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Matemática => Álgebra => Estructuras algebraicas => Mensaje iniciado por: hupavi en 18 Mayo, 2010, 07:54 pm

Título: Extensión algebraica
Publicado por: hupavi en 18 Mayo, 2010, 07:54 pm
Bueno la idea es demostrar que \( \sen(1) \) es algebraico sobre \( \mathbb{Q} \)
no tengo ni idea como abordar el problema, de antemano gracias.
Título: Re: Extensión algebraica
Publicado por: Luis Fuentes en 19 Mayo, 2010, 10:33 am
Hola

 Primero prueba por inducción que, para \( n \) impar,

 \( sin(na)=p_n(sin(a)) \)
 \( cos(na)=cos(a)q_n(sin(a)) \)

 donde \( p_n,q_n \) son polinomios con coeficientes racionales.

Spoiler
Para el paso inductivo ten en cuenta que:

\(  sin(na)=sin((n-2)a+2a)=sin((n-2)a)cos(2a)+cos((n-2)a)sin(2a) \)
\(  cos(na)=cos((n-2)a+2a)=cos((n-2)a)cos(2a)-sin((n-2)a)sin(2a) \)

 y que:

\(  cos(2a)=1-2sin^2(a),\quad sin(2a)=2sin(a)cos(a) \)
[cerrar]

 Luego ten en cuenta que:

\(  sin(45\cdot 1)^2=sin(45)^2=\dfrac{1}{2} \)

Saludos.
Título: Re: Extensión algebraica
Publicado por: hupavi en 10 Junio, 2010, 04:21 pm
Gracias, mira me sirvio de mucho tu ayuda \( sin(45)^2=sin(2*3*(2+3))^2=\dfrac{1}{2} \) y use que \( sin(3a)=3sin(a)-4sen^3(a) \) y ademas \(  cos(2a)=1-2sin^2(a) \) aunque me quedo muy largo, pero, llegue al resultado esperado, de nuevo gracias por todo.