Rincón Matemático

Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Geometría y Topología => Triángulos => Mensaje iniciado por: cibernarco en 25 Abril, 2015, 11:37 pm

Título: Demostración en un triángulo
Publicado por: cibernarco en 25 Abril, 2015, 11:37 pm


Tengo una duda en la forma que utilice de resolverlo, yo lo que hice fue armar un paralelogramo dentro , y se me forma dos triángulos congruentes.
Luego no supe como razonar. Y tambien les pregunto, el ejercicio me dice que use vectores ¿está bien lo que hice?

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=81623.0;attach=15400)
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: ingmarov en 25 Abril, 2015, 11:54 pm
Puedes trazar el segmento NP y prueba que los cuatro triángulos construídos son congruentes. Usa el criterio ALA.

Debes definir que P es el punto medio de AC


Quizás valga la pena usar vectores.

\( \vec{u}=\vec{BN} \)


\( \vec{v}=\vec{BM} \)

\( \vec{MN}=\vec{u}-\vec{v} \)

Ahora

\( \vec{BA}=2\vec{u} \)   y

\( \vec{BC}=2\vec{v} \)

Y por tanto   \( \vec{CA}=\vec{BA}-\vec{BC}=2\vec{u}-2\vec{v}=2(\vec{u}-\vec{v})=2\vec{MN} \)

Como los vectores MN y CA son linealmente dependientes, son paralelos.        Corrección.
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: cibernarco en 26 Abril, 2015, 01:33 pm
Hola, mira se me ocurrio solo dejar esos dos triangulos, que son congruentes por el criterio : dos triangullos son iguales si tienen un lado y dos angulos iguales, este se cumple por lo tanto son congruentes.

Como tienen los 3 lados iguales BM=MC  punto medio de AC entonces la parelela media de AB pasa por el punto medio de AC

Entonces CP sera igual al MN que es igual a BP. Entonces CP=PB entonces CP=1/2BC

¿esta bien eso? o ¿ debo armar los 4 triangulos como dices?
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: robinlambada en 26 Abril, 2015, 01:55 pm
Hola, mira se me ocurrio solo dejar esos dos triangulos, que son congruentes por el criterio : dos triangullos son iguales si tienen un lado y dos angulos iguales, este se cumple por lo tanto son congruentes.

Como tienen los 3 lados iguales BM=MC  punto medio de AC entonces la parelela media de AB pasa por el punto medio de AC

Entonces CP sera igual al MN que es igual a BP. Entonces CP=PB entonces CP=1/2BC

¿esta bien eso? o ¿ debo armar los 4 triangulos como dices?

No es correcto, pués estás suponiendo a priori que la la paralela media AB, es paralela al segmento AC, valga la redundancia y también que MC=CP

Saludos.
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: cibernarco en 26 Abril, 2015, 02:30 pm
Bueno muchas gracias, de esa forma lo encontre en una pagina de internet, se ve que esta mal entonces.

Lo voy a hacer como dice ingmarov, esto lo entendi.

\( \vec{u}=\vec{BN} \)


\( \vec{v}=\vec{BM} \)


pero porque la resta de los vectores es el segmento  MN ?
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: ingmarov en 26 Abril, 2015, 04:05 pm
Bueno muchas gracias, de esa forma lo encontre en una pagina de internet, se ve que esta mal entonces.

Lo voy a hacer como dice ingmarov, esto lo entendi.

\( \vec{u}=\vec{BN} \)


\( \vec{v}=\vec{BM} \)


pero porque la resta de los vectores es el segmento  MN ?

Te pregunto, a qué es igual     \( \vec{v}+\vec{MN}=? \)    luego despejas para MN.

Spoiler
Es igual al vector u.
[cerrar]
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: cibernarco en 26 Abril, 2015, 04:27 pm
no entiendo porque sumas \( \overrightarrow{BM } \) con \( \overrightarrow{MN} \) , osea que sumas dos lados del triangulo y te da el otro? como llegas a esa conclusion?
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: ingmarov en 26 Abril, 2015, 04:32 pm
Sí, así es, sumas (vectorialmente) esos dos lados y te da el tercero. Repasa un poco la suma gráfica de vectores.
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: cibernarco en 26 Abril, 2015, 04:51 pm
Si tienes razon! que despistado, entonces asi como lo hiciste quedaria demostrado el ejercicio. no hace falta agregarle nada mas?
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: ingmarov en 26 Abril, 2015, 05:00 pm
Creo que está completo.

No te vayas aún, que seguro michel está escribiendo alguna genialidad.
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: Michel en 26 Abril, 2015, 06:10 pm
Hola ingmarov.

No se trata de una genialidad, ni mucho menos.

Aparte de otra forma que enviaré mañana, hay esta otra, sin hacer usos de vectores:

Si MN es el segmento que une dos puntos medios, tenemos dos triángulos que tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman...
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: ingmarov en 26 Abril, 2015, 06:19 pm
Entonces los triángulos son semejantes.

Y si el problema consiste el demostrar el teorema de Thales

Citar
Teorema primero

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

¿Cómo se hace? sin vectores.

Revisando en internet, encontré una demostración muy interesante en: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/numeros/proporcionalidad/teoremadetales/teoremadetales.htm

Realmente que la geometría es una matemática hermosa.

Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: cibernarco en 26 Abril, 2015, 07:47 pm
Muchas gracias!! estudio para profesorado de matematica y la verdad que si es hermosa.
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: ingmarov en 26 Abril, 2015, 07:53 pm
Pues no dejes de visitar y revisar los problemas propuestos en esta sección del foro (Geometría sintética). Realmente se aprende mucho con ellos.
Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: Michel en 27 Abril, 2015, 09:40 am
Sean M y N los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo ABC.

Se prolonga MN hasta D, tal que ND=MN y se unen D y C.

Los triángulos AMN y CDN tienen dos lados respectivamente iguales (AN=NC y MN=ND) e igual el ángulo comprendido, por opuestos por el vértice.

Entonces áng MAN=áng NCD y MA=CD.

Como MA=MB, serán CD y MB iguales y paralelos.

Resulta entonces que BCDM es un paralelogramo, por lo que MD será igual y paralelo a BC, y, además, MN=MD/2=BC/2.





Título: Re: Demostración en un triángulo
Publicado por: ingmarov en 27 Abril, 2015, 09:58 am
Hola

Aprovecho la falta de sueño para compartir tu imagen michel (con unas pocas correcciones con los nombres de los puntos)

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=81623.0;attach=15420)


Gracias amigo michel, cuando sea grande me gustaría ser como tú. De genial.  ;) ;)


Saludos.