Rincón Matemático

Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Problemas y Desafíos => Mensaje iniciado por: Ainor en 13 Diciembre, 2013, 02:07 pm

Título: El descubrimiento.
Publicado por: Ainor en 13 Diciembre, 2013, 02:07 pm
Hola amigos, que creen de este curioso problema...
Todos sabemos que los números reales son infinitos, y no es posible ni siquiera contar los que hay entre 1 y 2, debido a que estos numeros no son "numerables", o sea, que no se puede seguir un orden lógico para contar entre uno y otro. Un eminente científico logró descubrir un orden lógico infalible para los números reales, pero murió sin revelar su hazaña. Las únicas evidencias que se encontraron de su descubrimiento son que el tercer número en su orden es el 1 y el quinto número es el 100; y en una carta que le escribiera un amigo (a quien al parecer le había contado algo y que, desafortunadamente, está también muerto), éste le decía: "Apliqué la regla que descubriste para contar algunos números reales y no obtuve la misma lista que tú, ni para los primeros 5 ni para los que le siguen". ?? ?? 1 ?? 100. Ahora muchos científicos trabajan en encontrar los números de las posiciones 1, 2 y 4 del orden, y así quizá puedan descifrar el descubrimiento que yace bajo la tumba de su creador. Podría usted ayudarlos.
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Diciembre, 2013, 04:16 pm
Hola

 ¿En qué contexto te ha surgido este "problema"?

 En su enunciado hace una serie de afirmaciones bastante imprecisas entremezclando lenguaje coloquial con lenguaje matemático. O dicho de otra manera no le veo demasiado sentido. No sé si conociendo el contexto en el que ha sido planteado pudiera ayudar a entenderlo mejor:

Citar
Todos sabemos que los números reales son infinitos, y no es posible ni siquiera contar los que hay entre 1 y 2, debido a que estos numeros no son "numerables", o sea, que no se puede seguir un orden lógico para contar entre uno y otro.


 Lo de un "orden lógico" es una afirmación gratuita e impreciso; el hecho de definir o no un orden no tiene (no al menos trivialmente) demasiado que ver con ser numerable.

Citar
Un eminente científico logró descubrir un orden lógico infalible para los números reales


 De nuevo se usa "orden lógico" sin estar claro a que se refire y aun encima.. "infalible".

 De esto:

Citar
Apliqué la regla que descubriste para contar algunos números reales y no obtuve la misma lista que tú, ni para los primeros 5 ni para los que le siguen". ?? ?? 1 ?? 100. Ahora muchos científicos trabajan en encontrar los números de las posiciones 1, 2 y 4 del orden, y así quizá puedan descifrar el descubrimiento que yace bajo la tumba de su creador. Podría usted ayudarlos.

 Por una parte parece que se tratase de encontar una enumeración de los reales mediante naturales, lo cuál obviamente es imposlbe. Por otra parte habla de contar "algunos" reales...

 En fin...

Saludos.
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: Ainor en 19 Diciembre, 2013, 04:54 pm
Hola

 ¿En qué contexto te ha surgido este "problema"?

 En su enunciado hace una serie de afirmaciones bastante imprecisas entremezclando lenguaje coloquial con lenguaje matemático. O dicho de otra manera no le veo demasiado sentido. No sé si conociendo el contexto en el que ha sido planteado pudiera ayudar a entenderlo mejor:

Citar
Todos sabemos que los números reales son infinitos, y no es posible ni siquiera contar los que hay entre 1 y 2, debido a que estos numeros no son "numerables", o sea, que no se puede seguir un orden lógico para contar entre uno y otro.


 Lo de un "orden lógico" es una afirmación gratuita e impreciso; el hecho de definir o no un orden no tiene (no al menos trivialmente) demasiado que ver con ser numerable.

Citar
Un eminente científico logró descubrir un orden lógico infalible para los números reales


 De nuevo se usa "orden lógico" sin estar claro a que se refire y aun encima.. "infalible".

 De esto:

Citar
Apliqué la regla que descubriste para contar algunos números reales y no obtuve la misma lista que tú, ni para los primeros 5 ni para los que le siguen". ?? ?? 1 ?? 100. Ahora muchos científicos trabajan en encontrar los números de las posiciones 1, 2 y 4 del orden, y así quizá puedan descifrar el descubrimiento que yace bajo la tumba de su creador. Podría usted ayudarlos.

 Por una parte parece que se tratase de encontar una enumeración de los reales mediante naturales, lo cuál obviamente es imposlbe. Por otra parte habla de contar "algunos" reales...

 En fin...

