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Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Geometría y Topología => Triángulos => Mensaje iniciado por: Michel en 18 Enero, 2013, 12:35 pm

Título: Medianas
Publicado por: Michel en 18 Enero, 2013, 12:35 pm
Los lados de un triángulo miden \( a, b, c \) y las medianas \( m_a, m_b, m_c \).

\( \dfrac{3}{4}<\dfrac{m_a+m_b+m_c}{a+b+c}<\dfrac{3}{2} \)
Título: Re: Medianas
Publicado por: Michel en 26 Enero, 2013, 11:47 am
Sea G el baricentro del triángulo.

Teniendo en cuenta la desigualdad triangular y que "la envuelta es menor que la envolvente":

\( a<GB+GC<c+b,\qquad       b<GC+GA<a+c,\qquad      c<GA+GB<b+a \)

Teniendo en cuenta la propiedad del baricentro, de las anteriores se deducen:

\( a<\dfrac{2(m_b+m_c)}{3}<c+b, \quad     b<\dfrac{2(m_c+m_a)}{3}<a+c,\quad      c<\dfrac{2(m_a+m_b)}{3}<c+a \)

Sumando: \( a+b+c<\dfrac{4(m_a+m_b+m_c)}{3}<2(a+b+c) \)

Multiplicando por \( 3/4 \) y dividiendo por \( (a+b+c) \), resulta la relación pedida.