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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: Eleal en 08 Noviembre, 2007, 10:21 am

Título: Universo de discurso
Publicado por: Eleal en 08 Noviembre, 2007, 10:21 am
Quería saber si realmente existe un universo de discurso y qué es.
Título: Re: Universo de discurso
Publicado por: LauLuna en 13 Noviembre, 2007, 03:59 pm
La teoría de modelos puede definirse como la teoría semántica para lenguajes formales; es decir, como la teoría de las interpretaciones de lenguajes formales.

Según la teoría de modelos un universo de discurso es cualquier conjunto no vacío. Por tanto, existen muchos muchos universos de discurso.

Un universo de discurso es el conjunto al que queremos que se refieran los cuantificadores de una fórmula a la que queremos dar una interpretación.

Sea una fórmula lógica de primer orden como:

AxEy (Rxy) & Axyz (Rxy & Ryz -> Rxz)

Para darle un significado tienes que interpretar los signos no lógicos (aquí sólo R) y tienes que determinar el alcance de los cuantificadores: cuando hablamos de 'todo x', ¿de qué estamos hablando exactamente?

Esto último se hace eligiendo un universo de discurso. Por ejemplo, el conjunto N de los números naturales. Nuestra interpretación podría ser:

U (el universo de discurso) = N
R = {<x,y> / y = x+1}

Te darás cuenta de que en esta interpretación la fórmula es verdadera. Puedes decir que la estructura <N, +1> es un modelo de esa fórmula.

Si ahora interpretas R igual que antes, pero haces U = {x/ x pertenece a N y x<5}, la fórmula se convierte en un enunciado falso.

De ahí que la elección del universo de discurso tenga consecuencias decisivas.

A veces un conjunto de fórmulas son todas ellas simultáneamente verdaderas en más de un modelo, e incluso en modelos estructuralmente diversos. Esto ha permitido obtener modelos no estándar de determinados conjuntos de axiomas formales. Son casos famosos las geometrías no planas para los cuatro primeros axiomas de Euclides y el análisis no estándar de Abraham Robinson.

Espero que esto haya aclarado algo.