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Matemática => Análisis Matemático => Sistemas Dinámicos - Teoría del Caos => Mensaje iniciado por: hector en 21 Abril, 2014, 14:08

Título: Cuenca de atracción
Publicado por: hector en 21 Abril, 2014, 14:08
Muy buenas, antes de formular mi duda al respecto colocare la teoría previa de ta forma que manejemos todos un mismo lenguaje.

Definición 1.  Sea \[ f:X\rightarrow{X} \] continua (\[ X \] es un espacio métrico). Un punto fijo \[ p \in X \] de \[ f \] se dice atractor, si existe un abierto \[ U\subset{X} \]
con \[ p\in U \], tal que, \[ f^n(x)\rightarrow{p} \], \[ n\rightarrow{+\infty} \], para todo \[ x\in U \].


Definición 2. Se llama cuenca de atracción de \[ p \] a \[ B=\{x\in X : f^n(x)\rightarrow{p}, cuando n\rightarrow{+\infty}\} \].

Ejercicio: Demostrar \[ B=\cup_{n\geq{1}}f^{-n}(U) \]
Título: Re: Cuenca de atracción
Publicado por: Carlos Ivorra en 21 Abril, 2014, 14:34
Si \[ x\in B \], existe un \[ n \] tal que \[ f^n(x)\in U \], por definición de convergencia, luego \[ x\in f^{\red -n}[U] \].

Recíprocamente, si \[ x\in f^{-n_0}[U] \], para un \[ n \], entonces \[ f^{n_0}(x)\in U \], luego la sucesión \[ f^{n_0+m}(x) \] converge a \[ p \], luego \[ f^n(x) \] también.
Título: Re: Cuenca de atracción
Publicado por: hector en 21 Abril, 2014, 16:00
Gracias Carlos Ivorra.

Saludos,
Título: Re: Cuenca de atracción
Publicado por: hector en 21 Abril, 2014, 23:55
De nuevo, solo alguna cosas que aun no veo-

Citar
Si\[  x\in B \], existe un \[ n \] tal que \[ f^n(x)\in U \], por definición de convergencia, luego \[ x\in f^{-1}[U] \].

En esta linea en vez de ir \[ x\in f^{-1}[U] \], debe ir \[ x\in f^{-n}[U] \].

Cuando tu dices por definición de convergencia, si \[ f^n(x)\rightarrow{p} \], puedo afirmar que \[ f^n(x)\in U \] ¿Por qué?

Citar
Recíprocamente, si \[ x\in f^{-n_0}[U] \], para un \[ n \], entonces \[ f^{n_0}(x)\in U \], luego la sucesión \[ f^{n_0+m}(x)  \]converge a \[ p \], luego \[ f^n(x) \] también.

Básicamente entiendo que \[ f^{n_0}(x)\in U \] para algún \[ n_0 \] implica que \[ f^m(f^{n_0}(x))\rightarrow{p} \] es porque si a cualquier elemento de \[ U \] lo itero entonces este converge a p.

Si no me equivoco lo que hiciste fue \[ m+n_0=n \], caso contrario podrías aclararme. Muchísimas gracias de antemano.
Título: Re: Cuenca de atracción
Publicado por: Carlos Ivorra en 22 Abril, 2014, 07:30
En esta linea en vez de ir \[ x\in f^{-1}[U] \], debe ir \[ x\in f^{-n}[U] \].

Era una errata.

Cuando tu dices por definición de convergencia, si \[ f^n(x)\rightarrow{p} \], puedo afirmar que \[ f^n(x)\in U \] ¿Por qué?

Por la definición de convergencia: una sucesión converge a un punto si, dado cualquier entorno U del punto, todos los términos de la sucesión están en el entorno, a partir de uno dado.

Si no me equivoco lo que hiciste fue \[ m+n_0=n \], caso contrario podrías aclararme.

Así es. En el fondo la idea es que una sucesión converge a un punto si y sólo si una cualquiera de sus colas converge a ese punto.
Título: Re: Cuenca de atracción
Publicado por: hector en 22 Abril, 2014, 20:59
Muchas gracias Carlos Ivorra, ahora si tengo armada la demostración y creo que sin huecos (Gracias a ti)

Saludos..!