Rincón Matemático

Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Geometría y Topología => Triángulos => Mensaje iniciado por: Tanius en 12 Abril, 2012, 04:45 am

Título: Calcular una distancia.
Publicado por: Tanius en 12 Abril, 2012, 04:45 am
¡Hola!

Sea un triángulo \( ABC \), consideremos sus circunferencias inscrita y circunscrita. Sean \( O \) e \( I \) el circuncentro y el incentro, respectivamente. Sean \( R \) y \( r \) los radios de las circunferencias inscrita y circunscritas, respectivamente. Llamemos \( d \) a la distancia entre \( OI \). Demostrar que \( d^2=R^2-2rR \).


Lamento que aún no haya aprendido a usar Geogebra. Trataré de explicar cuál es la idea que habíamos pensado.

La ecuación \( d^2=R^2-2rR \) es equivalente a \( d^2+r^2=R^2-2rR+r^2 \), de donde \( R-r = \sqrt{d^2+r^2} \). Considero ahora el triángulo rectángulo cuyos catetos miden \( d \) y \( r \) (es decir, sus vértices son O e I, y el otro vértice queda sobre la circunferencia inscrita). Si lograra demostrar que la hipotenusa de dicho triángulo es \( R-r \), habría terminado.

Gracias de antemano.
Título: Re: Calcular una distancia.
Publicado por: Michel en 12 Abril, 2012, 10:05 am
Hola Tanius.

¿Por qué crees que el triángulo de lados r y d es rectángulo?

Saludos
Título: Re: Calcular una distancia.
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Abril, 2012, 11:05 am
Hola

 Tan sólo apuntar que el resultado que quiere probar Tanius se conoce usualmente como la Fórmula o el Teorema de Euler (http://132.248.17.238/geometria/t_2_009e/t_2_009e_m.html).

Saludos.
Título: Re: Calcular una distancia.
Publicado por: Tanius en 12 Abril, 2012, 03:41 pm
¿Por qué crees que el triángulo de lados r y d es rectángulo?

Quizá no me expliqué bien. Me fijo en el segmento \( OI \) que mide \( d \), ése ve a ser un hipotético cateto del triángulo, luego me fijo en otro cateto que forme 90 grados y cuya longitud es \( r \). El triángulo queda bien determinado por LAL, luego quería probar que la hipotenusa medía \( R-r \).

Bueno, con lo del el_manco me ha bastado, no imaginaba que su solución fuese "tan complicada". Supongo que lo que yo intenté no lleva a nada.

Gracias.