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Matemática => Análisis Matemático => Sistemas Dinámicos - Teoría del Caos => Mensaje iniciado por: Squee en 02 Diciembre, 2014, 06:17 am

Título: Transformar un sistema de ecuaciones diferenciales a un sistema tipo Lorentz
Publicado por: Squee en 02 Diciembre, 2014, 06:17 am
Encontrar las transformaciones que llevan del sistema mecánico
\( \dfrac{d a_{1}}{dt} = \omega b_{1} - K a_{1} (1) \)
\( \dfrac{d b_{1}}{dt} = - \omega a_{1} - K b_{1} + q_{1} (2) \)
\( \dfrac{d \omega}{dt} = -(\nu / I) \omega + (\pi g r / I) a_{1} (3) \)
al sistema de Lorenz con \( b = 1 \). Encontrar \( r \) y \( \omega \) en término de los parámetros del sistema original.
Ayuda: comenzar con los cambios de variables:
\( a_{1}' = a_{1} (\pi g r / \nu ) \)
\( b_{1}' = q_{1} - K b_{1} \)
\( t' = K t \)
Uso la ayuda y obtengo:
\( \dfrac{d a_{1}'}{ dt'} = \dfrac{\pi g r \nu \omega}{K^{2}} (q_{1} - b'_{1}) - a'_{1} \)
\( \dfrac{d b_{1}'}{ dt'} = \dfrac{\omega \nu}{\pi g r} a_{1}' + b_{1}' \)
\( \dfrac{d \omega}{ dt'} = \dfrac{\nu}{I K} (a_{1}' - \omega) \)
Ahora efectuó el siguiente cambio de variable:
\( t'' = \dfrac{\nu}{I K} \)
Obtengo:
\( \dfrac{d \omega}{dt''} = a_{1}' - \omega \)
\( \dfrac{da_{1}'}{dt''} = \dfrac{\pi g r I q_{1}}{k} \omega - a_{1} - \dfrac{\pi g r I}{K} b_{1}' \omega \)
\( \dfrac{db_{1}'}{dt''} = \dfrac{I K}{\pi g r} \omega a_{1} ' + \dfrac{b_{1}' I K}{\nu} \)

Otro cambio de variable:
\( b_{1}'' = \dfrac{\pi g r I}{K} b_{1} ' \)
Obtengo:
\( \dfrac{d \omega}{dt''} = a_{1}' - \omega \)
\( \dfrac{da_{1}'}{dt''} = \dfrac{\pi g r I q_{1}}{k} \omega - a_{1} - b_{1}'' \omega \)
\( \dfrac{db_{1}''}{dt''} = I^{2} \omega a_{1} ' + \dfrac{b_{1}'' I K}{\nu} \)
Esto se parece mucho a lo que necesito pero me sobra una \( I^{2} \) en la 3ra ecuación, así que realizo el siguiente cambio de variables para removerla:
\( a_{1}'' = I a_{1}' \)
\( \omega' = I \omega \)
Y me queda:
\( \dfrac{d \omega}{dt''} = a_{1}' - \omega \)
\( \dfrac{da_{1}'}{dt''} = \dfrac{\pi g r I q_{1}}{k} \omega - a_{1} - b_{1}'' \omega \)
\( \dfrac{db_{1}''}{dt''} = \omega a_{1} ' + \dfrac{b_{1}'' I^{2} K}{\nu} \)
Y esto es un sistema tipo Lorenz como el pedido si tomamos:
\( x = \omega' \)
\( y = a_{1} '' \)
\( z = b_{1}'' \)
Y esto nos da:
\( r = \dfrac{\pi g r q_{1} I}{K} \) y \( b = \dfrac{I^{2} K}{\nu} \)


Cuando empece a escribir el mensaje no se me ocurría uno de los cambios de variable, pero escribirlo organizado en la PC me ayudo a verlo.
Ahora, ya que estoy, lo posteo a ver si tiene algún error.