar el primo 31.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Octubre, 2018, 06:44 pm
Hola

Me refiero a mi respuesta del  2 -10.:

“He sido yo quien ha empezado a utilizar n  no natural cuando escribo \( a^{n-1}(1+a)=a^{t_{1}} \)  siendo \( t_{1} \)  (entero o no) \( >n-1 \)  .

Y soy yo quien te ha inducido a sustituir \(  n \)  (NATURAL) por números reales.

Me declaro culpable de ello y te pido perdón.”

En lo sucesivo doy mi palabra que utilizaré sólo naturales. Por otro lado me es incómodo corregir algunas errata tuya. Es como el mundo al revés.

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)  Una realidad

Siendo \(  (n-1 \))  el mayor valor del exponente que permite la desigualdad con el signo \(  > \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  Una suposición

Al sumar

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
 

Enseguida se observa que el signo \( > \)  no se puede mantener porque

\( a^{n-1}(a+1)>a^{n}>a^{n-1} \)
 

\( b^{n-1}(b+1)>b^{n}>b^{n-1} \)
 

\( c^{n-1}(c+1)>c^{n}>c^{n-1} \)
 

En la suposición \(  a^{n}+b^{n}=c^{n}  \) , siendo \(  n>n-1 \)
 

entonces \( a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
  .

Sólo quedan dos opciones

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

1ª opción

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Al sumar, la suma es un despropósito porque el signo \( >  \) no se puede mantener

2ª opción

\( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

La suma no es un desproposito y por tanto \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  es la opción válida y \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)  .

Esta \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  coincide con los casos \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  y \( a^{2}+b^{2}<c^{2} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Octubre, 2018, 08:37 pm
Hola

En lo sucesivo doy mi palabra que utilizaré sólo naturales. Por otro lado me es incómodo corregir algunas errata tuya. Es como el mundo al revés.

Respecto a erratas mías, corrígeme todo lo que quieras, pero de la manera más clara posible.

Citar
\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)  Una realidad

Siendo \(  (n-1 \))  el mayor valor del exponente que permite la desigualdad con el signo \(  > \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  Una suposición

Al sumar

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
 

Enseguida se observa que el signo \( > \)  no se puede mantener porque

\( a^{n-1}(a+1)>a^{n}>a^{n-1} \)
 

\( b^{n-1}(b+1)>b^{n}>b^{n-1} \)
 

\( c^{n-1}(c+1)>c^{n}>c^{n-1} \)
 

Nada de lo que dices ahí (ni más adelante) impide que pueda darse:

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)

No te concreto más la crítica, porque no veo que des ningún motivo más que la mera afirmación, no veo nada que criticar; simplemente no veo ningún argumento.

De hecho para \( n=2 \) tenemos ejemplos donde se da; ya para \( a,b,c \) no enteros también. Y en tu argumento no usas para nada el carácter entero de las variables. Digo esto, por si lee una tercera persona, porque mi experiencia, dicho sin acritud, es que nunca has sido capaz de entender este criterio para ver claramente que una argumento no puede estar bien.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Octubre, 2018, 12:06 pm
Hola

De Luis Fuentes (Respuesta 289):

“ En realidad sabemos (lo demostró Wiles) que NO existen NATURALES verificando \( a^{n}+b^{n}=c^{n}  \) “

(Respuesta 249)

“¡ Es que en el caso de que \(  a^{2}+b^{2}\leq c^{2} \)  es cierto que no puede darse \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  con \( n>2 \)  incluso para números reales!

De minette (Respuesta 209)

“ Lo he demostrado para \( n>2 \)  en los casos

\( a^{2}+b^{2}<c^{2} \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)
 

Me falta el caso \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
 

De luis Fuentes (Respuesta 210)

“ Con todos los respetos, eso es como decir que en cuanto el problema de viajar a Marte, he superado dos pasos, salir de casa y salir de la ciudad... ya “solo” me queda llegar a Marte. Suerte”

Fuera de recordatorios sigo con lo mismo y creo que mejor.

Siendo \( n>n-1\rightarrow a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
 

quedan dos opciones \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

Primera opción

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

\( a+b>c \)
 

Al sumar \( {a^{n}+a+b^{n}+b>c^{n}+c} \)  y esto es imposible.

Segunda opción

\( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

\( a+b>c \)
 

Es tanto mayor \(  a^{n}+b^{n} \)  respecto a \( a+b \)  y \(  c^{n} \)  respecto a \(  c \).
 

que tanto sumando como restando \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  .

Pongo un ejemplo con una de las ternas menores que son viables:\(  (5,8,9) \)  \( n=3 \)
 

\( 5^{3}+8^{3}<9^{3} \)
 

\( 5+8>9 \)
 

Suma \(  637+13<729+9 \)
 

Resta \( 637-13<729-9 \)
 

Esto se hace cada vez mas evidente a medida que los términos de la terna son mayores y \( n>3 \)  .

y así como Wiles necesitó 100 folios para su demostración, esta demostración mía sólo necesita una cuartilla por una cara.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Octubre, 2018, 12:24 pm
Hola

Citar
Fuera de recordatorios sigo con lo mismo y creo que mejor.

Siendo \( n>n-1\rightarrow a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
 

quedan dos opciones \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

Primera opción

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

\( a+b>c \)
 

Al sumar \( {a^{n}+a+b^{n}+b>c^{n}+c} \)  y esto es imposible.

¿Por qué es imposible? No das ningún motivo. Con ese tipo """demostraciones""" yo tengo una más fácil.

Si \( a,b,c,n\in \mathbb{N} \) y \( n>2 \) entonces \( a^n+b^n\neq c^n \) porque es imposible que \( a^n+b^n=c^n \).

¡Voilà! """Demostración""" del UTF en una línea...

Spoiler
\( 3+4>5 \)
\( n=1 \) es el mayor exponente natural tal que \( 3^n+4^n>5^n \)
y sin embargo SI es posible que \( 3^2+4^2=5^2 \).

No entenderás el ejemplo porque te refugiarás en que tu descartas el caso \( n=2 \). ¿Pero qué diferencia hay de aplicar tu """""argumento""""" a un caso u otra. Ninguna.
[cerrar]

Citar
y así como Wiles necesitó 100 folios para su demostración, esta demostración mía sólo necesita una cuartilla por una cara.

O menos... el problema es que tu """"demostración""" no demuestra nada.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Octubre, 2018, 06:18 pm
Hola Luis

¿Qué o quién te autoriza a afirmar que la conjetura que formuló Fermat sea aplicable a números reales?

Conozco un poco bien la historia de esta conjetura y puedo asegurar que nunca jamás nadie a exigido a nadie lo que tú me estás exigiendo (o poniendo trabas) a mí: que mis demostraciones sean válidas también para reales.

Repito tus palabras:

“En realidad sabemos (lo demostró Wiles) que NO existen NATURALES (lo recalco con mayúsculas) verificando \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) .”

“¡ Es que en el caso \( a^{2}+b^{2}\leq c^{2} \)  es cierto que no puede darse \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  con \( n>2 \)  incluso para números reales!”

Este “incluso para números reales” yo ceo que sobra. Creo que estás algo obsesionado con que mis razonamientos deban cumplirse también para números reales. Y no acierto o llego a comprender porqué.

Digo y me reafirma que

(1 ) \(  a(a^{n-1}+1)+b(b^{n-1}+1)>c(c^{n-1}+1)  \) es imposible porque \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}  \) con \( (n-1) \)  mayor valor que cumple la desigualdad con signo \( > \)  .

Si tú me rebates la imposibilidad de la desigualdad (1) es porque utilizas números reales.

En cuanto \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  creo que te contradices a tí mismo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Octubre, 2018, 07:45 pm
Hola

¿Qué o quién te autoriza a afirmar que la conjetura que formuló Fermat sea aplicable a números reales?

En ningún momento he afirmado tal cosa. Y de todas formas mis afirmaciones no se basan en principios de autoridad, sino que son fundamentadas y argumentadas.

Citar
Conozco un poco bien la historia de esta conjetura y puedo asegurar que nunca jamás nadie a exigido a nadie lo que tú me estás exigiendo (o poniendo trabas) a mí: que mis demostraciones sean válidas también para reales.

Error. Lo único que exijo a tus demostraciones para poder ser consideradas como tales es que sean correctas. Y no lo son.

Y curiosamente lo que digo sobre los reales es justamente lo contrario; muchos de tus argumentos se ve rápidamente que no pueden estar bien porque son "válidos" también para reales. Es decir manejando tu mismo lenguaje lo que te "exijo" es justo lo contrario, es que tus argumentos no sean también "válidos" para reales.

En realidad, el problema de esos argumentos, los que están mal, es que no son válidos ni para reales ni para naturales, pero el hecho de que no uses en ningún momento la especial naturaleza de los enteros hace que, si estuviesen bien, también valdrían para reales, y por eso se detecta rápido su error.

Esto te lo he repetido decenas de veces en el foro, y me debo de explicar muy mal, porque nunca has sido capaz de entenderlo. Una pena.

Citar
Repito tus palabras:

“En realidad sabemos (lo demostró Wiles) que NO existen NATURALES (lo recalco con mayúsculas) verificando \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) .”

Bien.

Citar
“¡ Es que en el caso \( a^{2}+b^{2}\leq c^{2} \)  es cierto que no puede darse \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  con \( n>2 \)  incluso para números reales!”

Este “incluso para números reales” yo ceo que sobra.

No sobra nada. Es completamente cierto que si \( a,b,c \) son números reales positivos (no necesariamente enteros) tales que \( a^2+b^2\leq c^2 \) entonces no puede darse \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  con \( n>2 \).

Citar
Creo que estás algo obsesionado con que mis razonamientos deban cumplirse también para números reales. Y no acierto o llego a comprender porqué.

No tengo obsesión alguna. Y mi referencia a los reales no es imprescindible para justificar que tus argumentos estén mal; siempre te digo otros motivos. En algunos casos simplemente que son afirmaciones gratuitas sin fundamento.

Mi referencia a los reales es un añadido, un grano de arena más a la montaña de motivos por los cuales está mal lo que hace.

Citar
Digo y me reafirma que

(1 ) \(  a(a^{n-1}+1)+b(b^{n-1}+1)>c(c^{n-1}+1)  \) es imposible porque \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}  \) con \( (n-1) \)  mayor valor que cumple la desigualdad con signo \( > \)  .

Si \( n-1 \) es el mayor exponente entero que cumple \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) lo único que te permite afirmar es que si \( m \) entero cumple \( m>n-1 \) entonces NO puede darse \( a^{m}+b^{m}>b^{m} \).

Pero tu pretendes afirmar que no puede darse (completamente diferente):

 \(  a(a^{n-1}+1)+b(b^{n-1}+1)>c(c^{n-1}+1)  \)

y sin mayor explicación es una afirmación gratuita, injustificada, un brindis al sol.

Citar
Si tú me rebates la imposibilidad de la desigualdad (1) es porque utilizas números reales.

No. Simplemente no la justificas y no tengo porque decir nada más.

Pero, te regalo un contraargumento adicional, y sin usar reales: para \( n=2 \) de hecho es falsa.

Y te regalo otro ejemplo para \( n=3 \):

\( a=2058260 \)
\( b=5434196 \)
\( c=5530891 \)

Se cumple que el mayor exponente entero para el cual \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) es \( n-1=2 \).

Y sin embargo:

\( a^3+a+b^3+b>c^3+c \)

Citar
En cuanto \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  creo que te contradices a tí mismo.

Si crees que me contradigo en algo, explica claramente donde está la contradicción.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Noviembre, 2018, 12:28 pm
Hola

\( a^{2}+b^{2}<c^{2} \)  ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  para \( n>2 \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)  para \( n>2 \)
 

\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
 

Y en general

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) ; para \( n\geq3 \)
 

siendo \( (n-1) \)  el mayor exponente que conserva el signo \( > \)
 

Si \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Siendo \( n>n-1 \)
 

\( a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
 

Dos opciones \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \) ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

Si

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
 

\( a^{n}+a^{2}+b^{n}+b^{2}>c^{n}+c^{2} \)
 

Esto es imposible porque \( a^{n}>a^{n-1}  \) ; \( b^{n}>b^{n-1} \)  ; \( c^{n}>c^{n-1} \)
 

y \( (n-1) \)  es el mayor exponente que permite el signo \( > \)  .

Por tanto \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Noviembre, 2018, 01:52 pm
Hola

Si

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)
 

\( a^{n}+a^{2}+b^{n}+b^{2}>c^{n}+c^{2} \)
 
Esto es imposible porque \( a^{n}>a^{n-1}  \) ; \( b^{n}>b^{n-1} \)  ; \( c^{n}>c^{n-1} \)
 
y \( (n-1) \)  es el mayor exponente que permite el signo \( > \)  .

Por tanto \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)

Lo único que has cambiado ahí respecto al argumento de tu anterior mensaje es sumar  \( a^2+b^2>c^2 \) en lugar de \( a+b>c \). Sospecho que lo has hecho porque te puse un ejemplo concreto donde directamente tu conclusión de que no podía darse esa desigualdad es falsa. Pero lo que tienes que entender es que tu argumento estaba (y sigue estando) mal, independientemente de que yo encuentre o no un ejemplo que muestre que la conclusión es falsa. Incluso la conclusión pudiera ser verdadera y el argumento estar mal.

Que \( n-1 \) sea el mayor exponente natural para el cual \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) no significa que no pueda darse que:

\( a^{n}+a^{2}+b^{n}+b^{2}>c^{n}+c^{2} \)

y no soy yo el que tiene que justificar el porque no; sino tu la que tienes que justificar porque si.

Dices:

Citar
Esto es imposible porque \( a^{n}>a^{n-1}  \) ; \( b^{n}>b^{n-1} \)  ; \( c^{n}>c^{n-1} \)
 
y \( (n-1) \)  es el mayor exponente que permite el signo \( > \)  .

Por tanto \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)

Pero eso mismo se podría aplicar a tu anterior intento:

\( a^{n}+a+b^{n}+b>c^{n}+c \)

y ahí hasta te puse un ejemplo concreto donde si se da esa desigualdad.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 06 Noviembre, 2018, 06:23 pm
Hola

Dada una igualdad con sus dos miembros numéricamente MUY ELEVADOS, y dada una desigualdad con sus dos miembros numéricamente MUY BAJOS, si sumamos sus dos primeros miembros por un lado, y sus dos segundos miembros por otro, el signo de entre estas dos sumas es SIEMPRE el mismo de la desigualdad.

Saludos.
 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 06 Noviembre, 2018, 06:25 pm
Hola

Reproduzco la respuesta 328 de Maite_ac que no ha tenido respuesta:

Hola Luis

Quiero añadir lo siguiente:

Si minette hubiera afirmado que quería demostrar el UTF partiendo SÓLO de \( a^2+b^2>c^2 \) entonces tu objecciónes perfectamente válida.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Noviembre, 2018, 07:11 pm
Hola

Dada una igualdad con sus dos miembros numéricamente MUY ELEVADOS, y dada una desigualdad con sus dos miembros numéricamente MUY BAJOS, si sumamos sus dos primeros miembros por un lado, y sus dos segundos miembros por otro, el signo de entre estas dos sumas es SIEMPRE el mismo de la desigualdad.

Es que nadie dice lo contrario y ni siquiera hace falta aludir a si son o no elevados.

Si se tiene:

\( A=B \)
\( C>D \)

Entonces:

\( A+C>B+D \)

Nadie discute tal cosa.

Quiero añadir lo siguiente:

Si minette hubiera afirmado que quería demostrar el UTF partiendo SÓLO de \( a^2+b^2>c^2 \) entonces tu objecciónes perfectamente válida.

Eso tendrá respuesta cuando se indique exactamente que objecciones son válidas o dejan de serlo y porqué.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 07 Noviembre, 2018, 01:36 pm
Hola

Maite_ac en su respuesta 327 pregunta: ¿Por qué interfieres el caso \( a^2+b^2>c^2 \) con el \( a^2+b^2=c^2 \)  siendo que este último ya está demostrado?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Noviembre, 2018, 04:06 pm
Hola

Maite_ac en su respuesta 327 pregunta: ¿Por qué interfieres el caso \( a^2+b^2>c^2 \) con el \( a^2+b^2=c^2 \)  siendo que este último ya está demostrado?

Ya respondí a eso. Lo dijo en este (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg419300#msg419300) mensaje:

MENSAJE COMPLETO
Hola Luis

Perdona mi cortedad. Tú te empeñas, poniendo el ejemplo de la terna \( (3,4,5) \),   en desacreditar mi argumento totalmente válido para la infinidad de ternas que cumplen

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}  \)  para \(  n\geq3 \)
 

incluso recurriendo a números reales, cosa fuera de lugar.

E incluso prescindiendo de que minette tiene demostrado el caso \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)  para un exponente \( n>2 \)  .

Veamos

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Entonces

\( a^{n}+a^{n-1}+b^{n}+b^{n-1}>c^{n}+c^{n-1} \)
 

¿Estás de acuerdo, Luis, con esta suma?

Expresando esta desigualdad de otra forma

\( a^{n-1}(a+1)+b^{n-1}(b+1)>c^{n-1}(c+1) \)
 

Si \(  a^{n}+b^{n}?c^{n} \)  , siendo \(  n>n-1 \)   entonces

\( a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
 

entonces si \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)   volvemos al razonamiento anterior.

¿Se puede abordar el UTF en estas tres fases:

\( a^{2}+b^{2}<c^{2} \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2} \)
 

\( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)  ?

¿Por qué interfieres el caso \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)   con el \(  a^{2}+b^{2}=c^{2} \)   siendo que este último ya está demostrado?

Saludos.
[cerrar]

 Y le respondí inmediatamente (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg419303#msg419303). En particular le dije:

Citar
Si vuelves a leer de manera comprensiva los tres enlaces que te indiqué verás que doy otras muchas razones que muestran que tu argumento está mal, independientemente del ejemplo para \( n=2 \). Por ejemplo:

Más aun, tu comienzas tomando el \( n-1 \) natural  más grande para el cuál \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \). Nada impide entonces que pudiera existir un exponente no natural \( t \) con \( n-1<t<n \) tal que \( a^t+b^t>c^t \) y menos aun impide que se de esa desigualdad para exponentes \( t_1,t_2,t_3 \) reales y distintos, hecho sobre el cual no dice nada tu suposición inicial sobre la maximalidad de \( n-1 \).

Hasta aquí, de acuerdo. Pero...

Citar
pero esto no es posible por lo dicho al principio de que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( n-1 \) el mayor valor que hace esta desigualdad tenga el signo >.

Entonces \( a^{n-1}(1+a)=a^t \) siendo \( t \) (entero o no) \( > n-1 \) Etcétera para \( b^{n-1}(1+b) \) y \( c^{n-1}(1+c) \).

¿Por que no va a ser posible la desigualdad (*)?. Fíjate que si \( a^{n-1}(1+a)=a^t \), entonces no tiene porque ocurrir que \( b^{n-1}(1+b)=b^t \) con el mismo valor de \( t \).

\( 5 \) es el mayor exponente natural \( m \) tal que \( 11^m+12^m>13^m \), pero NO es el mayor exponente real tal que  \( 11^m+12^m>13^m \). Por ejemplo:

\( 11^{5.1}+12^{5.1}>13^{5.1} \)
 

Y por cierto, ¿es tu argumento o el de minette?.

Sea como sea no acabáis de comprender (ni tu ni minette) que el hecho de que yo diga "solo lo uso para naturales" o "solo lo hago para \( n>2 \)" no impide que ciertos pasos intermedios sigan siendo ciertos para reales o \( n\leq 2 \). Por poner un ejemplo genérico: que \( n>1 \), \( a>b \Rightarrow{} a^n>b^n \) es cierto para reales,.... por más que yo diga que lo uso sólo para naturales.

 Añado algo más.

 Mi sensación es que continuamente no entendéis que el hecho de que unas premisas y una conclusión sean ciertas, no quiere decir que el argumento que se supone que llevó de unas a otras sea correcto.

 Por ejemplo. Uno puede considerar las premisas:

 A- Los felinos tienen cuatro patas.
 B- Un gato tiene cuatro patas.

 y de ahí decir: "por tanto

 C- Un gato es un felino".

 Es cierto que un felino tiene cuatro patas, es cierto que un gato tiene cuatro patas, y es cierto que un gato es un felino, pero lo que no está bien es que el hecho de que un gato sea un felino se deduzca únicamente que del hecho de que el gato y los felinos tengan cuatro patas.

 Siguiendo con la analogía cuando yo te digo que para \( n=2 \) o para los irracionales tu "argumento" claramente falla, es como si yo te dijese en este caso si tu razonamiento estuvise bien se podría deducir que:

 A- Los felinos tienen cuatro patas.
 B- Un perro tiene cuatro patas.

y por tanto:

 C- Un perro es un felino.

Lo cual ahora es falso; un perro no es un felino. Y tu simplemente dices, "no es que yo ya dije antes que los perros no eran felinos". ¿Y qué?. Lo que digo es que el mismo esquema de razonamiento que empleas para los gatos, empleados para los perros lleva a una conclusión errónea. Entonces el esquema de razonamiento está mal.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 15 Noviembre, 2018, 12:55 pm
Hola

La desigualdad \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) mantiene el signo \( > \) siempre que el exponente no sea mayor a \( (n-1) \).

Dada ésta premisa veamos que ocurre con esta suma:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n+b^n=c^n \)

\( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b^n?c^{n-1}+c^n \)

¿Alguien me puede decir qué hay detrás del \(  ? \) Si es \( > \), \( < \), ó = \( ? \)

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Noviembre, 2018, 08:19 am
Hola

La desigualdad \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) mantiene el signo \( > \) siempre que el exponente no sea mayor a \( (n-1) \).

Dada ésta premisa veamos que ocurre con esta suma:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n+b^n=c^n \)

\( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b^n?c^{n-1}+c^n \)

¿Alguien me puede decir qué hay detrás del \(  ? \) Si es \( > \), \( < \), ó = \( ? \)

No hay ninguna duda ni nadie lo discute, incluso sin la premisa inicial. De:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
\( a^n+b^n=c^n \)

se deduce que:

\( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b^n>c^{n-1}+c^n \)

Eso lo pusiste tu y es correcto como ya te indiqué varias veces.

Spoiler
Si se tiene:

\( A=B \)
\( C>D \)

Entonces:

\( A+C>B+D \)

Nadie discute tal cosa.
[cerrar]

Tu fallo es pensar que \( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b^n>c^{n-1}+c^n \) contradice que \( n-1 \) sea el mayor natural tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \). No, no lo contradice (te he puesto ejemplos donde falla; te he dicho que más allá de los ejemplos si piensas que es cierto debes dar una demostración; etcétera).

Tendrías una contradicción si encontrases un \( m>n-1 \) natural tal que \( a^m+b^m>c^m \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Noviembre, 2018, 12:06 pm
Hola Luis

En tu respuesta 366 dices textualmente "te he puesto ejemplos donde falla".

Por favor ¿serías tan amable de repetir esos ejemplos?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 16 Noviembre, 2018, 12:32 pm

Se trata de una regla algebraica básica, minette.

Dadas una igualdades o desigualdades, o mezcla de ambas, puedes sumar los miembros, cada uno con el de su lado

\( 5,5=4+1+0,5
  \)

\( 3,2=2+1+0,2
  \)

Así pues, sumas \( 5,5+3,2
  \) y \( 4+1+0,5+2+1+0,2
  \) y los comparas.

Lógicamente, la suma sigue siendo igual, el equilibrio no se rompe sean cuales sean los números; y ya ves que no depende de que sean enteros, pueden ser de cualquier tipo, pueden incluso ser mezcla de enteros y no enteros y esto funcionará siempre para ambas relaciones.

Cuando las dos cosas de la izquierda son mayores que las de la derecha, pues al sumar, la suma izquierda también será mayor que la derecha, es bastante obvio.

En el caso de que una de las relaciones sea de igualdad y la otra no, al sumar se mantiene el signo de la que no es igual, de la inecuación. Es muy fácil de ver si lo piensas con este ejemplo:

\( 2,5>1
  \)

\( 0=0
  \)

Al sumar te queda la primera \( 2,5>1
  \), la otra es como si no existiera.

Que se mantenga esa desigualdad no es debido en particular a que la otra sea una igualdad entre dos ceros, sino simplmente a que es una igualdad, sin más particularidad, y, entonces, no desequilibra la otra y por eso se mantiene la misma relación; con lo que se mantiene el signo, claro.

Con otro ejemplo:

\( 1,7<6,9
  \)

\( 3,3345=3,3345
  \)

La suma del lado izquierdo será menor que la del lado derecho, pues lo que manda es esto \( 1,7<6,9
  \), la otra relación no va a cambiar nada; piensa en una balanza, si hay un platillo más bajo y añadimos un mismo peso en ambos platillos, sigue igual, el platillo más bajo sigue siendo el más bajo. Supongo que lo habrás hecho muchas veces o lo habrás visto hacer muchas veces en las tiendas.

Y piensa que normalmente las cosas que se pesan no siempre vienen dadas por una cantidad entera de gramos o kilos. Sin embargo, funciona igualmente de una manera u otra.

Esto te debe indicar ya, con claridad, que tal herramienta no sirve para distinguir lo que quieres, ya que, el comportamiento de la balanza no es distinto cuándo la cantidad de gramos es entera o no, sólo detecta el equilibrio o desequilibrio. En conclusión, con una balanza (o sólo con esa herramienta) no se puede demostrar el UTF. No seas tan obstinada, busca algo más.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Noviembre, 2018, 12:38 pm
Hola

En tu respuesta 366 dices textualmente "te he puesto ejemplos donde falla".

Por favor ¿serías tan amable de repetir esos ejemplos?

Aquí, aunque tu me dirás que para \( n=2 \) no vale; y yo te diré que no usas de manera relevante en tu afirmación que \( n \) sea o no sea dos. Y tu no lo entenderás. Y yo no se explicarlo mejor...  :(

\( 3+4>5 \)
\( 3^2+4^2=5^2 \)

Sumando:

\( 3(3+1)+4(4+1)>5(5+1) \)

O esto otro que no es un ejemplo exactamente de ese último intento de razonamiento pero si de uno análogo:

Pero, te regalo un contraargumento adicional, y sin usar reales: para \( n=2 \) de hecho es falsa.

Y te regalo otro ejemplo para \( n=3 \):

\( a=2058260 \)
\( b=5434196 \)
\( c=5530891 \)

Se cumple que el mayor exponente entero para el cual \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) es \( n-1=2 \).

Y sin embargo:

\( a^3+a+b^3+b>c^3+c \)

Y te recuerdo algo que debes de entender; pero ya te lo explicado muchas veces... y nada. Tu argumento está mal (o cuando menos es profundamente incompleto) y no tengo que darte ningún ejemplo donde claramente falla la afirmación que haces para justificar que está mal. Al contrario eres tu quien debes de razonar porqué está bien, porque no das ningún motivo.

 Como te dije antes del hecho de que \( n-1 \) sea el mayor natural tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) sólo te permite afirmar que no puede darse \( a^{m}+b^{m}>c^{m} \), para \( m>n-1 \) natural. Sólo eso. Cualquier otra conclusión que quieras sacar tienes que justificarla, demostrarla.

 Vuelvo a recordarte lo que ya te dije aquí:

Hola

Citar
Fuera de recordatorios sigo con lo mismo y creo que mejor.

Siendo \( n>n-1\rightarrow a^{n}+b^{n}\ngtr c^{n} \)
 

quedan dos opciones \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  ; \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

Primera opción

\( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

\( a+b>c \)
 

Al sumar \( {a^{n}+a+b^{n}+b>c^{n}+c} \)  y esto es imposible.

¿Por qué es imposible? No das ningún motivo. Con ese tipo """demostraciones""" yo tengo una más fácil.

Si \( a,b,c,n\in \mathbb{N} \) y \( n>2 \) entonces \( a^n+b^n\neq c^n \) porque es imposible que \( a^n+b^n=c^n \).

¡Voilà! """Demostración""" del UTF en una línea...

Saludos.

P.D. feriva: en mi opinión nada de lo que comentas tiene que ver con el error de razonamiento de minette. Ella sabe lo que ocurre al sumar la igualdad y desigualdad; ahí razona correcto. El problema es que cree que eso contradice una premisa anterior.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 16 Noviembre, 2018, 12:52 pm

P.D. feriva: en mi opinión nada de lo que comentas tiene que ver con el error de razonamiento de minette. Ella sabe lo que ocurre al sumar la igualdad y desigualdad; ahí razona correcto. El problema es que cree que eso contradice una premisa anterior.

Hola, Luis. Me refería a su penúltima respuesta, donde pregunta en concreto si alguien le puede decir qué singo se debe poner en "?"

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg421840#msg421840

Spoiler

Lo que hace, si he mirado bien, es sumar los miembros de cada lado de la igualdad y la desigualdad; y simplemente quería que ella viera que eso no depende de que sean enteros o no.
[cerrar]

He vuelto a leer la respuesta de minette, se me había pasado el detalle de cuando dice "mantiene el signo > siempre que el exponente no sea mayor a (n−1), perdón"

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Noviembre, 2018, 05:36 pm
Hola

Decidme

\( a^{n-1}+a^n>a^n>a^{n-1} \)
\( b^{n-1}+b^n>b^n>b^{n-1} \)
\( c^{n-1}+c^n>c^n>c^{n-1} \)

¿Estáis de acuerdo?

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Noviembre, 2018, 05:51 pm
Hola

Hola, Luis. Me refería a su penúltima respuesta, donde pregunta en concreto si alguien le puede decir qué singo se debe poner en "?"

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg421840#msg421840

Es una pregunta medio retórica por su parte; ella sabe la respuesta con la que todos estamos de acuerdos, porque equivocadamente parece creer que es el punto clave.

Como la siguiente cuya respuesta es obvia y con la que todos estaremos de acuerdo.

Decidme

\( a^{n-1}+a^n>a^n>a^{n-1} \)
\( b^{n-1}+b^n>b^n>b^{n-1} \)
\( c^{n-1}+c^n>c^n>c^{n-1} \)

¿Estáis de acuerdo?

Totalmente.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Noviembre, 2018, 06:45 pm
Hola

\( a^{n-1}+a^n \) (mayor a \( a^{n-1})+b^{n-1}+b^n \) (mayor a \( b^{n-1})?c^{n-1}+c^n \) (mayor a \( c^{n-1}) \)

Entonces \( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b\ngtr c^{n-1}+c^n  \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Noviembre, 2018, 07:05 pm
Hola

Hola

\( a^{n-1}+a^n \) (mayor a \( a^{n-1})+b^{n-1}+b^n \) (mayor a \( b^{n-1})?c^{n-1}+c^n \) (mayor a \( c^{n-1}) \)

Entonces \( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b\ngtr c^{n-1}+c^n  \)

¿Por qué?.  Arguméntalo, justifícalo. De esto:

\( a^{n-1}+a^n>a^n>a^{n-1} \)
\( b^{n-1}+b^n>b^n>b^{n-1} \)
\( c^{n-1}+c^n>c^n>c^{n-1} \)

Lo único que tienes es que \( X=a^{n-1}+a^n \) es un número mayor que \( a^{n-1} \).
Que \( Y=b^{n-1}+b^n \) es un número mayor que \( b^{n-1} \).
Que \( Z=c^{n-1}+c^n \) es un número mayor que \( c^{n-1} \).

Pero nada impide que pueda darse \( X+Y>Z \). Como te dije lo único que sabemos es que NO puede existir un número natural m>n-1 tal que \( a^m+b^m>c^m \). Cualquier otra variante tienes que justificarla.

Por ejemplo tenemos que \( n-1=3 \)es el mayor entero tal que \( 9^3+13^3>14^3 \).

\( X=9^3+25>9^3 \)
\( Y=13^3+27>13^3 \)
\( Z=14^3+32>14^3 \)

y se sigue cumpliendo sin problema que \( X+Y>Z \).

O si quieres:

\( X=9^3+9000>9^4>9^3 \)
\( Y=13^3+30000>13^4>13^3 \)
\( Z=14^3+39000>14^4>14^3 \)

y se sigue cumpliendo sin problema que \( X+Y>Z \).

Saludos.

AÑADIDO
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 16 Noviembre, 2018, 08:11 pm

Decidme

\( a^{n-1}+a^n>a^n>a^{n-1} \)
\( b^{n-1}+b^n>b^n>b^{n-1} \)
\( c^{n-1}+c^n>c^n>c^{n-1} \)

¿Estáis de acuerdo?

Claro, cómo no estarlo.

A ver si estás tú de acuerdo con esto, minette:

Existen enteros tales que

\( a^{n-1}+b^{n-1}<c^{n-1}
  \)

y

\( a^{n-2}+b^{n-2}=c^{n-2}
  \).

Por ejemplo, con n=4, \( n-1=3 \) y \( n-2=2
  \):

\( 3^{3}+4^{3}<5^{3}
  \)

\( 3^{2}+4^{2}=c^{2}
  \).

Spoiler

Si estás de acuerdo, dime por qué no habría de existir lo mismo usando \( n=5 \) en vez de \( n=4 \).

Es decir, si fuera justificable lo que dices (que es como esto mismo pero hacia “arriba”) debería ser justificable análogamente hacia abajo; porque, si no, ya ves, podría existir la igualdad para “enes” mayores que n=4, y entonces...

[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Noviembre, 2018, 11:21 am
Hola Luis

Creo que el ejemplar que me pones en tu respuesta 374 no es correcto. Debería ser así:

\( X=9^3+9^4 \)
\( Y=13^3+13^4\rightarrow{}X+Y=38048 \)
\( Z=14^3+14^4\rightarrow{}Z=41160 \)

\( X+Y \ngtr Z  \)

Esto es una demostración de que

\( 9^4+13^4\neq{14^4} \)

sin tener que hacer estas operaciones.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Noviembre, 2018, 12:01 pm
Hola

Creo que el ejemplar que me pones en tu respuesta 374 no es correcto. Debería ser así:

\( X=9^3+9^4 \)
\( Y=13^3+13^4\rightarrow{}X+Y=38048 \)
\( Z=14^3+14^4\rightarrow{}Z=41160 \)

\( X+Y \ngtr Z  \)

Esto es una demostración de que

\( 9^4+13^4\neq{14^4} \)

No; puse exactamente el ejemplo que quise poner.

Tienes que meterte en la cabeza en que tienes que demostrar, que justificar, que demostrar, porque se supone que tiene que darse lo que marco aquí en rojo:

\( a^{n-1}+a^n \) (mayor a \( a^{n-1})+b^{n-1}+b^n \) (mayor a \( b^{n-1})?c^{n-1}+c^n \) (mayor a \( c^{n-1}) \)

Entonces \( a^{n-1}+a^n+b^{n-1}+b\ngtr c^{n-1}+c^n  \)

 Las respuestas que me has dado son:

 1) Ninguna más que la mera afirmación.

 2) Que \( n-1 \) es el mayor natural tal que \( a^n+b^n>c^n \).

 Y yo a eso te respondo que eso lo único que muestra es que no puede darse:

 \( a^m+b^m>c^m \) con \( m>n-1 \) natural

 3) Que \( n-1 \) es el mayor natural tal que \( a^n+b^n>c^n \) y que:

\( a^{n-1}+a^n>a^n>a^{n-1} \)
\( b^{n-1}+b^n>b^n>b^{n-1} \)
\( c^{n-1}+c^n>c^n>c^{n-1} \)

 y yo te digo de nuevo que la combinación de ambos hechos no permite sin más aclaración concluir nada y aquí es donde juega el papel mi ejemplo Uno puede encontrar números \( X,Y,Z \) cumpliendo:

\( X>a^n>a^{n-1} \)
\( Y>b^n>b^{n-1} \)
\( Z>c^n>c^{n-1} \)

 y sin embargo \( X+Y>Z \).



 Ahora, claro tu quedarías convencida de que lo que dices está mal, si yo encontrase un ejemplo concreto donde se da que \( n-1 \) es el mayor número tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) y sin embargo se diese que \( a^n+a^{n-1}+b^n+b^{n-1}>c^n+c^{n-1}. \)

 La cosa es que probablemente ese ejemplo sea difícil de encontrar. Ya me costó encontrarlo para el otro intento que hiciste, que \( n-1 \) es el mayor número tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) y sin embargo se diese que \( a^n+a+b^n+b>c^n+c. \) Fue este:

Y te regalo otro ejemplo para \( n=3 \):

\( a=2058260 \)
\( b=5434196 \)
\( c=5530891 \)

Se cumple que el mayor exponente entero para el cual \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) es \( n-1=2 \).

Y sin embargo:

\( a^3+a+b^3+b>c^3+c \)

 Como ves los números bastante rebuscados; en ese caso costaría más. ¡O quizá no existe tal ejemplo (aunque yo sospecho que si)! A lo mejor si es cierto que bajo esas condiciones no puede darse esa desigualdad.

 Pero en cualquier caso una vez más debes de comprender eso... aunque empiezo a perder la esperanza...

Y te recuerdo algo que debes de entender; pero ya te lo explicado muchas veces... y nada. Tu argumento está mal (o cuando menos es profundamente incompleto) y no tengo que darte ningún ejemplo donde claramente falla la afirmación que haces para justificar que está mal. Al contrario eres tu quien debes de razonar porqué está bien, porque no das ningún motivo.

 Como te dije antes del hecho de que \( n-1 \) sea el mayor natural tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) sólo te permite afirmar que no puede darse \( a^{m}+b^{m}>c^{m} \), para \( m>n-1 \) natural. Sólo eso. Cualquier otra conclusión que quieras sacar tienes que justificarla, demostrarla.


Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Noviembre, 2018, 03:54 pm
Hola

Como ves los números bastante rebuscados; en ese caso costaría más. ¡O quizá no existe tal ejemplo (aunque yo sospecho que si)! A lo mejor si es cierto que bajo esas condiciones no puede darse esa desigualdad.

\( a=137,\quad b=307,\quad c=310,\quad n=4 \)

\( n-1=3 \) es el mayor natural tal que \( 137^{3}+307^3>310^3 \)

y sin embargo:

\( 137^4+137^3+307^4+307^3>310^4+310^3 \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Noviembre, 2018, 01:23 pm
Hola Luis

Un millón de gracias por tu respuesta 378

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Noviembre, 2018, 02:11 pm
Hola

Un millón de gracias por tu respuesta 378

Pero, ojo, debería de hacerte reflexionar.

¿Tu razonamiento estaba bien antes y está mal ahora porque yo encontrarse el ejemplo? ¿Y si no hubiese querido o no hubiese tenido tiempo de buscarlo? ¿O si no hubiese sido capaz de encontrarlo aun existiendo (hubo que rebuscar un poco)? ¿Sería por ello más correcto o incorrecto tu razonamiento?.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Noviembre, 2018, 06:42 pm
Hola Luis

Mi primera reflexión es que mi pretendida demostración no es válida.

Sólo tú, en función de lo que te ha costado encontrar la terna (137,307,310) podrías hacer una estimación en porcentajes de cuando mi pretendida demostración funciona y cuando no funciona. Igual que en la historia del UTF ha habido demostraciones parciales por ejemplo hasta un determinado valor de \( n \). Etcétera.

Al encontrar el ejemplo, eso desautoriza mi demostración. Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.

Tú, con toda la razón del mundo, me repites "debes demostrarla".

Y yo también debería poder pedir una demostración (no un ejemplo de una terna) con letras, digámoslo así, de que no es válida.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Noviembre, 2018, 07:47 pm
Hola

 Nada, veo que sigues sin entender la cosa.

Mi primera reflexión es que mi pretendida demostración no es válida.

Eso desde luego. Pero ya no lo era antes de que te pusiese el ejemplo. Porque hacías una afirmación que no estaba justificada, es decir, una conjetura.

El ejemplo luego mostró, no sólo que no estaba justificada, sino que era falsa.

Citar
Sólo tú, en función de lo que te ha costado encontrar la terna (137,307,310) podrías hacer una estimación en porcentajes de cuando mi pretendida demostración funciona y cuando no funciona. Igual que en la historia del UTF ha habido demostraciones parciales por ejemplo hasta un determinado valor de \( n \). Etcétera.

No tiene sentido. Si me costó 20 minutos le asigno..., ¿qué porcentaje?... ¿y si me costó 20 días? ….¿y si viene otro más listo y lo encuentra al instante?... En fin.... Y no tiene nada que ver con haber probado el teorema para un determinado valor de \( n \). No es el caso.

Yo me ayudé de un programita de ordenador que me hice para barrer ejemplos; una vez hecho es fácil encontrarlos.

Citar
Al encontrar el ejemplo, eso desautoriza mi demostración. Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.

Tú, con toda la razón del mundo, me repites "debes demostrarla".

Y yo también debería poder pedir una demostración (no un ejemplo de una terna) con letras, digámoslo así, de que no es válida.

Es es un error de concepto brutal; eres tu la que debe de demostrar que tu prueba es correcta. ¿Cómo? Reduciendo cada afirmación a otra serie de afirmaciones bien ya probadas o bien cuya veracidad es inmediata a partir de las definiciones de  los conceptos que se manejan. Eso es una demostración. Basta que alguien te diga: "ese paso no está justificado" para que o bien tu muestres que si está probado en tal o cual libro, o a partir de tal o cual definición, o que lo desmenuces más en otros pasitos más pequeños que si estén demostrados.

Te voy a poner un ejemplo.

Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)

Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:

\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
 \)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas de naturales sea natural. Q.E.D.

Contesta a esto y de paso por una vez intercambiamos los papeles: ¿he demostrado el Teorema de Fermat? ¿si ?¿no? En caso negativo, ¿qué está mal en mi demostración?.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 22 Noviembre, 2018, 09:03 pm
Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.

A lo mejor me equivoco (Luis dirá, si acaso) pero aunque lo demostraras perfectamente (para potencias enteras y todos los requisitos) yo no veo que quedase demostrado el teorema con eso.

Creo que no es suficiente, porque entiendo que podríamos partir también de \( a^{n}+b^{n}<c^{n}
  \) en vez de \( a^{n}+b^{n}>c^{n}
  \) y darse la igualdad para “n-1” ó para “n+1” (con “n” igual o mayor que 3 cuando se toma “n-1” e igual o mayor que 2 si se toma n+1).

Con esto te quiero decir que no sé cuál sería la razón para que no pudiera ser así, no que no sea así.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Noviembre, 2018, 09:32 pm
Hola

Pero, el problema, valga la redundancia, es que nadie me ha demostrado con letras que mi demostración no es válida.

A lo mejor me equivoco (Luis dirá, si acaso) pero aunque lo demostraras perfectamente (para potencias enteras y todos los requisitos) yo no veo que quedase demostrado el teorema con eso.

¿Aún que demostrara perfectamente exactamente qué?.

Citar
Creo que no es suficiente, porque entiendo que podríamos partir también de \( a^{n}+b^{n}<c^{n}
  \) en vez de \( a^{n}+b^{n}>c^{n}
  \) y darse la igualdad para “n-1” ó para “n+1” (con “n” igual o mayor que 3 cuando se toma “n-1” e igual o mayor que 2 si se toma n+1).

Con esto te quiero decir que no sé cuál sería la razón para que no pudiera ser así, no que no sea así.

No; ella ya ha razonado previamente que para estudiar el caso \( n \) puede suponer que \( n-1 \) es el mayor entero tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \).  Y eso está bien. El problema es que después afirma que no puede darse una determinada desigualdad y ahí hay dos errores: 1) lo afirma sin nada que lo justifique 2) la afirmación es falsa.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 22 Noviembre, 2018, 10:12 pm

¿Aún que demostrara perfectamente exactamente qué?.


Hola, Luis. Quiero decir esto: supongamos que ella demostrara que (para enteros a,b,c,n con n>2) dada la inecuación \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}
  \), entonces en todo caso \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}
  \).

Veo que es necesario para que su cumpla el teorema (es obvio, pues no puede darse la igualdad) pero mi pregunta es si sería suficiente (suponiendo que se pudiera demostrar).


Citar
No; ella ya ha razonado previamente que para estudiar el caso \( n \) puede suponer que \( n-1 \) es el mayor entero tal que \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \).

Ahí está lo que no veo, no veo que esa suposición sea suficiente (en caso de demostrarse lo que decía) para que quede demostrado en general, porque, por ejemplo

\( 3+4>5
  \)

\( 3^{2}+4^{2}=5^{2}
  \)

\( 3^{3}+4^{3}<5^{3};\,27+64<125
  \)

\( 3^{4}+4^{4}<5^{4};\,81+256<625
  \)

...

O sea, veo que dado una cierta tripleta, lo mismo ocurre que la relación puede ser siempre “menor que” excepto algún caso en el que se dé la igualdad, como ocurre aquí para n=2, con lo que, por mucho que se considere \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1}
  \), no se analiza eso otro.

¿O es que ella ha comprobado que si \( a^{n-1}+b^{n-1}<c^{n-1}
  \) entonces \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}
  \)? Si es así, ¿cómo se demuestra eso rigurosamente?; seguro que es fácil, pero no me sale ahora.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Noviembre, 2018, 08:04 am
Hola

¿O es que ella ha comprobado que si \( a^{n-1}+b^{n-1}<c^{n-1}
  \) entonces \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n}
  \)? Si es así, ¿cómo se demuestra eso rigurosamente?; seguro que es fácil, pero no me sale ahora.

Si; no se si ha llegado a escribir una demostración rigurosa, pero lo ha explicado (hace ya tiempo) y es fácil de justificar.

En concreto es fácil de ver que si \( a^n+b^n=c^n \) entonces necesariamente \( a^{n-1}+b^{n-1}<c^{n-1} \) y \( n-1 \) es el mayor entero con esta propiedad.

Por eso para estudiar si es posible la igualdad \( a^n+b^n=c^n \) es correcto poner entre las hipótesis que \( n-1 \) es el mayor entero verificando \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \).

Esa propiedad es cierta incluso para números reales.

Una justificación sencilla de esto es la siguiente. La función \( f(x)=x^t \) es:

- si \( t>1 \) estrictamente convexa, cumple \( f(x)=0 \) y por tanto estrictamente superaditiva (https://en.wikipedia.org/wiki/Superadditivity) es decir: \( f(x)+f(y)<f(x+y) \)

- si \( t<1 \) estrictamente cóncava, cumple \( f(x)=0 \) y por tanto estrictamente subaditiva (https://en.wikipedia.org/wiki/Subadditivity) es decir: \( f(x)+f(y)>f(x+y) \)

Entonces si supones \( x=a^n, \quad y=b^n,\quad x+y=c^n \) y \( t=m/n \) se verifica:

- si \( m>n \) entonces \( f(a^n)+f(b^n)<f(c^n) \) es decir \( a^m+b^m<c^m \).
- si \( m<n \) entonces \( f(a^n)+f(b^n)>f(c^n) \) es decir \( a^m+b^m>c^m \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 23 Noviembre, 2018, 11:59 am

Una justificación sencilla de esto es la siguiente. La función \( f(x)=x^t \) es:

- si \( t>1 \) estrictamente convexa, cumple \( f(x)=0 \) y por tanto estrictamente superaditiva (https://en.wikipedia.org/wiki/Superadditivity) es decir: \( f(x)+f(y)<f(x+y) \)


Ah, gracias, Luis, de acuerdo entonces.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Noviembre, 2018, 12:33 pm
Hola

Estoy tratando de escribir, casi podría decir dibujar, TODAS las ternas que contienen, como término menor 137. Son mogollón y me limitaré a exponeros el número de ellas pues si las pongo todas ocuparé varias páginas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Noviembre, 2018, 12:45 pm
Hola

Estoy tratando de escribir, casi podría decir dibujar, TODAS las ternas que contienen, como término menor 137. Son mogollón y me limitaré a exponeros el número de ellas pues si las pongo todas ocuparé varias páginas.

Quizá te ahorraría trabajo, explicar primero que pretendes con eso. Sinceramente no creo que ayude en nada. Y además a que tipo de ternas te refieres. Es decir términos con término menor 137, cumpliendo... ¿que cosa?.

Y por otra parte para buen entendimiento en el debate es fundamental que respondas a esto:

Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)

Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:

\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
 \)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas de naturales sea natural. Q.E.D.

Contesta a esto y de paso por una vez intercambiamos los papeles: ¿he demostrado el Teorema de Fermat? ¿si ?¿no? En caso negativo, ¿qué está mal en mi demostración?.

En general es bueno que contestes a todas mis objecciones.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Noviembre, 2018, 01:08 pm
Hola

Iba a hacer desaparecer mi respuesta 388 pero Luis se ha adelantado al responderla.

Respecto a lo que me preguntas en tu respuesta 382, te contesto que mi formación en matemáticas es muy baja (o poca) y no me permite intercambiar nuestros papeles.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 26 Noviembre, 2018, 02:20 pm
Hola

Iba a hacer desaparecer mi respuesta 388 pero Luis se ha adelantado al responderla.

Respecto a lo que me preguntas en tu respuesta 382, te contesto que mi formación en matemáticas es muy baja (o poca) y no me permite intercambiar nuestros papeles.

Te ayudo yo, minette, aunque tampoco sepa mucho.

Supón que eres profesora de un colegio y vas a poner el teorema (un ejercicio relacionado) como ejercicio de clase; una forma de escribirles un enunciado podría ser:

“Demostrar que, si para números naturales cualesquiera a,b,c,n, en todos los casos ocurre \( b\neq\sqrt[n]{c^{n}-a^{n}}
  \), entonces “n” ha de ser mayor que 2”.

Queda claro, lo que hay que demostrar es que “n” tiene que ser mayor que 2, porque, si no, por ejemplo

\( 5=\sqrt[2]{3^{2}-4^{2}}
  \) y ya no es “en todo los casos”.

Ahora, analiza la cuestión y date el gusto de contestarle a Luis “Así no demuestras nada”.

(en realidad ese problema es mucho más fácil, no es el de Fermat; porque no se exige demostrar nada más que eso, que, si existe, tiene que ser mayor que 2)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Noviembre, 2018, 09:45 pm
Hola

Te ayudo yo, minette, aunque tampoco sepa mucho.

Supón que eres profesora de un colegio y vas a poner el teorema (un ejercicio relacionado) como ejercicio de clase; una forma de escribirles un enunciado podría ser:

“Demostrar que, si para números naturales cualesquiera a,b,c,n, en todos los casos ocurre \( b\neq\sqrt[n]{c^{n}-a^{n}}
  \), entonces “n” ha de ser mayor que 2”.

Queda claro, lo que hay que demostrar es que “n” tiene que ser mayor que 2, porque, si no, por ejemplo

\( 5=\sqrt[2]{3^{2}-4^{2}}
  \) y ya no es “en todo los casos”.

Ahora, analiza la cuestión y date el gusto de contestarle a Luis “Así no demuestras nada”.

Ya he dicho en el enunciado del Teorema que trabajaba con \( n>2 \). En todo caso "arreglo" la "demostración para que quede más claro":

Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)

Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:

\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
 \)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas (con \( n>2 \)) de naturales sea natural. Q.E.D.

¿Qué está mal?.

En cuanto a la respuesta de minette:

Respecto a lo que me preguntas en tu respuesta 382, te contesto que mi formación en matemáticas es muy baja (o poca) y no me permite intercambiar nuestros papeles.

Si no te crees capaz tan siquiere de opinar sobre mi "demostración" que usa matemáticas tan o más elementales como las que prentedes usar tu, ¿por qué te crees capaz de proponer tu una prueba? ¿con qué criterio entonces eres capaz de discernir si lo que tu misma haces puede considerarse o no una prueba? ¿por qué si te crees capaz de rebatir los argumentos matemáticos que expongo? Tan capaz eres de lo uno o de la otro; así que insisto en que des tu valoración sobre mi "demostración".

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 26 Noviembre, 2018, 11:41 pm
Hola

Te ayudo yo, minette, aunque tampoco sepa mucho.

Supón que eres profesora de un colegio y vas a poner el teorema (un ejercicio relacionado) como ejercicio de clase; una forma de escribirles un enunciado podría ser:

“Demostrar que, si para números naturales cualesquiera a,b,c,n, en todos los casos ocurre \( b\neq\sqrt[n]{c^{n}-a^{n}}
  \), entonces “n” ha de ser mayor que 2”.

Queda claro, lo que hay que demostrar es que “n” tiene que ser mayor que 2, porque, si no, por ejemplo

\( 5=\sqrt[2]{3^{2}-4^{2}}
  \) y ya no es “en todo los casos”.

Ahora, analiza la cuestión y date el gusto de contestarle a Luis “Así no demuestras nada”.

Ya he dicho en el enunciado del Teorema que trabajaba con \( n>2 \). En todo caso "arreglo" la "demostración para que quede más claro":

Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)

Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:

\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
 \)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas (con \( n>2 \)) de naturales sea natural. Q.E.D.

¿Qué está mal?.


Hola, Luis, ¿respondo yo?

Para n=1, n=2 hay contraejemplos, de n=3 hacia arriba no hay contraejemplos, de ahí que se diga para n>2; sin embargo, que no haya ejemplos no supone una demostración, porque no se pueden probar todos los números.

No está mal, sólo que lo que has puesto es prácticamente el enunciado de la conjetura, hoy teorema (y el enunciado no demuestra nada, como es evidente). La afirmación "es imposible" no está mal tampoco, realmente es así, pero es así porque ya está demostrado de antemano, no se demuestra simplemente afirmándolo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Noviembre, 2018, 07:39 am
Hola

Hola, Luis, ¿respondo yo?

Pues preferiría que hubiese respondido minette, como ejercicio para que sea consciente de que es y que no es una demostración. Pero no voy a censurarte.  :D

Citar
Para n=1, n=2 hay contraejemplos, de n=3 hacia arriba no hay contraejemplos, de ahí que se diga para n>2; sin embargo, que no haya ejemplos no supone una demostración, porque no se pueden probar todos los números.

No está mal, sólo que lo que has puesto es prácticamente el enunciado de la conjetura, hoy teorema (y el enunciado no demuestra nada, como es evidente). La afirmación "es imposible" no está mal tampoco, realmente es así, pero es así porque ya está demostrado de antemano, no se demuestra simplemente afirmándolo.

Si, básicamente es eso. Mi afirmación es impecablemente cierta; nadie va a encontrar un ejemplo que muestre que es falsa. Sin embargo no constituye una demostración porque no está justificada; ante tus críticas yo debería de poder desmenuzarla en otras afirmaciones más sencillas que la sustentasen; pero no sé hacerlo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 04 Diciembre, 2018, 05:36 pm
Hola

Perdonad mi tardanza (no he huído ni me escondo: es la gripe). Repito y me ratifico en lo siguiente:

"Respecto a lo que me preguntas en tu respuesta 382, te contesto que mi formación en matemáticas es muy baja (o poca) y no me permite intercambiar nuestros papeles".

Porque tú sigues insistiendo en tu capacidad para valorar mi capacidad mental. Y eso es rotundamente falso. No la tienes.

Por lo demás seguiré luchando.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Diciembre, 2018, 06:26 pm
Hola

"Respecto a lo que me preguntas en tu respuesta 382, te contesto que mi formación en matemáticas es muy baja (o poca) y no me permite intercambiar nuestros papeles".

Enfócalo de otra manera; la pregunta que te he hecho es una forma de intentar que entiendas porque lo que tu propones está mal desde otro punto de vista más. De que entiendas que incluso aunque alguien no sea capaz de encontrar un contraejemplo a una afirmación (no es el caso de tu argumento donde...¡incluso te he dado contraejemplos!), ésta no tiene porque constituir una demostración válida.

Entonces si realmente quieres debatir sobre tus propuestas, sería deseable que intentases responder a mi pregunta.

Citar
Porque tú sigues insistiendo en tu capacidad para valorar mi capacidad mental. Y eso es rotundamente falso. No la tienes.

No, en absoluto. Yo no he valorado tu capacidad mental. Al contrario eres tu la que la valora (no se si capacidad mental, pero si conocimientos) cuando dices que:

"mi formación en matemáticas es muy baja (o poca) y no me permite intercambiar nuestros papeles".

Lo que no me parece coherente es que ese autoconcepto de baja formación que te impide valorar un argumento, lo esgrimas o no cuando te apetezca y de manera arbitraria ante cuestiones de igual nivel; desde luego dificulta el debate.

Citar
Por lo demás seguiré luchando.

¿Cuál es la lucha?.  ???

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 04 Diciembre, 2018, 06:55 pm
Hola

Mi lucha es intentar demostrar que

\( a^n+b^n\neq{c^n} \)

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 18 Diciembre, 2018, 03:27 pm
Hola

Tratando de demostrar la desigualdad de estas dos fracciones

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{n-1}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{n-1}} \)
 

después de elevarlas al cuadrado y multiplicar en cruz llego a

\( b^{2n}-a^{2n}?c^{2n}-2a^{n}c^{n} \)
 

y también

\( c^{n}-2a^{n}?b^{n}-a^{n} \)
 

si aplicamos \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)  los dos interrogantes son \( = \)   y las dos fracciones también son \( = \)
 

Veamos que ocurre si multiplicamos:

\( (b^{2n}-a^{2n})(c^{n}-2a^{n})?(c^{2n}-2a^{n}c^{n})(b^{n}-a^{n}) \)
 

Operando se llega a:

\( c^{n}a^{n}(2b^{n}-3a^{n})+2a^{3n}?c^{2n}(b^{n}-a^{n})-b^{2n}(c^{n}-2a^{n}) \)
 

Hacemos esta suposición: \( (2b^{n}-3a^{n})=2b^{n}-c^{n} \)
 

\( c^{n}a^{n}(2b^{n}-c^{n})+2a^{3n}?c^{2n}(b^{n}-a^{n})-b^{2n}(c^{n}-2a^{n}) \)
 

\( c^{n}a^{n}+\frac{2a^{3n}}{b^{n}-a^{n}}?c^{2n}-b^{2n} \)
 

dividimos por \( a^{n} \):
 

\( c^{n}+\frac{2a^{2n}}{b^{n}-a^{n}}?c^{n}+b^{n} \)  ; \( 2a^{2n}?b^{2n}-a^{n}b^{n} \)
 

si suponemos el ?\(  = \)
 

\( b^{2n}-a^{n}b^{n}-2a^{2n}=0 \)
 

despejando \( b^{n}=2a^{n} \)  ; \( b^{n}=-a^{n} \)
 

con ambos valores de \( b^{n} \)  se produce la igualdad.

Y siendo \( 2b^{n}-3a^{n}<2b^{n}-c^{n} \)  , la igualdad es imposible

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Diciembre, 2018, 07:24 pm
Hola

con ambos valores de \( b^{n} \)  se produce la igualdad.

Y siendo \( 2b^{n}-3a^{n}<2b^{n}-c^{n} \)  , la igualdad es imposible

La conclusión está mal. Que tengas una igualdad que involucra a varias variables imponiendo una condición extra, no quiere decir que esa igualdad no pueda darse sin esa conclusión extra.

Por ejemplo \( a+b=c \) se cumple siempre con las condiciones extras \( c=4a \) y \( b=3a \) pero eso no quiere decir que no haya otras soluciones de \( a+b=c \) donde \( c<4a \) y \( b<3a \) como por ejemplo \( a=1 \) \( b=2 \) \( c=3. \)

Saludos.

P.D. Me sigue sorprendiendo que intentes proponer demostraciones si te declararas incompetente para discernir cuando una demostración es o no correcta.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Diciembre, 2018, 12:39 pm
Hola

Si yo fuera competente en lo que tú me citas, yo ocuparía tu puesto en el foro.

Te seguiré contestando a tu observación.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Diciembre, 2018, 12:52 pm
Hola

Si yo fuera competente en lo que tú me citas, yo ocuparía tu puesto en el foro.

Mi puesto en el foro es de administrador y moderador; para ello simplemente necesito saber las matemáticas suficientes para más o menos ubicar un tema en su sección y por lo demás conocer las reglas del foro y poder dedicarle algo de tiempo.

En cuanto a temas matemáticos mi participación y puesto en el foro está a priori al mismo nivel que el de cualquier otro usuario; cada cual participa en los temas que quiera, puede y/o sabe.

De todas formas estás tomando mi comentario por elevación. Lo que te digo es muy concreto. No te animo a participar en todos los temas que participo yo ni mucho menos. Simplemente si estás proponiendo una demostración del Terema de Fermat con métodos elementales, te planteo que tu también valores otra demostración de ese teorema también con métodos elementales. Sólo eso. Para mi es incongruente que no te veas capaz de opinar sobre ella, porque entonces no se con que criterio se supone que eres capaz de argumentar o defender tu propia demostración.

Más aún, cuando te pedí que valorases una falsa demostración (la que yo propuse) era para ayudarte a entender mejor los errores de tu argumentación; tenía una intención pedagógica y que se encuadre dentro de la discusión que tu propones; no me salía de tema. Razón de más para que te animes a entrar en ese "juego" que te propongo.

Citar
Te seguiré contestando a tu observación.

¿Te ves capacitada para entender mi observación?.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Diciembre, 2018, 06:28 pm
Hola

Dices "En cuanto a temas matemáticos mi participación en el foro está al mismo nivel que el de cualquier otro usuario" NO, NO y NO. Tú estás muy por encima de todos los usuarios.

Por otro lado no me puedo imaginar que te haya afectado tanto el que yo sea incapaz (soy una inútil) de rebatir la demostración que me propones. Por mucho que me animes soy una inútil, repito, para afirmar que \( b^n=c^n-a^n \); \( b=\sqrt[n ]{c^n-a^n} \) que esa demostración no sirve para demostrar el UTF. Salvo la lógica de que con ella no hubiera existido el UTF.

De forma parcial, ni \( n \) es par \( 2t \):

\( b\neq{}\sqrt[ 2t]{(c^t+a^t)(c^t-a^t)} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: manooooh en 20 Diciembre, 2018, 09:14 am
Tú estás muy por encima de todos los usuarios.

(https://vignette.wikia.nocookie.net/vsbattles/images/d/d6/Roll-Safe-Think-About-It.jpg/revision/latest/scale-to-width-down/640?cb=20180706193630) (https://vignette.wikia.nocookie.net/vsbattles/images/d/d6/Roll-Safe-Think-About-It.jpg/revision/latest/scale-to-width-down/640?cb=20180706193630)
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Diciembre, 2018, 09:19 am
Hola

Por otro lado no me puedo imaginar que te haya afectado tanto el que yo sea incapaz (soy una inútil) de rebatir la demostración que me propones.

Me afecta en la medida que me genera dudas sobre si puedes entender las críticas que hago a tus argumentos; a veces me da la sensación que simplemente como no te los aceptos los desechas, pero no porque realmente entiendas el error.

Citar
De forma parcial, ni \( n \) es par \( 2t \):

\( b\neq{}\sqrt[ 2t]{(c^t+a^t)(c^t-a^t)} \)

No se que quieres decir con eso.

Teorema de Fermat: No existen naturales \( a,b,c,n \) con \( n>2 \) tales que \( a^n+b^n=c^n. \)

Prueba: Si existiesen naturales en esas condiciones despejando tendríamos:

\( b^n=c^n-a^n \)
\( b=\sqrt[n]{c^n-a^n}
 \)
pero es imposible que la raíz enésima de una diferencia de potencias enésimas (con \( n>2 \)) de naturales sea natural. Q.E.D.

Lo que está mal es que la afirmación en azul es gratuita, no está justificada. Si me pides que la desglose en otra serie de afirmaciones más simples cuya veracidad ya esté demostrada o se pueda justificar con resultados conocidos no es cierta.

Eso es lo que ocurre con alguno de las afirmaciones que haces; no están justificadas. Te pido que detalles el porqué son ciertas y no eres capaz de hacerlo. Lo que es peor, tan siquiera entiendes que si pretendes defender que estás proponiendo una demostración deberías de poder hacerlo; deberías de poder desglosar cuanto sea necesario cada afirmación en otras más simples que resulten obvias o se justifiquen en resultados que aparecen previamente demostrados en la literatura.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Abril, 2019, 11:09 am
Hola

Tratamos de saber si estas fracciones son o no iguales

\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}?\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)
 

Datos \( c^{n}>b^{n}>a^{n} \) .

multiplicando en cruz:

\( c^{2n}b^{n}+2a^{n}b^{2n}+3a^{2n}c^{n}?2a^{n}c^{n}b^{n}+2a^{3n}+c^{2n}a^{n}+b^{2n}c^{n} \)
 

Comparamos dos términos del primer miembro: \( c^{2n}b^{n}  \) ; \( 3a^{2n}c^{n} \)  con tres del segundo miembro: \( 2a^{n}c^{n}b^{n} \)  ;\(  c^{2n}a^{n} \)  ; \( b^{2n}c^{n} \)
 

\( c^{n}(c^{n}b^{n}+3a^{2n})?c^{n}(2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n}) \)
 

dividimos por \( c^{n} \) :

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

Por un lado \( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \);  \( b^{n}>a^{n} \) ; Primer miembro > 2º miembro

Veamos que ocurre con el resto de términos:

\( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)  ;\(  3a^{2n}-2a^{n}b^{n}?b^{2n} \)  ;

\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?b^{n}.b^{n} \)  ; factor\(  a^{n} \)< factor \( b^{n} \)  ; \( a^{n}<b^{n} \)
 

factor\(  (3a^{n}-2b^{n}) \) ?  factor \( b^{n} \) ; \( 3a^{n}<3b^{n} \)  ; \( a^{n}<b^{n} \)  ; 1º miembro < 2º miembro

Conclusión: \( c^{n}(c^{n}b^{n}+3a^{2n})=c^{n}(2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n}) \)
 

Veamos que ocurre con los dos términos que no hemos tenido en cuenta: \( 2a^{n}b^{2n} \) (1ºmi.) ? \( 2a^{3n} \) (2ºmi.)
 
de donde \( b^{n} \) (1ºmi.) > \( a^{n} \) (2º mi.)

Con lo cual \( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}>\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)
 

Saludos .
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 03 Abril, 2019, 11:32 am
Hola

Tratamos de saber si estas fracciones son o no iguales

\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}?\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)
 


Hola, minette, cuánto tiempo.

Yo creo que eso ya quedó claro, pueden ser iguales o no iguales, porque son números reales (entre ellos están los naturales, no quedan fuera). No sé especifica nada sobre la naturaleza de los números que representan las letras en las operaciones que siguen, sólo una relación de orden.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Abril, 2019, 11:41 am
Hola

Comparamos dos términos del primer miembro: \( c^{2n}b^{n}  \) ; \( 3a^{2n}c^{n} \)  con tres del segundo miembro: \( 2a^{n}c^{n}b^{n} \)  ;\(  c^{2n}a^{n} \)  ; \( b^{2n}c^{n} \)
 

\( c^{n}(c^{n}b^{n}+3a^{2n})?c^{n}(2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n}) \)
 

dividimos por \( c^{n} \) :

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

Por un lado \( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \);  \( b^{n}>a^{n} \) ; Primer miembro > 2º miembro

Veamos que ocurre con el resto de términos:

\( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)  ;\(  3a^{2n}-2a^{n}b^{n}?b^{2n} \)  ;

\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?b^{n}.b^{n} \)  ; factor\(  a^{n} \)< factor \( b^{n} \)  ; \( a^{n}<b^{n} \)
 

factor\(  (3a^{n}-2b^{n}) \) ?  factor \( b^{n} \) ; \( 3a^{n}<3b^{n} \)  ; \( a^{n}<b^{n} \)  ; 1º miembro < 2º miembro

Conclusión: \( c^{n}(c^{n}b^{n}+3a^{2n})=c^{n}(2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n}) \)

Que \( A>B \) y \( C<D \) no significa que \( A+C=B+D \).
Así que la conclusión no tiene base ni sentido alguno.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Abril, 2019, 12:35 pm
Hola
Lo que digo Luis es que si

\( b^n>a^n \)
\( a^n<b^n \)

Entonces

\( b^na^n=a^nb^n \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Abril, 2019, 03:43 pm
Hola

Lo que digo Luis es que si

\( b^n>a^n \)
\( a^n<b^n \)

Entonces

\( b^na^n=a^nb^n \)

Que \( b^na^n=a^nb^n \) no se deduce de \( b^n>a^n \) y \( a^n<b^n \), sino que simplemente es consecuencia de la propiedad conmutativa del producto del números \( xy=yx \).

Tu pretendes concluir que:

\( \color{blue}c^{n}b^{n}\color{black}+3a^{2n}=2a^nb^n+\color{blue}c^na^n\color{black}+b^{2n} \)

Del hecho de que:

(1) \( \color{blue}c^nb^n>c^na^n\color{black} \)

y de que:

(2) \( 3a^{2n}<2a^bn^n+b^{2n} \)

Pareces creer que por el hecho de que deduzcas (1) por que \( b^n>a^n \) y deduzcas (2) porque \( a^n<b^n \) te va a permitir tener la igualdad al multiplicarlo. Pero eso no tiene sentido alguno.

Por ejemplo:

\( 3<5 \) y de ahí se deduce que \( 2\cdot 3<2\cdot 5 \)
\( 5>3 \) y de ahí se deduce que \( 5^2>3^2 \)

Pero de ambas cosas no se concluye que:

\( 2\cdot 3+5^2=2\cdot 5+3^2 \) (de hecho esta igualdad es falsa).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 04 Abril, 2019, 09:03 am
Hola

No se trata de que de \(  b^{n}a^{n}=a^{n}b^{n} \)  se deduzca como dices que \( b^{n}>a^{n} \)  y \( a^{n}<b^{n} \). Eso sería una barbaridad por mi parte.

Se trata de que al ser \(  b^{n}>a^{n} \)  siendo \(  b^{n} \)  el primer miembro y \(  a^{n} \)  el segundo miembro de una hipotetica igualdad o desigualdad.

Y siendo \( a^{n}<b^{n} \)  cuando \( a^{n} \)  es el primer miembro de la misma hipotetica igualdad o desigualdad y \( b^{n} \)  el segundo miembro de la misma. Deducidos estos hechos por otro camino distinto al primero, entonces \( b^{n}a^{n}=a^{n}b^{n} \)  .

El hecho de que \( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \)  evidencia y equivale que \( b^{n}>a^{n} \)
 

Primer miembro \( b^{n}> \)  segundo miembro \( a^{n} \)
 

De otro hecho

\( 3a^{2n}? \) (no < como escribes) \( 2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
 

operando

\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?b^{n}.b^{n} \)
 

factor \( a^{n} \)<  factor \( b^{n} \)  ; \( a^{n}<b^{n} \)
 

factor \( (3a^{n}-2b^{n}) \)?  factor \(  b^{n}  \) (el otro)

entonces \( 3a^{n}<3b^{n} \)  ; \( a^{n}<b^{n} \)
 

O sea \( 3a^{2n}<2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
 

Lo cual equivale y evidencia que \( a^{n}<b^{n} \)

Saludos.
 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 04 Abril, 2019, 11:08 am
Hola

Creo que es más correcto \( b^n +a^n=a^n+b^n \) que el producto.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Abril, 2019, 11:10 am
Hola

El hecho de que \( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \)  evidencia y equivale que \( b^{n}>a^{n} \)

Citar
O sea \( 3a^{2n}<2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
 
Lo cual equivale y evidencia que \( a^{n}<b^{n} \)

Pero es que el problema es que de ahí NO se deduce que:

\( \color{blue}c^{n}b^{n}\color{black}+3a^{2n}=2a^nb^n+\color{blue}c^na^n\color{black}+b^{2n} \)

Reformulo mi ejemplo para hacerlo idéntico a lo que propones. Por ejemplo:

\( 3<5 \) equivale a que \( 2\cdot 3<2\cdot 5 \)
\( 5>3 \) equivale a que \( 5^2>3^2 \)

Pero de ambas cosas no se concluye que:

\( 2\cdot 3+5^2=2\cdot 5+3^2 \) (de hecho esta igualdad es falsa).

Saludos.

P.D.
Creo que es más correcto \( b^n +a^n=a^n+b^n \) que el producto.

No se que quieres decir con eso; tan cierto es que \( a^nb^n=b^na^n \) como \( a^n+b^n=b^n+a^n \).
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 04 Abril, 2019, 12:49 pm

Qué líos de desigualdades, minette, perdona que me entrometa de nuevo.

Seguro que tienes la cabeza mejor que yo pese a tener más años, pero se tenga la cabeza como se tenga, siempre nos equivocaremos menos en las cosas sencillas.
Si hay una razón clara, determinante y además simple de ver, por la cual así no se puede dilucidar la verdad de la inecuación (y hay esa razón y ya ha sido mencionada muchas veces) enredarse en estimaciones sobre lo mismo sin más aderezo no puede llevar a nada; incluso aunque no te equivocaras.

La fecha de la primera respuesta de este hilo es   27/07/2016; y la última es la de hoy, 4 de abril de 2019. Ya va para tres años sin que cambie casi el enfoque de ataque (la ecuación diofántica de siempre y las desigualdades).  Y no estaría mal del todo si no fuera porque se sabe que así no va a salir;  ni dentro de cuatro años ni de más tampoco.
Da la impresión de que imaginas que no lo consigues por tu culpa, porque no terminas de engranar bien las ideas o porque te equivocas; y no, no es tu culpa, no es por la falta de la destreza que dices que tienes operando ni nada así, que no te engañe eso ni las equivocaciones que puedas cometer, es que nadie de aquí lo demostraría con ese ataque tan insuficiente para lograr el objetivo; si no fuera así, ya lo habría demostrado Luis, con todo lo que sabe él y habiendo seguido las ideas que propones, ¿no?
 
Eso sí, te hace única en el foro (y mira que hay también algunos cabezones de órdago, como yo mismo muchas veces :) ).

Un cordial saludo. 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 04 Abril, 2019, 01:13 pm
Hola

Vayamos por partes. En la expresión

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

dividimos por \( c^{n} \)  :

\( b^{n}+\frac{3a^{2n}}{c^{n}}?\frac{2a^{n}b^{n}}{c^{n}}+a^{n}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
 

de aquí destaco:

\( b^{n}>a^{n} \)
 

¿De acuerdo?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 04 Abril, 2019, 01:30 pm
Hola Feriva

Un millón de gracias.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Abril, 2019, 05:34 pm
Hola

Vayamos por partes. En la expresión

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

dividimos por \( c^{n} \)  :

\( b^{n}+\frac{3a^{2n}}{c^{n}}?\frac{2a^{n}b^{n}}{c^{n}}+a^{n}+\frac{b^{2n}}{c^{n}} \)
 

de aquí destaco:

\( b^{n}>a^{n} \)
 

¿De acuerdo?

Si. Pero puedes ir más rápido. En un mismo mensaje si quieres numera tus afirmaciones y te digo con lo que estoy de acuerdo y con lo que no.

