Rincón Matemático

Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Geometría y Topología => Triángulos => Mensaje iniciado por: gregorcantor en 19 Mayo, 2011, 12:11 am

Título: Incentro y recta de Euler
Publicado por: gregorcantor en 19 Mayo, 2011, 12:11 am
¿Alguien sabe cómo probar que el incentro de un triángulo está en la recta de Euler si y sólo si el triángulo es isósceles?
Título: Re: Incentro y recta de Euler
Publicado por: Héctor Manuel en 19 Mayo, 2011, 12:22 am
Si el triángulo es isósceles, entonces la prueba es muy sencilla.

El recíproco lo presiento bastante más complicado...

Saludos.
Título: Re: Incentro y recta de Euler
Publicado por: Michel en 19 Mayo, 2011, 10:42 am
Como dice hector manuel, si el triángulo es isósceles, resulta sencillo.

Esto podría ser una demostración del recíproco:

En un triángulo cualquiera ABC, sean O, G, H, I el circuncentro, baricentro, ortocentro e incentro. La recta de EULER es la de puntos, que para un triángulo cualquiera no pasa por I.

CI y CG son la bisectriz y la mediana correspondientes al vértice C; si la recta de EULER pasa también por I, resulta que una mediana coincide con una bisectriz, por lo que el triángulo es isósceles siendo C el ángulo desigual.

¿Es aceptable este razonamiento?

Saludos.
Título: Re: Incentro y recta de Euler
Publicado por: gregorcantor en 20 Mayo, 2011, 01:06 pm
No veo la demostración, que propone Michel.
Aunque I esté en la recta de Euler, no tiene por qué coincidir CG con CI o al menos no me resulta obvio.
La verdad es que este razonamiento, lo he leído en algunos sitios, pero no lo acabo de entender. Creo que hay que probar esa afirmación. No resulta evidente.
Saludos