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Matemática => Análisis Matemático => Sistemas Dinámicos - Teoría del Caos => Mensaje iniciado por: lindtaylor en 20 Agosto, 2014, 03:48 am

Título: Sobre matriz fundamental de un sistema.
Publicado por: lindtaylor en 20 Agosto, 2014, 03:48 am
Sea el sistema x'=A(t)x, si X es matriz fundamental del sistema y si A(-t)=-A(t), ¿Por qué se tiene que X(t)=X(-t)? he tratado de todo pero no logro llegar a eso.
Desde ya gracias.
Título: Re: Sobre matriz fundamental de un sistema.
Publicado por: Fernando Revilla en 20 Agosto, 2014, 09:46 pm
Sea el sistema x'=A(t)x, si X es matriz fundamental del sistema y si A(-t)=-A(t), ¿Por qué se tiene que X(t)=X(-t)? he tratado de todo pero no logro llegar a eso.

Demuestra (no es difícil) que si \( \Phi (t) \) es matriz fundamental del sistema, también lo es \( \Phi (-t). \) Esto implica que \( \Phi (-t)=\Phi (t)C \) con \( C \) matriz constante. Para \( t=0 \) queda \( \Phi (0)=\Phi (0)C \) siendo \( \Phi (0) \) invertible, por tanto \( C=I. \) Concluimos que \( \Phi (-t)=\Phi (t). \)
Título: Re: Sobre matriz fundamental de un sistema.
Publicado por: lindtaylor en 21 Agosto, 2014, 07:29 am
Gracias.

 \( (X(-t))'=-X'(-t)=-A(-t)X(-t)=A(t)X(-t) \), entonces \( X(-t) \) es matriz fundamental del sistema, luego \( X(-t)=X(t)C \) y se sigue =)

Una consulta. \( (X^{-1}(-t))=-X^{-1}(t) \)?
Título: Re: Sobre matriz fundamental de un sistema.
Publicado por: Fernando Revilla en 21 Agosto, 2014, 07:51 am
Una consulta. \( (X^{-1}(-t))=-X^{-1}(t) \)?

No. Dado que \( X(-t)=X(t), \) tomando inversas queda  \( X^{-1}(-t)=X^{-1}(t). \) Si fuera además \( X^{-1}(-t)=-X^{-1}(t), \) implicaría \( X^{-1}(t)=0 \) (absurdo pues \( X(t) \) es invertible).
Título: Re: Sobre matriz fundamental de un sistema.
Publicado por: lindtaylor en 21 Agosto, 2014, 08:10 am
Pues un artículo que estoy leyendo dice que si \( P(t)=X^{-1}(t)B(t)X(t) \), y si \( A(-t)=-A(t), B(-t)=B(t) \), entonces \( P(-t)=-P(t) \). Lo cual me parece incorrecto, pues \( P(-t)=X^{-1}(-t)B(-t)X(-t)=X^{-1}(t)B(t)X(t)=P(t). \)
Título: Re: Sobre matriz fundamental de un sistema.
Publicado por: Fernando Revilla en 21 Agosto, 2014, 11:55 am
Pues un artículo que estoy leyendo dice que si \( P(t)=X^{-1}(t)B(t)X(t) \), y si \( A(-t)=-A(t), B(-t)=B(t) \), entonces \( P(-t)=-P(t) \). Lo cual me parece incorrecto, pues \( P(-t)=X^{-1}(-t)B(-t)X(-t)=X^{-1}(t)B(t)X(t)=P(t). \)

Lo que escribes es correcto, en consecuencia, si es eso lo que dice el árticulo, es incorrecto.

P.D. ¿Podrías dar un enlace al artículo?
Título: Re: Sobre matriz fundamental de un sistema.
Publicado por: lindtaylor en 21 Agosto, 2014, 07:50 pm
Lo adjunto acá. En la página 7 del archivo está.
Creo que el artículo debió decir que B(-t)=-B(t) pues así si funciona.
Título: Re: Sobre matriz fundamental de un sistema.
Publicado por: Fernando Revilla en 22 Agosto, 2014, 12:19 pm
Creo que el artículo debió decir que B(-t)=-B(t) pues así si funciona.

Ciertamente, yo también creo que la condición \( (C7) \) es la que tú dices.