Sea como sea lo típico es que pongas unas cuantas más o menos razonables, pero termines con una conclusión disparatada que en absoluto se deduce de lo anterior.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Abril, 2019, 11:52 am
Hola

Sigo con la expresión

\( \frac{3a^{2n}}{c^{n}}?\frac{2a^{n}b^{n}}{c^{n}}+\frac{b^{2n}}{c_{n}} \)
 

multiplico por \( c^{n} \) :

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

de aquí destaco \( c^{n}b^{n} \) (1º mi.) \( >c^{n}a^{n} \)  (2ºmi.)

\( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
 

\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?b^{n}.b^{n} \)
 

\( a^{n}<b^{n} \)
 

\( 3a^{n}-2b^{n}?b^{n} \) ; \( 3a^{n}<3b^{n} \)
 

\( 3a^{2n}<3b^{2n} \)
 

\( a^{2n}<b^{2n}\rightarrow a^{n} \) (1º mi.) \( <b^{n} \)  (2º mi.)

Finalmente

\( c^{n}b^{n} \) (1º mi.)\(  > c^{n}a^{n} \)  (2º mi.)

\( a^{n} \)  (1º mi.) \( < b^{n} \)  (2º mi.)

\( c^{n}b^{n}+a^{n}?c^{n}a^{n}+b^{n} \)
 

\( b^{n}(c^{n}-1)?a^{n}(c^{n}-1) \)
 

Primer miembro \( b^{n}>a^{n} \)  segundo miembro

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Abril, 2019, 12:59 pm
Hola

Sigo con la expresión

\( \frac{3a^{2n}}{c^{n}}?\frac{2a^{n}b^{n}}{c^{n}}+\frac{b^{2n}}{c_{n}} \)
 

multiplico por \( c^{n} \) :

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

de aquí destaco \( c^{n}b^{n} \) (1º mi.) \( >c^{n}a^{n} \)  (2ºmi.)

\( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
 

\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?b^{n}.b^{n} \)
 

\( a^{n}<b^{n} \)
 

\( 3a^{n}-2b^{n}?b^{n} \) ; \( 3a^{n}<3b^{n} \)
 

\( 3a^{2n}<3b^{2n} \)
 

\( a^{2n}<b^{2n}\rightarrow a^{n} \) (1º mi.) \( <b^{n} \)  (2º mi.)

Finalmente

\( c^{n}b^{n} \) (1º mi.)\(  > c^{n}a^{n} \)  (2º mi.)

\( a^{n} \)  (1º mi.) \( < b^{n} \)  (2º mi.)

\( c^{n}b^{n}+a^{n}?c^{n}a^{n}+b^{n} \)
 

\( b^{n}(c^{n}-1)?a^{n}(c^{n}-1) \)
 

Primer miembro \( b^{n}>a^{n} \)  segundo miembro

Creo que todo esto que escribes está bien. ¿Y bien? ¿Qué pretendes deducir de ahí?. Porque como te dije al final siempre es lo mismo: tras unas cuentas sencillas y correctas te sacas de la manga una conclusión que nada tiene que ver con lo anterior o que se basa en un error grueso.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Abril, 2019, 06:16 pm
Hola Luis,

La conclusión a que llego es

\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}>\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Abril, 2019, 10:03 pm
Hola

La conclusión a que llego es

\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}>\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)

Pero de nada de lo que has puesto antes se deduce esto. Ni tan siquiera das un argumento.

Empiezas detallando excesivamente cosas obvias y de repente te sacas de la manga la conclusión que te gustaría que fuese cierta, pero sin justificación alguna.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Abril, 2019, 10:52 am
Hola

Supongamos que de las fracciones \( \frac{A}{B}  \)y \( \frac{C}{D} \)
 

no sabemos si son iguales, ó \( \frac{A}{B}>\frac{C}{D} \) , ó \( \frac{A}{B}<\frac{C}{D} \)
 

Entonces multiplicamos \( A.B?BC \) y esto evidencia que \( AD>BC \) .

Entonces podemos afirmar que \( \frac{A}{B}>\frac{C}{D} \)  .

Por ejemplo, dadas las fracciones

\( \frac{33}{3}  \) y \( \frac{66}{6} \)
 

supongamos que no sabemos dividir pero sí multiplicar:

33x6=198 ; 66x3=198
 

Lo cual nos permite afirmar que

\( \frac{33}{3}=\frac{66}{6} \)
 

Dadas las fracciones

\( \frac{33}{3}  \) y \( \frac{66}{5} \)
 

entonces

33x5 ? 66x3
 

\( 165<198 \)
 

y

\( \frac{33}{3}<\frac{66}{5}
   \)

Etcétera

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Abril, 2019, 10:58 am
Hola

Supongamos que de las fracciones \( \frac{A}{B}  \)y \( \frac{C}{D} \)
 

no sabemos si son iguales, ó \( \frac{A}{B}>\frac{C}{D} \) , ó \( \frac{A}{B}<\frac{C}{D} \)
 

Entonces multiplicamos \( A.B?BC \) y esto evidencia que \( AD>BC \) .

Entonces podemos afirmar que \( \frac{A}{B}>\frac{C}{D} \)  .

Eso estaría bien. Pero NO es lo que estás haciendo. Tu partes de:

\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}?\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)

y multiplicas en cruz:

\( (c^{2n}-2a^nc^n)(b^n-a^n)?(b^{2n}-a^{2n})(c^n-2a^n) \)  (*)

Hasta ahí de acuerdo. El problema es que luego no has dado ningún argumento válido (siempre cometes algún error muy grueso), que muestre correctamente que la ? de (*) es o < ó >.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 12 Abril, 2019, 12:07 pm
Hola

Llegue a una barbaridad o no, las correcciones de Luis son imprescindibles e importantes.

Sí quiero hacerte notar, Luis, un cambio en ellas. Hasta hace poco me corregías concretando, por ejemplo, "has multiplicado por \( b^n \) en tal sitio y te has olvidado de hacerlo en tal otro". Repito, es un ejemplo.

Ahora me dices "no has dado ningún argumento válido"; "siempre cometes algún error muy grueso";  "te sacas de la manga". Etc.

No me gusta pero sólo, únicamente, porque no me das una pista para intentar corregir lo que está mal.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Abril, 2019, 12:37 pm
Hola

Ahora me dices "no has dado ningún argumento válido"; "siempre cometes algún error muy grueso";  "te sacas de la manga". Etc.

No me gusta pero sólo, únicamente, porque no me das una pista para intentar corregir lo que está mal.

No, no es cierto. Te estoy detallando al máximo tus errores. Como por ejemplo aquí:

Spoiler
Hola

El hecho de que \( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \)  evidencia y equivale que \( b^{n}>a^{n} \)

Citar
O sea \( 3a^{2n}<2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
 
Lo cual equivale y evidencia que \( a^{n}<b^{n} \)

Pero es que el problema es que de ahí NO se deduce que:

\( \color{blue}c^{n}b^{n}\color{black}+3a^{2n}=2a^nb^n+\color{blue}c^na^n\color{black}+b^{2n} \)

Reformulo mi ejemplo para hacerlo idéntico a lo que propones. Por ejemplo:

\( 3<5 \) equivale a que \( 2\cdot 3<2\cdot 5 \)
\( 5>3 \) equivale a que \( 5^2>3^2 \)

Pero de ambas cosas no se concluye que:

\( 2\cdot 3+5^2=2\cdot 5+3^2 \) (de hecho esta igualdad es falsa).

Saludos.

P.D.
Creo que es más correcto \( b^n +a^n=a^n+b^n \) que el producto.

No se que quieres decir con eso; tan cierto es que \( a^nb^n=b^na^n \) como \( a^n+b^n=b^n+a^n \).
[cerrar]

El problema es que después has puesto algunas cuentas y consideraciones que están bien; nada que objetar. Pero luego afirmas (sin mayor explicación) se deduce una cosa que nada tiene que ver. Entonces ahí no has puesto ningún argumento que yo pueda criticar; simplemente te sacas de la manga la conclusión.

Te lo indico por ejemplo aquí:

La conclusión a que llego es

\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}>\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)

Pero de nada de lo que has puesto antes se deduce esto. Ni tan siquiera das un argumento.

Empiezas detallando excesivamente cosas obvias y de repente te sacas de la manga la conclusión que te gustaría que fuese cierta, pero sin justificación alguna.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 12 Abril, 2019, 06:43 pm
Hola, Luis, Gracias.

De acuerdo, Luis, no es correcto por mi parte decir que \( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \) evidencia y equivale que \( b^{n}>a^{n} \)  .

Lo correcto es decir que siendo \( b>a \)  entonces \( b^{n}>a^{n} \)  y \( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \)  .

He repasado el hilo y ningún momento he escrito \( c^{n}b^{n}+3a^{2n}=2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

por tanto tu ejemplo de \( 3<5 \)  ;\(  5>3 \)  etc. no procede.

D esa ? separo

\( c^{n}b^{n} \)  (1º miembro) \( > c^{n}a^{n} \)  (2º miembro)

Y me queda

(1º mi.) \( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)  (2º mi.)

(1º mi) \( 3a^{2n}-2a^{n}b^{n}?b^{2n} \)  (2º mi.)

\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?b^{n}.b^{n} \)
 

Tenemos en el primer miembro dos factores:

\( a^{n} \)  y \( (3a^{n}-2b^{n}) \)
 

y en el segundo miembro dos factores también:

\( b^{n} \)  y \( b^{n} \)
 

El factor \( a^{n} \)  (1º mi.) < factor \( b^{n} \)  (2º mi.)

Veamos que ocurre con los otros dos factores:

\( (3a^{n}-2b^{n})?b^{n} \)  (el otro)

\( 3a^{n}<3b^{n} \)  ;

entonces \( a^{n}\equiv a^{n} \)  ; \( 3a^{n}-2b^{n}\equiv3b^{n} \)
 

multiplicamos dos a dos los cuatro factores:

\( 3a^{2n}?3b^{n}a^{n} \)  ; \( a^{n}<b^{n} \)
 

De aquí

\( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \)
 

\( a^{n}<b^{n} \)
 

\( c^{n}b^{n}+a^{n}?c^{n}a^{n}+b^{n} \)
 

\( b^{n}(c^{n}-1)?a^{n}(c^{n}-1) \)
 

\( b^{n} \) (1º mi.)>(2ºmi.)

De aquí \( c^{n}b^{n}+3a^{2n}>2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Abril, 2019, 10:32 pm
Hola

He repasado el hilo y ningún momento he escrito \( c^{n}b^{n}+3a^{2n}=2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)

Pues has repasado muy mal. Aquí (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89873.msg428746#msg428746) lo has escrito (con el factor \( c^n \) que multiplica a ambos lados lo cuál lo hace irrelevante):

Conclusión: \( c^{n}(c^{n}b^{n}+3a^{2n})=c^{n}(2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n}) \)
 

Citar
por tanto tu ejemplo de \( 3<5 \)  ;\(  5>3 \)  etc. no procede.

Y por eso mi ejemplo procedía 100%.

Citar
D esa ? separo

\( c^{n}b^{n} \)  (1º miembro) \( > c^{n}a^{n} \)  (2º miembro)

Y me queda

(1º mi.) \( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)  (2º mi.)

(1º mi) \( 3a^{2n}-2a^{n}b^{n}?b^{2n} \)  (2º mi.)

\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?b^{n}.b^{n} \)
 

Tenemos en el primer miembro dos factores:

\( a^{n} \)  y \( (3a^{n}-2b^{n}) \)
 

y en el segundo miembro dos factores también:

\( b^{n} \)  y \( b^{n} \)
 

El factor \( a^{n} \)  (1º mi.) < factor \( b^{n} \)  (2º mi.)

Hasta aquí de acuerdo. Ahora empiezan tus galimatías:

Citar
Veamos que ocurre con los otros dos factores:

\( (3a^{n}-2b^{n})?b^{n} \)  (el otro)

\( 3a^{n}<3b^{n} \)  ;

entonces \( a^{n}\equiv a^{n} \)  ; \( 3a^{n}-2b^{n}\equiv3b^{n} \)

¿Qué se supone que significa \( 3a^{n}-2b^{n}\equiv3b^{n} \)?¿Qué significan esas tres barritas en medio?.
 
Y como de esto:

Citar
multiplicamos dos a dos los cuatro factores:

\( 3a^{2n}?3b^{n}a^{n} \)  ; \( a^{n}<b^{n} \)
 
De aquí

\( c^{n}b^{n}>c^{n}a^{n} \)
 

\( a^{n}<b^{n} \)
 

\( c^{n}b^{n}+a^{n}?c^{n}a^{n}+b^{n} \)
 

\( b^{n}(c^{n}-1)?a^{n}(c^{n}-1) \)
 

\( b^{n} \) (1º mi.)>(2ºmi.)

se supone que deduces esto:

Citar
De aquí \( c^{n}b^{n}+3a^{2n}>2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)

Es un salto que no se sabe de donde sale. Tampoco sé a que viene la última frase marcada en rojo.

En realidad dado que \( c^n=a^n+b^n \):

\( c^nb^n+3a^{2n}=a^nb^n+b^{2n}+3a^{2n}=a^nb^n+b^{2n}+2a^{2n}+a^{2n}<2a^nb^n+2a^{2n}+b^{2n}<\\
2a^nb^n+a^{n}(a^n+a^n)+b^{2n}<2a^nb^n+c^na^{n}+b^{2n} \)
 
Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Abril, 2019, 12:54 pm
Hola

Perdona Luis. Tienes toda la razón del mundo.

Sí que había escrito la igualdad. Pero lo verdaderamente aberrante por mi parte es la forma en que llegaba a esa conclusión.

Empiezo a pensar que tengo dificultades para expresar por escrito mis razonamientos mentales.

Después de multiplicar en cruz las dos fracciones, me centro en los siguientes términos:

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n} \)  (miembro 1º) ? \( 2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)  (miembro 2º)

Separo ahora \( c^{n}b^{n} \)  (miembro 1º) > \( c^{n}a^{n} \)  (miembro 2º)

y me centro en los términos siguientes:

\( 3a^{2n} \)  (miembro 1º) ? \( 2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)  (miembro 2º)

opero:

\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n}) \)  (miembro 1º) ? \(  b^{n}.b^{n}  \) (miembro 2º)

Comparo los dos factores del primer miembro con los dos del segundo miembro:

factor \( a^{n} \)  (miembro 1º) < \(  b^{n} \)  (uno de los dos del 2º miembro)

factor \( (3a^{n}-2b^{n}) \)  (miembro 1º) ? \( b^{n} \)  (el otro del 2º miembro)

\( 3a^{n}-2b^{n}?b^{n}  \) ;

\( 3a^{n} \)  (miembro 1º) <  \( 3b^{n} \)  (2º miembro)

multiplicamos dos a dos los cuatro factores:

\( 3a^{n}.a^{n}?b^{n}.3b^{n} \)  ; \( 3a^{2n}<3b^{2n} \)  ; \( a^{n}<b^{n} \)
 

Entonces

\( c^{n}b^{n} \)  (miembro 1º) >  \( c^{n}a^{n} \)  (miembro 2º)

\( a^{n} \)  (miembro 1º) <  \( b^{n} \)  (miembro 2º)

\( c^{n}b^{n}+a^{n}?c^{n}a^{n}+b^{n} \)
 

\( b^{n}(c^{n}-1)?a^{n}(c^{n}-1) \)
 

Primer miembro > segundo miembro

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}>2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

Por otro lado si los términos \( c^{n}b^{n} \)  y \( c^{n}a^{n} \)  los simplificamos y reducimos a \(  b^{n} \) y \( a^{n} \) .

Y por otro lado \( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)  los reducimos a \( a^{n} \)  ; \( b^{n} \)  , entonces \( b^{n}+a^{n}=a^{n}+b^{n} \)  .

Y se produciría la igualdad

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}=2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

Luis estoy cansada te seguiré contestando.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Abril, 2019, 11:41 am
Hola

Sí que había escrito la igualdad. Pero lo verdaderamente aberrante por mi parte es la forma en que llegaba a esa conclusión.

Empiezo a pensar que tengo dificultades para expresar por escrito mis razonamientos mentales.

Pues no lo se; pero el problema no tiene que ver con que te expreses mal. Nada de lo que estás haciendo tiene la más mínima posibilidad de concluir algo útil (entendiendo por útil que acerque a una prueba del UTF).

Te explicado otras veces porqué (no usas en ningún sitio de manera decisiva el carácter entero de los números). Pero incapaz de entenderlo; si lo hicieses dejarías de perder el tiempo.

Por lo demás sigues cometiendo errores bárbaros.

Citar
Después de multiplicar en cruz las dos fracciones, me centro en los siguientes términos:

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n} \)  (miembro 1º) ? \( 2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)  (miembro 2º)

Separo ahora \( c^{n}b^{n} \)  (miembro 1º) > \( c^{n}a^{n} \)  (miembro 2º)

y me centro en los términos siguientes:

\( 3a^{2n} \)  (miembro 1º) ? \( 2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)  (miembro 2º)

opero:

\( a^{n}(3a^{n}-2b^{n}) \)  (miembro 1º) ? \(  b^{n}.b^{n}  \) (miembro 2º)

Comparo los dos factores del primer miembro con los dos del segundo miembro:

factor \( a^{n} \)  (miembro 1º) < \(  b^{n} \)  (uno de los dos del 2º miembro)

factor \( (3a^{n}-2b^{n}) \)  (miembro 1º) ? \( b^{n} \)  (el otro del 2º miembro)

\( 3a^{n}-2b^{n}?b^{n}  \) ;

\( 3a^{n} \)  (miembro 1º) <  \( 3b^{n} \)  (2º miembro)

multiplicamos dos a dos los cuatro factores:

\( 3a^{n}.a^{n}?b^{n}.3b^{n} \)  ; \( 3a^{2n}<3b^{2n} \)  ; \( a^{n}<b^{n} \)
 

Entonces

\( c^{n}b^{n} \)  (miembro 1º) >  \( c^{n}a^{n} \)  (miembro 2º)

\( a^{n} \)  (miembro 1º) <  \( b^{n} \)  (miembro 2º)

\( c^{n}b^{n}+a^{n}?c^{n}a^{n}+b^{n} \)
 

\( b^{n}(c^{n}-1)?a^{n}(c^{n}-1) \)
 

Primer miembro > segundo miembro

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}>2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)

De lo que he marcado en azul NO se deduce en absoluto lo que he marcado en rojo. No hay por donde cogerlo.

Haces razonamientos de este estilo:

Reformulo mi ejemplo para hacerlo idéntico a lo que propones. Por ejemplo:

\( 3<5 \) equivale a que \( 2\cdot 3<2\cdot 5 \)
\( 5>3 \) equivale a que \( 5^2>3^2 \)

Pero de ambas cosas no se concluye que:

\( 2\cdot 3+5^2=2\cdot 5+3^2 \) (de hecho esta igualdad es falsa).

Y aquí una barbaridad análoga:
 
Citar
Por otro lado si los términos \( c^{n}b^{n} \)  y \( c^{n}a^{n} \)  los simplificamos y reducimos a \(  b^{n} \) y \( a^{n} \) .

Y por otro lado \( 3a^{2n}?2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)  los reducimos a \( a^{n} \)  ; \( b^{n} \)  , entonces \( b^{n}+a^{n}=a^{n}+b^{n} \)  .

Y se produciría la igualdad

\( c^{n}b^{n}+3a^{2n}=2a^{n}b^{n}+c^{n}a^{n}+b^{2n} \)
 

Que unos términos simplificados de manera distinta y luego sumados del el mismo resultado, no significa que los términos originales sumados también den el mismo resultado.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 17 Abril, 2019, 12:10 pm
Hola Luis

Sigo. Si \( b>a \)

¿Se puede afirmar \( 3a^n-2b^n <b^n \)?

Y también

\( a^n (3a^n-2b^n) < b^{2n} \) ?

Por otro lado, afirmas y aplicas \( c^n =a^n+b^n \).

Siendo que esto es falso, no se puede asegurar lo que concluyes.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 17 Abril, 2019, 01:21 pm
Hola Luis

¿Por qué supones que a partir de mi respuesta 405 trato de demostrar el UTF?

Quizás mi fallo hubiera sido iniciar otro hilo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Abril, 2019, 01:56 pm
Hola

Sigo.

Cuando dices sigo,... ¿has entendido qué lo que haces en tu último mensajes está mal?. No tiene sentido seguir si no hemos aclarado esa cuestión. A no ser que lo que pongas sea para aclararla.

Citar
Si \( b>a \)

¿Se puede afirmar \( 3a^n-2b^n <b^n \)?

Si.

Citar
Y también

\( a^n (3a^n-2b^n) < b^{2n} \) ?

Si.

Ambas cosas son evidentes y siguen en tu línea de detallar lo evidente y poner sin explicación conclusiones disparatadas.

Citar
Por otro lado, afirmas y aplicas \( c^n =a^n+b^n \).

Siendo que esto es falso, no se puede asegurar lo que concluyes.

En todo caso no sabemos si es falso o no. Desde luego nada de lo que haces impide que sea cierto.

Sea como sea si quieres olvida lo que concluyo; lo que tu haces está mal.

¿Por qué supones que a partir de mi respuesta 405 trato de demostrar el UTF?

Ja, ja. Es un chiste o una ironía, ¿no?.

Porque es lo que llevas intentado desde que interveniste por primera vez en el foro.

Porque usas las variables \( a,b,c \) elevadas a \( n \) que típicamente tu has usado para estudiar el UTF.

Porque en tu mensaje anterior tu misma has dicho que:

Citar
Por otro lado, afirmas y aplicas \( c^n =a^n+b^n \).

Siendo que esto es falso, no se puede asegurar lo que concluyes.

que es precisamente lo que afirma el UTF (que esa igualdad no es posible en los naturales).

Porque la relación entre:

\( \dfrac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}} \) y \( \dfrac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)

(con la que has iniciado esta retahíla de mensajes) y en particular su igualdad, equivale a la igualdad \( c^n=a^n+b^n \).

En fin...
 
Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 25 Abril, 2019, 06:12 pm
Hola

Confirmando o corrigiendo a minette

Multiplicando las fracciones en cruz y prescindiendo, por el momento de

\( 2a^{n}b^{2n} \)  (miembro 1º) y \( 2a^{3n} \)  (mimebro 2º)

tenemos

\( c^{n}b^{n}?c^{n}a^{n}-3a^{2n}+2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
 

\( c^{n}b^{n}?c^{n}a^{n}+a^{n}(-3a^{n}+2b^{n})+b^{2n} \)
 

\( c^{n}b^{n}+a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?c^{n}a^{n}+b^{n}.b^{n} \)
 

\( c^{n}b^{n}-c^{n}a^{n}?a^{n}(2b^{n}-3a^{n})+b^{n}.b^{n} \)
 

\( c^{n}-\frac{c^{n}a^{n}}{b^{n}}?\frac{a^{n}}{b^{n}}(2b^{n}-3a^{n})+b^{n} \)
 

\( c^{n}-\frac{c^{n}a^{n}}{b^{n}}?2a^{n}-\frac{3a^{2n}}{b^{n}}+b^{n} \)
 

\( c^{n}+\frac{3a^{2n}-c^{n}a^{n}}{b^{n}}?b^{n}+2a^{n} \)
 

\( c^{n}+\frac{a^{n}(3a^{n}-c^{n})}{b^{n}}?b^{n}+2a^{n} \)
 

Sumando \( c^{n}> \)  sumando \( b^{n} \)
 

Sumando \( \frac{a^{n}(3a^{n}-c^{n})}{b^{n}} \) ?  sumando \( 2a^{n} \)
 

\( a^{n}(3a^{n}-c^{n})?2a^{n}b^{n} \)  ; \( 3a^{n}-c^{n}?2b^{n} \)  ; \( 3a^{n}<2b^{n}+c^{n}  \)

recapitulamos

\( c^{n}>b^{n} \)
 

\( 3a^{n}<2b^{n}+c^{n} \)
 

\( c^{n}+3a^{n}?3b^{n}+c^{n} \)  ; \( 3a^{n}<3b^{n} \)
 

término \( 2a^{n}b^{2n} \)  (miembro 1º) ? \( 2a^{2n} \)  (miembro 2º)

\( b^{2n}>a^{2n} \)
 

\( 3a^{n}<3b^{n} \)
 

\( b^{2n}+3a^{n}?a^{2n}+3b^{n} \)  ; \( b^{2n}-3b^{n}?a^{2n}-3a^{n} \)  ; \( b^{n}(b^{n}-3)>a^{n}(a^{n}-3) \)
 

Las dos fracciones no son iguales.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Abril, 2019, 08:13 pm
Hola

Confirmando o corrigiendo a minette

Cometes el mismo tipo de errores gruesos. Siempre lo mismo.

Comparas dos términos por trocitos dividiendo y simplificando cada trocito de manera diferente y pretendes que al "unir" los trozos simplificados se obtenga una desigualdad válida para la expresión inicial.

Citar
Multiplicando las fracciones en cruz y prescindiendo, por el momento de

\( 2a^{n}b^{2n} \)  (miembro 1º) y \( 2a^{3n} \)  (mimebro 2º)

tenemos

\( c^{n}b^{n}?c^{n}a^{n}-3a^{2n}+2a^{n}b^{n}+b^{2n} \)
 
Ahí además has divido por \( c^n \). Eso es la primera simplifación diferente porque en los términos de lo que has prescindido no haces tal división.

Citar
\( c^{n}b^{n}?c^{n}a^{n}+a^{n}(-3a^{n}+2b^{n})+b^{2n} \)
 

\( c^{n}b^{n}+a^{n}(3a^{n}-2b^{n})?c^{n}a^{n}+b^{n}.b^{n} \)
 

\( c^{n}b^{n}-c^{n}a^{n}?a^{n}(2b^{n}-3a^{n})+b^{n}.b^{n} \)
 

\( c^{n}-\frac{c^{n}a^{n}}{b^{n}}?\frac{a^{n}}{b^{n}}(2b^{n}-3a^{n})+b^{n} \)
 

\( c^{n}-\frac{c^{n}a^{n}}{b^{n}}?2a^{n}-\frac{3a^{2n}}{b^{n}}+b^{n} \)
 

\( c^{n}+\frac{3a^{2n}-c^{n}a^{n}}{b^{n}}?b^{n}+2a^{n} \)
 

\( c^{n}+\frac{a^{n}(3a^{n}-c^{n})}{b^{n}}?b^{n}+2a^{n} \)
 

Sumando \( c^{n}> \)  sumando \( b^{n} \)
 

Sumando \( \frac{a^{n}(3a^{n}-c^{n})}{b^{n}} \) ?  sumando \( 2a^{n} \)
 

\( a^{n}(3a^{n}-c^{n})?2a^{n}b^{n} \)  ; \( 3a^{n}-c^{n}?2b^{n} \)  ; \( 3a^{n}<2b^{n}+c^{n}  \)

recapitulamos

\( c^{n}>b^{n} \)
 

\( 3a^{n}<2b^{n}+c^{n} \)
 

\( c^{n}+3a^{n}?3b^{n}+c^{n} \)  ; \( 3a^{n}<3b^{n} \)

Más de lo mismo divides la expresión en dos términos que simplificas de manera diferente y pretendes de la relación entre los términos simplificados de manera diferente recuperar una relación entre los iniciales. MAL. Error de la misma naturaleza que indiqué a minette aquí:
Reformulo mi ejemplo para hacerlo idéntico a lo que propones. Por ejemplo:

\( 3<5 \) equivale a que \( 2\cdot 3<2\cdot 5 \)
\( 5>3 \) equivale a que \( 5^2>3^2 \)

Pero de ambas cosas no se concluye que:

\( 2\cdot 3+5^2=2\cdot 5+3^2 \) (de hecho esta igualdad es falsa).
 

Citar
término \( 2a^{n}b^{2n} \)  (miembro 1º) ? \( 2a^{2n} \)  (miembro 2º)

\( b^{2n}>a^{2n} \)
 

\( 3a^{n}<3b^{n} \)
 

\( b^{2n}+3a^{n}?a^{2n}+3b^{n} \)  ; \( b^{2n}-3b^{n}?a^{2n}-3a^{n} \)  ; \( b^{n}(b^{n}-3)>a^{n}(a^{n}-3) \)
 

Las dos fracciones no son iguales.

Idem.

Saludos.

P.D. Dado que en ningún sitio usas de manera imprescindible que los números son naturales y para números reales esas fracciones si pueden ser iguales, cualquiera con unos elementales conocimientos en matemáticas entiende que sin tener que detallar tanto los errores, tu argumentación está mal. Y no sólo, eso, con nada parecido podrás llegar a concluir que esas dos fracciones no pueden ser iguales.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Abril, 2019, 06:34 pm
Hola y gracias Luis. Hola y gracias Maite_ac

Llevo tiempo, bastante tiempo, investigando en las matemáticas, ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE, los números enteros positivos. Trato de ver si consigo, investigando, nuevas matemáticas en el campo, repito, de los números enteros positivos.

Los términos que prescindo \( 2a^{n}b^{2n} \)  y \( 2a^{3n} \)  , el interrogante que los separa será el mismo si los divido por \( c^{n} \)  :

\( \frac{2a^{n}b^{2n}}{c^{n}}?\frac{2a^{3n}}{c^{n}} \)
 

Cuando dices, Luis, que para números reales las dos fracciones sí pueden ser iguales estás reconociendo que para enteros positivos no lo son.

Por lo que he citado al principio, comprendo que te sea algo complicado entender mis razonamientos, porque son algo nuevos.

Lo que hago, Luis, es sumar desigualdades para llegar a una conclusión.

Por ejemplo

miembro 1º izquierda ? miembro 2º, derecha

\( c^{n}>b^{n} \)
 

\( 3a^{n}<2b^{n}+c^{n} \)
 

Sumando

\( c^{n}+3a^{n}?3b^{n}+c^{n} \)  ;    \( 3a^{n}<3b^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Abril, 2019, 08:39 pm
Hola

Llevo tiempo, bastante tiempo, investigando en las matemáticas, ÚNICA Y EXCLUSIVAMENTE, los números enteros positivos. Trato de ver si consigo, investigando, nuevas matemáticas en el campo, repito, de los números enteros positivos.

Nada de lo que haces son nuevas matemáticas; son matemáticas elementales, sin que esto tenga el más mínimo sencillo peyorativo. Otra cosa es que pretendas combinarlas de alguna manera novedosa; pero es siempre trivialmente novedosa.

Por otra parte no se trata de que digas de palabra que usas enteros. El problema es que en ninguna afirmación es imprescindible que tus números sean enteros.

Citar
Los términos que prescindo \( 2a^{n}b^{2n} \)  y \( 2a^{3n} \)  , el interrogante que los separa será el mismo si los divido por \( c^{n} \)  :

\( \frac{2a^{n}b^{2n}}{c^{n}}?\frac{2a^{3n}}{c^{n}} \)

Si; pero una vez dividos por números distintos no puedes pretender que comparando las simplicaciones obtener información sobre los números inicial

Te vuelo a poner un ejemplo. Si quieres comparar \( 16+1 \) con \( 2+10 \). Tu haces:

\( \dfrac{16}{2}=8>1=\dfrac{2}{2} \)

\( 1<10 \)

\( 8+1<1+10 \) y tu dirías "primer miembro menor que segundo miembro"

Pero NO, en los términos originales se cumple que \( 16+1>2+10 \).

Estás continuamente intentando hacer ese tipo de razonamientos: MAL.

Citar
Cuando dices, Luis, que para números reales las dos fracciones sí pueden ser iguales estás reconociendo que para enteros positivos no lo son.

No, en absoluto. Eso es una barbaridad lógica.

Si yo digo que hay animales que vuelan, con eso no estoy diciendo nada a favor ni en contra de que las vacas vuelen o de que las golondrinas vuelen.

Cuando digo que hay números reales que para los cuales las fracciones son iguales no digo nada ni en contra ni a favor de lo que ocurre con enteros. Adicionalmente se que no serán iguales para enteros porque lo demostró Wiles, pero no por mi afirmación inicial.

Citar
Por lo que he citado al principio, comprendo que te sea algo complicado entender mis razonamientos, porque son algo nuevos.

Son muy fáciles de entender todos. Unos están bien y otros muy mal, son barbaridades.

Por otro lado hace unos mensajes tu misma te declaraste incompetente para juzgar un simple argumento que te presenté... En fin.

Citar
Lo que hago, Luis, es sumar desigualdades para llegar a una conclusión.

Por ejemplo

miembro 1º izquierda ? miembro 2º, derecha

\( c^{n}>b^{n} \)
 

\( 3a^{n}<2b^{n}+c^{n} \)
 

Sumando

\( c^{n}+3a^{n}?3b^{n}+c^{n} \)  ;    \( 3a^{n}<3b^{n} \)
 

Que \( c^n+3a^n<c^n+3b^n \) se deduce de que a<b pero no de las dos desigualdades que has escrito antes.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Mayo, 2019, 11:59 am
Hola

No me gusta que el foro rinconmatematico, y concretamente en teoría de números, me haya quedado sola desde hace casi un mes. Sola con Luis aclaro. No sólo en teoría de números, también en el subforo Teorema de Fermat.

Pongo un ejemplo de cómo me manejo en la última cuestión:

\( 7+15+22 ? 3+17+20 \)

crios y crias recién venidos a primaria saben hacer estas dos sumas:

\( 44 ? 40 \)

la diferencia a favor del primer miembro es 4. Veamos como la calculo yo:

\( 7>3\longrightarrow7-3=+4 \)
 

\( 15<17\longrightarrow15-17=-2 \)
 

\( 22>20\longrightarrow22-20=+2 \)
 

La diferencia es 4 a favor del primer miembro. Pongo este ejemplo para que se vea como trato la cuestión con letras.

Espero que, con estos enteros positivos tan concretos, nadie recurra al sonsonete de los números reales.

¿Acaso no son reales los 7,15,22,3,17,20 ?

Yo me ciño, única y exclusivamente, a los números enteros positivos aunque Luis me dice que no basta con decirlo; con afirmarlo.

Pido por favor a quienes siguen este hilo, Feriva, por ejemplo, pongan una cuestión en la que sea claro, con letras, que las letras representen enteros positivos sin tener que afirmarlo.

Por otro lado el \( ? \) emtre \( A?B \)  es el mismo que entre

\( \frac{A}{c^{n}}?\frac{B}{c^{n}} \)
 

Cualquier operación que se realice en cualesquiera pareja de números, no desvirtúa el signo del \( ? \) que los separa, podría varias las dos sumas finales de los dos miembros, pero jamás el interrogante que las separa.

Por ejemplo:

\( 7/2>3/2\rightarrow3,5-1,5=+2 \)
 

\( 15/2<17/2\rightarrow7,5-8,5=-1 \)
 

\( 22/2>20/2\rightarrow11-10=+1 \)
 

22-20                           22-20=2
 

Otro ejemplo:

\( 7>3\rightarrow+4  \rightarrow7-3=+4 \)
 

\( 15<17\rightarrow-2  \rightarrow15-17=-2 \)
 

\( 11>10\rightarrow+1  \rightarrow11-10=+1 \)
 

\( 33>30\rightarrow+3  \rightarrow33-30=+3 \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Mayo, 2019, 12:43 pm
Hola

No me gusta que el foro rinconmatematico, y concretamente en teoría de números, me haya quedado sola desde hace casi un mes. Sola con Luis aclaro. No sólo en teoría de números, también en el subforo Teorema de Fermat.

Es dificil que la gente se mantenga interesada en lo que haces si repites constantemente las mismas ideas y errores.

Citar
Pongo un ejemplo de cómo me manejo en la última cuestión:

\( 7+15+22 ? 3+17+20 \)

crios y crias recién venidos a primaria saben hacer estas dos sumas:

\( 44 ? 40 \)

la diferencia a favor del primer miembro es 4. Veamos como la calculo yo:

\( 7>3\longrightarrow7-3=+4 \)
 

\( 15<17\longrightarrow15-17=-2 \)
 

\( 22>20\longrightarrow22-20=+2 \)
 

La diferencia es 4 a favor del primer miembro. Pongo este ejemplo para que se vea como trato la cuestión con letras.

Espero que, con estos enteros positivos tan concretos, nadie recurra al sonsonete de los números reales.

¿Acaso no son reales los 7,15,22,3,17,20 ?

Yo me ciño, única y exclusivamente, a los números enteros positivos aunque Luis me dice que no basta con decirlo; con afirmarlo.

Pido por favor a quienes siguen este hilo, Feriva, por ejemplo, pongan una cuestión en la que sea claro, con letras, que las letras representen enteros positivos sin tener que afirmarlo.

Por otro lado el \( ? \) emtre \( A?B \)  es el mismo que entre

\( \frac{A}{c^{n}}?\frac{B}{c^{n}} \)
 

Cualquier operación que se realice en cualesquiera pareja de números, no desvirtúa el signo del \( ? \) que los separa, podría varias las dos sumas finales de los dos miembros, pero jamás el interrogante que las separa.

Por ejemplo:

\( 7/2>3/2\rightarrow3,5-1,5=+2 \)
 

\( 15/2<17/2\rightarrow7,5-8,5=-1 \)
 

\( 22/2>20/2\rightarrow11-10=+1 \)
 

22-20                           22-20=2

Todo eso que dices está bien; y sería igualmente correcto con números reales.

Pero NO es eso lo que haces. Tu divides cada trocito de ecuación por términos distintos y ahí viene el fallo. Por ejemplo:

\( 15+22>25+11 \)

Y:

\( 15/5<25/5 \) en concreto \( 3<5 \) o \( 3-5=-2 \)

\( 22/11>11/11 \) en concreto \( 2>1 \) o \( 2-1=+1 \)

Entonces \( -2+1=-1 \) lo cual significaría que el primer miembro era menor que el segundo lo cual es FALSO.
 
Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Mayo, 2019, 06:16 pm
Hola

Recuerdo las sumas iniciales:

\( 7+15+22?3+17+20 \)
 

\( \frac{7}{3}+\frac{15}{1}+\frac{22}{2}?\frac{3}{3}+\frac{17}{1}+\frac{20}{2} \)
 

\( 2,3+15+11?1+17+10\rightarrow1,3-2+1=0,\hat{3} \)
 

\( 28,\hat{3} ? 28 \)

Repito mi pregunta:

¿Acaso no son reales los 7,15,22,3,17,20?

y repito esta cuestión:

Pido por favor a quines siguen este hilo (ytambién a Luis), feriva por ejemplo, pongan una cuestión en la que sea claro, con letras, que las letras representen enteros positivos sin tener que afirmarlo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Mayo, 2019, 06:44 pm
Hola

Recuerdo las sumas iniciales:

\( 7+15+22?3+17+20 \)
 

\( \frac{7}{3}+\frac{15}{1}+\frac{22}{2}?\frac{3}{3}+\frac{17}{1}+\frac{20}{2} \)
 

\( 2,3+15+11?1+17+10\rightarrow1,3-2+1=0,\hat{3} \)
 

\( 28,\hat{3} ? 28 \)

Ahí tienes un ejemplo donde, pese a dividir varios factores por diferentes números, se conserva el sentido de la desigualdad. Nadie ha dicho que eso no pueda ocurrir.

Lo que yo te he dicho es que si divides los factores por diferentes números no puedes garantizar que se conserve el sentido de la desigualdad, es decir, puede ocurrir que si se conserve como en tu ejemplo o no se conserve como en mis ejemplos.

Por tanto eso si una trabaja con letras cuyo valor desconoce no se puede usar un argumento de ese tipo para afirmar que la desigualdad inicia es en uno u otro sentido.

Citar
Repito mi pregunta:

¿Acaso no son reales los 7,15,22,3,17,20?

¡Claro!. ¿Y quién dice lo contrario?.

Citar
y repito esta cuestión:

Pido por favor a quines siguen este hilo (ytambién a Luis), feriva por ejemplo, pongan una cuestión en la que sea claro, con letras, que las letras representen enteros positivos sin tener que afirmarlo.

Observa esos dos ejemplos:

1) Sean \( a,b \) enteros. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a\geq b+1 \).

2) Sean \( a,b \) enteros. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a+1\geq b+1 \).

Ambas afirmaciones son ciertas. Pero en la primera es decisivo que \( a,b \) sean enteros, pero en la segunda no, es decir si ahora escribo:

1) Sean \( a,b \) reales. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a\geq b+1 \)…. ¡FALSO!

Spoiler
Por ejemplo \( 0.5>0 \) pero \( 0.5<0+1 \)
[cerrar]

2) Sean \( a,b \) reales. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a+1\geq b+1 \).  CIERTO.

Entonces tu utilizas razonamiento como el (2) donde en ningún caso es decisivo que los números implicados sean enteros (y eso no tiene nada que ver como ves con que yo previamente haya escrito si son enteros o si son reales).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 03 Mayo, 2019, 07:19 pm


Pido por favor a quines siguen este hilo (ytambién a Luis), feriva por ejemplo, pongan una cuestión en la que sea claro, con letras, que las letras representen enteros positivos sin tener que afirmarlo.


Ya ha puesto un ejemplo, Luis, y donde hay patrón no manda marinero :)

Las letras por sí solas, en una expresión, pueden ser cualquier número real, son las condiciones que consideres las que al final van a decir si esas letras pueden ser un entero o no. Existe, por ejemplo, la igualdad \( 2a+1=2b
  \), pero, evidentemente, si suponemos que “a” y “b” son enteros, enseguida vemos que no puede ser, porque si “a” es entero, entonces \( 2a+1
  \) es un entero multiplicado por 2, se ve forzado a ser par, más 1; luego es un impar. Y al otro lado de la igualdad, si “b” es entero (si lo consideramos) no es posible, pues 2b sería un par. Sin embargo, da cualquier valora entero a “a” y tendrás un no entero “b”, existe; o, viceversa, da cualquier valor entero a “b” y tendrás un “a” no entero.

En una desigualdad pasa parecido, existen reales donde algunos pueden ser enteros y otros nos; y a veces pueden ser enteros todos. Ésa es la cuestión precisamente, descubrir si pueden ser todos enteros o no.

Y para ello, pues de momento no se me ocurre una sugerencia todo lo buena que yo quisiera para que puedas atacarlo; ya sabes que si se me ocurriera, te lo diría. Yo mismo intenté (sin tanto ahínco como tú) buscar alguna demostración alternativa para el caso n=3, y no lo logré.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 14 Mayo, 2019, 12:12 pm
Hola

Gracias Luis. Gracias Feriva

Trato de demostrar la siguiente desigualda:

\( \frac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}}\neq\frac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)
 

SUPONGO, no afirmo, que \( a,b,c \)  son enteros positivos tales que \( c>b>a \)
 

por favor, Luis, dime si tendré algún problema con los número reales distintos de los enteros positivos.

Como cuestión aparte, aunque relacionada con la principal,expongo esta:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Siendo \( n \)  el mayor valor que produce la desigualdad con el signo \( > \)

Supongo que \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

entonces \( a^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \)
 

Mi pregunta es si \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
 

¿cúal es el interrogante \( = ; >;< \) ?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Mayo, 2019, 12:32 pm
Hola

SUPONGO, no afirmo, que \( a,b,c \)  son enteros positivos tales que \( c>b>a \)
 
por favor, Luis, dime si tendré algún problema con los número reales distintos de los enteros positivos.

La pregunta no la entiendo, es muy vaga. Si tendrá algún problema, ¿haciendo qué cosa?. Lo que continuamente te indico es que  si en ningún momento usas de manera decisiva que los números implicados son enteros, es imposible que obtengas argumento alguno útil para probar el Teorema de Fermat.

Citar
Como cuestión aparte, aunque relacionada con la principal,expongo esta:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Siendo \( n \)  el mayor valor que produce la desigualdad con el signo \( > \)

Supongo que \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

entonces \( a^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \)
 

Mi pregunta es si \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
 

¿cúal es el interrogante \( = ; >;< \) ?

Si son enteros, desde luego el igual no. Por lo demás a priori  puede aparecer cualquiera de las dos desigualdades. Por ejemplo:

\( 600^4 + 1997^4 >1999^4 \)
\( 600^5+1997^5<1999^5 \)

\( 1997^{10}+1997^{10}>1999^{10} \)

 Y sin embargo en este otro ejemplo:

\( 15^4+17^4>19^4 \)
\( 15^5+17^5<19^5 \)

\( 17^{10}+17^{10}<19^{10} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 14 Mayo, 2019, 06:13 pm
Hola

En una ocasión me has dado, algún ejemplo sobre enteros positivos y el resto de números reales pero, creo recordar, que siempre con ejemplos numéricos. Te ruego me pongas algún ejemplo con letras.

Así la expresión

\( ax^{2}+bx+c=0 \)
 

Creo que es válida para enteros positivos . ¿Es válida también para el resto de números reales?

Respecto a la desigualdad de las dos fracciones, la afirmo para todos los números reales.

En cuanto a \( b^{2n}+b^{2n}=c^{2n} \) , ¿porqué dices que si \( b,c \)  son enteros la igualdad es imposible?

En cuanto a los ejemplos, también numéricos , que pones sólo son válidos los \( 1997^{10}+1997^{10}>1999^{10}  \)  y \( 17^{10}+17^{10}<19^{10} \)
 

Hay caminos para hacerlo con letras:

\( 2b^{2n}?c^{2n} \)
 

Hallada la raiz \( 2n \)  :

\( \sqrt[2n]{2}b?c \)
 

el interrogante es \( \neq  \) porque \( \sqrt[2n]{2} \)  es un irracional.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 14 Mayo, 2019, 09:34 pm
Hola

En una ocasión me has dado, algún ejemplo sobre enteros positivos y el resto de números reales pero, creo recordar, que siempre con ejemplos numéricos. Te ruego me pongas algún ejemplo con letras.

No te entendio. ¿Ejemplo de qué?.

Citar
Así la expresión

\( ax^{2}+bx+c=0 \)
 

Creo que es válida para enteros positivos . ¿Es válida también para el resto de números reales?

No se que quieres decir con "válida". Eso es una ecuación; uno puede suponer que las variables implicadas son enteras, o reales o complejas y dependiendo de los valores concretos la ecuación será o no satisfecha. Válida no se que significa en este contexto.

Citar
Respecto a la desigualdad de las dos fracciones, la afirmo para todos los números reales.

Es falsa en general para los reales, es decir hay valores de reales para los cuales se tiene la igualdad (y ya te he puesto ejemplos en otras ocasiones).

Spoiler
\( n=3,\qquad a=2 \), \( b=3 \) \( c=\sqrt[3]{2^3+3^3} \)
[cerrar]

Citar
En cuanto a \( b^{2n}+b^{2n}=c^{2n} \) , ¿porqué dices que si \( b,c \)  son enteros la igualdad es imposible?

Tu misma lo demuestras después:

Citar
Hay caminos para hacerlo con letras:

\( 2b^{2n}?c^{2n} \)
 

Hallada la raiz \( 2n \)  :

\( \sqrt[2n]{2}b?c \)
 

el interrogante es \( \neq  \) porque \( \sqrt[2n]{2} \)  es un irracional.

Citar
En cuanto a los ejemplos, también numéricos , que pones sólo son válidos los \( 1997^{10}+1997^{10}>1999^{10}  \)  y \( 17^{10}+17^{10}<19^{10} \)

No se que quieres decir con "sólo son válidos". Lo que quiero decir es que dados enteros \( a,b,c \) y siendo \( n \) el mayor entero tal que:

\( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) (*)

No puede saberse a priori si se tendrá:

\( b^{2n}+b^{2n}>c^{2n} \) ó \( b^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \)

La forma rigurosa de demostrar mi afirmación es mostrar ejemplos de uno y otra situación.

Para \( a=600 \), \( b=1997 \), \( c=1999 \)  y \( n=5  \) se tiene (*) pero \( b^{2n}+b^{2n}>c^{2n} \).

Sin embargo, para  \( a=15 \), \( b=17 \), \( c=19 \)  y \( n=5  \) se tiene (*) pero \( b^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \). 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 15 Mayo, 2019, 01:10 pm
Hola

Parece que te extraña el uso del adjetivo “válida”

Si estamos hablando de \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
 

no caben tus ejemplos (no son válidos):

\( 600^{4}+1997^{4}>1999^{4} \)
 

\( 600^{5}+1997^{5}<1999^{5} \)
 

porque \( 600\neq1997 \)
 

ni tampoco

\( 15^{4}+17^{4}>19^{4} \)
 

\( 15^{5}+17^{5}<19^{5} \)
 

porque \( 15\neq17 \)
 

Por otro lado el exponente 5 no es par.

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Mayo, 2019, 07:31 pm
Hola

Parece que te extraña el uso del adjetivo “válida”

No es que me estrañe, es que si no se aclara en que criterio estás considerando para determinar la validez o no, no tiene sentido. En alguno casos se sobrentiende el criterio; en los que yo te he comentado no se entiende.

Citar
Si estamos hablando de \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
 
no caben tus ejemplos (no son válidos):

\( 600^{4}+1997^{4}>1999^{4} \)
 

\( 600^{5}+1997^{5}<1999^{5} \)
 

porque \( 600\neq1997 \)
 

ni tampoco

\( 15^{4}+17^{4}>19^{4} \)
 

\( 15^{5}+17^{5}<19^{5} \)
 

porque \( 15\neq17 \)
 

Por otro lado el exponente 5 no es par.

Intenta leer de manera comprensiva.

Tu planteamiento es. Dar enteros \( a,b,c \) y luego el mayor entero tal que:

(1) \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
(2) \( a^n+b^n<c^n \)

 y luego investigar que ocurre con:

(3) \( b^{2n}+b^{2n} \) y \( c^{2n} \)

 Entonces en mi primer ejemplo he tomado:

\( a=600 \), \( b=1997 \), \( c=1999 \)  y \( n=5  \)

 Muestro que se cumple (1) y (2)

(1) \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) es decir \( 600^{5-1}+1997^{5-1}>1999^{5-1} \).
(2) \( a^n+b^n<c^n \) es decir \( 600^{5}+1997^{5}<1999^{5} \).

 Y respecto a (3) se tiene:

(3) \( b^{2n}+b^{2n}>c^{2n} \) es decir \( 1997^{10}+1997^{10}>1999^{10} \)

 En el segundo ejemplo:

  \( a=15 \), \( b=17 \), \( c=19 \)  y \( n=5  \)

 De nuevo muestro que se cumple (1) y (2)

(1) \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) es decir \( 15^{5-1}+17^{5-1}>19^{5-1} \).
(2) \( a^n+b^n<c^n \) es decir \( 15^{5}+17^{5}<19^{5} \).

 Pero ahora respecto a (3) se tiene:

(3) \( b^{2n}+b^{2n}<c^{2n} \) es decir \( 17^{10}+17^{10}<19^{10} \)
 
 Es decir bajo las hipótesis (1) y (2) no puede concluirse a priori en que sentido irá la desigualdad (3).

 Espero que ahora hayas entendido porqué en cada uno de los dos ejemplos escribí las desigualdades (1) y (2): para mostrar que estamos en las hipótesis que tu misma estableciste:

Como cuestión aparte, aunque relacionada con la principal,expongo esta:

(1) \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \)
 

Siendo \( n \)  el mayor valor que produce la desigualdad con el signo \( > \)

Supongo que (2) \( a^{n}+b^{n}<c^{n} \)

[...] 

Mi pregunta es si (3) \( b^{2n}+b^{2n}?c^{2n} \)
 
¿cúal es el interrogante \( = ; >;< \) ?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Mayo, 2019, 12:49 pm
Hola

Perdona mi cortedad. Tienes toda la razón. Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).

Cuando en mis dos primeras partes de mi intento

\( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

para \( n\geq3 \)
 

creo recordar que dijistes que eso también era correcto para reales. Es como si tuvieses un poco la obsesión de incluir a los reales en mi intento. Cosa que jamás se me ha pasado por la cabeza.

En cuanto a la tercera parte de mi intento: \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)  acabas de poner un ejemplo de que mi intento no funciona cuando

\( n=3 \)  ; \( a=2 \)  ;\(  b=3 \) ; \( c=\sqrt[3]{2^{3}+3^{3}} \)

No acabo de entenderlo.
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 16 Mayo, 2019, 04:06 pm
Hola

Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).

Nadie te "exige" que demuestres el UTF para números reales, porque de hecho en ese caso es falso. La ecuación de Fermat si tiene soluciones no triviales en los reales.

Lo único que "exijo" a  una prueba del Teorema de Fermat es que sea correcta; y todos tus intentos están mal, rematadamente mal. Y te lo he indicado en cada caso.

Lo de los reales es un comentario adicional, un bonus; que si entendieses te haría comprender más rápidamente que con el tipo de argumentos que usas es imposible que llegues a nada útil.

Pero ha queda claro que eres incapaz de entender ese matiz. Olvídalo si quieres.

Citar
Cuando en mis dos primeras partes de mi intento

\( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n} \)
 

para \( n\geq3 \)
 

creo recordar que dijistes que eso también era correcto para reales.

Si, es correcto.

Citar
Es como si tuvieses un poco la obsesión de incluir a los reales en mi intento. Cosa que jamás se me ha pasado por la cabeza.

No tengo tal obsesión; en absoluto. Al contrario, lo que digo es que deberías de usar de manera decisiva que tus variables son enteros. Y no lo haces. Al no hacerlo eres tu, y no yo, la que pese a que simplemente afirmes que tus números son enteros, dejas la puerta abierta a que tu supuesta demostración debiera de funcionar también para los reales.

Citar
En cuanto a la tercera parte de mi intento: \( a^{2}+b^{2}>c^{2} \)  acabas de poner un ejemplo de que mi intento no funciona cuando

\( n=3 \)  ; \( a=2 \)  ;\(  b=3 \) ; \( c=\sqrt[3]{2^{3}+3^{3}} \)

No acabo de entenderlo.

¿Exactamente qué no entiendes? Ese ejemplo lo puse porque afirmaste:

Citar
Respecto a la desigualdad de las dos fracciones, la afirmo para todos los números reales.

Supongo que te refieres a las fracciones:

\( \dfrac{c^{2n}-2a^{n}c^{n}}{c^{n}-2a^{n}} \) y \( \dfrac{b^{2n}-a^{2n}}{b^{n}-a^{n}} \)

Lo que digo es que si tomas los valores:

\( n=3 \)  ; \( a=2 \)  ;\(  b=3 \) ; \( c=\sqrt[3]{2^{3}+3^{3}} \)

entonces las dos fracciones son iguales.

Así que si tu afirmas la desigualdad para todos los números reales, esa afirmación es falsa.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Mayo, 2019, 06:04 pm
Hola

Te repito este párrafo:

Perdona mi cortedad. Tienes toda la razón. Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).

Contéstame por favor.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Mayo, 2019, 07:51 am
Hola

Te repito este párrafo:

Perdona mi cortedad. Tienes toda la razón. Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).

Contéstame por favor.

Te he respondido en mi mensaje anterior; si no entiendes algo de mi respuesta o quieres que detalle más algún punto indícalo explicando lo que no has entendido o los matices que quieres introducir:

Si yo fuera contemporánea de Pierre de Fermat, creo que nadie me exigiría que demostrase su UTF no sólo para enteros positivos sino también para reales (encima mezclándolos).

Nadie te "exige" que demuestres el UTF para números reales, porque de hecho en ese caso es falso. La ecuación de Fermat si tiene soluciones no triviales en los reales.

Lo único que "exijo" a  una prueba del Teorema de Fermat es que sea correcta; y todos tus intentos están mal, rematadamente mal. Y te lo he indicado en cada caso.

Lo de los reales es un comentario adicional, un bonus; que si entendieses te haría comprender más rápidamente que con el tipo de argumentos que usas es imposible que llegues a nada útil.

Pero ha queda claro que eres incapaz de entender ese matiz. Olvídalo si quieres.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 17 Mayo, 2019, 05:40 pm
Hola

Te voy a hacer la pregunta de un modo más concreto, ¿existían en los tiempos que vivió Fermat los mismos números reales tal como los conocemos hoy?

En reiteradas ocasiones me repites que no basta con que yo afirme que \( a, b,c \) son enteros positivos. Yo te pido por favor que me pongas un caso, una expresión, en que sí baste que se afirme que las letras  son enteros positivos. Pero, ojo, con letras.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Mayo, 2019, 11:15 am
Hola

Te voy a hacer la pregunta de un modo más concreto, ¿existían en los tiempos que vivió Fermat los mismos números reales tal como los conocemos hoy?

Si.

Citar
En reiteradas ocasiones me repites que no basta con que yo afirme que \( a, b,c \) son enteros positivos. Yo te pido por favor que me pongas un caso, una expresión, en que sí baste que se afirme que las letras  son enteros positivos. Pero, ojo, con letras.

Lo que quiero decir es que no se trata de que se afirme que son enteros, sino de que se utilice; es decir que alguna parte de tu argumento funcione para enteros pero no para reales.

En concreto ya te puse un ejemplo de lo que quería decir:

Observa esos dos ejemplos:

1) Sean \( a,b \) enteros. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a\geq b+1 \).

2) Sean \( a,b \) enteros. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a+1\geq b+1 \).

Ambas afirmaciones son ciertas. Pero en la primera es decisivo que \( a,b \) sean enteros, pero en la segunda no, es decir si ahora escribo:

1) Sean \( a,b \) reales. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a\geq b+1 \)…. ¡FALSO!

Spoiler
Por ejemplo \( 0.5>0 \) pero \( 0.5<0+1 \)
[cerrar]

2) Sean \( a,b \) reales. Entonces si \( a>b \) se deduce que \( a+1\geq b+1 \).  CIERTO.

Entonces tu utilizas razonamiento como el (2) donde en ningún caso es decisivo que los números implicados sean enteros (y eso no tiene nada que ver como ves con que yo previamente haya escrito si son enteros o si son reales).

 En su momento no contestaste NADA a eso; NADA. Si no lo entiendes indica que es lo que no comprendes.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 20 Mayo, 2019, 01:26 pm
Hola

Según lo que me contestas, resulta que las dos primeras partes de mi intento de demostración:

\( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n}  \) si \( n\geq3 \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n}  \) si \( n\geq3 \)
 

no sirven para nada porque también se cumplen para reales.

Los ejemplos que pones incluyen letras pero también números :\(  a,b,1 \)
 

Te pido que pongas un ejemplo sólo con letras de complejidad (o no complejidad) de \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Mayo, 2019, 04:45 pm
Hola

Según lo que me contestas, resulta que las dos primeras partes de mi intento de demostración:

\( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n}  \) si \( n\geq3 \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n}  \) si \( n\geq3 \)
 

no sirven para nada porque también se cumplen para reales.

No. Sigues sin entender. Esa propiedad es cierta para los reales; entonces no hay nada raro en que la demuestres con argumentos que son válidos también para los reales.

El problema está cuando se prueba una propiedad que es válida para los enteros pero NO para los reales, usando argumentos donde aparentemente no se usa el carácter entero de los números; en ese caso o bien los argumentos son erróneos o bien en alguno de ellos si estamos usando el carácter entero de los números y no nos damos cuenta.

Citar
Los ejemplos que pones incluyen letras pero también números :\(  a,b,1 \)
 
Te pido que pongas un ejemplo sólo con letras de complejidad (o no complejidad) de \( a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 
No te voy a poner ningún otro ejemplo hasta que entiendas ese; y es claro que no lo has hecho. Complicar más el ejemplo no aporta nada.

Saludos.

P.D. Reitero una vez más lo siguiente: no olvides en cualquier caso que tus intentos de demostración están mal porque contienen errores burdos que te he ido indicando, de manera totalmente independiente al comentario adicional que luego te hago sobre los reales.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 21 Mayo, 2019, 12:56 pm
Hola

Transcribo tus palabras: “... es decir que alguna parte de tu argumento funcione para enteros pero no para reales”.

Entonces te pregunto, las dos primeras partes de mi intento ¿me sirven para demostrar a \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \) siendo que se cumplen para reales ?

Si en tu opinión no sirven, entonces no me queda otra opción que demostrar la tercera parte tanto para enteros como para reales.

Transcribo tus palabras: “Esa propiedad es cierta para los reales; entonces no hay nada raro en que la demuestres con argumentos que son válidos TAMBIÉN para los reales”.

Te pregunto ¿no está demostrada ya?

Luis he entendido perfectamente tus ejemplos con \( a,b,1 \)  . Pon otro más complicado sólo con letras por favor.

Saludos.

P.D. Siempre te he ido agradeciendo todos los errores burdos que he ido cometiendo y me has hecho notar. GRACIAS.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 21 Mayo, 2019, 01:17 pm
Hola

Transcribo tus palabras: “... es decir que alguna parte de tu argumento funcione para enteros pero no para reales”.

Entonces te pregunto, las dos primeras partes de mi intento ¿me sirven para demostrar a \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \) siendo que se cumplen para reales ?

No se si te entiendo. Insisto son correctas. ¿Sirven para probar el Teorema de Fermat? No lo se; en cualquier caso a lo sumo son un paso ínfimo y trivial.

Citar
Si en tu opinión no sirven, entonces no me queda otra opción que demostrar la tercera parte tanto para enteros como para reales.

No entiendo lo que quieres decir. Desde luego si pretendes demostrar el Teorema de Fermat, tienes que usar de manera decisiva que las variables implicadas son enteras; para números reales el Teorema de Fermat es falso.

Citar
Transcribo tus palabras: “Esa propiedad es cierta para los reales; entonces no hay nada raro en que la demuestres con argumentos que son válidos TAMBIÉN para los reales”.

Te pregunto ¿no está demostrada ya?

¡Buf! No te entiendo. Si te refieres a esto:

Según lo que me contestas, resulta que las dos primeras partes de mi intento de demostración:

\( a^{2}+b^{2}<c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n}  \) si \( n\geq3 \)
 

\( a^{2}+b^{2}=c^{2}\rightarrow a^{n}+b^{n}<c^{n}  \) si \( n\geq3 \)
 

Son propiedades conocidas, y perfectamente demostradas. Ahora mismo no recuerdo si tu has escrito aquí su demostración o no. Se pueden probar sin problema ninguno.

Citar
Luis he entendido perfectamente tus ejemplos con \( a,b,1 \) 
.

No lo creo. Insisto en que si lo hubieses entendido no haría falta otro ejemplo más complicado. Si lo has entendido y tanto interés tienes, construye tu el ejemplo.

El que yo te he puesto ilustra perfectamente el problema que quiero hacerte ver. Cualquier complicación del mismo es meter ruido.

Mi percepción por todo lo que respondes es que no has entendido absolutamente nada de todo esto. No es sorprendente, porque tu misma te declaraste incapaz de entender cosas muy elementales que te propuse mensajes atrás.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 17 Junio, 2019, 06:57 pm
Hola

Al multiplicar las dos fracciones en cruz llegamos a:

\( c^{n}b^{n}(c^{n}-2a^{n})+a^{2n}(c^{n}-2a^{n})?b^{2n}(c^{n}-2a^{n})+c^{n}a^{n}(c^{n}-2a^{n}) \)
 

dividiendo por \( (c^ {n}-2a^{n}) \)
 

llegamos a \( c^{n}?b^{n}+a^{n} \)
 

Si la expresión \( (c^{n}-2a^{n}) \)  equivale a \( (b^{n}-a^{n}) \) :

Dividamos el primer miembro por \( (c^{n}-2a^{n}) \)  y el segundo por \( (b^{n}-a^{n}) \) :

\( c^{n}b^{n}+a^{2n}?b^{2n}\frac{c^{n}-2a^{n}}{b^{n}-a^{n}}+c^{n}a^{n}\frac{c^{n}-2a^{n}}{b^{n}-a^{n}} \)
 

\( c^{n}b^{n}(b^{n}-a^{n})+a^{2n}(b^{n}-a^{n})?b^{2n}(c^{n}-2a^{n})+c^{n}a^{n}(c^{n}-2a^{n}) \)
 

\( c^{n}b^{2n}-c^{n}b^{n}a^{n}+a^{2n}b^{n}-a^{3n}?b^{2n}c^{n}-2a^{n}b^{2n}+c^{2n}a^{n}-2c^{n}a^{2n} \)
 

\( a^{2n}b^{n}+2a^{n}b^{n}+2c^{n}a^{2n}?c^{2n}a^{n}+c^{n}b^{n}a^{n}+a^{3n} \)
 

\( a^{n}+2+\frac{2c^{n}a^{2n}}{a^{n}b^{n}}?\frac{c^{2n}a^{n}}{a^{n}b^{n}}+\frac{c^{n}b^{n}a^{n}}{b^{n}a^{n}}+\frac{a^{3n}}{b^{n}a^{n}} \)
 

\( a^{n}+2+\frac{2c^{n}a^{n}}{b^{n}}?\frac{c^{2n}}{b^{n}}+c^{n}+\frac{a^{2n}}{b^{n}} \)
 

\( \frac{2c^{n}a^{n}}{b^{n}}-\frac{c^{2n}}{b^{n}}-\frac{a^{2n}}{b^{n}}?c^{n}-a^{n}-2 \)
 

Negativo \( \neq \)  Positivo

Como conclusión, debemos cuestionar la igualdad

\( (c^{n}-2a^{n})\neq b^{n}-a^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Junio, 2019, 09:21 am
Hola

 Una vez más desde el principio si uno echa un vistazo "grueso" a lo que haces, ve que es IMPOSIBLE que cuestione la igualdad \( a^n+b^n=c^n \).

 Sea como sea vamos con el error concreto. Aquí:

\( c^{n}b^{2n}-c^{n}b^{n}a^{n}+a^{2n}b^{n}-a^{3n}?b^{2n}c^{n}-2a^{n}b^{2n}+c^{2n}a^{n}-2c^{n}a^{2n} \)
 

\( a^{2n}b^{n}+2a^{n}\color{red}b^{n}\color{black}+2c^{n}a^{2n}?c^{2n}a^{n}+c^{n}b^{n}a^{n}+a^{3n} \)

Debería de ser:

\( a^{2n}b^{n}+2a^{n}\color{red}b^{2n}\color{black}+2c^{n}a^{2n}?c^{2n}a^{n}+c^{n}b^{n}a^{n}+a^{3n} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Julio, 2019, 11:47 am
Hola

Son tantas mis meteduras de pata que, posiblemente, en lo que sigue, haya alguna más. Pero no logro verla.

Hagamos ahora la cosa a la inversa:

\( c^{n}b^{n}\frac{c^{n}-2a^{n}}{b^{n}-a^{n}}+a^{2n}\frac{c^{n}-2a^{n}}{b^{n}-a^{n}}?b^{2n}+c^{n}a^{n} \)
 

\( c^{n}b^{n}(c^{n}-2a^{n})+a^{2n}(c^{n}-2a^{n})?b^{2n}(b^{n}-a^{n})+c^{n}a^{n}(b^{n}-a^{n}) \)
 

\( c^{2n}b^{n}-2a^{n}c^{n}b^{n}+a^{2n}c^{n}-2a^{3n}?b^{3n}-b^{2n}a^{n}+c^{n}a^{n}b^{n}-c^{n}a^{2n} \)
 

\( c^{2n}b^{n}+a^{2n}c^{n}+b^{2n}a^{n}+c^{n}a^{2n}?b^{3n}+c^{n}a^{n}b^{n}+2a^{n}c^{n}b^{n}+2a^{3n} \)
 

\( c^{2n}b^{n}+2a^{2n}c^{n}+b^{2n}a^{n}?b^{3n}+3c^{n}a^{n}b^{n}+2a^{3n} \)
 

\( c^{2n}+b^{n}+b^{2n}a^{n}-b^{3n}-3c^{n}a^{n}b^{n}?2a^{3n}-2a^{2n}c^{n} \)
 

\( b^{n}(c^{2n}+b^{n}a^{n}-b^{2n}-3c^{n}a^{n})?2a^{2n}(a^{n}-c^{n}) \)
 

Por un lado el factor\(  b^{n} \) (m.1) < factor \( 2a^{2n} \)(m.2º)
 

Veamos como son los otros dos factores:

\( c^{2n}+b^{n}a^{n}-b^{2n}-3c^{n}a^{n} \)  (m.1º) ? \( a^{n}-c^{n} \)}  (m.2º)

(m.1º) \( c^{2n}+b^{n}a^{n}+c^{n}?a^{n}+b^{2n}+3c^{n}a^{n} \)  (m.2º)

\( c^{2n}-b^{2n}+c^{n}-a^{n} \)  (m.1º) ? \( 3c^{n}a^{n}-b^{n}a^{n} \)  (m.2º)

\( (c^{n}+b^{n})(c^{n}-b^{n})+b^{n} \) (m.1º) ? \( 3c^{n}a^{n}-b^{n}a^{n} \) (m.2º)

\( c^{n}+b^{n}+\frac{b^{n}}{a^{n}}  \) (m.1º) ?\(  3c^{n}-b^{n} \)  (m.2º)

\( 2b^{n}+\frac{b^{n}}{a^{n}} \)  (m.1º) ? \( 2c^{n} \)  (m.2º)

\( \frac{b^{n}}{a^{n}} \)  (m.1º) ? \( 2(c^{n}-b^{n} \))  (m.2º)

\( \frac{b^{n}}{a^{n}} \) (m.1º) ? \( 2a^{n}  \) (m.2º) ; \( b^{n} \) (mi 1º) < \( 2a^{2n} \)  (m.2º)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Julio, 2019, 12:59 pm
Hola

Son tantas mis meteduras de pata que, posiblemente, en lo que sigue, haya alguna más. Pero no logro verla.

Hagamos ahora la cosa a la inversa:

\( c^{n}b^{n}\frac{c^{n}-2a^{n}}{b^{n}-a^{n}}+a^{2n}\frac{c^{n}-2a^{n}}{b^{n}-a^{n}}?b^{2n}+c^{n}a^{n} \)
 

\( c^{n}b^{n}(c^{n}-2a^{n})+a^{2n}(c^{n}-2a^{n})?b^{2n}(b^{n}-a^{n})+c^{n}a^{n}(b^{n}-a^{n}) \)
 

\( c^{2n}b^{n}-2a^{n}c^{n}b^{n}+a^{2n}c^{n}-2a^{3n}?b^{3n}-b^{2n}a^{n}+c^{n}a^{n}b^{n}-c^{n}a^{2n} \)
 

\( c^{2n}b^{n}+a^{2n}c^{n}+b^{2n}a^{n}+c^{n}a^{2n}?b^{3n}+c^{n}a^{n}b^{n}+2a^{n}c^{n}b^{n}+2a^{3n} \)
 

\( c^{2n}b^{n}+2a^{2n}c^{n}+b^{2n}a^{n}?b^{3n}+3c^{n}a^{n}b^{n}+2a^{3n} \)
 

\( c^{2n}+b^{n}+b^{2n}a^{n}-b^{3n}-3c^{n}a^{n}b^{n}?2a^{3n}-2a^{2n}c^{n} \)
 

\( b^{n}(c^{2n}+b^{n}a^{n}-b^{2n}-3c^{n}a^{n})?2a^{2n}(a^{n}-c^{n}) \)
 

Por un lado el factor\(  b^{n} \) (m.1) < factor \( 2a^{2n} \)(m.2º)
 

Veamos como son los otros dos factores:

\( c^{2n}+b^{n}a^{n}-b^{2n}-3c^{n}a^{n} \)  (m.1º) ? \( a^{n}-c^{n} \)}  (m.2º)

(m.1º) \( c^{2n}+b^{n}a^{n}+c^{n}?a^{n}+b^{2n}+3c^{n}a^{n} \)  (m.2º)

\( c^{2n}-b^{2n}+c^{n}-a^{n} \)  (m.1º) ? \( 3c^{n}a^{n}-b^{n}a^{n} \)  (m.2º)

\( (c^{n}+b^{n})(c^{n}-b^{n})+b^{n} \) (m.1º) ? \( 3c^{n}a^{n}-b^{n}a^{n} \) (m.2º)

\( c^{n}+b^{n}+\frac{b^{n}}{a^{n}}  \) (m.1º) ?\(  3c^{n}-b^{n} \)  (m.2º)

\( 2b^{n}+\frac{b^{n}}{a^{n}} \)  (m.1º) ? \( 2c^{n} \)  (m.2º)

\( \frac{b^{n}}{a^{n}} \)  (m.1º) ? \( 2(c^{n}-b^{n} \))  (m.2º)

\( \frac{b^{n}}{a^{n}} \) (m.1º) ? \( 2a^{n}  \) (m.2º) ; \( b^{n} \) (mi 1º) < \( 2a^{2n} \)  (m.2º)

¿Pero qué conclusión pretendes sacar de ahí?.

Ten en cuenta que los términos \( a^n-c^n \) y \( c^{2n}+b^na^n-b^{2n}-3c^na^n \) son negativos.

Entonces de \( 0<A<B \) y \( C<D<0 \) no se deduce que \( AC<BD \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Julio, 2019, 01:24 pm
Hola

\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+4a^{2n}-4c^{n}a^{n}?b^{2n}+a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

\( c^{2n}-b^{2n}?4c^{n}a^{n}-3a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( c^{2n}?a^{n}(4c^{n}-3a^{n})+b^{n}(b^{n}-2a^{n}) \)
 

Si \(  b^{n}=2a^{n} \)
 

\( c^{2n}>a^{n}(4c^{n}-3a^{n}) \)
 

Si \(  b^{n}<2a^{n} \)
 

\( c^{2n}>a^{n}(4c^{n}-3a^{n})+ \) Negativo

Si \( b^{n}>2a^{n} \)
 

entonces \( b^{n}(b^{n}-2a^{n})<b^{2n} \)
 

Y tendremos

\( c^{2n}?4c^{n}a^{n}-3a^{2n}+<b^{2n} \)
 

\( a^{2n}+b^{2n}+2a^{n}b^{n}?4a^{n}c^{n}-3a^{2n}+<b^{2n} \)
 

\( 4a^{2n}+(b^{2n}-<b^{2n})?4a^{n}c^{n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( 4a^{2n}+(b^{2n}-<b^{2n})?2a^{n}(2c^{n}-b^{n}) \)
 

\( 2a^{n}+\frac{b^{2n}-<b^{2n}}{2a^{n}}?2c^{n}-b^{n} \)
 

\( 2a^{n}+b^{n}+\frac{b^{2n}}{2a^{n}}?2c^{n}+\frac{<b^{2n}}{2a^{n}} \)
 

\( \frac{b^{2n}-<b^{2n}}{2a^{n}}?2c^{n}-b^{n}-2a^{n} \);  \( \frac{b^{2n}-<b^{2n}}{2a^{n}}?b^{n} \)
 

\( b^{2n}-<b^{2n}?2a^{n}b^{n} \)  ; \( b^{n}-<b^{n}?2a^{n} \)  ; \( b^{n}<2a^{n}+<b^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Julio, 2019, 09:58 am
Hola


\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+4a^{2n}-4c^{n}a^{n}?b^{2n}+a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

\( c^{2n}-b^{2n}?4c^{n}a^{n}-3a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( c^{2n}?a^{n}(4c^{n}-3a^{n})+b^{n}(b^{n}-2a^{n}) \)
 

Si \(  b^{n}=2a^{n} \)
 

\( c^{2n}\color{red}>\color{black}a^{n}(4c^{n}-3a^{n}) \)

¿De dónde te sacas ese signo mayor qué?.
 
