Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Análisis Real - Integral de Lebesgue => Mensaje iniciado por: nanelito en 20 Febrero, 2013, 04:14 pm

Título: medida exterior invariante bajo traslaciones...
Publicado por: nanelito en 20 Febrero, 2013, 04:14 pm
Como demuestro que \[ mE = m(E + a); a\in{\mathbb{R}} \] siendo \[ m \] la medida exterior de lebesgue ??
Título: Re: medida exterior invariante bajo traslaciones...
Publicado por: Héctor Manuel en 20 Febrero, 2013, 05:30 pm
\[ m(E+a)=\inf\{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty(b_n-a_n):a_n\le b_n,\mbox{  }E+a\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty(a_n,b_n]\} \]

Sea \[ \{(a_n,b_n]\} \] un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \[ E+a \]. Entonces \[ \{(a_n-a,b_n-a)\} \] es un recubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \[ E \]. Luego, \[ m(E)\le\displaystyle\sum_{i=1}^\infty[ b_n-a-(a_n-a)]=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty(b_n-a_n) \], de donde \[ m(E)\le m(E+a) \].

Ahora, si \[ \{(a_n,b_n]\} \] es un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \[ E \], entonces \[ \{(a_n+a,b_n+a]\} \] es un cubrimiento numerable de intervalos semiabiertos de \[ E+a \].

Por tanto \[ m(E+a)\le\displaystyle\sum_{n=1}^\infty[b_n+a-(a_n+a)]=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (b_n-a_n) \]. Luego, \[ m(E+a)\le m(E) \].

Saludos.
Título: Re: medida exterior invariante bajo traslaciones...
Publicado por: nanelito en 20 Febrero, 2013, 06:17 pm
Gracias...