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Matemática => Análisis Matemático => Sistemas Dinámicos - Teoría del Caos => Mensaje iniciado por: hector en 20 Agosto, 2014, 19:04

Título: Ciclos, intervalos y relaciones de recurrencia
Publicado por: hector en 20 Agosto, 2014, 19:04
Hola a todos,
Sea \[ f: I\rightarrow{} I \] una función continua. Dados  dos intervalos cerrados (no triviales) \[ J.K\subset{} I \] se dice que J cubre a K por f si existe\[  K\subset{} f(J) \], esta relacion es denotada por \[ J\longrightarrow{ }K \]

a) Demostrar que si \[ J\longrightarrow{}K \], entonces existe un intervalo cerrado \[ L \subset{}J \] tal que\[  f(L) =K
 \]
b) demostrar que si \[ J \longrightarrow{}J \], entonces f tiene un punto fijo

c) demostrar que si \[ J_0\longrightarrow{} J_1\longrightarrow{} J_2 \], entonces existen \[ L_1\subset{} L_0 \subset{}J_0 \] tales que \[ f(L_0)=J_0 \],\[  f(L_1)\subset{} J_1 \] y \[ f^2(L_1)=J_2 \]

d) use induccion Matematica para demostrar que que si \[ n\geq{2} \] y \[ J_0 \longrightarrow{}J_1\longrightarrow{} ...\longrightarrow{}J_n \], entonces existen \[ [tex]L_{n-1}\subset{}L_{n-2} \subset{}... \subset{}L_0 J_0 \][/tex] tales que : \[ f(L_0)=J_1 \], para todo \[ 1\leq{k}\leq{n-1} \] y cada \[ 1\leq{m}\leq{k} \] se tiene \[ f^m(L_k)\subset{}J_m \] y \[ f^{k+1}(L_k)=J_{K+1} \].



Demostración.

He tenido problemas con la parte a, en probar la inclusión contraria \[ f(L)\supset{}K \]

Con la parte b no hay inconvenientes ya lo tengo probado.

Con la parte c y es donde se centra la pregunta ya que si logro probarlo podre usar inducción para demostrar la parte d

he hecho lo siguiente, \[ J_1\longrightarrow{J_2} \] existe \[ L_1 \subset{J_1} \] tal que \[ f(L_1)=J_2 \], como \[ J_0\longrightarrow{J_1} \] se tiene que \[ J_1\subset{} f(J_0) \] pero \[ L_1\subset{J_1}\subset{f(J_0)} \], por tanto \[ J_0\longrightarrow{L_1} \]. Así, existe \[ L_0\subset{J_0} \] tal que \[ f(L_0)=L_1 \].

Sin Embargo no logro probar nada (Alguna ayuda)

Por otro lado, creo que existe un error en los enunciados, ya que la parte d es la generalización de la parte c y algunas cosa no coinciden. por ejemplo en la parte c \[ f(L_0)=J_0 \], y en la parte d aparece \[ f(L_0)=J_1  \].