Citar
Si \(  b^{n}<2a^{n} \)
 
\( c^{2n}\color{red}>\color{black}a^{n}(4c^{n}-3a^{n})+ \) Negativo

De nuevo, ¿de dónde te sacas ese signo mayor qué?

Citar
Si \( b^{n}>2a^{n} \)
 

entonces \( b^{n}(b^{n}-2a^{n})<b^{2n} \)
 

Y tendremos

\( c^{2n}?4c^{n}a^{n}-3a^{2n}+<b^{2n} \)
 

\( a^{2n}+b^{2n}+2a^{n}b^{n}?4a^{n}c^{n}-3a^{2n}+<b^{2n} \)
 

\( 4a^{2n}+(b^{2n}-<b^{2n})?4a^{n}c^{n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( 4a^{2n}+(b^{2n}-<b^{2n})?2a^{n}(2c^{n}-b^{n}) \)
 

\( 2a^{n}+\frac{b^{2n}-<b^{2n}}{2a^{n}}?2c^{n}-b^{n} \)
 

\( 2a^{n}+b^{n}+\frac{b^{2n}}{2a^{n}}?2c^{n}+\frac{<b^{2n}}{2a^{n}} \)
 

\( \frac{b^{2n}-<b^{2n}}{2a^{n}}?2c^{n}-b^{n}-2a^{n} \);  \( \frac{b^{2n}-<b^{2n}}{2a^{n}}?b^{n} \)
 

\( b^{2n}-<b^{2n}?2a^{n}b^{n} \)  ; \( b^{n}-<b^{n}?2a^{n} \)  ; \( b^{n}<2a^{n}+<b^{n} \)

Y ahí, no se que conclusión pretendes sacar de todo esto.

En ninguno de los casos que has apuntado se concluye que sea imposible la igualdad inicial.

De hecho todo parte de manipulaciones algebraicas elementales desde aquí:

\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)

Esa expresión es una igualdad si \( c^n=a^n+b^n \) por tanto NADA de lo que hagas con esas simples manipulaciones algebraicas (qué solo usan las propiedades de las operaciones los números reales y su relación de orden permitirá probar que esa igualdad NO es posible.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Julio, 2019, 12:42 pm
Hola

Luis eres sensacional. Me siento avergonzada.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 24 Julio, 2019, 05:40 pm
Hola

Empiezo por decir que minette esta muy afectada.

Yo te ruego Luis que me aclares (porque no se entiende bien) el último párrafo de tu respuesta 462 que transcribo:
"Esa expresión es una igualdad si \( c^n =a^n+b^n \) por tanto NADA de lo que hagas con esas simples manipulaciones algebraicas (que solo usan las propiedades de las operaciones los números reales y su relación de orden permitirá probar que esa igualdad NO es posible."

Si \( (c^n-2a^n)^2=(b^n-a^n)^2 \)
entonces \( c^{2n}=a^n(4c^n-3a^n)+b^n(b^n-2a^n) \)
y cuando \( b^n=2a^n \), o también \( b^n<2a^n \)
ocurre que \( c^{2n}\neq{}a^n(4c^n-3a^n) \)
y por tanto
\( (c^n-2a^n)^2\neq{}(b^n-a^n)^2 \)

Continuaré

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Maite_ac en 24 Julio, 2019, 06:35 pm
Hola

Me acabo de dar cuenta de que lo que contiene mi anterior respuesta es una solemne tontería.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 31 Julio, 2019, 06:35 pm
Hola

Como bien dice Luis el paréntesis entre las expresiones

\( c^{n}-2a^{n}?b^{n}-a^{n} \)
 

es un = si \( c^{n}=a^{n}+b^{n} \)  .

No nos podemos apoyar en que está demostrado que \( c^{n}\neq a^{n}+b^{n} \) .

Entonces si elevamos al cuadrado las citadas expresiones \( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

tenemos

\( c^{2n}+4a^{2n}-4a^{n}c^{n}?b^{2n}+a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?4a^{n}c^{n}+b^{2n} \)
 

\( c^{2n} \)  (1º m.) \( > b^{2n} \)  (2º m.)

Veamos como son el resto de expresiones

1º m. \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?4a^{n}c^{n} \)  2º m.

1º m. \( 3a^{n}+2b^{n}<4c^{n} \)  2º m.

0 sea 1º m. \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}<4a^{n}c^{n} \)  2º m

entonces

\( c^{2n}-b^{2n} \)  favor 1º m.

\( 4a^{n}c^{n}-3a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)  favor 2º m.

1º m. \( c^{2n}-b^{2n}?4a^{n}c^{n}-3a^{2n}-2a^{n}b^{n} \) 2º m.

\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+4a^{n}c^{n} \)
 

\( c^{2n}-4a^{n}c^{n}?b^{2n}-3a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( c^{n}(c^{n}-4a^{n})?b^{2n}-a^{n}(3a^{n}+2b^{n}) \)
 

Si \( c^{n}=4a^{n}\rightarrow \)  1º m. \( = 0  \)

Para que el 2º m. sea \( = 0 \)

\( b^{2n}=a^{n}(3a^{n}+2b^{n}) \)
 

\( \sqrt[n]{(b^{2})^{n}}=\sqrt[n]{a^{n}(3a^{n}+2b^{n})}  \) ; \( b^{2}=a\sqrt[n]{3a^{n}+2b^{n}} \)
 

Esta igualdad no es posible porque \( \sqrt[n]{3a^{n}+2b^{n}} \)  es un irracional.

Si \( c^{n}<4a^{n} \)  el primer miembro es negativo

Si \( c^{n}>4a^{n} \)  el primer miembro es positivo

Estos dos últimos casos tampoco se pueden dar por la misma razón: \( \sqrt[n]{3a^{n}+2b^{n}}  \) es irracional

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Agosto, 2019, 05:45 pm
Hola

Mi presente respuesta es para afirmar que mi anterior 466 es una payasada.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Agosto, 2019, 06:56 pm
Hola

\( (c^{n}-2a^{n})(c^{n}-2a^{n})?(c^{n}-2a^{n})(b^{n}-a^{n}) \)
 

\( c^{2n}+4a^{2n}-4a^{n}c^{n}?c^{n}b^{n}-c^{n}a^{n}-2a^{n}b^{n}+2a^{2n} \)
 

\( c^{2n}+2a^{2n}-3a^{n}c^{n}?c^{n}b^{n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( c^{2n}>c^{n}b^{n} \)  favor 1ºm

Veamos como son el resto de términos

\( 2a^{2n}-3a^{n}c^{n}?-2a^{n}b^{n} \)
 

\( 2a^{2n}+2a^{n}b^{n}?3a^{n}c^{n} \)
 

divido por \( a^{n} \):
 

\( 2a^{n}+2b^{n}<3c^{n} \)  ; por tanto \( 2a^{2n}+2^{n}b^{n}<3a^{n}c^{n} \)
 

\( c^{2n}-c^{n}b^{n} \) favor 1º mi

\( 3a^{n}c^{n}-2a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)  favor 2º m.

Comparamos

1º m. \( c^{2n}-c^{n}b^{n}?3a^{n}c^{n}-2a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)  2º m.

1º m. \( c^{n}(c^{n}-b^{n}-3a^{n})?-2a^{n}-2a^{n}b^{n} \)  2º m.

\( c^{n}(-2a^{n})?-2a^{n}-2a^{n}b^{n} \)
 

divido por \( (-2a^{n}) \)
 

\( c^{n}?1+b^{n} \)
 

1º m. \( c^{n}>1+b^{n} \)  2º m.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Septiembre, 2019, 08:39 am
Hola

Luis no te molestes en contestar a mi respuesta 468. Esta mal. Ya he encontrado el fallo.

Espero que tus vacaciones hayan sido buenas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 24 Septiembre, 2019, 06:23 pm
Hola

\( (c-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+4a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+a^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

Siendo \( c^{2n} \)  1º m. \( >(b^{2n}+a^{2n}) \)  2º m.

para que el ? pueda ser =

2º m. \(  4c^{n}a^{n}>(4a^{2n}+2b^{n}a^{n})  \) 1º m.

Si el signo \( > \) fuera\(  \leq  \) la igualdad es imposible

O sea

1º m \(  c^{2n}>(b^{2n}+a^{2n}) \)  2º m

1º m \( (4a^{2n}+2b^{n}a^{n})>4c^{n}a^{n} \)  2º m.

Sumando 1º m. \( > \)  2º m.

Vayamos al caso

2º m. \( 4c^{n}a^{n}>(4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \)  1º m.

Dividimos por \( 2a^{n}  \) :

\( 2c^{n}>2a^{n}+b^{n} \)
 

Si \( c^{n}=a^{n}+b^{n} \) :

\( 2a^{n}+2b^{n}>2a^{n}+b^{n}\rightarrow2b^{n}>b^{n}\rightarrow2>1 \)
 

Entonces ocurre que la proporción entre

2º m. \( 4c^{n}a^{n} \)  y \( (4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \)  1 º m.

es 2 x 1 que es mucho mayor a la que existe entre \( c^{2n} \)  1º m y \( (b^{2n}+a^{2n})  \) 2º m.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Septiembre, 2019, 12:11 pm
Hola

\( (c-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+4a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+a^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

Siendo \( c^{2n} \)  1º m. \( >(b^{2n}+a^{2n}) \)  2º m.

para que el ? pueda ser =

2º m. \(  4c^{n}a^{n}>(4a^{2n}+2b^{n}a^{n})  \) 1º m.

Si el signo \( > \) fuera\(  \leq  \) la igualdad es imposible

O sea

1º m \(  c^{2n}>(b^{2n}+a^{2n}) \)  2º m

1º m \( (4a^{2n}+2b^{n}a^{n})>4c^{n}a^{n} \)  2º m.

Sumando 1º m. \( > \)  2º m.

Vayamos al caso

2º m. \( 4c^{n}a^{n}>(4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \)  1º m.

Dividimos por \( 2a^{n}  \) :

\( 2c^{n}>2a^{n}+b^{n} \)
 

Si \( c^{n}=a^{n}+b^{n} \) :

\( 2a^{n}+2b^{n}>2a^{n}+b^{n}\rightarrow2b^{n}>b^{n}\rightarrow2>1 \)
 

Entonces ocurre que la proporción entre

2º m. \( 4c^{n}a^{n} \)  y \( (4a^{2n}+2b^{n}a^{n}) \)  1 º m.

es 2 x 1 que es mucho mayor a la que existe entre \( c^{2n} \)  1º m y \( (b^{2n}+a^{2n})  \) 2º m.

No llegas a nada con eso:

\( 12396>12300 \)
\( 4<100 \)

Es mucho mayor la proporción \( 100:4 \) que \( 12396:12300 \) y eso no impide que:

\( 12396+4=12300+100 \)

Y en fin.. por razones ya comentadas, es imposible que ese tipo de argumentos lleve a nada útil.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Septiembre, 2019, 12:11 pm
Hola

No estoy segura de si el ejemplo que pones se adecua al tema que nos ocupa.
Creo que debes utilizar naturales que formen parte de una terna viable. Por ejemplo

\( (a=5,  b=7,  c=8) \) con \( n=3 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Septiembre, 2019, 01:44 pm
Hola

No estoy segura de si el ejemplo que pones se adecua al tema que nos ocupa.
Creo que debes utilizar naturales que formen parte de una terna viable. Por ejemplo

\( (a=5,  b=7,  c=8) \) con \( n=3 \).

¿A qué le llamas exactamente terna viable? Lo que está claro es que ninguna terna va a cumplir \( c^3=a^3+b^3 \).

Por lo demás lo que muestra mi ejemplo es que esa diferencia de proporcionalidad por si misma no es contradictoria, no dice nada, es perfectamente posible.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Septiembre, 2019, 06:16 pm
Hola

Terna viable.- Es aquella que podría dar lugar a \( a^n+b^n = c^n \). Una terna viable cumple \( a+b>c \) , cuando \( c>b>a \).

Demostración.- Si \( a+b=c \) entonces \( a^2 +b^2 < c^2 \) y, en general \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{2} \).

Si \( a+b<c \) entonces \( a^2+b^2<c^2 \) y, en general, \( a^n+b^n<c^n \) para \( n\geq{2} \).

Por tanto ninguna de las ternas de los dos casos citados podría llegar a \( a^n +b^n =c^n \)

Es decir, todas las ternas de los casos acabados de citar NO son viables.

No estamos discutiendo si \( c^3 \) puede ser igual o no a \( a^3+b^3 \).

Lo que trato de demostrar es que

\( (c-2a^n)^2\neq{}(b^n-a^n)^2 \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Septiembre, 2019, 12:10 pm
Hola

Lo que trato de demostrar es que

\( (c-2a^n)^2\neq{}(b^n-a^n)^2 \)

Creo que querías poner:

\( (\color{red}c^n\color{black}-2a^n)^2\neq{}(b^n-a^n)^2 \)

Y si bueno, es equivalente a discutir si \( c^n=a^n+b^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Octubre, 2019, 06:50 pm
Hola

¿Puede alguien demostrar que en una terna viable \( 3a^n>b^n \)?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Octubre, 2019, 10:32 am
Hola

¿Puede alguien demostrar que en una terna viable \( 3a^n>b^n \)?

Pues insisto en que no estoy cien por cien seguro a que llamas terna viable.

Terna viable.- Es aquella que podría dar lugar a \( a^n+b^n = c^n \). Una terna viable cumple \( a+b>c \) , cuando \( c>b>a \).

Dices que "podría". Pero eso es una vaguedad. En realidad sabemos (por que lo probó Wiles) que para \( n\geq 3 \) ninguna terna de naturales cumple esa ecuación; por tanto no hay ternas viables porque ninguna tripleta de naturales dará lugar a esa ecuación. En ese sentido cualquier afirmación que hicieses sobre una tal tripleta sería cierta, porque sería una afirmación sobre los elementos del conjunto vacío.

Por lo demás yo no veo ninguna prueba sencilla ni directa de que una tal terna tenga que cumplir \( 3a^n>b^n \). Desde luego para números reales, hay ternas tales que \( a^n+b^n=c^n \) y sin embargo \( 3a^n\leq b^n. \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Octubre, 2019, 11:52 am
Hola

Luis cuando empleo el condicional "podría" lo hago en honor a Wiles.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Octubre, 2019, 12:10 pm
Hola

Luis cuando empleo el condicional "podría" lo hago en honor a Wiles.

Me parece bien; pero eso ni cambia ni aclara nada respecto a lo que te he comentado.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Octubre, 2019, 12:31 pm
Hola

Concrétame por favor qué es lo que te tengo que aclarar.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Octubre, 2019, 12:48 pm
Hola

Concrétame por favor qué es lo que te tengo que aclarar.

Nada. Simplemente que eso último que has dicho sobre el "honor a Wiles" no aporta nada nuevo. Mi respuesta a lo anterior sigue siendo la misma:

Hola

¿Puede alguien demostrar que en una terna viable \( 3a^n>b^n \)?

Pues insisto en que no estoy cien por cien seguro a que llamas terna viable.

Terna viable.- Es aquella que podría dar lugar a \( a^n+b^n = c^n \). Una terna viable cumple \( a+b>c \) , cuando \( c>b>a \).

Dices que "podría". Pero eso es una vaguedad. En realidad sabemos (por que lo probó Wiles) que para \( n\geq 3 \) ninguna terna de naturales cumple esa ecuación; por tanto no hay ternas viables porque ninguna tripleta de naturales dará lugar a esa ecuación. En ese sentido cualquier afirmación que hicieses sobre una tal tripleta sería cierta, porque sería una afirmación sobre los elementos del conjunto vacío.

Por lo demás yo no veo ninguna prueba sencilla ni directa de que una tal terna tenga que cumplir \( 3a^n>b^n \). Desde luego para números reales, hay ternas tales que \( a^n+b^n=c^n \) y sin embargo \( 3a^n\leq b^n. \)

Si tu no tienes nada más que añadir, yo tampoco.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 18 Octubre, 2019, 06:08 pm
Hola

Dadas estas dos diferencias:

\( c^n-2a^n \)  ;  \( b^n -a^n \)

con \( c>b>a \) naturales y \( n= \) natural > 2

¿necesita demostración que estas diferencias aumentan al aumentar \( n \) ?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Octubre, 2019, 06:20 pm
Hola

Dadas estas dos diferencias:

\( c^n-2a^n \)  ;  \( b^n -a^n \)

con \( c>b>a \) naturales y \( n= \) natural > 2

¿necesita demostración que estas diferencias aumentan al aumentar \( n \) ?

Pues... si. Es decir cualquier afirmación en matemáticas necesita demostración; ahora en este caso es muy fácil la prueba, y si usases en algún momento ese hecho en algún desarrollo más largo en un contexto de investigación académica nadie te exigiría que lo probases porque se daría por obvio.

Spoiler
Por ejemplo basta tener en cuenta en general que:

\( x^n-y^n=(x-y)(\color{blue}x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2+\ldots+y^{n-1}\color{black}) \)

Y el término en azul es claramente creciente en \( n \) porque todos los términos son positivos.
[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Octubre, 2019, 05:41 pm
Hola

Dada esta desigualdad siendo \(  b>a \):
 

\( 3a^{^{2n}}+2b^{n}a^{n}\neq b^{2n} \)
 

\( 3a^{2n}\neq b^{2n}-2b^{n}a^{n} \)
 

\( 3a^{n}.a^{n}\neq b^{n}(b^{n}-2a^{n}) \)
 

factor  \( a^{n}<  \) factor \( b^{n} \)
 

factor  \( 3a^{n}?  \) factor  \( (b^{n}-2a^{n}) \)
 

\( 3a^{n}+2a^{n}?b^{n}\rightarrow5a^{n}>b^{n} \)
 

¿Cabe colegir que \( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n} \) ?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Octubre, 2019, 09:45 am
Hola

Dada esta desigualdad siendo \(  b>a \):
 

\( 3a^{^{2n}}+2b^{n}a^{n}\neq b^{2n} \)
 

\( 3a^{2n}\neq b^{2n}-2b^{n}a^{n} \)
 

\( 3a^{n}.a^{n}\neq b^{n}(b^{n}-2a^{n}) \)
 

factor  \( a^{n}<  \) factor \( b^{n} \)
 

factor  \( 3a^{n}?  \) factor  \( (b^{n}-2a^{n}) \)
 

\( 3a^{n}+2a^{n}?b^{n}\rightarrow5a^{n}>b^{n} \)
 

¿Cabe colegir que \( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n} \) ?

Si lo que preguntas es si del hecho de que \( b>a \) puede deducirse que \( 3a^{2n}+2b^na^n>b^{2n} \), la respuesta es NO, porque de hecho es falso.

Por ejemplo toma \( n=3 \), \( a=10 \), \( b=17 \).

Tampoco puede asegurarse la desigualdad opuesta. Por ejemplo toma  \( n=3 \), \( a=10 \), \( b=13 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Octubre, 2019, 12:08 pm
Hola

Siendo \( c>a \) trato de demostrar que en \( c^{2n}? 4c^na^n  \), el interrogante sólo puede ser \( = \) si nos ceñimos a enteros positivos.

Si \( c^{2n}=4c^na^n \) ; \( c^{2n}-4c^na^n=0 \) ; \( c^n(c^n-4a^n)=0 \) con lo cual \( c_1^n=0 \) ; \( c_2^n=4a^n \).

Si \( c^{2n}>4c^na^n \) ; \( c^{2n}+t=4c^na^n \)

Despejando \( c^n \)

\( c^n=2a^n\pm{}\sqrt[ ]{4a^{2n}-t} \)

con lo cual la raiz sólo puede ser entera si \( t=0 \) y llegamos a \( c_1^n=0 \) y \( c_2^n=4a^n \)

Lo mismo para el caso \( c^{2n}<4c^na^n \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Octubre, 2019, 01:25 pm
Hola

Siendo \( c>a \) trato de demostrar que en \( c^{2n}? 4c^na^n  \), el interrogante sólo puede ser \( = \) si nos ceñimos a enteros positivos.

No puedes pretender probar tal cosa porque es FALSA. Por ejemplo basta tomar \( a=1 \), \( c=10 \) y \( n=3. \)

De hecho,... ¡obviamente!.... sólo se tiene la igualdad si \( c^n=4a^n \). Es decir fijado \( n \) y dado un valor de \( a \), existe un único valor de \( c \) para el cuál se tiene la igualdad.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Octubre, 2019, 06:55 pm
Hola

Perdona Luis por ser tan corta de entendimiento.

Pero tengo la impresión que los dos párrafos de tu respuesta 487 se contradicen.

O que tu respuesta 487 avala la mía 486.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 31 Octubre, 2019, 07:37 am
Hola

Pero tengo la impresión que los dos párrafos de tu respuesta 487 se contradicen.

No hay ninguna contradicción.

1) Primero digo que es FALSO que si \( c>a \) sólo se cumpla la igualdad en \( c^{2n}=4c^na^n \), porque de hecho pongo un ejemplo donde no se cumple.

2) Después preciso más y digo que de hecho esa igualdad sólo se cumple cuando \( c^n=4a^n. \)

Citar
O que tu respuesta 487 avala la mía 486.

Pues en principio no la avala, porque como he dicho al principio de tu mensaje 486 afirmas algo que es falso. Se me ocurre que te haya entendido mal y que lo único que quisieras decir es que \( c^{2n}=4c^na^n \), sólo cuando \( c^n=4a^n \). Eso es tan obvio, como cierto, como inútil.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 06 Noviembre, 2019, 06:37 pm
Hola

En \( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4c^na^n \)

\( c^{2n}-4c^na^n+3a^{2n}?-2b^na^n+b^{2n} \)

\( c^{2n}-4c^na^n+3a^{2n}=0 \)   para \( c^n=a^n \)

\( 2b^na^n?b^{2n} \)

\( 2b^nc^n?b^{2n}\longrightarrow{2c^n>b^n} \)

Primer miembro > 2º miembro

\( a^n+b^n\neq{c^n} \)

Saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Noviembre, 2019, 07:20 am
Hola

En \( (c^2-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4c^na^n \)

\( c^{2n}-4c^na^n+3a^{2n}?-2b^na^n+b^{2n} \)

\( c^{2n}-4c^na^n+3a^{2n}=0 \)   para \( c^n=a^n \)

\( 2b^na^n?b^{2n} \)

\( 2b^nc^n?b^{2n}\longrightarrow{2c^n>b^n} \)

Primer miembro > 2º miembro

\( a^n+b^n\neq{c^n} \)

Pero ahí utilizas que \( c^n=a^n \). Con esa suposición es obvio que \( a^n+b^n=c^n+b^n>c^n \) (sin tanta historia como haces). Tan obvio como poco interesante.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Noviembre, 2019, 12:03 pm
Hola

En \( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

\( c^{2n}-4a^nc^n+3a^{2n}?-2b^na^n+b^{2n} \)

\( c^{2n}-4a^nc^n+3a^{2n}=0 \)  para \( c^n=3a^n \)

\( 2b^nc^n?b^{2n} \)

Primer miembro > Segundo miembro

\( a^n+b^n\neq{c^n} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Noviembre, 2019, 12:07 pm
Hola

En \( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

\( c^{2n}-4a^nc^n+3a^{2n}?-2b^na^n+b^{2n} \)

\( c^{2n}-4a^nc^n+3a^{2n}=0 \)  para \( c^n=3a^n \)

\( 2b^nc^n?b^{2n} \)

Primer miembro > Segundo miembro

\( a^n+b^n\neq{c^n} \)

Una vez más tan cierto como inútil. Trabajas bajo la condición de que \( c^n=3a^n \). Bajo esa condición es inmediato que, dado que para números enteros \( b^n\neq 2a^n \):

\( a^n+b^n\neq 3a^n=c^n \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Noviembre, 2019, 01:00 pm
Hola

Perdona mi cortedad Luis.

Por favor explícame porqué:
 
"dado que para números enteros  \( b^n\neq{2a^n} \)"

¿Puedes demostrarme esta desigualdad \( b^n\neq{2a^n} \)?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Noviembre, 2019, 01:32 pm
Hola

Por favor explícame porqué:
 
"dado que para números enteros  \( b^n\neq{2a^n} \)"

¿Puedes demostrarme esta desigualdad \( b^n\neq{2a^n} \)?

Pues si se tuviese la igualdad \( b^n=2a^n \) entonces \( b \) sería par. En particular \( b=2^md \) con \( d \) impar. Pero entonces:

\( 2^{mn}d^n=2a^n\quad \Rightarrow{} a^n=2^{mn-1}d^n \)

con \( d \) impar. Pero eso es imposible porque la máxima potencia de \( 2 \) que divide a \( a^n \) debe de ser múltiplo de \( n. \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 08 Noviembre, 2019, 03:50 pm
Hola, minette, paso más que nada a saludarte, porque hace mucho que no paso a tu hilo.

Pero también paso para darte suerte (no sólo desearte) y para decirte eso de “mujer, grande es tu fe”.
 
No lo digo por la fe que puedas tener en demostrarlo, sino por el camino en que persistes y por algo que te argumentó Luis hace mucho y te ha repetido numerosas veces; argumento con en el que estuve de acuerdo desde el principio, no por darle la razón a él por ser matemático ni nada parecido, sino porque honradamente razono lo mismo y además llevo mucho viéndolo de eso modo (que yo a veces veo una cosa mal durante algún tiempo y se me nubla la mente, como sabe todo el mundo,  pero en este caso son años ya y en ningún momento lo he visto de otra forma; en otro caso lo hubiera dicho). Aunque, ahora que me fijo, en las últimas respuestas ya tomas condiciones como que intervenga la condición de ser par y no sólo desigualdades; perdón por no fijarme bien.
Por esto, para mí es literalmente un imposible metafísico que lo demuestres insistiendo en esas manipulaciones algebraicas; e incansablemente, a modo de una especie de Sísifo alimentado por un millón de pilas Duracell infinitamente recargables. No obstante, como me equivoco siempre (y aquí el porqué de darte suerte) a lo mejor también me equivoco al afirmar esto :) ; ojalá, ya sabes que me gustaría.
Sin embargo, sería un milagro (que no digo que no puedan ocurrir) un milagro matemático que, aparte de los honores que te reportaría tan inaudito hecho, debería conllevar la canonización por parte de la lglesia; unida dicha santificación a un sueldo Nescafé para toda la vida.

Un cordial saludo.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 11 Noviembre, 2019, 11:49 am
Hola

Gracias por tu respuesta Luis.

Si \( b>a \) ;  \( b^n?2a^n \) ;  \( b?\sqrt[n ]{2}a \) . Con lo cual \( b \) no es entero y la igualdad no es posible.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Noviembre, 2019, 12:51 pm
Hola

Gracias por tu respuesta Luis.

Si \( b>a \) ;  \( b^n?2a^n \) ;  \( b?\sqrt[n ]{2}a \) . Con lo cual \( b \) no es entero y la igualdad no es posible.

Si eso es otra prueba de que es imposible que \( b^n=2a^n \) estoy de acuerdo. Lo que pasa es que ahí das por supuesto que \( \sqrt[n]{2} \) no es entero, lo cual acepto y puede darse por sabido. Mi prueba era sin usar ese hecho.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 12 Noviembre, 2019, 06:34 pm
Hola Luis

De tu demostración \( b^n\neq{2a^n} \) ¿Se puede deducir que \( b^n>2a^n \)?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Noviembre, 2019, 09:33 pm
Hola

De tu demostración \( b^n\neq{2a^n} \) ¿Se puede deducir que \( b^n>2a^n \)?

No; yo solo uso que \( a \) y \( b \) son enteros. Con esas hipótesis es imposible demostrar que \( b^n>2a^n \) simplemente porque no tiene porque ser cierto (obviamente).

Si por el contrario añades la hipóteis de que \( b>a \) entonces es trivial que \( b^n>2a^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 25 Noviembre, 2019, 05:03 pm
Hola

¿Qué es mayor \( c^{2n}-4c^na^n \), o bien \( 4c^na^n-c^{2n} \) ?  Siendo \( c>a \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 25 Noviembre, 2019, 10:47 pm
Hola

¿Qué es mayor \( c^{2n}-4c^na^n \), o bien \( 4c^na^n-c^{2n} \) ?  Siendo \( c>a \).

Saludos.

Busca la razón entre los sumandos, minette, tú misma lo puedes ver.

\( \dfrac{c^{2n}}{4c^{n}a^{n}}=\dfrac{c^{n}}{4a^{n}}
  \)

Como \( c>a \), puedes tener, por ejemplo, \( c^{n}=3a^{n}
  \), en cuyo caso

\( \dfrac{c^{n}}{4a^{n}}=\dfrac{3}{4}<1
  \) y la primera resta saldría negativa.

Ahora bien, para naturales no existe \( c^{n}=3a^{n}
  \), porque la potencia está descompensada con cualquier número que no sea por lo menos un cuadrado, como 4. Pero si \( c^{n}=4a^{n}
  \) tiene que ser n=2, que supongo que no te interesa.

A partir de eso habrá que tomar \( c^{n}>4a^{n}
  \) y la primera resta sería positiva y la segunda negativa.

(todo esto si no me he equivocado)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Noviembre, 2019, 08:12 am
Hola

¿Qué es mayor \( c^{2n}-4c^na^n \), o bien \( 4c^na^n-c^{2n} \) ?  Siendo \( c>a \).

Es como dice feriva. Con esos datos no se puede saber cuál es de los dos es mayor; dependiendo de si \( c^n>4a^n \) o no, sera uno u otro el mayor (uno positivo y otro negativo).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Noviembre, 2019, 05:53 pm
Hola

Gracias Luis, gracias Feriva.

Expresión A  \( c^{2n}-4c^na^n \)
Expresión B  \( 4c^na^n-c^{2n} \)

A+B  \( c^{2n}+4c^na^n?-4c^na^n-c^{2n} \)

Las expresiones son iguales y de signo contrario

A-B  \( c^{2n}-4c^na^n?-4c^na^n+c^{2n} \)
B-A  \( 4c^na^n-c^{2n}?-c^{2n}+4c^na^n \)

Las expresiones son iguales.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 27 Noviembre, 2019, 08:32 pm
Hola

Gracias Luis, gracias Feriva.

Expresión A  \( c^{2n}-4c^na^n \)
Expresión B  \( 4c^na^n-c^{2n} \)

A+B  \( c^{2n}+4c^na^n?-4c^na^n-c^{2n} \)

Las expresiones son iguales y de signo contrario

A-B  \( c^{2n}-4c^na^n?-4c^na^n+c^{2n} \)
B-A  \( 4c^na^n-c^{2n}?-c^{2n}+4c^na^n \)

Las expresiones son iguales.

Saludos.

Sí, así es, minette, A+B=0, B-A=2B y A-B=2A.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Noviembre, 2019, 08:04 am
Hola

Gracias Luis, gracias Feriva.

Expresión A  \( c^{2n}-4c^na^n \)
Expresión B  \( 4c^na^n-c^{2n} \)

A+B  \( c^{2n}+4c^na^n?-4c^na^n-c^{2n} \)

Las expresiones son iguales y de signo contrario

A-B  \( c^{2n}-4c^na^n?-4c^na^n+c^{2n} \)
B-A  \( 4c^na^n-c^{2n}?-c^{2n}+4c^na^n \)

Las expresiones son iguales.

No se que quieres decir con todo lo que has escrito ahí; no se si estás afirmando algo o preguntando algo. Y en cualquier caso que es lo que preguntas o afirmas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Noviembre, 2019, 11:59 am
Hola

Otra vez, gracias Luis, gracias Feriva.

En cuanto a tí Luis lo que estoy afirmando (con mucho cuidado) es que \( c^{2n}=4c^na^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Noviembre, 2019, 12:20 pm
Hola

En cuanto a tí Luis lo que estoy afirmando (con mucho cuidado) es que \( c^{2n}=4c^na^n \).

Pues es falso. Obviamente esa igualdad se da si y sólo si \( c^n=4a^n \). Si los números son enteros no nulos y \( n>2 \), esa igualdad no se da nunca, porque supondría que \( \sqrt[n]{4} \) es racional.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Noviembre, 2019, 05:59 pm
Hola

Mi respuesta 497 acredita y demuestra mi idiotez en mi respuesta 507.

Esa idiotez no la aminora mi expresión (con mucho cuidado) en la respuesta 507 contenida.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Enero, 2020, 12:03 pm
Hola

Presunta demostración

Trato de demostrar la naturaleza del \( ? \) en las expresiones siguientes:

\( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n} \)
 
\( 3a^{2n}?b^{2n}-2b^{n}a^{n} \)
 

\( 3a^{2n}?b^{n}(b^{n}-2a^{n}) \)
 

\( \sqrt[n]{3}a^{n}?b\sqrt[n]{b^{n}-2a^{n}} \)
 

Supongo que \( 2a^{n}=0 \)  con lo que se aumenta el valor del segundo miembro:

\( \sqrt[n]{3}  a^{n}?b\sqrt[n]{b^{n}} \)  ; \( \sqrt[n]{3} a^{n}?b.b \)
 

\( \sqrt[n]{3}a^{n}?b^{2} \)
 

Si hacemos \( n=3 \)
 

\( \sqrt[3]{3}a^{3}>b^{2} \)
 

Si tomamos \( a=5  \) el valor más bajo de una terma y\(  b=8 \)  el valor no más bajo de una terna, por ejemplo la terna \( (5,8,9) \):
 

\( 1,44\cdotp5^{3}>8^{2} \)
 

\( 1,44\cdotp125>64 \)
 

Entonces

\( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Enero, 2020, 12:52 pm
Hola

Presunta demostración

Ni siquiera se que se supone que pretendes demostrar con lo que haces.

Citar
Trato de demostrar la naturaleza del \( ? \) en las expresiones siguientes:

\( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n} \)
 
\( 3a^{2n}?b^{2n}-2b^{n}a^{n} \)
 

\( 3a^{2n}?b^{n}(b^{n}-2a^{n}) \)
 

\( \sqrt[n]{3}a^{n}?b\sqrt[n]{b^{n}-2a^{n}} \)

Si lo que estás aplicando es la raíz enésima a ambos lados lo que queda es:

\( \sqrt[n]{3}a^{2}?b\sqrt[n]{b^{n}-2a^{n}} \)

Citar
Supongo que \( 2a^{n}=0 \)  con lo que se aumenta el valor del segundo miembro:

Si supones eso directamente \( a=0. \) Y tu ecuación queda:

\( 0?b^2 \) es decir \( 0\leq b^2 \)

Pero eso es sólo para \( a=0 \). Francamente no sé que pretendes deducir de ahí.

Citar
Si hacemos \( n=3 \)
 

\( \sqrt[3]{3}a^{3}>b^{2} \)
 

Ahí pones un mayor. ¿Por qué?. Dependerá del valor de \( a \) y \( b \).

Citar
Si tomamos \( a=5  \) el valor más bajo de una terma y\(  b=8 \)  el valor no más bajo de una terna, por ejemplo la terna \( (5,8,9) \):
 

\( 1,44\cdotp5^{3}>8^{2} \)
 

\( 1,44\cdotp125>64 \)
 

Entonces

\( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n} \)
 
Esto no se ni a que viene ni como te permite concluir nada. No tiene sentido.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Enero, 2020, 01:11 pm
Hola

en \( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

si \( c^{2n}>4c^{n}a^{n} \)
 

y \( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n} \)
 

Está claro que

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

Si \( c^{2n}>4c^{n}a^{n} \)  favor miembro 1º

y \( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}<b^{2n} \)  favor miembro 2º FALSO

\( c^{2n}-4c^{n}a^{n}?b^{2n}-3a^{2n}-2b^{n}a^{n} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

\( \frac{c^{2n}}{a^{n}}+3a^{n}+2b^{n}?\frac{b^{2n}}{a^{n}}+4c^{n} \)
 

\( \frac{c^{2n}-b^{2n}}{a^{n}}+3a^{n}+2b^{n}?4c^{n} \)
 

\( \frac{(c^{n}+b^{n})(c^{n}-b^{n})}{a^{n}} \) \( +3a^{n}+2b^{n}?4c^{n} \)
 

\( c^{n}+b^{n}+3a^{n}+2b^{n}?4c^{n} \)
 

\( 3a^{n}+3b^{n}?3c^{n}\rightarrow a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Dado que se parte de una premisa FALSA

¿cabe colegir que \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)?
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Enero, 2020, 01:17 pm
Hola

en \( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

si \( c^{2n}>4c^{n}a^{n} \)
 

y \( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n} \)
 

Está claro que

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}>b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

Si \( c^{2n}>4c^{n}a^{n} \)  favor miembro 1º

y \( 3a^{2n}+2b^{n}a^{n}<b^{2n} \)  favor miembro 2º FALSO

\( c^{2n}-4c^{n}a^{n}?b^{2n}-3a^{2n}-2b^{n}a^{n} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

\( \frac{c^{2n}}{a^{n}}+3a^{n}+2b^{n}?\frac{b^{2n}}{a^{n}}+4c^{n} \)
 

\( \frac{c^{2n}-b^{2n}}{a^{n}}+3a^{n}+2b^{n}?4c^{n} \)
 

\( \frac{(c^{n}+b^{n})(c^{n}-b^{n})}{a^{n}} \) \( +3a^{n}+2b^{n}?4c^{n} \)
 

\( c^{n}+b^{n}+3a^{n}+2b^{n}?4c^{n} \)
 

\( 3a^{n}+3b^{n}?3c^{n}\rightarrow a^{n}+b^{n}=c^{n} \)
 

Dado que se parte de una premisa FALSA

¿cabe colegir que \( a^{n}+b^{n}\neq c^{n} \)?

