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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Álvaro_22 en 07 Octubre, 2014, 02:13 pm

Título: Séries de términos positivos
Publicado por: Álvaro_22 en 07 Octubre, 2014, 02:13 pm
Hola,
tengo dificultades para responder a estas preguntas, si me pudieran ayudar se lo agradecería mucho.

(a)Sea \( {a_n} \) una sucesión decreciente de números positivos tal que \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n}<\infty.  \) Demuestra que \(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{na_n}=0 } \)

(b) Encuentra los \( {a_n} \) positivos con \( \displaystyle\sum_{n}{a_n}<\infty \) tal que \( na_n \) no tiende a cero.

Muchas gracias :)
Título: Re: Séries de términos positivos
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Octubre, 2014, 03:21 pm
Hola

 (a) Si \(  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{na_n}\neq 0 } \) existe un \( \epsilon>0 \) tal que para todo \( N \) existe \( n>N \) con \( na_n>\epsilon \).

 Por otra parte por ser de Cauchy existe un \( N_1 \) tal que si \( n>m\geq N_1 \) entonces:

\( \displaystyle\sum_{k=m}^na_k<\dfrac{\epsilon}{2} \)

 Tomando \( N=3N_1 \) existe \( n>3N_1 \) tal que \( na_n>\epsilon \).

 Ahora como \( n>[n/2]\geq N_1 \):

\( \displaystyle\sum_{k=[n/2]}^na_k<\dfrac{\epsilon}{2} \)

 Pero por otra parte por ser decreciente:

\( \displaystyle\sum_{k=[n/2]}^na_k>(n-[n/2]+1)a_n\geq \dfrac{n}{2}a_n>\dfrac{\epsilon}{2} \)

 ¡Contradicción!.

 (b) Por ejemplo:

\( a_n=\begin{Bmatrix} \dfrac{1}{n} & \mbox{ si }& n\mbox{ es cuadrado perfecto}\\0 & \mbox{ en otro caso}& \end{matrix} \)

Saludos.