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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Von Damian en 09 Abril, 2016, 12:43

Título: Sobre funciones integrables
Publicado por: Von Damian en 09 Abril, 2016, 12:43
Hola buenas tardes, me ha surgido una duda practicando con algunos problemas:
Dada\[  f \in L^{+} \] , definimos \[  \lambda (E) = \int_{E}f d\mu  \] para los conjuntos E medibles, piden demostrar que \[ \lambda \] es medida y que dada \[  g \in L^{+} \] se verifica que \[  \int_{X}gd\lambda=\int_{X}fgd\mu \]. He probado el ejercicio, pero ahora mi pregunta es: ¿cuales serían las funciones \[  g:X\longmapsto[-\infty,\infty]  \] integrables respecto la medida anteriormente definida?

Título: Re: Sobre funciones integrables
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Abril, 2016, 11:25
Hola

Hola buenas tardes, me ha surgido una duda practicando con algunos problemas:
Dada\[  f \in L^{+} \] , definimos \[  \lambda (E) = \int_{E}f d\mu  \] para los conjuntos E medibles, piden demostrar que \[ \lambda \] es medida y que dada \[  g \in L^{+} \] se verifica que \[  \int_{X}gd\lambda=\int_{X}fgd\mu \]. He probado el ejercicio, pero ahora mi pregunta es: ¿cuales serían las funciones \[  g:X\longmapsto[-\infty,\infty]  \] integrables respecto la medida anteriormente definida?

Fíjate que el álgebra de medibles es la misma y lo que cambia es la medida.

Por tanto las funciones medibles son las mismas.

Lo que marca la diferencia en cuanto a integrabilidad es si la parte positiva o negativa de la integral tiene integral finita.

Por tanto las funciones integrables con la nueva medida son aquellas medibles (con la vieja) que cumplen que:

\[ \displaystyle\int_{X}fg^+d\mu \] ó \[ \displaystyle\int_{X}fg^-d\mu \]

son finitas.

Saludos.
Título: Re: Sobre funciones integrables
Publicado por: Von Damian en 10 Abril, 2016, 11:44
Llegué hasta ese punto pero no supe si con decir eso era suficiente, quiero decir, no sabía si podía establecer alguna relación más profunda entorno a la finitud de las integrales que has puesto anteriormente mediante algún resultado.
Título: Re: Sobre funciones integrables
Publicado por: Luis Fuentes en 10 Abril, 2016, 15:07
Hola

Llegué hasta ese punto pero no supe si con decir eso era suficiente, quiero decir, no sabía si podía establecer alguna relación más profunda entorno a la finitud de las integrales que has puesto anteriormente mediante algún resultado.

No creo que pueda afirmarse mucho más. Lo anterior puede resumirse diciendo que una función \[ g \] es integrable con la nueva medida si \[ fg \] es integrable con la antigua.

Saludos.
Título: Re: Sobre funciones integrables
Publicado por: Von Damian en 10 Abril, 2016, 17:28
Muchas gracias por tu tiempo el_manco.