No.

Añadido:

Por ejemplo usando que:

\( 2>3 \) (premisa falsa)
\( 4>2 \) (premisa cierta)

se puede deduce que \( 4>2>3 \), es decir, que \( 4>3 \) (conclusión cierta).

Saludos.

CORREGIDO.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Enero, 2020, 05:37 pm
Hola Luis

Está claro que no me he sabido explicar.

Entre otras cosas, falta tratar el caso \( c^{2n}<4c^na^n \).

El caso \( c^{2n}>4c^na^n \) con \( 3a^{2n}+2b^na^n>b^{2n} \)

Está demostrato al principio de mi anterior respuesta. Es el caso fácil.

Todo lo que ha seguido, también con \( c^{2n}>4c^na^n \), y la falsedad \( 3a^{2n}+2b^na^n<b^{2n} \) ha sido un divertimento para ver a qué conducia. Y repito, siendo que el caso \( c^{2n}>4c^na^n \) está demostrado. Sólo sería otra demostración del caso fácil  aunque se llega a la igualdad. Y tendría que ser \( a^n+b^n>c^n \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 22 Enero, 2020, 06:12 pm
Hola

Entre otras cosas, falta tratar el caso \( c^{2n}<4c^na^n \).

El caso \( c^{2n}>4c^na^n \) con \( 3a^{2n}+2b^na^n>b^{2n} \)

Está demostrato al principio de mi anterior respuesta. Es el caso fácil.

Si. Evidentemente si \( c^{2n}>4c^na^n \) con \( 3a^{2n}+2b^na^n>b^{2n} \) entonces sumando:

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n>4c^na^n+b^{2n} \)

Citar
Todo lo que ha seguido, también con \( c^{2n}>4c^na^n \), y la falsedad \( 3a^{2n}+2b^na^n<b^{2n} \) ha sido un divertimento para ver a qué conducia. Y repito, siendo que el caso \( c^{2n}>4c^na^n \) está demostrado. Sólo sería otra demostración del caso fácil  aunque se llega a la igualdad. Y tendría que ser \( a^n+b^n>c^n \)

La cuestión entonces es que quieres decir con todo eso. Me parece bien que lo hayas hecho como divertimento. Por otra parte lo que está bien es obvio pero no sirve para nada. Lo que está mal... pues está mal. E igualmente no sirve para nada.

¿Entonces qué querías preguntar en tu mensaje anterior? ¿A qué viene la consulta?.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 22 Enero, 2020, 06:36 pm
Hola,

La consulta es que en el anterior razonamiento al incluir una falsedad y llegar a \( a^n+b^n=c^n \) cabe pensar que si no incluyo la falsedad no se podría llegar a \( a^n+b^n=c^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Enero, 2020, 08:29 am
Hola

La consulta es que en el anterior razonamiento al incluir una falsedad y llegar a \( a^n+b^n=c^n \) cabe pensar que si no incluyo la falsedad no se podría llegar a \( a^n+b^n=c^n \).

Pues ya te contesté. Ese pensamiento es erróneo.

Usando premisas falsas se podrían llegar a conclusiones que son ciertas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 23 Enero, 2020, 05:26 pm
Hola

Creo que los dos párrafos de tu respuesta 517 se contradicen entre si.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 23 Enero, 2020, 05:34 pm
Hola

Creo que los dos párrafos de tu respuesta 517 se contradicen entre si.

Te lo explico de otra forma a ver si así lo entiendes.

Que de una premisa falsa concluya que \( a^n+b^n=c^n \) ni quita ni pone sobre la veracidad de esa igualdad; podría ser verdadera o podría ser falsa.

En general si usando una premisa falsa llegas a una conclusión, no dice nada sobre la veracidad de esa conclusión; podría ser verdadera o podría ser falsa.

Por tanto si dices:

La consulta es que en el anterior razonamiento al incluir una falsedad y llegar a \( a^n+b^n=c^n \) cabe pensar que si no incluyo la falsedad no se podría llegar a \( a^n+b^n=c^n \).

Ese "cabe pensar" no se cumple; podría no incluir la falsedad e igualmente llegar a esa igualdad o no; porque el uso de una premisa falsa ni quita ni pone, no dice nada sobre la veracidad de la conclusión obtenida

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Enero, 2020, 05:46 pm
Hola

Dada la expresión

\( 3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n} \)

Siendo \( b>a \) , parece que a primera vista el ? es >

es decir \( 3a^{2n}+2b^na^n>b^{2n} \)

pero no consigo demostrarlo con una demostración matemáticamente rigurosa.

¿Alguin me puede ayudar?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Enero, 2020, 07:21 pm
Hola

Dada la expresión

\( 3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n} \)

Siendo \( b>a \) , parece que a primera vista el ? es >

es decir \( 3a^{2n}+2b^na^n>b^{2n} \)

pero no consigo demostrarlo con una demostración matemáticamente rigurosa.

Es que no es cierto. Ya a vuelapluma si \( a=0 \) el primer término es más pequeño o si fijamos \( a \) y \( b \) es "muy grande".

De manera más precisa:

\( 3a^{2n}+2b^na^n-b^{2n}=(3a^n-b^n)(a^n+b^n) \)

Para que sea positivo tiene que cumplirse que \( 3a^n-b^n>0 \), es decir \( a^n>b^n/3 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Enero, 2020, 05:25 pm
Hola Luis

En tu respuesta 521 no has tenido en cuenta que \( a \), \( b \) son términos de una terna viable que puede hacer posible \( a^n+b^n=c^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Enero, 2020, 05:39 pm
Hola

En tu respuesta 521 no has tenido en cuenta que \( a \), \( b \) son términos de una terna viable que puede hacer posible \( a^n+b^n=c^n \).

No influye en nada.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 28 Enero, 2020, 06:07 pm
Hola

Dices que no influye en nada y citas que \( a=0 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 28 Enero, 2020, 08:00 pm
Hola

Dices que no influye en nada y citas que \( a=0 \).

Lo que puse después va más allá del caso \( a=0 \), que simplemente lo cite como el caso más obvio y trivial donde la desigualdad que indicas no era cierta. Por otra parte de hecho \( 0^n+b^n=b^n \) es una terna que cumple la ecuación. Pero olvida esto si quieres, y quédate con esto otro:

De manera más precisa:

\( 3a^{2n}+2b^na^n-b^{2n}=(3a^n-b^n)(a^n+b^n) \)

Para que sea positivo tiene que cumplirse que \( 3a^n-b^n>0 \), es decir \( a^n>b^n/3 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 04 Febrero, 2020, 06:10 pm
Hola

\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4c^na^n \)

Veamos si \( 3a^{2n}+2b^na^n=b^{2n} \)

Despejando \( a^n \) llegamos \( a^n_1=-b^n \); \( a^n_2=\displaystyle\frac{b^n}{3} \)

Estos dos valores de \( a^n \) no pueden formar parte de una terna viable que pueda cumplir \( a^n+b^n=c^n \).

En consecuencia \( 3a^{2n}+2b^na^n\neq{b^{2n}} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Febrero, 2020, 08:21 am
Hola

\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4c^na^n \)

Veamos si \( 3a^{2n}+2b^na^n=b^{2n} \)

Despejando \( a^n \) llegamos \( a^n_1=-b^n \); \( a^n_2=\displaystyle\frac{b^n}{3} \)

Estos dos valores de \( a^n \) no pueden formar parte de una terna viable que pueda cumplir \( a^n+b^n=c^n \).

En consecuencia \( 3a^{2n}+2b^na^n\neq{b^{2n}} \)

Está bien, aunque el interés es mínimo. Simplemente se descarta que haya una ecuación, una igualdad, que relaciona \( a \) y \( b \) independientemente de \( c \). Es decir lo único que afirmar es que \( b^n \) no puede ser el triple de \( a^n \)... lo cuál ya era sabido.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Febrero, 2020, 12:54 pm
Hola

Gracias Luis por tu respuesta.

¿Se puede afirmar que \( 3a^{2n}+2b^na^n\neq{b^{2n}} \)

para tratar de demostrar \( a^n+b^n\neq{c^n} \)?

0 sea \( 3a^{2n}+2b^na^n\gtrless b^{2n} \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Febrero, 2020, 01:07 pm
Hola

¿Se puede afirmar que \( 3a^{2n}+2b^na^n\neq{b^{2n}} \)

para tratar de demostrar \( a^n+b^n\neq{c^n} \)?

0 sea \( 3a^{2n}+2b^na^n\gtrless b^{2n} \).

Si. Ahora vaya por delante que la afirmación apenas ayuda nada a tratar de demostrar \( a^n+b^n\neq{c^n} \). Simplemente descarta un caso que obviamente no puede darse si uno considera coprimas las variables implicadas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 11 Febrero, 2020, 06:03 pm
Hola

Partimos de

\( c^{2n}+4a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+a^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

siendo \( c^{2n}<4c^{n}a^{n} \)
 

\( 4a^{2n}+2a^{n}b^{n}-b^{2n}-a^{2n}?4c^{n}a^{n}-c^{2n} \)
 

Tenemos \( c^{2n}>b^{2n}+a^{2n} \)
 

Entonces \( c^{2n}-b^{2n}-a^{2n}?4c^{n}a^{n}-4a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( c^{2n}-[(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})]?4c^{n}a^{n}-4a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

Supongamos \( b^{n}+a^{n}=c^{n} \)
 

\( c^{2n}-c^{n}(b^{n}-a^{n})?4c^{n}a^{n}-4a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( c^{2n}-c^{n}(b^{n}-a^{n})-4c^{n}a^{n}\neq-4a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

Porque el primer miembro es múltiplo de \( c \) y el segundo no.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Febrero, 2020, 08:50 pm
Hola

Entonces \( c^{2n}-b^{2n}-a^{2n}?4c^{n}a^{n}-4a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 
\( c^{2n}-\color{red}[(b^{n}+a^{n})(b^{n}-a^{n})]\color{black}?4c^{n}a^{n}-4a^{2n}-2a^{n}b^{n} \)

Lo que está en rojo está mal.

\( c^{2n}-[(b^n+a^n)(b^n-a^n)]=c^{2n}-(b^{2n}-a^{2n})=c^{2n}-b^{2n}+a^{2n}\neq c^{2n}-b^{2n}-a^{2n} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 12 Febrero, 2020, 06:52 pm
Hola
Como siempre, Luis, tienes razón. Veamos.

\( c^{2n}-b^{2n}+b^{2n}-a^{2n}?4c^na^n-4a^{2n}-2a^nb^n+b^{2n} \)

\( c^{2n}+b^{2n}-a^{2n}?4c^na^n-4a^{2n}-2a^nb^n+b^{2n}+b^{2n} \)

\( c^{2n}+(b^n+a^n)(b^n-a^n)-4c^na^n?4a^{2n}-2a^nb^n+2b^{2n} \)

\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)-4c^na^n?4a^{2n}-2a^nb^n+2b^{2n} \)

Múltiplo de \( c\neq{} \) No múltiplo de \( c \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Febrero, 2020, 07:18 pm
Hola

\( c^{2n}-b^{2n}+b^{2n}-a^{2n}?4c^na^n-4a^{2n}-2a^nb^n+b^{2n} \)

\( c^{2n}+b^{2n}-a^{2n}?4c^na^n-4a^{2n}-2a^nb^n+b^{2n}+b^{2n} \)

\( c^{2n}+(b^n+a^n)(b^n-a^n)-4c^na^n?4a^{2n}-2a^nb^n+2b^{2n} \)

\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)-4c^na^n?4a^{2n}-2a^nb^n+2b^{2n} \)

Múltiplo de \( c\neq{} \) No múltiplo de \( c \)

¿Y por qué sabes que \( 4a^{2n}-2a^nb^n+2b^{2n} \) no es múltiplo de \( c \)?.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 17 Febrero, 2020, 12:47 pm
Hola

\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)?4c^na^n+3a^{2n}+(b^n-a^n)^2+b^{2n} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 17 Febrero, 2020, 09:57 pm
Hola

\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)?4c^na^n+3a^{2n}+(b^n-a^n)^2+b^{2n} \)

No se si es una errata o un mensaje incompleto; pero no entiendo a que viene esa fórmula ahí suelta sin mayor comentario.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 18 Febrero, 2020, 11:18 am
Hola

Luis mi respuesta 534 es continuación de la 532.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Febrero, 2020, 11:25 am
Hola

Luis mi respuesta 534 es continuación de la 532.

Pues si no explicas que quieres decir con esa fórmula que has añadido... no se entiende nada.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 18 Febrero, 2020, 12:46 pm
Hola

Lo que quiero decir es que

\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)\neq{4c^na^n+3a^{2n}+(b^n-a^n)^2+b^{2n}} \) porque el primer miembro es múltiplo de \( c \) y el segundo no.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 18 Febrero, 2020, 01:07 pm
Hola

Lo que quiero decir es que

\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)\neq{4c^na^n+3a^{2n}+(b^n-a^n)^2+b^{2n}} \) porque el primer miembro es múltiplo de \( c \) y el segundo no.

Estamos en las mismas. ¿Qué te permite afirmar que el segundo miembro NO es múpltiplo de \( c \)?.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 18 Febrero, 2020, 02:03 pm

\( c^{2n}+c^n(b^n-a^n)\neq{4c^na^n+3a^{2n}+(b^n-a^n)^2+b^{2n}} \) porque el primer miembro es múltiplo de \( c \) y el segundo no.


Hola, minette.

Ahí lo que pasa es que si se da la igualdad

\( c^{2n}+c^{n}(b^{n}-a^{n})=4c^{n}a^{n}+{\color{blue}3a^{2n}+(b^{n}-a^{n})^{2}+b^{2n}}
  \)

Entonces lo azul tiene forzosamente que ser múltiplo de “c”. Cosa que en principio, si no se demuestra lo contrario, es posible para coprimos “a,b,c”; se puede ver con un ejemplo cualquiera:

\( a=5:b=7
  \) y n=3, por poner un caso; entonces:

\( {\color{blue}3(5)^{6}+(7^{3}-5^{3})^{2}+7^{6}=212048}
  \)

que se descompone en estos primos:

\( 212048=2^{4}\cdot29\cdot457
  \)

No es múltiplo de 5 ni de 7, o sea, es coprimo con 5 y 7; luego podría ser múltiplo de “c.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Febrero, 2020, 01:00 pm
Hola

Gracias, Feriva, por tu respuesta 540.

Ten en cuenta que si \( a=5 \) ; \( b=7 \) , la única terna viable con esos valores de \( a, b \) es (5,7,8) con lo cual el primer miembre es

\( 8^6+8^3(7^3-5^3)=373760 \).

\( 373760\neq{212048} \)

Y ello a pesar de que \( 212048 \) es múltiplo de 8.

Aprovecho para decir que personalmente me deprime por no decir me avergüenza como aficionado que en toda la comunidad internacional de matemáticos nadie puede demostrar la desigualdad

\( (c^n-2a^n)^2\neq{(b^n-a^n)^2} \).

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Febrero, 2020, 03:40 pm
Hola

Aprovecho para decir que personalmente me deprime por no decir me avergüenza como aficionado que en toda la comunidad internacional de matemáticos nadie puede demostrar la desigualdad

\( (c^n-2a^n)^2\neq{(b^n-a^n)^2} \).

Entiendo que te refieres para \( n\geq 3 \) y variables tomando valores en los números naturales.

Si se quitan los cuadrados y se pasa \( 2a^n \) al lado derecho, equivale a probar que la siguiente igualdad:

\( c^n=b^n+a^n \)

no es posible para naturales y \( n\geq 3 \), que es justo el Teorema de Fermat y que está perfectamente demostrado. Así que no hace falta que te deprimas por eso.  ;)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 19 Febrero, 2020, 05:40 pm
Hola

Gracias, Feriva, por tu respuesta 540.

Ten en cuenta que si \( a=5 \) ; \( b=7 \) , la única terna viable con esos valores de \( a, b \) es (5,7,8)

Pero era sólo un ejemplo, minette, lo que quería hacer ver es que esa expresión puede ser múltiplo del número que sea, aunque sean otros los valores de “a” y “b”. Si no es posible que sea múltiplo de “c”, hay que probarlo, esa expresión por sí sola no lo prueba (bueno, para ser más preciso, digo que yo no lo sé probar).

Un ejemplo “positivo” (en el sentido de que sí puedo probarlo) es por ejemplo, qué sé yo, éste, \( a(a+1)-1=2c
  \), esto es imposible para enteros a,c; porque \( a(a+1)
  \) es par y al quitarle 1 es impar, no puede ser un múltiplo de 2. Pero en el caso que pones no sé por qué no podría ser múltiplo de “c”, no llego a ver un argumento incontestable, como en ese caso.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Febrero, 2020, 05:57 pm
Hola

Si en \( c^n-2a^n?b^n-a^n \)

Sustituimos \( c^n \) por \( a^n+b^n \):

\( a^n+b^n-2a^n=b^n-a^n \)

ocurre que \( a^n+b^n=c^n \) es una falsedad que se demostró con unos cien folios. Esto cas1 todos lo sabemos. Ahora bien

\( c^{2n}+4a^{2n}-4c^na^n\neq{a^{2n}+b^{2n}-2a^nb^n} \) (1)

demostrar esta desigualdad equivale a demostrar

\( c^n-2a^n\neq{b^n-a^n} \)

y \( c^n-a^n\neq{b^n\rightarrow{c^n\neq{b^n+a^n}}} \)

con un número de folios bastante menor que 100.

Si dos cuadrados son desiguales, las bases de donde proceden también lo son.

Estás suponiendo, Luis, que yo soy desconocedr de la demostración de Wiles.

Lo que me deprime es que la desiguadad (1) nadie acierte a demostrarla.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Febrero, 2020, 06:11 pm
Hola

Si en \( c^n-2a^n?b^n-a^n \)

Sustituimos \( c^n \) por \( a^n+b^n \):

\( a^n+b^n-2a^n=b^n-a^n \)

ocurre que \( a^n+b^n=c^n \) es una falsedad que se demostró con unos cien folios. Esto cas1 todos lo sabemos.

Es que decías que la comunidad internacional no sabía demostrarla. Y eso es no es así, como te he mostrado. ¡Ya se que ya sabías esa equivalencia!. Lo que no sé es porque afirmas que la comunidad internacional no sabe demostrarla.

Citar
Ahora bien

\( c^{2n}+4a^{2n}-4c^na^n\neq{a^{2n}+b^{2n}-2a^nb^n} \) (1)

demostrar esta desigualdad equivale a demostrar

\( c^n-2a^n\neq{b^n-a^n} \)

y \( c^n-a^n\neq{b^n\rightarrow{c^n\neq{b^n+a^n}}} \)

con un número de folios bastante menor que 100.

Es que lo de "con un número de folios bastante menor que 100" te lo sacas de la manga. Es una afirmación gratuita. ¿Quien ha demostrado (1) con un número de folios bastante menor que 100?. Que yo sepa nadie. Ni tu, ni yo, ni nadie. Yo se demostrarlo, haciendo el pequeño y trivial paso que transforma (1) en el Teorema de Fermat y usando que éste ya está probado por Wiles. Y él usa esos 100 folios (no se si 100, 200 o 90 pero "unos cuantos"  :D)

Citar
Estás suponiendo, Luis, que yo soy desconocedr de la demostración de Wiles.

Ya se que la conoces. Pero no se porque afirmas cosas que no son ciertas entonces.

Citar
Lo que me deprime es que la desiguadad (1) nadie acierte a demostrarla.

Si te deprime que nadie sea capaz de probar (1) en menos de 100 folios es tu problema. Lo que no sé porque crees que había de ser más fácil probar:

\( c^{2n}+4a^{2n}-4c^na^n\neq{a^{2n}+b^{2n}-2a^nb^n} \)  (1)

que  probar:

\( c^n\neq a^n+b^n \) (2)

cuando la segunda ecuación es algo más sencilla que la primera. Es una fantasía, sin más, francamente.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Marzo, 2020, 06:46 pm
Hola

Son pocos los libros publicados sobre la famosa desigualdad de Fermat \( a^{n}+b^{n}\neq c^{^{m}} \)
 .

Observo que se limitan a relatar los intentos de demostrarla pero, siempre, para casos concretos de un valor del exponente \( n \)  o para una gama de valores del citado exponente. Nunca para cualquier valor de \( n \)
  .

Empiezan por \( n=3 \)  y la demostración de Euler-Gauss. Etcétera. Nunca, insisto, para cualquier intento, aunque fallido, para un valor general de \( n \)  .

Rincón Matemático es testigo de mis intentos, siempre para cualquier valor de \( n  \) , sin llegar a buen puerto.

Por ejemplo. Tratar de demostrar la desigualdad de estas dos fracciones:

\( \frac{x_{0}c^{n}+a}{b^{^{n-1}}}\neq\frac{y_{0}c^{n}-b}{a^{^{n-1}}} \)
 

Se me ha reprochado que no basta afirmar que \( a,b,c,n \)  son naturales. Ruego se me diga cómo conseguir la “naturalidad” indiscutible de los números representados por esas letras.

También se ha intentado involucrar en mis razonamientos a cualesquiera números reales no sé con que propósito.

\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a{}^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

Si \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}}  \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)
 

Entonces 1º miembro > 2º miembro

Y las bases de donde provienen los cuadrados también

\( c^{n}-2a^{n}>b^{n}-a^{n} \)
 

\( c^{n}>b^{n}+a^{n} \)
 

Cualesquiera que sean \( a,b,c,n \)  .

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Marzo, 2020, 10:56 am
Hola

Empiezan por \( n=3 \)  y la demostración de Euler-Gauss. Etcétera. Nunca, insisto, para cualquier intento, aunque fallido, para un valor general de \( n \)  .

¿Qué pretendes que hubiese un libro que recogiese los miles de intentos fallidos de demostrar el teorema y que no aportan absolutamente NADA?. Sería absurdo. Si en algún momento se recoge algún demostración errónea es porque, aún conteniendo algún fallo, tiene interés.

Citar
Rincón Matemático es testigo de mis intentos, siempre para cualquier valor de \( n  \) , sin llegar a buen puerto.

Correcto. De tus intentos y los de otros muchos aficionados. Como era de esperar dado lo quijotesco de la empresa, ninguno ha tenido éxito ni ha hecho ningún avance mínimamente relevante.

Citar
Se me ha reprochado que no basta afirmar que \( a,b,c,n \)  son naturales. Ruego se me diga cómo conseguir la “naturalidad” indiscutible de los números representados por esas letras.

También se ha intentado involucrar en mis razonamientos a cualesquiera números reales no sé con que propósito.

Te lo he explicado decenas de veces y ya no se explicarlo mejor. Si lo entendieses perderías menos el tiempo.

Sea como sea (y esto es algo que también me he cansado de repetirte) te he mostrado los fallos de todos tus intentos sin hacer intervenir para nada ese matiz adicional que hago sobre naturales y reales.

Citar
\( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a{}^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2a^{n}b^{n}?b^{2n}+4c^{n}a^{n} \)
 

Si \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}}  \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)
 

Entonces 1º miembro > 2º miembro

Y las bases de donde provienen los cuadrados también

\( c^{n}-2a^{n}>b^{n}-a^{n} \)
 

\( c^{n}>b^{n}+a^{n} \)
 

Cualesquiera que sean \( a,b,c,n \)  .

¿Qué quieres decir con todo esto? No hay nada útil ahí. Lo que has probado es que:

SI  \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}}  \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)

entonces

\( c^n>b^n+a^n \)

¿y qué utilidad tiene eso?.... Ninguna.

Desconozco si con eso pretendías defender que tienes una demostración del UFT. En general sería bueno que cuando presentes unas cuentas expliques exactamente que pretendes concluir de ellas. Porque a veces muestras cuentas tan correctas como inútiles, entonces no se muy bien que pretendes que comentemos sobre ellas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 05 Marzo, 2020, 10:58 am
Hola

Creo, Luis, que para números reales la famosa desigualdad de Fermat \( a^n+b^n\neq{c^n} \) es falsa.

Las cuentas correctas e inútiles son estas:

\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)

si \( c^n=a^n+b^n \)

entonces el interrogante anterior es =.

Trato de elevar al cuadrado los dos miembros anteriores

\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

El plan es, si consigo demostrar que estos dos cuadrados no son iguales, las bases de donde provienen tampoco lo son:

\( c^n-2a^n\neq{b^n-a^n} \)

y \( c^n\neq{b^n+a^n} \)

Reconozco que mi demostración es parcial pero, así y todo, es válida para un número infinito de ternas viables.

Saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Marzo, 2020, 12:42 pm
Hola

Citar
Creo, Luis, que para números reales la famosa desigualdad de Fermat \( a^n+b^n\neq{c^n} \) es falsa.

¡Claro!

Citar
Las cuentas correctas e inútiles son estas:

\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)

si \( c^n=a^n+b^n \)

entonces el interrogante anterior es =.

Trato de elevar al cuadrado los dos miembros anteriores

\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

El plan es, si consigo demostrar que estos dos cuadrados no son iguales, las bases de donde provienen tampoco lo son:

\( c^n-2a^n\neq{b^n-a^n} \)

y \( c^n\neq{b^n+a^n} \)

Reconozco que mi demostración es parcial pero, así y todo, es válida para un número infinito de ternas viables.

Si, las cuentas estaban claras.

Pero el interés de la demostración parcial, bajo mi punto de vista, es nulo. Lo de "ternas viables" en realidad es un término que usas constantemente pero no tiene un significado concreto; dado que la conclusión final debería de ser que ninguna terna cumple la ecuación... toda terna es viable... hasta que deja de serlo.

SI  \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}}  \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)

Esa condición trivializa la cuestión y le quita interés. De hecho bajo esa suposición tampoco existen ternas de números reales positivos que cumplan la igualdad. Es decir estarías tan "cerca" de probar el Teorema de Fermat, como de probar el resultado FALSO de que tampoco existen ternas reales que cumplan la igualdad.

Sea como sea, el discutir si tiene interés o no es una pérdida de tiempo. Al final tu podrás pensar que sólo trato de quitarle importancia o mérito a lo que haces, o lo que quieras. No deja de ser subjetivo.

Lo que está claro es que NO demuestra  el UTF. Y eso es objetivo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 05 Marzo, 2020, 03:46 pm

para números reales la famosa desigualdad de Fermat \( a^n+b^n\neq{c^n} \) es falsa.

Al decir eso, ¿lo estás entendiendo con el significado correcto, minette? Es una pregunta, no estoy afirmando que lo estés entendiendo mal, pero podría ocurrir y tener que ver con algunos errores que cometes al analizar las cosas.

Es falsa porque cuando se dice “falsa”, sin más añadidura, se sobrentiende siempre que se está hablando en general (que quiere decir que, con seguridad, algunos no cumplen la desigualdad, sin especificar si esos algunos son todos o no). En el caso de este teorema, si se especifica, no es falsa para todos los reales “a,b,c” que se tomen, porque es cierta en el caso de que estos tres reales, “a,b,c”, sean racionales, conjunto que incluye a los enteros.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 06 Marzo, 2020, 06:34 pm
Hola

Una terna viable, además de cumplir \( c>b>a \), tiene que cumplir \( a+b>c \), y ser primos entre sí.

Si \( a+b=c \) entonces \( a^2+b^2<c^2 \) y \( a^n+b^n<c^n \) si \( n\geq{2} \)
Si \( a+b<c \), \( a^2+b^2<c^2 \) y \( a^n+b^n<c^n \) si \( n\geq{2} \).

Por otro lado \( a^2+b^2>c^2 \).

Si \( a^2+b^2<c^2 \)  \( a^n+b^n<c^n \) si \( n>2 \)
Si \( a^2+b^2=c^2 \)  \( a^n+b^n<c^n \) si \( n>2 \)

Voy a escribir todas las ternas con \( a=5 \) y \( b\leq{15} \)

(5,6,7) (5,6,9) (5,7,8) (5,7,10) (5,8,9) (5,8,11) (5,9,10) (5,9,12) (5,10,11) (5,10,13) (5,11,12) (5,11,14) (5,12,13) (5,12,15) (5,13,14) (5,13,16) (5,14,15) (5,14,17) (5,15,16) (5,15,18).

De estas sólo son viables, por distintos motivos,

(5,6,7) (5,7,8) (5,8,9) (5,8,11) (5,11,12) (5,11,14) (5,13,14) (5,13,16) (5,14,17)

Es decir 9 de 20.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 06 Marzo, 2020, 07:58 pm
Hola

Una terna viable, además de cumplir \( c>b>a \), tiene que cumplir \( a+b>c \), y ser primos entre sí.

Vale, llamas viables a las que cumplen eso.

Citar
De estas sólo son viables, por distintos motivos,

(5,6,7) (5,7,8) (5,8,9) (5,8,11) (5,11,12) (5,11,14) (5,13,14) (5,13,16) (5,14,17)

Per ahora dices que estas tampoco son viables, pero si cumplen la condición anterior. ¿Entonces las viables son las qué cumplían lo primero o tienen que cumplir más cosas?.

Añadiendo más motivos tendrías menos "viables"; hasta que añadiendo la condición \( a^n+b^n=c^n \) ninguna sería viable.

Por otro lado volviendo a tus mensajes anteriores. Descartas ternas que cumplan:

SI  \( c^{2n}>4c^{n}a^{^{n}}  \) y \( 3a^{2n}+2a^{n}b^{n}>b^{2n} \)

¿Qué ganamos con eso? ¿Por qué se supone que es una condición más débil esa que directamente comprobar si \( a^n+b^n=c^n \)?.

En fin...

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 25 Mayo, 2020, 12:14 pm
Hola

Si en las expresiones \( 2c^{n}a^{n}?4b^{n}a^{n} \)  sustituimos \( c^{n} \)  por \(  a^{n}+b^{n} \) :

\( 2(a^{n}+b^{n})a^{n}?4b^{n}a^{n}\rightarrow2a^{n}+2b^{n}?4b^{n} \)
 

\( a^{n}+b^{n}?2b^{n}\rightarrow a^{n}? b^{n}\rightarrow a^{n}<b^{n} \)
 

pero si de \( 2c^{n}a^{n}?4b^{n}a^{n} \)  pasamos a \( 2c^{n}?4b^{n} \)
 

y \( c^{n}?2b^{n} \), entonces \( c?\sqrt[n]{2}b \)  y nos encontramos que el interrogante puede ser > ó <.

¿Cuál es lo correcto?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Mayo, 2020, 08:05 am
Hola

Si en las expresiones \( 2c^{n}a^{n}?4b^{n}a^{n} \)  sustituimos \( c^{n} \)  por \(  a^{n}+b^{n} \) :

\( 2(a^{n}+b^{n})a^{n}?4b^{n}a^{n}\rightarrow2a^{n}+2b^{n}?4b^{n} \)
 

\( a^{n}+b^{n}?2b^{n}\rightarrow a^{n}? b^{n}\rightarrow \color{red}a^{n}<b^{n}\color{black} \)

Entiendo que ahí estas suponiendo que \( a<b \) (y además antes usas que \( a^n+b^n=c^n \)). Con esas dos condiciones se tiene que:

\( c^n=a^n+b^n<2b^n\quad \Rightarrow{}\quad c<\sqrt[n]{2}b \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 26 Mayo, 2020, 11:32 am
Hola Luis

Gracias por tu respuesta 554.

Efectivamente \( a<b \)
 

Yo me inclino por la segunda opción que planteo en mi respuesta 553 porque en la primera aplico la falsedad \( a^{n}+b^{n}=c^{n}  \).

No estoy de acuerdo con tu conclusión

\( c<\sqrt[n]{2} b \) , porque creo que \( c\gtrless\sqrt[n]{2} b \)  .

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Mayo, 2020, 11:35 am
Hola

No estoy de acuerdo con tu conclusión

\( c<\sqrt[n]{2} b \) , porque creo que \( c\gtrless\sqrt[n]{2} b \)  . .

Si \( a<b \) y además \( c^n=a^n+b^n  \) entonces \( c<\sqrt[n]{2} b \); eso no hay duda. Está demostrado en mi anterior post.

Si no exiges \( a<b \) o \( c^n\neq a^n+b^n  \), entonces \( c \) puede ser "cualquier cosa" y obviamente puede cumplir la desigualdad en cualquier sentido.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 29 Junio, 2020, 01:15 pm
Hola

Parto de \( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+4a^{n}c^{n} \)
 

\( c^{n}(c^{n}-4a^{n})?b^{n}(b^{n}-2a^{n})-3a^{2n} \)
 
 

\( (a^{n}+b^{n})(c^{n}-4a^{n})?b^{n}(b^{n}-2a^{n})-3a^{2n} \)
 

\( a^{n}c^{n}-4a^{2n}+b^{n}c^{n}-4a^{n}b^{n}+3a^{2n}?b^{2n}-2a^{n}b^{n} \)
 

\( a^{n}c^{n}-a^{2n}-2a^{n}b^{n}+b^{n}c^{n}?b^{2n} \)
 

\( a^{n}(c^{n}-a^{n}-2b^{n})?b^{n}(b^{n}-c^{n}) \)
 

factor \( a^{n}<  \)factor\(  b^{n} \)
 
factor \( (c^{n}-a^{n}-2b^{n})?(b^{n}-c^{n}) \)  factor

\( 2c^{n}-a^{n}?3b^{n} \)
 

\( 2a^{n}+2b^{n}-a^{n}?3b^{n} \)
 

\( a^{n}?b^{n}\rightarrow a^{n}<b^{n} \)
 

Entonces \( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}<b^{2n}+4a^{n}c^{n} \)
 

O sea: Primer miembro \( (c^{n}-2a^{n})^{2}<(b^{n}-a^{2})^{2} \)  2º miembro.

Por tanto \( c^{n}-2a^{n}<b^{n}-a^{n}\rightarrow c^{n}-a^{n}<b^{n} \)
 

Y \( c^{n}<b^{n}+a^{n}\rightarrow c^{n}\neq b^{n}+a^{n} \)
 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 29 Junio, 2020, 04:03 pm
Hola

 Con nada parecido a esto vas a llegar nunca a probar que \( c^n\neq a^n+b^n \). Mezclas indentidades triviales. Haces pasos y los deshaces... hasta que cometes un error gordo. Una vez más no usas para nada el carácter entero de las variables.

 Dicho esto:

\( a^{n}(c^{n}-a^{n}-2b^{n})?b^{n}(b^{n}-c^{n}) \)

Fíjate que ahí si \( c^n=a^n+b^n \), se tiene \( c^n-a^n-2b^{n}=-b^n \) y \( (b^n-c^n)=a^n \). Y por tanto lo anterior es claramente una igualdad: \( -a^nb^n=-a^nb^n \).

Es totalmente ilusorio que pienses que de ahí vas a llegar a desigualdad o contradicción alguna.
 

Citar
factor \( a^{n}<  \)factor\(  b^{n} \)
 
factor \( (c^{n}-a^{n}-2b^{n})?(b^{n}-c^{n}) \)  factor

\( 2c^{n}-a^{n}?3b^{n} \)
 

\( 2a^{n}+2b^{n}-a^{n}?3b^{n} \)
 

\( a^{n}?b^{n}\rightarrow a^{n}<b^{n} \)
 

Entonces \( c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}<b^{2n}+4a^{n}c^{n} \)
 
El error, que ya has repetido más veces es el siguiente. En:

\( a^{n}(c^{n}-a^{n}-2b^{n})?b^{n}(b^{n}-c^{n}) \)

Es cierto que:

\( a^n<b^n \)

y es cierto que:

\( \underbrace{c^n-a^n-2b^n}_{-b^n}<\underbrace{b^n-c^n}_{-a^n} \)

Pero el problema es que esos dos términos SON negativos, y en ese caso si C,D<0 NO ES CIERTO EN GENERAL que:

\( A<B,\quad C<D\quad \Rightarrow{}\quad AC<BD \)

Por ejemplo:

\( 1<2 \), \( -8<-4 \) pero es falso que \( 1\cdot (-8)<2\cdot (-4) \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 30 Junio, 2020, 12:05 pm

Hola, minette.

Cuando hagas operaciones con desigualdades, tienes que tener en la cabeza, siempre, que un número “a” es menor que un número “b” si “a” está a la izquierda de “b”; por ejemplo, tres es menor que cuatro porque tres está a mano izquierda del cuatro según se mira al papel así: \( 0,1,2,3,4... \)

Si en las operaciones entran números negativos, la consideración no cambia; -2 es menor que -1 porque la disposición es ésta \( ...-2,-1,0,1,2,3... \).

Es frecuente que los aficionados, en ocasiones, nos despistemos y pensemos en los números conceptuándolos como valores al considerar la relación “menor-mayor”, cuando en realidad es una cuestión de orden (orden visto de esa manera, de izquierda a derecha). Esto hace que nos equivoquemos de múltiples formas al hacer distintas operaciones con desigualdades, ya que, nuestra cabeza se nos va a pensar más en el valor absoluto de los números que en la idea de orden (en especial en problemas donde las variables se definen todas positivas; porque, aun así, al hacer operaciones con ellas y mover las cosas van a aparecernos números negativos).

