Rincón Matemático

Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Geometría y Topología => Triángulos => Mensaje iniciado por: Michel en 16 Marzo, 2013, 10:04 am

Título: Ángulo de 72º
Publicado por: Michel en 16 Marzo, 2013, 10:04 am
 En el triángulo isósceles ABC, con AB = AC, el ángulo C vale 72º.
Hallar AB, sabiendo que BC = a.
Título: Re: Ángulo de 72º
Publicado por: Fran Franco en 16 Marzo, 2013, 12:01 pm
Tenemos un triángulo cuyos ángulos miden: A=36º, B=72º, C=72º. Si dividimos el triángulo por la mitad trazando la bisectriz del ángulo A, tenemos dos triángulos iguales rectángulos. Este nuevo triángulo será de la forma A'BD, con A'=18º, B=72º, C=90º.
Aplicando a este triángulo razones trigonométricas, y llamando a la altura del triángulo, A'D = h, y a la base BD' = a/2, tenemos que:

\(  \tg(18) = \displaystyle\frac{a/2}{h}\iff{h=\displaystyle\frac{a}{0,65}}  \)

\(  \sin(72) = \displaystyle\frac{h}{x}=\displaystyle\frac{a}{0,65x}\iff\boxed{{x=\displaystyle\frac{a}{0,618}}}  \)

Espero haberte ayudado.
Un saludo.
Título: Re: Ángulo de 72º
Publicado por: Michel en 18 Marzo, 2013, 10:25 am
Gracias por tu ayuda.

Otra forma de resolver el problema:

Sea AB=AC=x.
Trazando la bisectriz BD del ángulo B, se forma el triángulo BCD, cuyos ángulos son respectivamente iguales a los del ABC; por tanto, son semejantes:

\( \displaystyle\frac{AB}{BC}=\displaystyle\frac{BC}{CD} \Rightarrow{\displaystyle\frac{AB}{BC}=\displaystyle\frac{BC}{AC-AD}\Rightarrow{\displaystyle\frac{AB}{BC}=\displaystyle\frac{BC}{AB-BC}}\Rightarrow{\displaystyle\frac{x}{a}=\displaystyle\frac{a}{x-a}}} \)

Resolviendo la ecuación se obtiene \( x=\displaystyle\frac{a(\sqrt[ ]{5}+1)}{2} \)