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Matemática => Matemática Aplicada => Mensaje iniciado por: Ainor en 24 Noviembre, 2014, 05:49 pm

Título: Adimensionar variables en sistema de Lotka-Volterra
Publicado por: Ainor en 24 Noviembre, 2014, 05:49 pm

Hola mi pregunta es la sigueinte, el sistema de Lotka-Volterra

\( \dfrac{dN}{dt}=N(a-b P) \)
\( \dfrac{Dp}{dt}=P(cN-d) \)

Puede ser adimensionado usando las siguientes variables:

\( u(\tau)=cN(t)/d \)
\( v(\tau)=bP(t)/d \)
\( \tau=at \)
\( \alpha=d/a \)

y haciendo esto se obtiene el sistema adimensionado:

\( \dfrac{du}{d\tau}=u(1-v) \)
\( \dfrac{dv}{d\tau}=\alpha v(u-1) \)

Mi duda es como llego a esas combinaciones de variables para adimensionar el sistema, yo se que sacando factor comun \( a \) y \( d \) en la primera y segunda ecuación respectivamente del sistema original se obtienen las nuevas variables

\( u(\tau)=cN(t)/d \) y  \( v(\tau)=bP(t)/a \), pero no se de donde salen \( \tau=at \) y \( \alpha=d/a \)

Si alguien me pudiera explicar se lo agradecería mucho realmente.

Título: Re: Adimensionar variables en sistema de Lotka-Volterra
Publicado por: Luis Fuentes en 25 Noviembre, 2014, 11:03 am

Hola

 Si:

\( u(\tau)=cN(t)/d \)
\( v(\tau)=bP(t)/d \)

 entonces:

\(  \dfrac{du}{dt}=\dfrac{c}{d}\cdot \dfrac{dN}{dt} \)
\(  \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{b}{d}\cdot \dfrac{dP}{dt} \)

 Si  \( \tau=at \) entonces \( \dfrac{dt}{d\tau}=\dfrac{1}{a} \)

 Tienes:

\(  \dfrac{du}{d\tau}=\dfrac{du}{dt}\cdot \dfrac{dt}{d\tau}=\dfrac{c}{ad}\cdot \dfrac{dN}{dt}=\dfrac{cN(t)}{ad}(a-bP(t))=u(\tau)(1-v(\tau)) \)

\(  \dfrac{dv}{d\tau}=\dfrac{dv}{dt}\cdot \dfrac{dt}{d\tau}=\dfrac{b}{ad}\cdot \dfrac{dP}{dt}= \)

\( =\dfrac{bP(t)}{ad}(cN(t)-d)=u(\tau)\dfrac{\alpha}{d}(cN(T)-d)=\alpha u(\tau)(v(\tau)-1) \)

Saludos.