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Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: nktclau en 09 Julio, 2011, 07:37 pm

Título: Métodos de demostración
Publicado por: nktclau en 09 Julio, 2011, 07:37 pm
Hola Gente!! me podrían decir si lo que he realizado está bien?? por favor. MUCHAS GRACIAS
Me piden demostrar por cualquier metodo (Directo, contrarrecíproco o reducción al absurdo) la siguiente proposición. Sólo coloco un par pués casi todas las he hecho siguiendo el mismo razonamiento.
a) Si \( a \) es par entonces \( a^2+1 \) es impar
Método Directo:  
 \( \textsf{Si a es par }\Rightarrow{a=2k}\textsf{ , } k\in{\mathbb{Z}}\Rightarrow{a^2=4k}\Rightarrow{a^2+1=4k+1}\Rightarrow{a^2+1=2\underbrace{(2k)}_{h\in{\mathbb{Z}}} +1}\Rightarrow{a^2+1=2h+1} \)

b) Si \( xy \) es un número par entonces x o y son pares
Método  Contrarrecíproco:  

\( \textsf{Si x e y son impares}\Rightarrow{x=2k+1} \wedge y=2h+1 \textsf{ ; } k,h\in{\mathbb{Z}}\Rightarrow{xy=(2k+1)(2h+1)}\Rightarrow{xy=2kh+2k+2h+1}\Rightarrow{xy= 2\underbrace{(kh+k+h) }_{\color{red} a\in{\mathbb{Z}}} +1}\Rightarrow{xy=2a+1} \) por lo que xy son impares es la \( \sim{H} \)

El que no tengo idea de como empezar es \( \forall{x}\exists{y}(x+y)=0 \) no logro identificar hipótesis y tesis.

GRACIAS!!  ;)
Título: Re: Métodos de demostración
Publicado por: pepito en 09 Julio, 2011, 07:49 pm
Están perfecto, sólo que en la segunda te quedaría \( xy=4kh+2k+2h+1 \), y no \( xy=2kh+2k+2h+1 \).

Para la tercera, la hipótesis sería simplemente \( x\in\mathbb{R} \), y la tesis \( \exists y\in\mathbb{R}:x+y=0 \). En realidad esto es un axioma de los números reales, no sé muy bien qué es lo que te están pidiendo que hagas.
Título: Re: Métodos de demostración
Publicado por: nktclau en 09 Julio, 2011, 10:51 pm
Hola Pepito!!! ¿que tal?  GRACIAS!!  ;)
Para la tercera, la hipótesis sería simplemente \( x\in\mathbb{R} \), y la tesis \( \exists y\in\mathbb{R}:x+y=0 \). En realidad esto es un axioma de los números reales, no sé muy bien qué es lo que te están pidiendo que hagas.
Me piden que analice el valor de verdad de la proposición considerando a \( \mathbb{R} \) como dominio de interpretación.
¿cómo lo hago?  ??? ???