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Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Geometría y Topología => Triángulos => Mensaje iniciado por: Michel en 05 Enero, 2015, 10:29 am

Título: Tres triángulos equiláteros
Publicado por: Michel en 05 Enero, 2015, 10:29 am
Dado un triángulo cualquiera ABC, si sobre cada uno de sus lados se construyen exteriormente los triángulos equiláteros ABC’, BCA’, CAB’, y se trazan los segmentos AA’, BB’, CC’, demostrar:
a) Estos tres segmentos son iguales.
b) Los tres segmentos se cortan en un mismo punto O.
c) Los lados del triángulo dado se ven desde este punto bajo un mismo ángulo.
Título: Re: Tres triángulos equiláteros
Publicado por: Michel en 19 Enero, 2015, 09:16 am
a) Los triángulos ABB’ y ACC’ tienen respectivamente iguales dos lados (AB = AC’, AB’ = AC) y el ángulo comprendido, pues el BAB’ y el CAC’ están formados por el ángulo A del triángulo ABC y un ángulo de 60º. Entonces son iguales y será BB’ = CC’.

De forma análoga se demuestra que AA’ = CC’.

b) Sea O el punto de intersección de las circunferencias AB’C y BA’C; unimos O con los vértices A, B y C, formándose tres ángulos consecutivos de vértice común O, cuya suma vale 360º.

Los cuadriláteros AOCB’ y COBA’ son inscriptibles, por lo que los ángulos opuestos son suplementarios, esto, es, los ángulos AOC y COB valdrán 120º, ya que los ángulos B’ y A’ valen 60º. Entonces el ángulo AOB valdrá 120º, suplemento de C’ que vale 60º. Resulta que el cuadrilátero OACB es inscriptible, por lo que la tercera cir-cunferencia pasa también por O.

c) Como consecuencia del apartado anterior, los lados del triángulo ABC se ven desde O bajo ángulos de 60º.