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Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Álvaro_22 en 07 Octubre, 2014, 09:13

Título: Séries de términos positivos
Publicado por: Álvaro_22 en 07 Octubre, 2014, 09:13
Hola,
tengo dificultades para responder a estas preguntas, si me pudieran ayudar se lo agradecería mucho.

(a)Sea \[ {a_n} \] una sucesión decreciente de números positivos tal que \[ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n}<\infty.  \] Demuestra que \[  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{na_n}=0 } \]

(b) Encuentra los \[ {a_n} \] positivos con \[ \displaystyle\sum_{n}{a_n}<\infty \] tal que \[ na_n \] no tiende a cero.

Muchas gracias :)
Título: Re: Séries de términos positivos
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Octubre, 2014, 10:21
Hola

 (a) Si \[  \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{na_n}\neq 0 } \] existe un \[ \epsilon>0 \] tal que para todo \[ N \] existe \[ n>N \] con \[ na_n>\epsilon \].

 Por otra parte por ser de Cauchy existe un \[ N_1 \] tal que si \[ n>m\geq N_1 \] entonces:

\[ \displaystyle\sum_{k=m}^na_k<\dfrac{\epsilon}{2} \]

 Tomando \[ N=3N_1 \] existe \[ n>3N_1 \] tal que \[ na_n>\epsilon \].

 Ahora como \[ n>[n/2]\geq N_1 \]:

\[ \displaystyle\sum_{k=[n/2]}^na_k<\dfrac{\epsilon}{2} \]

 Pero por otra parte por ser decreciente:

\[ \displaystyle\sum_{k=[n/2]}^na_k>(n-[n/2]+1)a_n\geq \dfrac{n}{2}a_n>\dfrac{\epsilon}{2} \]

 ¡Contradicción!.

 (b) Por ejemplo:

\[ a_n=\begin{Bmatrix} \dfrac{1}{n} & \mbox{ si }& n\mbox{ es cuadrado perfecto}\\0 & \mbox{ en otro caso}& \end{matrix} \]

Saludos.