Saludos.
Amigo estoy de acuerdo con vos en todo lo que me dice, todas esas dudas yo también las tengo, por eso publiqué el problema a ver si alguien me da alguna idea, el hecho de que diga orden lógico se debe referir  a que por ejemplo como usted debe saber después del numero uno, no sabes que otro numero viene, por que puede ser  lo mismo que 1,1 que 1,01 o 1,0000...1, en fin son infinitos como dice el problema. Este problema yo lo saque de un libro de problemas lógicos, pero desgraciadamente no aparece la respuesta. Al parecer con estos datos se hace alguna conjetura que cumple con los requisitos planteados por el problema, pero el detalle esta en encontrarla.
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: Luis Fuentes en 20 Diciembre, 2013, 10:30 am
Hola

Citar
Amigo estoy de acuerdo con vos en todo lo que me dice, todas esas dudas yo también las tengo, por eso publiqué el problema a ver si alguien me da alguna idea, el hecho de que diga orden lógico se debe referir  a que por ejemplo como usted debe saber después del numero uno, no sabes que otro numero viene, por que puede ser  lo mismo que 1,1 que 1,01 o 1,0000...1, en fin son infinitos como dice el problema. Este problema yo lo saque de un libro de problemas lógicos, pero desgraciadamente no aparece la respuesta. Al parecer con estos datos se hace alguna conjetura que cumple con los requisitos planteados por el problema, pero el detalle esta en encontrarla.

No me parece que el detalles esté en encontarla, sino en adivinar cual es realmente el problema que se quiso plantear bajo apariencia de un enunciado "novelado". Por ser más claro: me parece simplemente que el desafío está mal planteado. De forma que fulanito le puede encontrar una interpretación y menganito otra...

Saludos.
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: adrianeitor en 24 Diciembre, 2013, 02:28 am
Si tuviéramos que poner un orden lógico a los números, yo los contaría como contamos de cero a 100 pero al revés. A ver si me explico:
para los de cero a 100 seria 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y después ponemos el 2º numero que es el 1 poniendo detrás el 0 es decir 10, después el 11 12 13 14 15 16 ...
Entonces si lo hacemos al revés para los decimales nos quedaría una cosa asi:
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 y después pondríamos el 0 primero y procedemos de la siguiente manera:
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Y después repetimos el proceso pero poniendo esta vez uno en lugar de 0:
0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 Después repetiríamos el proceso pero en lugar de con el uno,con el 2
0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 Y después con el 3 con el 4 5 6 7 ...
Y cuando llegamos al 0,97 0,98 0,99 entonces lo que haríamos seria volver a empezar de nuevo pero con tres cifras decimales: 0,000 0,001 0,002...
De esta manera, el numero 0,01 iría más adelante del 0,1. Esto es solo para darle un orden lógico para poder representarlos a todos, pero no significa que el 1º sea un número que represente un valor más grande o pequeño que los números que le siguen.
De todos modos ni siquiera cumple lo que dice el descubrimiento,pero también tiene que especificar un poco lo que descubrieron exactamente.
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Diciembre, 2013, 01:32 pm
Hola

Si tuviéramos que poner un orden lógico a los números, yo los contaría como contamos de cero a 100 pero al revés. A ver si me explico:
para los de cero a 100 seria 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y después ponemos el 2º numero que es el 1 poniendo detrás el 0 es decir 10, después el 11 12 13 14 15 16 ...
Entonces si lo hacemos al revés para los decimales nos quedaría una cosa asi:
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 y después pondríamos el 0 primero y procedemos de la siguiente manera:
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Y después repetimos el proceso pero poniendo esta vez uno en lugar de 0:
0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 Después repetiríamos el proceso pero en lugar de con el uno,con el 2
0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 Y después con el 3 con el 4 5 6 7 ...
Y cuando llegamos al 0,97 0,98 0,99 entonces lo que haríamos seria volver a empezar de nuevo pero con tres cifras decimales: 0,000 0,001 0,002...
De esta manera, el numero 0,01 iría más adelante del 0,1. Esto es solo para darle un orden lógico para poder representarlos a todos, pero no significa que el 1º sea un número que represente un valor más grande o pequeño que los números que le siguen.
De todos modos ni siquiera cumple lo que dice el descubrimiento,pero también tiene que especificar un poco lo que descubrieron exactamente.

Con esa forma de contar estás incluyendo sólo los números con una cantidad finita de cifras decimales, pero no todos los números reales. ¿Qué ocurriría por ejemplo con:

\( \dfrac{1}{3}=0.3333\ldots \)

ó

\( \sqrt{2}=1.4142\ldots \)

Saludos.
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: elcristo en 24 Diciembre, 2013, 03:49 pm
Se me ha ocurrido una cosa, ¿Se podría establecer relación en vez de entre \( \mathbb{N} \) y \( \mathbb{R} \) entre \( \mathbb{N}\times{}\mathbb{N} \) y \( \mathbb{R} \)?