Por otra parte, también tienes que tener siempre presente que una desigualdad no es una cosa “exacta” como sí lo es una igualdad. Si pensamos en \( a<b \), quiere decir que \( b-a>0 \). Ahora bien, con números reales, puede ser mayor que cero de muchas formas, hay muchas posibilidades. Puede ser muy poco mayor que cero, podría valer, por ejemplo, \( b-a=0,0001 \) y esa desigualdad sería verdad. Y si entraran en medio todos los ceros que fueran, mientras hubiera un 1 u otro número distinto de cero al final, la desigualdad \( b-a>0 \) seguiría siendo cierta. Sin embargo, si hacemos eso, tendremos que \( b-a\approx0
  \); queriendo decir \( b\approx a
  \).

Ahora, supón que b es un número natural, el que sea, 5, por ejemplo; entonces “a” puede valer 4,9 ó 4,99... con todos los nueves que quieras; y la desigualdad es cierta.

Ocurre que, por definición (y porque es una verdad matemática incuestionable y cuyo porqué es fácil de explicar) \( 4,\overset{\frown}{9}
  \) es un número nautural que se llama cinco; es otra forma de escribir el cinco. Así pues, para poder decir que la desigualdad es cierta, debemos poder estar seguros de que detrás del cuatro van todos los nueves que uno quiera, pero nunca tantos nueves como aquí \( 4,\overset{\frown}{9}
  \); porque, entonces, ya no sería cierta la desigualdad, sería una igualdad en toda regla: \( a=b=5 \).

Estar seguro de eso puede llegar a ser tremendamente difícil; es algo que, muchas veces, no se podrá detectar solamente con operaciones algebraicas y, éstas, deberán ir acompañadas de algún apoyo argumental (un ejemplo del tipo de argumento que podríamos llegar a necesitar lo encontramos en la idea de descenso al infinito; que fue pergeñada, precisamente, por el propio Fermat: https://es.wikipedia.org/wiki/Descenso_infinito#Introducción).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Junio, 2020, 12:29 pm
Hola

Lo que más me deprime, lo que más me molesta es que por mi culpa llego a cabrearte.

Antes de seguir, dos cosas Tanto tú como yo cuando aplicamos \( a^n+b^n=c^n \)  cometemos una falsedad; porque \( a^n+b^n<c^n \). Y, cuanto antes se aplique esa falsedad, como haces tú, todo lo que sigue está afectado por ella. Yo procuro aplicarla al final.

Por otro lado si tú, Luis, hubieras sido contemporáneo de Fermat, tendrías que hablarle advertido de que no usa el  "carácter entero de las variables"

Trato de comparar estos dos factores:

miembro 1º \( c^n-a^n-2b^n \) ? miembro 2º \( b^n-c^n \)

\( 2c^n ? a^n+3b^n \)

\( 2a^n +2b^n ? a^n +3b^n \)

\( a^n < b^n \) o bien \( -a^n>-b^n \)

0, de otro modo:

\( -a^n-2b^n-b^n?-2c^n\longrightarrow{}-a^n-3b^n?-2c^n \)

\( -a^n-3b^n?-2a^n-2b^n\longrightarrow{}a^n-b^n ? \) 0 \( \longrightarrow{}a^n<b^n \)

Luis, ¿que es lo que hago mal en estos pasos entre términos del primero y del segundo miembro?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Junio, 2020, 12:49 pm
Hola

lo que más me deprime, lo que más me molesta es que por mi culpa llego a cabrearte.

¡Ah!. Pues no te deprimas, que no estoy ni cerca de "cabrearme".

Citar
Antes de seguir, dos cosas Tanto tú como yo cuando aplicamos \( a^n+b^n=c^n \)  cometemos una falsedad; porque \( a^n+b^n<c^n \).  Y, cuanto antes se aplique esa falsedad, como haces tú, todo lo que sigue está afectado por ella. Yo procuro aplicarla al final.

No. En realidad partimos de esa igualdad para llegar a una contradicción. Tu a veces "te resistes" usando interrogaciones; pero como tu misma dices al final lo aplicas (en realidad lo aplicas antes aunque no te des cuenta).

Sea como sea no hay ningún problema ahí.

Citar
Por otro lado si tú, Luis, hubieras sido contemporáneo de Fermat, tendrías que hablarle advertido de que no uso el  "carácter entero de las variables"

No tengo ni idea de lo que habría advertido a Fermat; depende de lo que él expusiese. En la demostración del caso \( n=4 \) (que se atribuye a Fermat) él SI usa de manera decisiva el carácter entero de las variables y esa prueba es totalmente correcta.

Citar
Trato de comparar estos dos factores:

miembro 1º \( c^n-a^n-2b^n \) ? miembro 2º \( b^n-c^n \)

\( 2c^n ? a^n+3b^n \)

\( 2a^n +2b^n ? a^n +3b^n \)

\( a^n < b^n \) o bien \( -a^n>-b^n \)

0, de otro modo:

\( -a^n-2b^n-b^n?-2c^n\longrightarrow{}-a^n-3b^n?-2c^n \)

\( -a^n-3b^n?-2a^n-2b^n\longrightarrow{}a^n-b^n ? \) o \( \longrightarrow{}a^n<b^n \)
Luis, ¿que es lo que hago mal en estos pasos entre términos del primero y del segundo miembro?[/quote]

No hay nada mal hecho ahí. Es cierto que:

\( c^n-a^n-2b^n<b^n-c^n \)

El problema es que ambos términos son negativos y entonces es FALSO que de:

\( a^n<b^n \)
\( c^n-a^n-2b^n<b^n-c^n \)

Se deduzca:

\( a^n(c^n-a^n-2b^n)<b^n(b^n-c^n) \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 30 Junio, 2020, 03:54 pm

Por otro lado si tú, Luis, hubieras sido contemporáneo de Fermat, tendrías que hablarle advertido de que no usa el  "carácter entero de las variables"

Lo que te ha dicho Luis tantas veces, se refiere a buscar el contraste entre los reales que son enteros y los que no lo son.

Si quieres mostrarle a alguien lo que significa “blanco”, le puedes enseñar una bola de nieve, pero si no ha visto nunca nada blanco, se quedará igual que estaba, no le servirá de mucho que le digas que eso es blanco; no sabrá si es el nombre de la bola, el color o qué. En cambio, si acto seguido le enseñas un trozo de carbón y le dices “y esto es negro”, la cosa ya cambia, porque, visualmente, la principal diferencia que va a observar está precisamente en el color.
En las demostraciones de los casos particulares de este teorema (las que yo conozco) lo que se hace es demostrar que esos números (o al menos uno de ellos) no son reales enteros. Por tanto, de alguna manera, en la demostración hay que contar con la posible “presencia” de algún  real no entero en la tripleta; porque si tomas como axioma de entrada la sentencia condenatoria “Son enteros y no se hable más”... ya, directamente, no puedes demostrarlo; se toman enteros en hipótesis, no por axioma.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Julio, 2020, 12:02 pm
Hola

Fermat, que no tenía un pelo de tonto, sabía que su conjetura es falsa para números reales. Por eso concretó que se refería a enteros positivos.

Por cierto se afirma que Fermat demostró su conjetura para el exponente \( n=4 \).

Yo no he encontrado históricamente ni rastro de tal demostración para \( n=4 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 01 Julio, 2020, 03:56 pm


Por cierto se afirma que Fermat demostró su conjetura para el exponente \( n=4 \).

Yo no he encontrado históricamente ni rastro de tal demostración para \( n=4 \).

Saludos.

Hola.

Aquí lo dice, en el apartado en el que pone, en negrita, "Equivalencia"

https://es.wikipedia.org/wiki/Descenso_infinito

La demostración que hizo es la estándar, la conocida que está puesta en el hilo de Argentinator.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Julio, 2020, 09:00 pm
Hola

Fermat, que no tenía un pelo de tonto, sabía que su conjetura es falsa para números reales. Por eso concretó que se refería a enteros positivos.

Perfecto y NADIE critica que en tus hipótesis indiques que los números del teorema son enteros.

Precisamente el problema está en que, en tu intento de demostración, NO usas en ningún sitio que los números son enteros y entonces lo que haces, si estuviese bien (pero no lo está) valdría también para reales; pero eso no puede ser porque como bien dices la conjetura es falsa para reales.

Citar
Por cierto se afirma que Fermat demostró su conjetura para el exponente \( n=4 \).. Yo no he encontrado históricamente ni rastro de tal demostración para \( n=4 \).

La demostración de Fermat para n=4 aparece en anotaciones sobre una copia de Arithmetica de Diophanto, que rescató su hijo Samuel. Aquí tienes una traducción al inglés de tales observaciones:

https://science.larouchepac.com/fermat/Observations%20on%20Diophantus.pdf

En particular las referidas al caso \( n=4 \) puedes verla aquí:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=89873.0;attach=22006)

En este blog se traduce paso a paso las ideas de Fermat a la notación moderna, mostrando como su propuesta corresponde a la demostración más conocida del caso \( n=4 \) por descenso infinito:

http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-one-proof.html

En esencia y una vez simplicada es la demostración que explica Argentinator aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=18414.msg76066#msg76066

He encontrado además, una edición de 1670 que puede consultarse de "Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex et de numeris
multangulis liber unus Diophantus" con las observaciones originales de Fermat. Puedes descargarla aquí:

https://www.e-rara.ch/zut/doi/10.3931/e-rara-9423

En la página 142 de ese PDF puedes ver como enunció originalmente el Teorema el propio Fermat (en latín):

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=89873.0;attach=22007)

En las páginas 421-422 del PDF puede verse el texto original (en latín) de Fermat del caso \( n=4 \) y que he puesto más arriba traducido al inglés. Aparece como comentario al problema XX que Bachet propone en el contexto de la cuestión XXVI del Libro VI de la Arithmetica de Diofanto. El problema de Bachet es encontrar un triángulo rectángulo de área dada. Este es el comentario de Fermat:

 (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=89873.0;attach=22008)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Julio, 2020, 12:55 pm
Hola

Gracias Luis. Gracias Feriva

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Julio, 2020, 06:28 pm
Hola

Supongamos que los enteros positivos \( (A,B,C,) \) tienen un máximo común divisor tal que

\( \frac{A}{mcd}=a \) ; \( \frac{B}{mcd}=b \) ; \( \frac{C}{mcd}=c \)

Sólo tres enteros positivos entre los reales pueden tener un m.c.d.

Entonces la terna \( (a,b,c) \) proviene de los enteros positivos \( (A,B,C) \).  Y \( (a,b,c) \) son enteros positivos.

Saludos.

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: manooooh en 02 Julio, 2020, 08:07 pm
Hola

Spoiler
La demostración de Fermat para n=4 aparece en anotaciones sobre una copia de Arithmetica de Diophanto, que rescató su hijo Samuel. Aquí tienes una traducción al inglés de tales observaciones:

https://science.larouchepac.com/fermat/Observations%20on%20Diophantus.pdf

En particular las referidas al caso \( n=4 \) puedes verla aquí:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=89873.0;attach=22006)

En este blog se traduce paso a paso las ideas de Fermat a la notación moderna, mostrando como su propuesta corresponde a la demostración más conocida del caso \( n=4 \) por descenso infinito:

http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-one-proof.html

En esencia y una vez simplicada es la demostración que explica Argentinator aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=18414.msg76066#msg76066

He encontrado además, una edición de 1670 que puede consultarse de "Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex et de numeris
multangulis liber unus Diophantus" con las observaciones originales de Fermat. Puedes descargarla aquí:

https://www.e-rara.ch/zut/doi/10.3931/e-rara-9423

En la página 142 de ese PDF puedes ver como enunció originalmente el Teorema el propio Fermat (en latín):

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=89873.0;attach=22007)

En las páginas 421-422 del PDF puede verse el texto original (en latín) de Fermat del caso \( n=4 \) y que he puesto más arriba traducido al inglés. Aparece como comentario al problema XX que Bachet propone en el contexto de la cuestión XXVI del Libro VI de la Arithmetica de Diofanto. El problema de Bachet es encontrar un triángulo rectángulo de área dada. Este es el comentario de Fermat:

 (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=89873.0;attach=22008)
[cerrar]

Impresionante búsqueda Luis :aplauso: :aplauso:.

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Julio, 2020, 09:16 am
Hola

Supongamos que los enteros positivos \( (A,B,C,) \) tienen un máximo común divisor tal que

\( \frac{A}{mcd}=a \) ; \( \frac{B}{mcd}=b \) ; \( \frac{C}{mcd}=c \)

Sólo tres enteros positivos entre los reales pueden tener un m.c.d.

Entonces la terna \( (a,b,c) \) proviene de los enteros positivos \( (A,B,C) \).  Y \( (a,b,c) \) son enteros positivos.

No se muy bien a que viene eso.

Si con eso pretendes "curarte en salud" usando un concepto (m.c.d) que tiene sentido en los enteros positivos y no lo tiene (o es trivial) en los reales, no te llega.

La clave está si ese (u otro) hecho diferencial que tiene sentido en los enteros y no en los reales es usado decisivamente en tu intento de demostración. Por ejemplo en los últimos manejos que haces, realmente sólo utilizas (mal) propiedades respecto a desigualdades; es indiferente que \( a,b,c \) tengan o no factor común.

De todas formas, por encima de todo y mucho más importante, es razonar con argumentos correctos. Hasta hora siempre has cometido errores muy gruesos.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Julio, 2020, 11:47 am
Hola

Por favor, Luis, te lo ruego, te lo pido de rodillas, ¿puedes citarme un sólo hilo en el que exijas a su autor, como me exijes a mí: "no usas el caracter entero de las variables"?

saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 03 Julio, 2020, 12:13 pm
Hola

Por favor, Luis, te lo ruego, te lo pido de rodillas, ¿puedes citarme un sólo hilo en el que exijas a su autor, como me exijes a mí: "no usas el caracter entero de las variables"?

saludos.

Para que Luis no se vea en el brete de decir, por ejemplo, " en tal hilo de feriva", te lo digo yo; a mí en ocasiones me ha dicho eso: "no estás usando que son enteros" o "no estás usando que son potencias..." Cosas así.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Julio, 2020, 12:40 pm
Hola

Por favor, Luis, te lo ruego, te lo pido de rodillas, ¿puedes citarme un sólo hilo en el que exijas a su autor, como me exijes a mí: "no usas el caracter entero de las variables"?

1) Yo no te "exijo" nada.
2) En cuanto a dar por buena una demostración lo analizo es si los argumentos que la sustentan son correcto. En tu caso nunca los son; es decir siempre hay algún fallo grave que te he ido indicando en cada caso, y que nada tiene que ver con el asunto de enteros y/o reales.
3) Lo que digo es que si en un intento de prueba del UFT en algún sitio no se usa de manera decisiva el carácter entero de las variables, la prueba no puede estar bien. Esto te lo digo porque te ayudaría a ti misma a encontrar tus propios errores y no iniciar caminos que de antemano se sabe que no llevan a nada.

Saludos.

P.D. En una búsqueda a vuelapluma, a otro usuario que propone una prueba del UFT le hago aquí esa misma observación. Nota que se la hago como información extra; antes de eso le indico porqué está mal lo que hace.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=107287.msg423677#msg423677

Y otra cosa más, en ese intento de argumento no usas para nada el carácter entero de las variables. La ecuación de Fermat si tiene soluciones no enteras, por tanto eso es síntoma de que el argumento no podía estar bien.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 07 Julio, 2020, 11:07 am
Hola

Voy a seguir con mi intento de demostración indicando que los enteros \( (a,b,c) \) provienen de unos enteros positivos mayores \( (A,B,C) \) divididos por su m.c.d.

Por ejemplo la terna \( (5,6,7) \) proviene de la terna \( (105,126,147) \) dividida por su m.c.d. \( 21 \).

Seguramente será incompleta pero será válida y nada tendrá que ver con los reales. Y servirá para infinitas ternas.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 07 Julio, 2020, 06:55 pm
Hola

Parto de \( c^n(c^n-4a^n)+3a^{2n}?b^n(b^n-2a^n) \)

Comparo \( c^n(c^n-4a^n) \) con \( b^n(b^n-2a^n) \)

factor \( c^n> \) factor \( b^n  \)

factor \( c^n-4a^n?b^n-2a^n \) factor

estos dos factores equivalen a \( c^n?b^n+2a^n\longrightarrow{}c^n<b^n+2a^n \)

factor \( c^n \) x factor \( c^n \) ? factor \( b^n \) x factor \( (b^n+2a^n) \)

\( c^{2n}?b^{2n}+2a^nb^n \)

\( c^{2n}+3a^{2n}?b^{2n}+2a^nb^n \)

\( c^{2n}-b^{2n}?-3a^{2n}+2a^nb^n \)

dividido por \( a^n \)

\( c^n+b^n?-3a^n+2b^n \)

\( c^n?-3a^n+b^n\longrightarrow{}c^n>b^n-3a^n \)

Saludos.


Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Julio, 2020, 11:41 am
Hola
Parto de \( c^n(c^n-4a^n)+3a^{2n}?b^n(b^n-2a^n) \)

Comparo \( c^n(c^n-4a^n) \) con \( b^n(b^n-2a^n) \)

factor \( c^n> \) factor \( b^n  \)

factor \( c^n-4a^n?b^n-2a^n \) factor

estos dos factores equivalen a \( c^n?b^n+2a^n\longrightarrow{}c^n<b^n+2a^n \)

factor \( c^n \) x factor \( c^n \) ? factor \( b^n \) x factor \( (b^n+2a^n) \)

\( c^{2n}?b^{2n}+2a^nb^n \)

\( c^{2n}+3a^{2n}?b^{2n}+2a^nb^n \)

\( c^{2n}-b^{2n}?-3a^{2n}+2a^nb^n \)

dividido por \( a^n \)

\( c^n+b^n?-3a^n+2b^n \)

\( c^n?-3a^n+b^n\longrightarrow{}c^n>b^n-3a^n \)

No se que pretendes con todo esto; cuando descompones los dos términos a comparar en producto de dos factores, si en una de las parejas pasas de un lado a otro ciertos términos, al volver a multiplicar lo que obtienes ya no dice nada sobre los términos originales. Y más aún... al principio escamoteas en un lado el término \( 3a^{2n} \) y luego se lo añades cuando has modificado la proporción de los términos restantes; de nuevo lo que obtengas de ahí no dice nada de la comparativa original.

Es decir falla por todos los lados.

Por ejemplo, si \( c^n=13 \), \( a^n=2 \) y \( b^n=11 \) en tu primera expresión ya tienes la igualdad; nada de lo que haces después va a demostrar lo contrario.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Julio, 2020, 05:42 pm
Hola

Gracias Luis.

Para la terna \( (5,6,7) \) y \( n=3 \):

\( c^3-4a^3=-157 \)

\( b^3-2a^3=-34 \)

Estos dos factores equivalen a \( (c^3) \) y \( (b^n+2a^n) \) y tenemos \( c^3 = 343 \)

\( b^n+2a^n=466 \)

Entonces

\( -157<-34 \) la diferencia es \( -123 \)

y \( 343 - 466 = -123 \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 08 Julio, 2020, 08:15 pm

Antes que nada decirte que los datos tienen que ser verosímiles.

Perdón por meterme donde no me llaman, minette.

No usas los números verosímiles. Tienes que decir: “Sea \( \mathbb{V}
  \) el conjunto de los números verosímiles; \( a,b,c\in\mathbb{V}
  \). Si \( d \) es verosímil y divide a \( b \) y/o divide a \( a \), entonces puede pasar o bien no sé qué o bien no sé cuantos...” Lo que sea, cosas así, que caractericen las letras, reglas que les impongan unas restricciones que no pueden violar; de forma que si las violaran la hipótesis de que son verosímiles sería falsa.

En cuanto al mcd hace alusión a unos factores comunes; y en caso de que la terna sea primitiva el mcd de a,b,c es 1.

Pero, por ejemplo, existe \( a^{n}+b^{n}=c^{n}
  \) con “a,b” verosímiles y mcd=1; y “c” inverosímil (que también podemos dividir entre 1 y quien sea) tal que podemos encontrar un verosímil “k” de tal forma que se cumple la igualdad

\( k^{n}a^{n}+k^{n}b^{n}=k^{n}c^{n}
  \)

la cual es lo mismo que

\( (ka)^{n}+(kb)^{n}=(kc)^{n}
  \); con ka y kb verosímiles y kc inverosímil.

Por tanto, ese “k” existe en ese caso y las letras no detectan nada respecto de "c"; y no saben si k es el mcd o no, porque no saben si todos son verosímiles, nadie se lo ha dicho.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 09 Julio, 2020, 11:03 am
Hola Feriva

Yo no soy matemático como tú y no tengo ni puñetera idea de lo que me dices en tu respuesta 577 y por tanto no puedo contestarte.

Pero sí puedo pedirte a tí, y a cuantos leen este hilo, que me cites una terna viable que no pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su m.c.d. nos den la terna viable que te he citado.

Retiro y anulo mi frase: los datos tienen que ser verosímiles.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Julio, 2020, 11:43 am
Hola

Antes que nada decirte que los datos tienen que ser verosímiles.

No es verosímil \( a^n=2 \), ni tampoco \( b^n = 11 \), ni, incluso, \( c^n=13 \).

Vaya por delante que el ejemplo numérico que te puse es un extra. Puedes olvidarlo y centrarte en lo que puse antes. Tus razonamientos ESTÁN MAL, no concluyen nada sobre los términos iniciales que pretendías comparar y te he explicado los motivos.

En cuanto al ejemplo: en todo lo que razonas NO USAS para nada que \( a^n \), \( b^n \), \( c^n \) sean potencias enésimas. Por tanto si estuviese bien debería de valer igualmente para cualesquiera números \( A=a^n \), \( B=b^n \), \( C=c^n \).

En otras palabras si en tu razonamiento susituimos con las letras anteriores queda así:

Parto de \( C(C-4A)+3A^2?B(B-2A) \)

Comparo \( C(C-4A) \) con \( B(B-2A) \)

factor \( C> \) factor \( B  \)

factor \( C-4A?B-2A \) factor

estos dos factores equivalen a \( C?B+2A\longrightarrow{}C<B+2A \)

factor \( C \) x factor \( C \) ? factor \( B \) x factor \( (B+2A) \)

\( C^2?B^2+2AB \)

\( C^2+3A^2?B^2+2AB \)

\( C^2-B^2?-3A^2+2AB \)

dividido por \( A \)

\( C+B?-3A+2B \)

\( C?-3A+B\longrightarrow{}C>B-3A \)

Lo único que he hecho es, en tu desarrollo sustituir \( a^n,b^n,c^n \) por \( A,B,C \). Por lo demás es AL PIE DE LA LETRA lo que TU has hecho.
Es importante que respondas a esta pregunta. ¿Está mal eso que he escrito?En caso afirmativo, ¿por qué?¿dónde está el fallo?. Si piensas que está bien, ¿qué se supone que demuestra?¿qué no existen enteros tales que \( C=A+B \)?.


Citar
Para la terna \( (5,6,7) \) y \( n=3 \):

\( c^3-4a^3=-157 \)

\( b^3-2a^3=-34 \)

Estos dos factores equivalen a \( (c^3) \) y \( (b^n+2a^n) \) y tenemos \( c^3 = 343 \)

\( b^n+2a^n=466 \)

Entonces

\( -157<-34 \) la diferencia es \( -123 \)

y \( 343 - 466 = -123 \).

No has leído mi crítica. No hay ningún problema en el paso de comparar los pares \( c^3-4a^3 \)  y \( b^3-2a^3 \) a comparar los pares \( c^3 \)  y \( b^3+2a^3 \). El problema está cuando multiplicar esos pares por otros factores, DISTINTOS A CADA LADO, y pretendes que se mantengan en ese caso el sentido de la desigualdad.

Por otro lado que para un ejemplo concreto se cumpla algo no significa que se cumpla siempre. Así que NO VALEN los ejemplos concretos para probar que tus razonamientos son correctos.

Por el contrario basta encontrar un ejemplo donde un razonamiento que pretende ser general falle, para mostrar que el razonamiento es falso. Así que SI VALEN ejemplos concretos para mostrar que un razonamiento está mal.

Saludos.

P.D. Respecto a esto:
Yo no soy matemático como tú y no tengo ni puñetera idea de lo que me dices en tu respuesta 577 y por tanto no puedo contestarte.

Si te sirve de consuelo, yo que si soy matemático, tampoco entiendo lo que dice feriva en esa respuesta... Tiene además un punto de entrar tocando el bombo para pedir silencio...
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 09 Julio, 2020, 01:18 pm

Si te sirve de consuelo, yo que si soy matemático, tampoco entiendo lo que dice feriva en esa respuesta... Tiene además un punto de entrar tocando el bombo para pedir silencio...

:D :D No conocía la frase.

Es verdad, Luis. Perdón.

*En cuanto a eso, minette, no me hagas caso, Y no soy matemático; lo que pone en los nicks (según los colores) es por la cantidad de respuestas, a partir de un cierto número de respuestas, la etiqueta, en vez de ser "Pleno", como antes, ahora es "matemático"; pero es sólo eso, sigo siendo el mismo aficionado (con bombo, pero el mismo :D )

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 09 Julio, 2020, 05:54 pm
Hola

A ver si me entiendo y me sé explicar.

\( a+b+c ? d+e \)

\( (a+b+c) \) es primer miembro o miembro de la izquierda

\( (d+e) \) es segundo miembro o miembro de la derecha.

\( a+b+c \), cada uno de ellos, son términos o sumandos del primer miembro ó miembro de la izquierda.

\( d+e \), cada uno de ellos, son términos o sumandos del segundo miembro ó miembro de la derecha.

El sentido del ? no varía si se traspone cualquier término o sumando de la derecha a la izquierda cambiandole el signo.

El sentido del interrogante no varía si se traspone cualquier término o sumando de la izquierda a la derecha cambiándole el signo.

En definitiva: una cosa es miembro y otra término o sumando.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Julio, 2020, 09:20 pm
Hola

\( a+b+c ? d+e \)

\( (a+b+c) \) es primer miembro o miembro de la izquierda

\( (d+e) \) es segundo miembro o miembro de la derecha.

\( a+b+c \), cada uno de ellos, son términos o sumandos del primer miembro ó miembro de la izquierda.

\( d+e \), cada uno de ellos, son términos o sumandos del segundo miembro ó miembro de la derecha.

El sentido del ? no varía si se traspone cualquier término o sumando de la derecha a la izquierda cambiandole el signo.

El sentido del interrogante no varía si se traspone cualquier término o sumando de la izquierda a la derecha cambiándole el signo.

En definitiva: una cosa es miembro y otra término o sumando.

Pero todo esto es correcto. Nadie ha criticado eso. Sigues sin leer en detalle las indicaciones. El problema está en lo que indico en rojo:

No has leído mi crítica. No hay ningún problema en el paso de comparar los pares \( c^3-4a^3 \)  y \( b^3-2a^3 \) a comparar los pares \( c^3 \)  y \( b^3+2a^3 \). El problema está cuando multiplicar esos pares por otros factores, DISTINTOS A CADA LADO, y pretendes que se mantengan en ese caso el sentido de la desigualdad.

Si quieres entender la cuestión es importante que contestes a esto:

Parto de \( C(C-4A)+3A^2?B(B-2A) \)

Comparo \( C(C-4A) \) con \( B(B-2A) \)

factor \( C> \) factor \( B  \)

factor \( C-4A?B-2A \) factor

estos dos factores equivalen a \( C?B+2A\longrightarrow{}C<B+2A \)

factor \( C \) x factor \( C \) ? factor \( B \) x factor \( (B+2A) \)

\( C^2?B^2+2AB \)

\( C^2+3A^2?B^2+2AB \)

\( C^2-B^2?-3A^2+2AB \)

dividido por \( A \)

\( C+B?-3A+2B \)

\( C?-3A+B\longrightarrow{}C>B-3A \)

Lo único que he hecho es, en tu desarrollo sustituir \( a^n,b^n,c^n \) por \( A,B,C \). Por lo demás es AL PIE DE LA LETRA lo que TU has hecho.
Es importante que respondas a esta pregunta. ¿Está mal eso que he escrito?En caso afirmativo, ¿por qué?¿dónde está el fallo?. Si piensas que está bien, ¿qué se supone que demuestra?¿qué no existen enteros tales que \( C=A+B \)?.


Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 10 Julio, 2020, 10:37 am
Hola

A ver si me entiendo y me sé explicar.

\( a+b+c?d+e \)

Voy a prescindir del término o sumando \( c \) del primer miembro o miembro de la izquierda.

Entonces \( a+b?d+e \)

Supongo que llego a determinar el sentido del ? sean cuales sean las operaciones que me lo han permitido, sin que estas operaciones hayan afectado al término \( c \)

El sentido del interrogante va a depender del valor de \( c \). Y será el mismo tanto si se ha sumado directamente  \( 37+45+c?22+53 \); como si se hace \( 82+c?75 \)

Saludos

Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Julio, 2020, 02:48 pm
Hola

A ver si me entiendo y me sé explicar.

\( a+b+c?d+e \)

Voy a prescindir del término o sumando \( c \) del primer miembro o miembro de la izquierda.

Entonces \( a+b?d+e \)

Supongo que llego a determinar el sentido del ? sean cuales sean las operaciones que me lo han permitido, sin que estas operaciones hayan afectado al término \( c \)

El sentido del interrogante va a depender del valor de \( c \). Y será el mismo tanto si se ha sumado directamente  \( 37+45+c?22+53 \); como si se hace \( 82+c?75 \)

Esto es tan cierto como vago; desde luego para comparar \( a+b+c \) don \( d+e \) es decisivo el valor de \( c. \) En ese sentido y sin más concrección poco aporta haber comparado antes sólo \( a+b \) y \( d+e \).

Por otra parte esto sigue sin tener que ver con tu error, donde el problema está en PRODUCTOS.

Además no se porque pones esas letras en lugar de trabajar con TU PROPIO RAZONAMIENTO tal como lo he escrito. Una vez más te insto a responde a la pregunta que te he hecho:


Spoiler
Parto de \( C(C-4A)+3A^2?B(B-2A) \)

Comparo \( C(C-4A) \) con \( B(B-2A) \)

factor \( C> \) factor \( B  \)

factor \( C-4A?B-2A \) factor

estos dos factores equivalen a \( C?B+2A\longrightarrow{}C<B+2A \)

factor \( C \) x factor \( C \) ? factor \( B \) x factor \( (B+2A) \)

\( C^2?B^2+2AB \)

\( C^2+3A^2?B^2+2AB \)

\( C^2-B^2?-3A^2+2AB \)

dividido por \( A \)

\( C+B?-3A+2B \)

\( C?-3A+B\longrightarrow{}C>B-3A \)

Lo único que he hecho es, en tu desarrollo sustituir \( a^n,b^n,c^n \) por \( A,B,C \). Por lo demás es AL PIE DE LA LETRA lo que TU has hecho.
Es importante que respondas a esta pregunta. ¿Está mal eso que he escrito?En caso afirmativo, ¿por qué?¿dónde está el fallo?. Si piensas que está bien, ¿qué se supone que demuestra?¿qué no existen enteros tales que \( C=A+B \)?.

[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 10 Julio, 2020, 05:15 pm
Hola

Respondo a tu pregunta:

La respuesta es \( C>B-3A \).

Aprovecho para decir que yo también he formulado una pregunta a bastantes personas. Hasta el momento sin respuesta.

Y digo que \( c \) puede ser positivo o negativo. No como el término \( 3A^2 \) que en el primer miembro es positivo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 10 Julio, 2020, 07:04 pm

Aprovecho para decir que yo también he formulado una pregunta a bastantes personas. Hasta el momento sin respuesta.


¿Te refieres a mí, minette?

La última pregunta que me hiciste (que no contesté) era ésta:

Citar

Pero sí puedo pedirte a tí, y a cuantos leen este hilo, que me cites una terna viable que no pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su m.c.d. nos den la terna viable que te he citado.


Tienes razón en eso, sí. Dicho al revés, una terna primitiva se puede multiplicar por un mismo número (todas las letras) y entonces ese número por el que has multiplicado será el mcd de los productos resultantes (se entiende que hablamos de números enteros en todo caso).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 11 Julio, 2020, 12:26 am
Hola

La respuesta es \( C>B-3A \).

Mis preguntas eran:

 
¿Está mal eso que he escrito?En caso afirmativo, ¿por qué?¿dónde está el fallo?. Si piensas que está bien, ¿qué se supone que demuestra?¿qué no existen enteros tales que \( C=A+B \)?.

 No se a que se supone que responde lo que has contestado. Sólo tendría lógica si respondiese a: "¿qué se supone que demuestra?". Si es así, si piensas que ese desarrolllo está bien y sirve únicamente para probar que \( C>B-3A. \), dado que \( C=c^n \), \( B=b^n \) y \( A=a^n \) entiendo que piensas tu desarrollo sólo pretendía demostrar que \( c^n>b^n-3a^n \).

 Si es así; perfecto. La conclusión es correcta: si \( c^n=a^n+b^n \) obviamente \( c^n=a^n+b^n>b^n-3a^n. \) Es tan correcto como obvia, trivial e inútil.

 Entonces vuelve a reflexionar si realmente es eso lo que querías decir.

 Fíjate que todo esto es para que entiendas que tu desarrollo NO MUESTRA que \( c^n\neq a^n+b^n \). Si pretendías otra cosa... pues nada que decir.

 En realidad a veces en todos tus desarrollos se echan de menos frases que indiquen que conclusiones se supone que crees sacar de tus cuentas. Cosas como "... entonces de aquí deducimos que...", "... por tanto se concluye que...", "... de aquí se deduce que la desigualdad anterior...".

 Tu último desarrollo son una colección de desigualdades o comparaciones irresueltas, que individualmente son correctas, pero que de las últimas no se deducen las primeras. Por eso no vale para nada.

Citar
Aprovecho para decir que yo también he formulado una pregunta a bastantes personas. Hasta el momento sin respuesta.

 ¿Qué pregunta?.

Citar
Y digo que \( c \) puede ser positivo o negativo. No como el término \( 3A^2 \) que en el primer miembro es positivo.

 No se que quieres decir con eso.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 14 Julio, 2020, 12:40 pm
Hola

\( c^{2n}-4a^nc^n?b^{2n}-2a^nb^n \)

\( c^{2n}-b^{2n}?4a^nc^n-2a^nb^n \)

\( c^{2n}-b^{2n}?2a^n(2c^n-b^n) \)

\( c^{2n}-b^{2n}?2a^n(2a^n+2b^n-b^n) \)

\( c^{2n}-b^{2n}?2a^n(2a^n+b^n) \)

\( c^{2n}-b^{2n}?2a^n(c^n+a^n) \)

\( c^{2n}-b^{2n}?2a^nc^n+2a^{2n} \)

\( c^{2n}-b^{2n}-a^{2n}?2a^nc^n+a^{2n} \)

\( 2a^nb^n?2a^nc^n+a^{2n} \)

\( 2b^n?2c^n+a^n \)

\( 2b^n?2a^n+2b^n+a^n \)

\( 0<3a^n \)

\( 3a^{2n}?3a^n \)

\( a^n>1 \)

Seguramente esto tendrá algún fallo, pero no logro encontrarlo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 14 Julio, 2020, 05:31 pm
Hola

He encontrado el fallo. Toda mi respuesta anterior está mal.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 15 Julio, 2020, 11:25 am
Hola Luis

Reproduzco el siguiente párrafo de mi respuesta 578:

"Pero si puedo pedirte a tí (Feriva), y, a cuantos leen este hilo, que me cites una terna viable que NO pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su m.c.d. nos den la terna viable que te he citado."

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Julio, 2020, 11:40 am
Hola

"Pero si puedo pedirte a tí (Feriva), y, a cuantos leen este hilo, que me cites una terna viable que NO pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su m.c.d. nos den la terna viable que te he citado."

Para mi el concepto de "terna viable" a no ser que lo definas con total precisión, no tiene mucho sentido.

Según como lo definas, pues si, una "terna viable" podría venir de otra "terna viable" proporcional ella.

Pero francamente no sé a donde quieres llegar con esa reflexión. Si te refieres a que nl problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre si; pues si es una simplificación obvia que puede hacerse.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 15 Julio, 2020, 12:33 pm
Gracias Luis.

Para mí una terna viable tiene que tener los siguientes requisitos:

\( a^2+b^2>c^2 \) y en general \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( (n-1) \) el mayor valor con desigualdad \( > \)

\( c>b>a \)

\( a+b>c \)

\( a,b,c \) tienen que ser primos entre sí

Lo que quiero decir es que la conjetura de Fermat se refiere SÓLO a enteros positivos y no a reales en general.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Julio, 2020, 10:17 pm
Hola

Para mí una terna viable tiene que tener los siguientes requisitos:

\( a^2+b^2>c^2 \) y en general \( a^{n-1}+b^{n-1}>c^{n-1} \) siendo \( (n-1) \) el mayor valor con desigualdad \( > \)

\( c>b>a \)

\( a+b>c \)

\( a,b,c \) tienen que ser primos entre sí

Muy bien. Pues con esa definición de terna viable la respuesta a esto:

"Pero si puedo pedirte a tí (Feriva), y, a cuantos leen este hilo, que me cites una terna viable que NO pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su m.c.d. nos den la terna viable que te he citado."

es que es imposible dar tal terna; porque toda terna viable \( (a,b,c) \) puede venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su m.c.d. nos den la terna viable que te he citado. Sin más que multiplicar los tres números por cualquier natural mayor que uno.

Citar
Lo que quiero decir es que la conjetura de Fermat se refiere SÓLO a enteros positivos y no a reales en general.

