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Matemática => Análisis Matemático => Sistemas Dinámicos - Teoría del Caos => Mensaje iniciado por: Squee en 06 Diciembre, 2014, 07:34 am

Título: Bifurcación - Modelo de Maxwell-Bloch
Publicado por: Squee en 06 Diciembre, 2014, 07:34 am
El modelo de Maxwell-Bloch de un láser está dado por las ecuaciones:
\( \dfrac{dE}{dt} = \kappa (P-E) \)
\( \dfrac{dP}{dt} = \gamma_{1} (ED-P)  \)
\( \dfrac{dD}{dt} = \gamma_{2} ( \lambda + 1 - D - \lambda E P )  \)
con \( \kappa, \gamma_{1}, \gamma_{2} > 0 \). Mostrar que el punto fijo (\( E=P=0 \), \( D= \lambda + 1) \) se vuelve inestable por encima de un valor critico de \( \lambda \). ¿Cómo es la bifurcación?
Encontrar un cambio de variables que transforme este sistema en el sistema de Lorenz

Cambio de variables:
\( D'=D-\lambda-1 \)
\( \dfrac{dE}{dt} = \kappa (P-E) \)
\( \dfrac{dP}{dt} = \gamma_{1} (ED'+(\lambda+1)E-P)  \)
\( \dfrac{dD'}{dt} = \gamma_{2} ( - D' - \lambda E P )  \)
Ahora quiero hacer una serie de cambios de variables \( x=a E \), \( y=b P \), \( z = c D' \), \( t'= dt \)
De la 1ra ecuación obtengo que \( \dfrac{a}{b}=1 \), de la 2da que \( -\dfrac{\gamma_{1}}{acd} = 1 \) y que \( \dfrac{\gamma_{1}}{d} = 1 \) y de la 3ra que \( - \dfrac{-\lambda \gamma_{2}}{abd} \)
Entonces las ecuaciones me quedan:
\( \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{\kappa}{\gamma_{1}} (y-x) \)

\( \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{\lambda+1}{\sqrt{-\lambda \frac{\gamma_{2}}{\gamma_{1}}}} -y -xz \)

\( \dfrac{dz}{dt} = xy- \dfrac{\gamma_{2}}{\gamma_{1}} z \)


La bifurcación está en \( \lambda = \frac{1}{\gamma_{2}} \), crea dos direcciones inestables (es decir, un plano de inestabilidad) pero no sé bien cómo determinar qué tipo de bifurcación es.