Rincón Matemático

Disciplinas relacionadas y temas generales => Computación e Informática => Mensaje iniciado por: Raúl Aparicio Bustillo en 11 Junio, 2015, 07:31 am

Título: ¿Los cálculos informáticos son todos metamatemáticos?
Publicado por: Raúl Aparicio Bustillo en 11 Junio, 2015, 07:31 am
¿Los cálculos informáticos son todos metamatemáticos? Lo digo porque sería una buena solución a las tremendas dudas que siembran los teoremas de Gödel, o una demo de inconstencia de una teoría aritmética, y como a la larga cualquier cálculo largo ya con maquinas se hace
Título: Re: ¿Los cálculos informáticos son todos metamatemáticos?
Publicado por: feriva en 11 Junio, 2015, 02:08 pm
¿Los cálculos informáticos son todos metamatemáticos? Lo digo porque sería una buena solución a las tremendas dudas que siembran los teoremas de Gödel, o una demo de inconstencia de una teoría aritmética, y como a la larga cualquier cálculo largo ya con maquinas se hace

No estoy seguro de cómo se usa el término “metamatemática”, pero quizá sea análogo al término “metalingüística” que se refiere al lenguaje hablado o escrito. Respecto de esto último se definen funciones del lenguaje; por ejemplo: apelativa, emotiva, estética, poética...  Cuando escribimos versos, por caso, lo que cobra especial importancia es la rima, la belleza de las palabras, las metáforas... se está usando principalmente la función poética.
Se dice que usamos la función metalingüística cuando hablamos del propio lenguaje como herramienta, cuando analizamos sus recursos; es decir, cuando hablamos de gramática, cuando discutimos si una palabra es un sinónimo de otra... cosas así, en donde estamos usando el lenguaje para hablar del propio lenguaje.

 Por tanto, entiendo que si hablamos de resolver un cierto problema y de cómo atacarlo no estamos hablando metamatemáticamente, porque involucra más a la práctica de las matemáticas. En cambio, si hablamos (como tú haces habitualmente) sobre si la herramienta es buena o no, si es consistente o no, entonces sí estaríamos haciendo metamatemática (lo supongo por la analogía, no lo afirmo, porque no lo sé seguro). Del mismo modo, si alguien lleva la contabilidad o va a la compra y mira a ver cuánto dinero tiene, estaría haciendo un ejercicio matemático, no metamatemático, dado que supone usar la herramienta, no hablar de sus peculiaridades o de su calidad como tal.

Así pues, suponiendo que eso sea así, que ya digo que no lo sé seguro, los cálculos informáticos no se podrían considerar relacionados con la metamatemática.
Título: Re: ¿Los cálculos informáticos son todos metamatemáticos?
Publicado por: argentinator en 11 Junio, 2015, 03:05 pm
Estoy leyendo "Introduction to metamathematics" de Kleen, y veo que se mete bastante en la discusión de qué cosa es la metamatemática.
Básicamente dice que es estudiar transformaciones de concatenaciones de símbolos con métodos finitarios, y en esto parece tener especial cuidado de trabajar con el infinito potencial de los naturales intuitivos.
A veces habla del método genético, con el que se pueden generar naturales y fórmulas lógicass comenzando desde un punto inicial.
Todo esto alude a procedimientos, algoritmos, procesos a lo largo del tiempo.
Pero igual que en un hilo que abrí ayer, me parece que establecer que una cosa X resulta de n pasoz de un proceso es lo mismo que hablar en forma atemporal de la existencia de una relación entre esos n pasos y X.
La salida de un programa, suponiendo que termina en n pasos, también se puede pensar como un cierto conjunto atemporal de n estados satisfaciendo ciertas relaciones o restricciones.
Me parecen cosas intercambiables.