Si, eso ya los sabemos todos y nunca ha sido puesto en duda.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 16 Julio, 2020, 10:51 am
Hola

Muchas gracias Luis.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Septiembre, 2020, 11:23 am
Hola

Dada la expresión

\( c^{n}(c^{n}-4a^{n})?b^{n}(b^{n}-2a^{n})-3a^{2n} \)
 

Multiplicando por \( (-1) \)  :

\( c^{n}(4a^{n}-c^{n})?b^{n}(2a^{n}-b^{n})+3a^{2n} \)
 

\( c^{n}(3a^{n}-b^{n})?b^{n}(2a^{n}-b^{n})+3a^{2n} \)
 

Considero el factor \( (3a^{n}-b^{n}) \)  del primer miembro

igual a \( (2a^{n}-b^{n}) \)  y queda:

\( c^{n}(2a^{n}-b^{n})?b^{n}(2a^{n}-b^{n})+3a^{2n} \)
 

Dividiendo por \( (2a^{n}-b^{n} \)):
 

\( c^{n}?b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}} \)
 

Entonces siendo \( c^{n}<b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}} \)
 

Al haber multiplicado al principio por \( (-1) \)  :

\( c^{n}>b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}} \)
 

Saludos
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Septiembre, 2020, 12:27 pm
Hola

Considero el factor \( (3a^{n}-b^{n}) \)  del primer miembro

igual a \( (2a^{n}-b^{n}) \)  y queda:

¿A qué viene considerar esa igualdad? Si \( 3a^n-b^n=2a^n-b^n \) entonces \( a=0. \)

Citar
Entonces siendo \( c^{n}<b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}} \)
 

Al haber multiplicado al principio por \( (-1) \)  :

\( c^{n}>b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}} \)
 

Y esto es un sinsentido. ¿Qué tiene que ver que multiplicases inicialmente una expresión con \( -1 \), para que de una desigualdad pases justo a la contraria sin modificar nada más?.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 08 Septiembre, 2020, 06:31 pm
Hola

Si \( a=0 \)  entonces \( c^{2n}>b^{2n} \)  , o bien, al multiplicar por \( (-1) \)  , \( c^{2n}<b^{2n} \)
 

Trato de demostrar que los dos miembros iniciales no pueden ser iguales.

Si \( c^{n}(2a^{n}-b^{n})>b^{n}(2a^{n}-b^{n})+3a^{2n} \)
 

con más motivo se mantendrá el signo \( > \) si el factor \( (2a^{n}-b^{n}) \)  del primer miembro se aumenta a \( (3a^{n}-b^{n}) \)  que es mayor que \( (2a^{n}-b^{n}) \)
 

Por otra parte, si cada línea se deriva de la anterior sin ninguna duda, el hecho de haber multiplicado por \( (-1) \)  en una determinada línea , se mantiene hasta el final.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Septiembre, 2020, 10:28 pm
Hola

Si \( a=0 \)  entonces \( c^{2n}>b^{2n} \)  , o bien, al multiplicar por \( (-1) \)  , \( c^{2n}<b^{2n} \)

Si \( a=0 \) nada de esto tiene interés.
 
Citar
Trato de demostrar que los dos miembros iniciales no pueden ser iguales.

Si \( c^{n}(2a^{n}-b^{n})>b^{n}(2a^{n}-b^{n})+3a^{2n} \)
 
Esa desigualdad es al revés (supuesto que \( c^n=a^n+b^n \)).

Citar
Por otra parte, si cada línea se deriva de la anterior sin ninguna duda, el hecho de haber multiplicado por \( (-1) \)  en una determinada línea , se mantiene hasta el final.

Si cambias multiplicas por \( -1 \) una desigualdad pasas otra en el otro sentido.. ¡pero con los términos cambiados de signo!.

Por ejemplo, si tienes que se cumple esto:

\( c^{n}<b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}} \)

pasas a:

\( -c^{n}>-b^{n}-\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 09 Septiembre, 2020, 11:49 am
Hola

Dices Luis que la desigualdad

\( c^n(2a^n-b^n)>b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \) (1)

es al revés. Pero he de recordar que la citada desigualdad proviene de la inicial

\( c^n(c^n-4a^n)?b^n(b^n-2a^n)-3a^{2n} \)

multiplicada por \( (-1) \).

Por lo cual lo que dices es correcto.

Y lo que sigue a (1) también:

\( c^n>b^n+\frac{3a^{2n}}{2a^n-b^n} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Septiembre, 2020, 04:51 pm
Hola

Dices Luis que la desigualdad

\( c^n(2a^n-b^n)>b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \) (1)

es al revés. Pero he de recordar que la citada desigualdad proviene de la inicial

\( c^n(c^n-4a^n)?b^n(b^n-2a^n)-3a^{2n} \)


multiplicada por \( (-1) \).

Da igual. Si \( c^n=a^n+b^n \) (y todos los números son positivos), en realidad se cumple todo esto:

\( c^n(c^n-4a^n)=b^n(b^n-2a^n)-3a^{2n} \)

\( c^n(3a^n-b^n)=b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \)

\( c^n(2a^n-b^n)<b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \)

Citar
Y lo que sigue a (1) también:

\( c^n>b^n+\frac{3a^{2n}}{2a^n-b^n} \)

Y esa desigualdad es al revés.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 10 Septiembre, 2020, 01:01 pm
Hola Luis

En tu última respuesta dices:

"Si \( c^n=a^n+b^n \) (y todos los números son positivos) en realidad se cumple todo esto":

\( c^n(c^n-4a^n)=b^n(b^n-2a^n)-3a^{2n} \)

Te pregunto: ¿\( (-3a^{2n}) \) es positivo?

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Septiembre, 2020, 01:13 pm
Hola

En tu última respuesta dices:

"Si \( c^n=a^n+b^n \) (y todos los números son positivos) en realidad se cumple todo esto":

\( c^n(c^n-4a^n)=b^n(b^n-2a^n)-3a^{2n} \)

Te pregunto: ¿\( (-3a^{2n}) \) es positivo?

No. Si \( a \) es positivo, entonces \( -3a^{2n} \) es negativo.

No se muy bien porque haces esa observación. Si es porque antes puse entre paréntesis ("todos los números son positivos"), me referia, ¡obviamente!, a los números \( a,b,c \).

Adicionalmente, para la igualdad (obviamente también) no hace falta tan siquiera falta que \( a,b,c \) sean positivos. Simplemente hace falta que \( c^n=a^n+b^n \).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 21 Septiembre, 2020, 01:29 pm
Hola
\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4a^nc^n \)

\( c^n(c^n-4a^n)?b^n(b^n-2a^n)-3a^{2n} \)

Multiplicando por \( (-1) \):

\( c^n(4a^n- c^n)?b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \)

\( c^n(3a^n-b^n)?b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \)

El primer miembro lo disminuimos hasta \( (2a^n-b^n) \)

dividimos por \( (2a^n-b^n) \):

\( c^n?b^n+\frac{3a^{2n}}{2a^n-b^n} \)

\( c^n<b^n+\frac{3a^{2n}}{2a^n-b^n} \)

Al haber multiplicado por \( (-1) \):

\( c^n>b^n+\frac{3a^2}{2a^n-b^n} \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 21 Septiembre, 2020, 04:41 pm
Hola

\( (c^n-2a^n)^2?(b^n-a^n)^2 \)

\( c^{2n}+3a^{2n}+2b^na^n?b^{2n}+4a^nc^n \)

\( c^n(c^n-4a^n)?b^n(b^n-2a^n)-3a^{2n} \)

Multiplicando por \( (-1) \):

\( c^n(4a^n)?b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \)

\( c^n(3a^n-b^n)?b^n(2a^n-b^n)+3a^{2n} \)

El primer miembro lo disminuimos hasta \( (2a^n-b^n) \)

dividimos por \( (2a^n-b^n) \):

\( c^n?b^n+\frac{3a^{2n}}{2a^n-b^n} \)

\( c^n<b^n+\frac{3a^{2n}}{2a^n-b^n} \)

Al haber multiplicado por \( (-1) \):

\( c^n>b^n+\frac{3a^2}{2a^n-b^n} \)


Por el hecho de haber multiplicado ANTES por \( -1 \) no tiene sentido que afirmes una desigualdad y la contraria al tiempo. Es como si dices:

\( 2-4<2-2 \)

Multiplicando por \( -1 \):

\( -2+4>-2+2 \)
\( 2>0 \)

y como antes había mutiplicado por \( -1 \):

\( 2<0 \)

¡Un sinsentido!.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 21 Septiembre, 2020, 05:42 pm
Hola

Muchas gracias Luis.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 10 Noviembre, 2020, 06:14 pm
Hola

De \( (c^{n}-2a^{n})^{2}?(b^{n}-a^{n})^{2} \)
 

\( (c^{2n}+3a^{2n}+2b^{n}a^{n}?b^{2n}+4a^{n}c^{n} \)
 

\( b^{n}(2a^{n}-b^{n})+3a^{2n}?c^{n}(4a^{n}-c^{n}) \)
 

\( b^{n}(2a^{n}-b^{n})+3a^{2n}?c^{n}(3a^{n}-b^{n}) \)
 

Suponemos \( 2a^{n}-b^{n}=3a^{n}-b \)  y dividimos por \( 2a^{n}-b^{n} \)
 

\( b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}}?c^{n} \)
 

Como \( \frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}}>a^{n} \)
 

\( \left\{ b+>a^{n}\right\} >c^{n} \)
 

Si dividimos por \( (3a^{n}-b^{n}) \)
 

\( \frac{3a^{2n}}{3a^{n}-b^{n}}>a^{n} \)
 

\( \left\{ b^{n}+>a^{n}\right\} >c^{n} \)
 

Si divido por un promedio de los dos divisores: \( 2,5a^{n}-b^{n} \) :

\( b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2,5a^{n}-b^{n}}?c^{n} \) entonces la fraccíón también es mayor que \( a^{n} \) y  \( \left\{ b^{n}+>a^{n}\right\} >c^{n} \) .

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 19 Noviembre, 2020, 11:07 am
Hola

Vuestro silencio a mi respuesta anterior (ahora Rincón Matemático ya no las numera) no me va a permitir creer que es correcta.

Ojalá nadie esté enfermo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Noviembre, 2020, 05:12 pm
Hola

Vuestro silencio a mi respuesta anterior (ahora Rincón Matemático ya no las numera) no me va a permitir creer que es correcta.

El silencio no dice nada ni a favor ni en contra de la corrección de tus argumentos.

Ahora mientras sigas trabajando dejando al lado el carácter entero de tus variables, nada de lo que hagas te acercará ni medio milímetro a un argumento que pudiera ayudar a probar el Teorema de Fermat. O estará mal o no sirve para nada.

Lo que has escrito apenas se entiende.

Suponemos \( 2a^{n}-b^{n}=3a^{n}-b \)  y dividimos por \( 2a^{n}-b^{n} \)

Sospecho que querías decir \( 2a^{n}-b^{n}=3a^{n}-\color{red}b^n\color{black} \). Pero eso equivale a que \( a=0 \). El caso \( a=0 \) no tiene interés ninguno. Así nada de lo que deduzcas de ahí tiene interés.
 

Citar
\( b^{n}+\frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}}?c^{n} \)
 

Como \( \frac{3a^{2n}}{2a^{n}-b^{n}}>a^{n} \)
 
\( \left\{ b+>a^{n}\right\} >c^{n} \)

¿Qué se supone que significa eso en rojo? ¿Una suma con un símbolo de mayor en medio y luego otro símbolo de mayor más adelante?.

En fin...

Saludos.

P.D. Tengo poco tiempo estos días para entrar en el foro.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 27 Noviembre, 2020, 01:03 pm
Hola Luis

En tu respuesta 19-Noviembre-2020 escribes en rojo {b+>\( a^n \)}\( >c^n \).
No es \( b \) es \( b^n \) y viene a decir
\( b^n+a^n+1 \) (por ejemplo) \( >c^n \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 27 Noviembre, 2020, 07:06 pm
Hola

En tu respuesta 19-Noviembre-2020 escribes en rojo {b+>\( a^n \)}\( >c^n \).
No es \( b \) es \( b^n \) y viene a decir
\( b^n+a^n+1 \) (por ejemplo) \( >c^n \)

Aun con esa aclaración, sigo sin encontrar sentido a lo que haces.

Como te he dicho partes de un presupuesto \( 2a^{n}-b^{n}=3a^{n}-\color{red}b^n\color{black} \), es decir, \( a=0 \), que hace que todo lo que deduzcas de ahí sea relavante.

Y además ni siquiera se que deduces; no sé como razonas. No veo por donde cogerlo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Noviembre, 2020, 12:03 pm
Hola

Si restamos a los miembros iniciales \( 1105a^n \)

\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)

\( c^n-2a^n-1105a^n?b^n-a^n-1105a^n \)

\( (c^n-1107a^n)^2?(b^n-1106a^n)^2 \)

llegamos a

\( b^n(2212a^n-b^n)?c^n(2213a^n-b^n)-2213a^{2n} \)

y vemos que los dos parentesis se acercan a la igualdad. Cosa que ocurrirá si en lugar de \( 1105a^n \) restamos una cantidad mucho mayor. Por ejemplo \( 11050 a^n \) y etc. Considerando los paréntesis iguales:

\( b^n?c^n \)\( -\frac{2213a^{2n}}{2213a^n-b^n} \) ; \( b^n?c^n->a^n \)

y{\( b^n+>a^n \)}\( >c^n \)

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Noviembre, 2020, 12:56 pm
Hola

Hola

Si restamos a los miembros iniciales \( 1105a^n \)

\( c^n-2a^n?b^n-a^n \)

\( c^n-2a^n-1105a^n?b^n-a^n-1105a^n \)

\( (c^n-1107a^n)^2?(b^n-1106a^n)^2 \)

llegamos a

\( b^n(2212a^n-b^n)?c^n(2213a^n-b^n)-2213a^{2n} \)

y vemos que los dos parentesis se acercan a la igualdad. Cosa que ocurrirá si en lugar de \( 1105a^n \) restamos una cantidad mucho mayor. Por ejemplo \( 11050 a^n \) y etc.

Lo de se acercan a la igualdad es relativo. Si técnicamente varías el factor \( k=2213 \) tienes:

\( b^n((k-1)a^n-b^n)?c^n(ka^n-b^n)-ka^{2n} \)

Dividiendo por \( (ka^n-b^n) \):

\( b^n\dfrac{(k-1)a^n-b^n}{ka^n-b^n}?c^n-\dfrac{k}{ka^n-b^n}a^{2n} \)

Tomando límite cuando \( k\to \infty \) queda:

\( b^n?c^n-a^n \)

Es decir la ecuación de partida.

Saludos.

P.D. Por otra parte NADA de esto te va llevar a algo mínimamente útil. Simplemente manejas identidades y no usas para nada el carácter entero de los números. Una pérdida de tiempo. En fin...
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 30 Noviembre, 2020, 05:07 pm
Hola

En tu respuesta y en mi opinión la fracción

\( \displaystyle\frac{(K-1)a^n-b^n}{Ka^n-b^n}=1 \) si \( K=\infty \)

Y la fracción \( \displaystyle\frac{K}{Ka^n-b^n}a^{2n}= \)

si \( K=\infty\rightarrow{1 . a^{2n}} \)

o bien \( \infty \) \( a^{2n} \) . Un infinito de un orden mayor.

Por otro lado veo que insistes en que no uso para nada el caracter entero de los números.

Cuestión ésta que hace tiempo rebatí y me distes la razón.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 30 Noviembre, 2020, 05:39 pm
Hola

Hola

En tu respuesta y en mi opinión la fracción

\( \displaystyle\frac{(K-1)a^n-b^n}{Ka^n-b^n}=1 \) si \( K=\infty \)

Y la fracción \( \displaystyle\frac{K}{Ka^n-b^n}a^{2n}= \)

si \( K=\infty\rightarrow{1 . a^{2n}} \)

o bien \( \infty \) \( a^{2n} \) . Un infinito de un orden mayor.

No.

\( \displaystyle\lim_{K \to{+}\infty}{}\displaystyle\frac{K}{Ka^n-b^n}a^{2n}=\displaystyle\lim_{K \to{+}\infty}{}\displaystyle\frac{1}{a^n-\dfrac{b^n}{K}}a^{2n}=\frac{1}{a^n+0}a^{2n}=a^n \)

Citar
Por otro lado veo que insistes en que no uso para nada el caracter entero de los números.

En absoluto te pude dar la razón en eso. Busca donde.

Me hace gracia que pienses eso.

Te lo he repetido sin exagerar más de veinte veces.

A lo sumo lo que recuerdo es dar ya por perdido que puedas aprovechar algo esa indicación y decirte olvídala; porque te la he explicado de mil maneras y nada.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Diciembre, 2020, 12:07 pm
Hola

Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Fernando Revilla en 01 Diciembre, 2020, 12:35 pm
Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.

En \( \mathbb{Z}_4 \) también es falsa: \( 2^3+3^3=3^3 \).
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 01 Diciembre, 2020, 05:41 pm
Hola

Cuestión de infinitos.

Los enteros positivos pares son infinitos.

Los enteros positivos son infinitos.

Es fácil de entender que el segundo infinito es mayor que el primero.

Cuando se trabaja con infinitos es muy importante concretar la clase o las clases de infinitos a los que nos referimos.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: geómetracat en 01 Diciembre, 2020, 06:07 pm
Cuestión de infinitos.

Los enteros positivos pares son infinitos.

Los enteros positivos son infinitos.

Es fácil de entender que el segundo infinito es mayor que el primero.

Tan fácil no será cuando es falso. Ambos tienen el mismo tamaño pues son conjuntos numerables. Hay una biyección entre los enteros positivos y los enteros positivos pares, \( n \mapsto 2n \).
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 01 Diciembre, 2020, 06:57 pm
Hola

Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.

Si, es falsa. Precisamente por eso si en la supuesta demostración no usas en ningún momento que los números son entero y no reales (y decirlo no es usarlo) con toda seguridad la demostración no puede estar bien. Eso es lo que te he repetido decenas de veces.

Cuestión de infinitos.

Los enteros positivos pares son infinitos.

Los enteros positivos son infinitos.

Es fácil de entender que el segundo infinito es mayor que el primero.

Cuando se trabaja con infinitos es muy importante concretar la clase o las clases de infinitos a los que nos referimos.

Además de lo apuntado por geómetracat, no sé a que viene esa disquisición.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 01 Diciembre, 2020, 09:26 pm


Cuestión de infinitos.

Los enteros positivos pares son infinitos.

Los enteros positivos son infinitos.

Es fácil de entender que el segundo infinito es mayor que el primero.


El viejo debate, minette, tú también :)

Dejando a un lado las definiciones matemáticas (que son las que son sin que importe tanto las palabras que se empleen) si hablamos de dos cosas que no acaban, es difícil comprender el concepto de “cantidad” tal y como lo entendemos con cosas finitas.

Si pensamos en dos grifos y decimos que uno echa más agua que el otro, es porque podemos medir el agua que ha echado cada uno (medir el volumen). Pero para medir hay que parar; incluso aunque no se cierren los grifos... por lo menos habrá que retirar los recipientes donde ha caído el agua en un mismo instante de tiempo (porque si uno está mas tiempo debajo de uno de los grifos... tiene ventaja).

Se puede hablar de velocidad, de caudal... sí, pero en cualquier caso necesitamos medir la cantidad de agua en un momento dado, en un momento “quieto”, por así decir. Si los grifos no paran de echar agua nunca... la “cantidad” es infinita en ambos casos. También el infinito de los reales es igual de infinito que el de los naturales, no menos infinito; pese a que se diga que es más “grande”, porque eso hace alusión a lo que ya ha mencionado Geómetracat; es una cuestión de numerabilidad o no numerabilidad, una cuestión de correspondencia entre elementos; y, además, partiendo de unas consideraciones y unas definiciones que, a lo mejor, podrían ser otras distintas.

En esto de Fermat lo que te interesa es la divisibilidad de los números y las demás propiedades de los naturales; que tienen que ser finitos para poder ser divisibles entre otros. Por mucho tiempo que los “grifos” estén abiertos, aunque sea tiempo infinito, los pares seguirán siendo pares, los múltiplos de tres seguirán siendo múltiplos de tres... los primos seguirán siendo primos... eso no cambia con el tiempo (el chorro de uno de los grifos puede ser el doble o el triple que el otro, y nada importa que echen agua eternamente para que eso siga siendo cierto). Entonces, hay que atender a esas propiedades que no cambian, no a las distintas cantidades (cuya inmensidad, en un momento dado, nos hace ver todas iguales en cuanto a valor). Hay que hacer eso por ver si encuentras algún número “extraño” que no cumpla alguna; que no la cumpla por comparación con los demás números con los que trabajes.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 02 Diciembre, 2020, 06:30 pm
Hola

Los enteros positivos \( (a,b,c) \) provienen de unos enteros positivos mayores \( (A,B,C) \) divididos por su m.c.d.

Por ejemplo la terna \( (5,6,7) \) proviene de la terna \( (105,126,147) \) dividida por 21.

Si todas las ternas que utilizo provienen como la anterior, creo que he dejado de lado los reales.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Diciembre, 2020, 07:10 pm
Hola

Los enteros positivos \( (a,b,c) \) provienen de unos enteros positivos mayores \( (A,B,C) \) divididos por su m.c.d.

Por ejemplo la terna \( (5,6,7) \) proviene de la terna \( (105,126,147) \) dividida por 21.

Si todas las ternas que utilizo provienen como la anterior, creo que he dejado de lado los reales.

No porque NO USAS en ningún momento que tu terna es de enteros.

También la terna \( (\sqrt{2},1,\sqrt{3}) \) proviene de la terna \( (21\sqrt{2},21,21\sqrt{3}) \) dividida por \( 21 \).

Y son de números reales. La clave es si USAS realmente que son enteros.

Por ejemplo para razonar que:

\( a^n+b^n?c^n \)

equivale elevando al cuadrado a:

\( (a^n+b^n)^2?c^{2n} \)

\( a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n}?c^{2n} \)

NO se USA para NADA que los números enteros; lo que se usa es que si en los términos de una igualdad se elevan ambos al cuadrado entonces la igualdad se sigue cumpliendo. Y eso es una propiedad algebraica cierta para números reales (incluídos los enteros).

Y así con todo.

Pero esto ya te lo expliqué más veces (incluso con mucho detalle y muchos ejemplos).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 03 Diciembre, 2020, 11:44 am
Hola

Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Diciembre, 2020, 04:18 pm
Hola

Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.

Por echarle sentido del humor. Homenaje al "Un, Dos, Tres...": "Dong... dong...dong...Siento la observación, pero has caído en reiteración".

Spoiler
Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.

Y mi respuesta:

Si, es falsa. Precisamente por eso si en la supuesta demostración no usas en ningún momento que los números son entero y no reales (y decirlo no es usarlo) con toda seguridad la demostración no puede estar bien. Eso es lo que te he repetido decenas de veces.
[cerrar]

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 03 Diciembre, 2020, 08:41 pm
Para números reales la Conjetura de Fermat es falsa.

Claro, por ejemplo, para “a” y “b” naturales y “c” irracional (finito, porque la suma de dos naturales es finita) la igualdad \( a^{n}+b^{n}=c^{n}
  \) es cierta. Así que lo que dices, precisamente, es necesario, está en lo más básico de la posible demostración, porque tienes que demostrar que, si se da la igualdad, no es natural, es irracional; la igualdad sí existe como posibilidad. Por tanto, no deberías intentar demostrar que no existe la igualdad, sino que, si existe, al menos uno de ellos no es natural. Pero estás empeñada en demostrar que no existe la igualdad sin poner las condiciones suficientes, sin distinguir los tipos de números, tienes eso entre ceja y ceja y no sales de ahí.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 04 Diciembre, 2020, 01:17 pm
Hola

En mi respuesta 15.Julio.2020 pido a cuantos leen este hilo, que se me cite una terna viable que NO pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su \( m.c.d. \) nos den la terna viable que he citado.

El 15.Julio.2020 Luis Fuentes contesta:

Pues sí, una "terna viable" podría venir de  otra "terna viable" proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues sí es una simplificación obvia que puede hacerse.

En mi respuesta 15.Julio.2020, 12,33 pm digo:

Lo que quiero decir es que la conjetura de Fermat se refiere sólo a enteros positivos y no a reales en general.

El 15.Julio.2020 10,17 pm Luis Fuentes contesta:

Sí, eso ya lo sabemos todos y nunca ha sido puesto en duda.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 04 Diciembre, 2020, 04:23 pm
Hola

En mi respuesta 15.Julio.2020 pido a cuantos leen este hilo, que se me cite una terna viable que NO pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su \( m.c.d. \) nos den la terna viable que he citado.


Ya.

Supongamos que existiera \( a^{n}+b^{n}=c^{n}
  \); y supongamos que a,b y c fueran enteros primos entre sí (o sea, con mcd(1)). Entonces también es cierto que existiría \( a^{n}d^{n}+b^{n}d^{n}=c^{n}d^{n}
  \), donde \( (ad),\,(bd),\,(cd)
  \) sería una terna de enteros que también cumpliría la igualdad.

Pero sólo hemos dicho “supongamos que son enteros...”; con esa frase no evitamos que pudiera ser

\( 2^{3}+3^{3}=(3,27106631...)^{3}
  \)

donde mcd(2,3)=1 y donde 3,27106631... es un número irracional, pero no deja de ser "divisible" entre 1, como cualquier número. Luego se cuela de rondón si no le damos el “¡Alto!” mediante alguna condición que lo delate al hacer operaciones.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 05 Diciembre, 2020, 11:00 am
Hola

En mi respuesta 15.Julio.2020 pido a cuantos leen este hilo, que se me cite una terna viable que NO pueda venir de una terna de enteros positivos mayores cuyos términos, divididos por su \( m.c.d. \) nos den la terna viable que he citado.

El 15.Julio.2020 Luis Fuentes contesta:

Pues sí, una "terna viable" podría venir de  otra "terna viable" proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues sí es una simplificación obvia que puede hacerse.

En mi respuesta 15.Julio.2020, 12,33 pm digo:

Lo que quiero decir es que la conjetura de Fermat se refiere sólo a enteros positivos y no a reales en general.

El 15.Julio.2020 10,17 pm Luis Fuentes contesta:

Sí, eso ya lo sabemos todos y nunca ha sido puesto en duda.

Nada, no hay manera de que lo entiendas. Nadie pone en duda de que el Teorema de Fermat sólo es cierto para enteros.

Pero la CLAVE es que PRECISAMENTE POR ESO en una demostración, en algún momento, se TIENE QUE USAR DE MANERA DECISIVA QUE LOS NÚMEROS SON ENTEROS, es decir, algún argumento que funciona para enteros pero falla para reales y es fundamental para el razonamiento que se hace.

De todas formas, otra cosa que también te he repetido innumerables veces: independientemente de esa reflexión, todos tus intentos de demostración están mal porque tienen errores gruesos (que te he ido indicado en cada caso) o directamente no tienen sentido alguno.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 07 Diciembre, 2020, 12:48 pm
Hola Luis

Por un lado contestas

Pues sí, una "terna viable" podría venir de otra "terna viable" proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues sí es una simplificación obvia que puede hacerse.

Por otro lado dices:

También la terna \( (\sqrt[ ]{2}, 1, \sqrt[ ]{3}) \) proviene de la terna \( 21\sqrt{2}, 21, 21\sqrt{3} \)  dividida por 21.

Te ruego me digas si hay contradicción entre ambas respuestas.

Saludos.


Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Diciembre, 2020, 10:26 pm
Hola

Por un lado contestas

Pues sí, una "terna viable" podría venir de otra "terna viable" proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues sí es una simplificación obvia que puede hacerse.

Por otro lado dices:

También la terna \( (\sqrt[ ]{2}, 1, \sqrt[ ]{3}) \) proviene de la terna \( 21\sqrt{2}, 21, 21\sqrt{3} \)  dividida por 21.

Te ruego me digas si hay contradicción entre ambas respuestas.

No, no hay ninguna contradicción.

Saludos.

P.D. Si realmente quieres entender lo que te digo de USAR en la demostración el carácter entero de los datos, no debes de fijarte en esas cosas que apuntas que no tienen nada que ver. Por el contrario deberías de centrarte en esto:

Y son de números reales. La clave es si USAS realmente que son enteros.

Por ejemplo para razonar que:

\( a^n+b^n?c^n \)

equivale elevando al cuadrado a:

\( (a^n+b^n)^2?c^{2n} \)

\( a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n}?c^{2n} \)

NO se USA para NADA que los números enteros; lo que se usa es que si en los términos de una igualdad se elevan ambos al cuadrado entonces la igualdad se sigue cumpliendo. Y eso es una propiedad algebraica cierta para números reales (incluídos los enteros).

Y así con todo.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 08 Diciembre, 2020, 11:30 am

Fíjate en esto minette

Si tomo la famosa terna pitagórica (3,4,5) que da la igualdad

\( 3^{2}+4^{2}=5^{2}
  \)

y le sumo a cada elemento de la terna un mismo irracional más o menos pequeño, como \( \sqrt{\dfrac{1}{2}}
  \)

\( (3+\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}+(4+\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}\neq(5+\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}
  \)

La igualdad ya no se cumple.

Sin embargo, sí que existe algún irracional para el lado izquierdo de la igualdad

\( (3+\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}+(4+\sqrt{\dfrac{1}{2}})^{2}=(5+\sqrt{\dfrac{1}{x}})^{2}
  \); donde \( x=1,0170...
  \).

Se puede creer intuitivamente que el único valor (el mismo valor para sumar a los tres, 3,4,5) es cero; pero habrá que demostrarlo; desarrollar los cuadrados, despejar... ver qué se puede hacer:

\( (3+a)^{2}+(4+a)^{2}=(5+a)^{2}
  \)

\( 2a^{2}+14a+25=a^{2}+10a+25
  \)

\( a^{2}+4a=0
  \)

Y no es verdad que sea el único, hay otra solución, a=-4; claro que eso nos lleva a un terna que va a cumplir trivialmente la igualdad y no vale para nada, pues restando cuatro es (-1,0,1).

Puedes plantearte entonces intentar atacar lo siguiente (razonar sobre ello, aunque no lo demuestres):

\( (x+a)^{3}+(y+a)^{3}=(z+a)^{3}
  \) con x,y,z enteros y “a” algún número real distinto de cero que pueda existir.

¿Podría existir la terna \( [(x+a),(y+a),(z+a)]
  \) que cumpliera la igualdad para n=3? (pongo 3 de momento, después puedes razonar con otras potencias o con “n” en general).

No sé, independientemente de adónde llegues, sobre el papel parece más interesante pensar en todos los reales que decir “no, sólo naturales, los otros fuera de mi cabeza”; por lo menos sales un poco de ahí donde estás metida. 

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 09 Diciembre, 2020, 12:18 pm
Hola Luis

Perdona mi CORTEDAD (falta o escasez de talento, de instrucción, etc.) por rogarte me expliques lo siguiente:

Pues sí, una "terna viable" podría venir de otra "terna viable" proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues es una simplificación obvia que puede hacerse.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 09 Diciembre, 2020, 01:08 pm

*Off topic

Mira, minette, creí que había demostrado varios casos del teorema; pero me dice Luis que no, que el Wolfram cuenta de antemano con que ya está demostrado (sin hacer el cuentas).

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115246.msg457830;topicseen#msg457830

Lo curioso de esto es que, si hubiera sido lo mismo pero con algo no demostrado todavía (la conjetura fuerte de Goldbach, por ejemplo) la demostración sería válida (en este caso es que cuenta con la demostración preexistente, no es que no sea válida ni no válida).
Por tanto, haz todas las cuentas que quieras con el Wolfram; te dirá cuándo te equivocas en las cuentas que hagas tú y te ahorrará mucho tiempo. 
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Diciembre, 2020, 01:55 pm
Hola

Pues sí, una "terna viable" podría venir de otra "terna viable" proporcional a ella. Si te refieres al problema del Teorema de Fermat uno puede reducir la cuestión a trabajar con números primos entre sí; pues es una simplificación obvia que puede hacerse.

Eso quiere decir que si pruebas que no existen enteros primos entre si cumpliendo \( x^n+y^n=z^n \) también habrás probado que no existen enteros (en general sin la condición primalidad) cumpliendo esa misma ecuación.

Por eso en la posible demostración del teorema se puede suponer que \( x,y,z \) son primos entres si.

No sé porque preguntas esto; una vez más no tiene NADA que ver con lo que te apunto de usar en tus demostraciones que los números son enteros y no reales.

En la misma línea si tu supones que \( x,y,z \) son primos entres si, pero luego utilizas para nada ese hecho, te podías haber ahorrado la suposición; sería irrelevante.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Diciembre, 2020, 02:34 pm
Hola

*Off topic

Mira, minette, creí que había demostrado varios casos del teorema; pero me dice Luis que no, que el Wolfram cuenta de antemano con que ya está demostrado (sin hacer el cuentas).

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115246.msg457830;topicseen#msg457830

Lo curioso de esto es que, si hubiera sido lo mismo pero con algo no demostrado todavía (la conjetura fuerte de Goldbach, por ejemplo) la demostración sería válida (en este caso es que cuenta con la demostración preexistente, no es que no sea válida ni no válida).
Por tanto, haz todas las cuentas que quieras con el Wolfram; te dirá cuándo te equivocas en las cuentas que hagas tú y te ahorrará mucho tiempo.

Sobre esto te contesto en el otro hilo para no liar uno con otro:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=115246.new#new

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 09 Diciembre, 2020, 06:43 pm
Hola Luis

si \( (a,b,c) \) son primos entre sí, podemos asegurar que los tres son enteros. O ¿acoso puede haber primalidad si uno de la terna es un real?

Por ejemplo \( (6,7, real) \).

Dicho de otro modo: Si tres números son primos entre sí, seguro que son enteros.

¿Puedes citarme una terna de enteros , no primos entre sí ? ¿Por ejemplo \( (6,7,9) \) ó \( (6,7,8) \) ? Estas dos ternas no son viables.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 09 Diciembre, 2020, 11:00 pm
Hola

si \( (a,b,c) \) son primos entre sí, podemos asegurar que los tres son enteros. O ¿acoso puede haber primalidad si uno de la terna es un real?

Para hablar de primalidad los números tienen que ser enteros. En otro caso el concepto no tiene demasiado sentido.

Citar
Por ejemplo \( (6,7, real) \).

Dicho de otro modo: Si tres números son primos entre sí, seguro que son enteros.

Pero te reitero que es NO TIENE NADA QUE VER con lo que te digo de que NO USAS de manera relevante que son enteros.

Citar
¿Puedes citarme una terna de enteros , no primos entre sí ? ¿Por ejemplo \( (6,7,9) \) ó \( (6,7,8) \) ? Estas dos ternas no son viables.

Pues por ejemplo \( (14,18,20) \) es una terna de enteros no primos.

Pero sinceramente no sé a que vienen estas preguntas.

Te estoy repitiendo que si quieres entender lo de "no usar el carácter entero de los reales en la demostración" te centres en esto:

Y son de números reales. La clave es si USAS realmente que son enteros.

Por ejemplo para razonar que:

\( a^n+b^n?c^n \)

equivale elevando al cuadrado a:

\( (a^n+b^n)^2?c^{2n} \)

\( a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n}?c^{2n} \)

NO se USA para NADA que los números enteros; lo que se usa es que si en los términos de una igualdad se elevan ambos al cuadrado entonces la igualdad se sigue cumpliendo. Y eso es una propiedad algebraica cierta para números reales (incluídos los enteros).

Y así con todo.

Y sobre eso NADA. Ni preguntas... ni lo analizas... Y te empeñas en preguntas intrascendentes.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 10 Diciembre, 2020, 12:43 pm
Hola Luis

la terna \( (14,18,20) \) se deriva de la terna \( (7,9,10) \) y lo que le ocurra a ésta le ocurrira a aquélla.

\( (7,9,10) \) son primos entre sí y su terna es viable.

Si yo afirmo que los términos de todas las ternas con las que trabajo son enteros estoy excluyendo a todos los demás reales.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: feriva en 10 Diciembre, 2020, 03:03 pm

Si yo afirmo que los términos de todas las ternas con las que trabajo son enteros estoy excluyendo a todos los demás reales.


Sí, pero las letras no lo saben, porque no oyen lo que afirmas. De eso me di yo cuenta hace mucho, cuando estaba en la UNED y no sé qué quería inventar; las letras no sabían lo que yo les había dicho y, luego, pues el resultado no era el que esperaba (en ese caso no era como aquí, donde no existen ejemplos de que no se cumpla el teorema, en ese caso la gallina cantaba; no recuerdo qué fue, no sé ahora qué cuentas eran).

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: minette en 10 Diciembre, 2020, 05:48 pm
Hola Luis

Citas \( a^n+b^n?c^n \)

\( (a^n+b^n)^2?c^{2n} \)

\( a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n}?c^{2n} \)

Y, de repente, afirmas que el \( ? \) es \( = \) sin ninguna justificación.

No lo entiendo.

Saludos.
Título: Re: ¿Qué es lo correcto?
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Diciembre, 2020, 05:55 pm
Hola

Citas \( a^n+b^n?c^n \)

\( (a^n+b^n)^2?c^{2n} \)

\( a^{2n}+2a^nb^n+b^{2n}?c^{2n} \)

Y, de repente, afirmas que el \( ? \) es \( = \) sin ninguna justificación.

¿Lo dices por que digo:

Citar
NO se USA para NADA que los números enteros; lo que se usa es que si en los términos de una igualdad se elevan ambos al cuadrado entonces la igualdad se sigue cumpliendo. Y eso es una propiedad algebraica cierta para números reales (incluídos los enteros).