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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Álvaro_22 en 07 Octubre, 2014, 09:29

Título: Convergencia de series positivas
Publicado por: Álvaro_22 en 07 Octubre, 2014, 09:29
Hola, tengo problemas con estas series, tengo que saber si son convergentes o divergentes. La segunda he probado a hacer infinitésimos y me sale que son convergentes a partir de \[ a\geq{3} \]. Si me pudieran ayudar les estaría muy agradecido.
(a) \[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{n!}{n^\sqrt[2]{n}}} \]

(b) \[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{log(1+\displaystyle\frac{1}{n^a}}) \] dependiendo del parámetro a>0

(c) \[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{a^{log(n)}}} \] dependiendo del parámetro a>0.

(d) \[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{\sqrt[3]{3n^2 + 8}}{n^a + 1}} \] dependiendo del parámetro a>0.

Muchas gracias :)
Título: Re: Convergencia de series positivas
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Octubre, 2014, 10:43
Hola

 (a) Comprueba que el término general no converge a cero. Por tanto la serie diverge.

 (b) Compara por paso al límite (http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergente#Criterio_de_comparaci.C3.B3n_por_paso_al_l.C3.ADmite_del_cociente) con \[ \displaystyle\sum \dfrac{1}{n^a} \] (esta serie converge si y sólo si \[ a>1 \]).

 (c) Compara de nuevo con la serie armónica y sus generalizaciones.

 (d) Idem.

Saludos.