Cuando se salta a algo infinito, no lo he pensado...
Título: Re: ¿Los cálculos informáticos son todos metamatemáticos?
Publicado por: feriva en 11 Junio, 2015, 03:52 pm

Ahora que leo a Argentinator (y siempre hablando sobre la hipotética analogía que decía) pienso que sí habría cálculos informáticos que se podrían considerar metamatemáticos, porque un programa puede poner a prueba ciertos aspectos del propio lenguaje matemático. Pero si habláramos de buscar primos de Merssene, como hace Víctor Luis, pues no tendría que ver con lo metamatemático.
Título: Re: ¿Los cálculos informáticos son todos metamatemáticos?
Publicado por: argentinator en 11 Junio, 2015, 06:45 pm
A la incompletitud no le cambia nada que haya o no una computadora en el medio.
Título: Re: ¿Los cálculos informáticos son todos metamatemáticos?
Publicado por: feriva en 11 Junio, 2015, 07:58 pm
A la incompletitud no le cambia nada que haya o no una computadora en el medio.


Donde he escrito “poner a prueba” quería decir analizar o intentar analizar, no que se pudieran resolver cosas sin solución posible (vamos, si lo decías por eso, que a lo mejor no).
Título: Re: ¿Los cálculos informáticos son todos metamatemáticos?
Publicado por: Raúl Aparicio Bustillo en 12 Junio, 2015, 09:14 am
Argentinator, cuando hablaba de Gödel, se me ha olvidado decirlo, me refería más bien al segundo teorema. Ten en cuenta que la informática al no trabajar con infinitos (ni siquiera potenciales), no contiene la aritmética, aunque sea recursiva, luego no sé si se le puede aplicar Gödel ( a lo mejor sí, pero no lo sé). El único problema es que tendríamos que trabajar "a mano" (en esto no había caído yo en la cuenta), pues el funcionamiento de un ordenador electrónico está basado en la cuántica y esa teoría requiere una teoría aritmética de conjuntos para su desarrollo. La idea sería más bien trabaja con maquinas de Turing, o con ordenadores mecánicos (esto no me preguntes qué es, "todavía" no lo he inventado, pero mi idea sería algo así como una modernización del "ábaco", algo así. La potencia de cálculo de este tipo de maquinas sería limitadísima, lo admito, pero podríamos huir de los consabidos problemas de incompletitud
Título: Re: ¿Los cálculos informáticos son todos metamatemáticos?
Publicado por: feriva en 12 Junio, 2015, 09:55 am
Argentinator, cuando hablaba de Gödel, se me ha olvidado decirlo, me refería más bien al segundo teorema. Ten en cuenta que la informática al no trabajar con infinitos (ni siquiera potenciales), no contiene la aritmética, aunque sea recursiva, luego no sé si se le puede aplicar Gödel ( a lo mejor sí, pero no lo sé). El único problema es que tendríamos que trabajar "a mano" (en esto no había caído yo en la cuenta), pues el funcionamiento de un ordenador electrónico está basado en la cuántica y esa teoría requiere una teoría aritmética de conjuntos para su desarrollo. La idea sería más bien trabaja con maquinas de Turing, o con ordenadores mecánicos (esto no me preguntes qué es, "todavía" no lo he inventado, pero mi idea sería algo así como una modernización del "ábaco", algo así. La potencia de cálculo de este tipo de maquinas sería limitadísima, lo admito, pero podríamos huir de los consabidos problemas de incompletitud

Todo lo que tenga que ver con electrones, como la electrónica, está relacionado con la física cuántica, evidentemente, y se puede decir que su desarrollo ha tenido que ver mucho con esa física, pero un ordenador, de hoy, trabaja con bits que pueden estar cargados con un 1 o un 0, no con ambas cosas, luego el ordenador interpreta un bit de una manera o de otra, de forma absoluta, o el bit es un 1 o es un 0. El ordenador cuántico carga en el bit una onda de posibilidad donde el bit tiene una probabilidad del 50% de ser 1 ó de ser 0.  Sin embargo, los de hoy en día funcionan como una máquina clásica.