Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 05 Octubre, 2014, 06:55 am

Título: Propiedad del Supremo
Publicado por: Julio_fmat en 05 Octubre, 2014, 06:55 am
Sea \( S\subseteq \mathbb{R} \) un subconjunto acotado de \( \mathbb{R}. \) Pruebe que \( a=\sup (S) \) si y solo si \( a\ge x, \, \forall x\in S \) y además \( \forall \, \varepsilon >0, \, \exists \, x_0\in S \), tal que \( x_0>a-\varepsilon. \)


Spoiler
Hola. Hay que usar la definición solamente? o es algo más que eso? Gracias.
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Título: Re: Propiedad del Supremo
Publicado por: Fernando Revilla en 05 Octubre, 2014, 12:00 pm
Mira el problema 6 aquí:

http://fernandorevilla.es/blog/2014/02/08/supremo-infimo-maximales-y-minimales/
Título: Re: Propiedad del Supremo
Publicado por: Julio_fmat en 08 Octubre, 2014, 01:43 am
Muchas Gracias Fernando. :)

Estuve leyendo la demostración que tu entregas en tu blog, está buena.  :laugh:

Pero tengo algunas dudas con ciertos pasos:

Para el 1er. párrafo, entiendo que estás probando la implicancia \( a=\sup(S)\implies (a\ge x)(\forall x\in S)\, \wedge \, (\forall \varepsilon >0)(\exists x_0\in S)(x_0>a-\varepsilon). \)

Pero no entiendo cómo concluyes que \( a-\varepsilon_0<a \)?, ¿y porqué esto es una contradicción?

No sé si habrá otra forma de abordar este problema...
Título: Re: Propiedad del Supremo
Publicado por: Luis Fuentes en 08 Octubre, 2014, 11:15 am
Hola

Pero no entiendo cómo concluyes que \( a-\varepsilon_0<a \)?, ¿y porqué esto es una contradicción?

Está razonando por reducción al absurdo.

La negación de:

"para todo \( \epsilon \) existe un \( x_0\in S \) tal que \( x_0>a-\epsilon \) "

es:

"existe un \( \epsilon \) tal que para todo \( x\in S \) se cumple \( x\leq a-\epsilon \) "

Por tanto \( a-\epsilon \) es una cota superior de S.

Lo contradictorio ahora no es sólo que \( a-\epsilon<a \) sino que además que \( a-\epsilon \) sea cota superior de \( S \), ya que por definición el supremo \( a \) debería de ser la menor de las cotas superiores.

Saludos.