Rincón Matemático

Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => Problemas y Desafíos => Mensaje iniciado por: cHemarY en 25 Abril, 2013, 07:12 pm

Título: Solución Diofántica.
Publicado por: cHemarY en 25 Abril, 2013, 07:12 pm
Hola a todos,
tengo un problema con la solución diofántica de una ecuación de segundo grado y no sé como seguir.

La ecuación es:
\( x^2-2*m*x+n = 0. \)

Donde el único número que se conoce es n.

Al desarrollar esta ecuación obtengo las dos soluciones:
\( x = m \pm{} \sqrt[ ]{m^2 - n}. \)

\( \forall{} x, m, n \in{} N. \)


¿Cómo obtengo todos los valores de m?.
Título: Re: Solución Diofántica.
Publicado por: soneu en 25 Abril, 2013, 10:35 pm
Para que las soluciones sean enteras \( m^2-n \) tiene que ser un cuadrado perfecto. Es decir, \( m^2-n=a^2, \) o equivalentemente, \( n=m^2-a^2=(m-a)(m+a). \) (Podemos suponer que \( a\geq 0). \) Como \( n \) es conocido sólo tienes que factorizar \( n=(m-a)(m+a) \) y obtendrás los posibles valores de \( m. \)

Un saludo
Título: Re: Solución Diofántica.
Publicado por: cHemarY en 27 Abril, 2013, 06:13 pm
OK, pero tardo menos en encontrar una solución calculando los valores de m que calcular los valores de a, busco un algoritmo rápido.

Calculando m desde su mínimo tardo menos tiempo que calculando a.

El mínimo m es:
\( m_{min} = 1 + entero (\sqrt[ ]{n}) \)

Y el mínimo a es:
\( a_{min} = entero(\sqrt[ ]{m_{min}^2 - n}) \)

Para llegar a la solución por cada incremento de m hay mas de 700 incrementos de a.
Título: Re: Solución Diofántica.
Publicado por: feriva en 27 Abril, 2013, 09:49 pm
Hola. A mí me salen estas condiciones

\( x^{2}-2mx+n=0;\,\,\, n,m,x\in\mathbb{N}\Rightarrow x|n \)

\( n=kx;\,\, k\in\mathbb{N}\Rightarrow \)

\( x^{2}-2mx+n=x^{2}-2mx+kx\Rightarrow \)

\( x-2m+k=0\Rightarrow x+k=2m \)

\( x\wedge k\,\, pares\,\,\vee\,\, x\wedge k\,\, impares \)

...

\( si\,\, pares\,\,\Rightarrow n\,\, par\,\, y\,\, viceversa \)

con las condiciones

\( n=kx  \)

\( x+k=par \)

todos enteros positivos.

Saludos.