Así por ejemplo, los pares indican 2 cosas:
\( (a,b) \), \( a \) indica cifra y \( b \) número. Por ejemplo.

1 sería (1,1). Y en el caso de números con números distintos a 0 sería sumar, por ejemplo:

1'42 = 1 + 0'4 + 0'02 = (1,1) + (2,4) + (3, 2) = (6,7)

No sé, quizás así se podría establecer una relación entre \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{N}\times{}\mathbb{N} \) y ordenando \( \mathbb{N}\times{}\mathbb{N} \) se ordena \( \mathbb{R} \)
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: Luis Fuentes en 24 Diciembre, 2013, 03:57 pm
Hola

Se me ha ocurrido una cosa, ¿Se podría establecer relación en vez de entre \( \mathbb{N} \) y \( \mathbb{R} \) entre \( \mathbb{N}\times{}\mathbb{N} \) y \( \mathbb{R} \)?

No, es imposible que haya una aplicación biyectiva entre  \( \mathbb{N}\times{}\mathbb{N} \) y \( \mathbb{R} \), porque el primer conjunto es numerable (http://www.fceia.unr.edu.ar/~fismat2/apuntes/apun1-fismat2.pdf) y el segundo no (http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/R_no_numerable.html).

Citar
Así por ejemplo, los pares indican 2 cosas:
\( (a,b) \), \( a \) indica cifra y \( b \) número. Por ejemplo.

1 sería (1,1). Y en el caso de números con números distintos a 0 sería sumar, por ejemplo:

1'42 = 1 + 0'4 + 0'02 = (1,1) + (2,4) + (3, 2) = (6,7)

Asi a números distintos podría corresponderles el mismo par. Por ejemplo \( (6,7) \) también sería el para correspondiente a \( 0,00007 \) ó \( 1,0006  \) u otros.

Además de nuevo el método no es aplicable a números con infinitas cifras decimales.

Saludos.
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: elcristo en 24 Diciembre, 2013, 04:33 pm
La cosa del desafío es ver que un tío descubrió que se pueden numerar, y la cosa es ir probando. ¿Y que tal \( ZxNxN \)

La Z sería entre que números está.

Si Z es -5, serían los números reales entre (-5,-4). Así creo que no habría solapamientos de esos.

¿Y por qué no vale para números con infinitas cifras? Puedes poner un número tan grande como quieras en la 2º coordenda apara indicar la posición. ¿no?
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: serpa en 24 Diciembre, 2013, 05:02 pm
La cosa del desafío es ver que un tío descubrió que se pueden numerar, y la cosa es ir probando. ¿Y que tal \( ZxNxN \)

La Z sería entre que números está.

Si Z es -5, serían los números reales entre (-5,-4). Así creo que no habría solapamientos de esos.

¿Y por qué no vale para números con infinitas cifras? Puedes poner un número tan grande como quieras en la 2º coordenda apara indicar la posición. ¿no?

El problema radica en que el enunciado sugiere que podemos demostrar que los reales son numerables, cosa que es imposible.

Mira por aquí http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/R_no_numerable.html

Entonces, a menos que el enunciado este mal planteado, no vale la pena o mejor no se debería gastar esfuerzos tratando de demostrar algo que no se puede demostrar.


Un saludo.
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: elcristo en 24 Diciembre, 2013, 05:25 pm
Ya, pero es que la demostración de que los números reales son no numerables nunca acabé de entenderla del todo, y siempre entendía que eran no numerables porque no se conseguía encontrar una relación. Entonces ¿está totalmente demostrado que los reales es no numerable y nunca jamás se podrá encontrar la forma de hacerlo?
Título: Re: El descubrimiento.
Publicado por: serpa en 24 Diciembre, 2013, 05:54 pm
Ya, pero es que la demostración de que los números reales son no numerables nunca acabé de entenderla del todo, y siempre entendía que eran no numerables porque no se conseguía encontrar una relación. Entonces ¿está totalmente demostrado que los reales es no numerable y nunca jamás se podrá encontrar la forma de hacerlo?

En cualquier libro donde se traten conjuntos numerables está esa demostración. Puedes mirar por ejemplo: principios de análisis matemático de Rudin, análisis matemático de Apóstol, etc.

Pd: Si no entiendes la demostración, sería bueno que abrieras un nuevo post con todas tus dudas para que de una vez salgas de ellas.

Un saludo.