Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: physlord en 07 Junio, 2007, 01:39 am

Título: Multiplicación de integrales
Publicado por: physlord en 07 Junio, 2007, 01:39 am
Hola a todos, tengo una duda y necesito su ayuda.

Resulta que viendo la demostración del teorema de convolución (transformada de Laplace), me encontré con algo que no entiendo, o mejor dicho, cuya justificación no tengo clara.

\( \nonumber \begin{equation}
(\int_{0}^{\infty} e^{-s\tau} f(\tau)d\tau)(\int_{0}^{\infty} e^{-s\beta} g(\beta) d\beta) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-s(\tau + \beta)} f(\tau) g(\beta) d\tau d\beta
\end{equation}
 \)

Mi duda es: ¿Cómo pasamos de la multiplicación de integrales a una integral doble?, ¿bajo qué condiciones puedo hacer eso?

Si me pudieran explicar, de preferencia para un caso general, si hay algún teorema  o propiedad especial que lo explique se los agradeceré infinitamente.

Un Saludo.
Título: Re: Multiplicación de integrales
Publicado por: Luis Fuentes en 07 Junio, 2007, 09:26 am
Hola

 En general dadas dos funciones integrables f(x) y g(x):

\(  \displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\int_{a'}^{b'}f(x)g(t)dtdx=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx\displaystyle\int_{a'}^{b'}g(t)dt \)

 La razón es en la expresión de la izquierda:

\(  \displaystyle\int_{a'}^{b'}g(t)dt  \) se comporta como una constantes respecto a la variable x (no depende de x) por lo que puedes sacarla fuera de la otra integral.

Saludos.
Título: Re: Multiplicación de integrales
Publicado por: physlord en 07 Junio, 2007, 02:24 pm
Muchas gracias, no había notado ese detalle tan simple.