Rincón Matemático

Matemática => Geometría sintética (Euclídea, Plana) => Geometría y Topología => Triángulos => Mensaje iniciado por: logan_diaz en 06 Mayo, 2010, 13:51

Título: Rectas en el plano
Publicado por: logan_diaz en 06 Mayo, 2010, 13:51
Hola espero que me ayuden con este problema.

" Dadas 3 rectas en el plano, que concurren en le punto \[ O \], considere 3 ángulos consecutivos que se forman entre ellas (cuya suma es, naturalmente, 180º). Sea \[ P \] un punto del plano que no se encuentra en ninguna de las rectas y sean \[ A, B, C \] los pies de los correspondientes perpendiculares trazadas desde \[ P \] a cada recta. Demuestre que el triángulo \[ ABC \] tiene los mismos ángulos que los que las rectas forman entre si ".

Título: Re: Rectas en el plano
Publicado por: Héctor Manuel en 06 Mayo, 2010, 14:37
Bueno, por desgracia no está funcionando bien mi pc, así que no puedo subirte un dibujo, de modo que seré los más descriptivo posible.

Supongamos que las rectas son \[ l_1,l_2,l_3 \] etiquetadas en orden contrario a las manecillas del reloj.  Supongamos además que  \[ P \] está entre \[ l_2 \] y \[ l_3 \], y tomemos \[ A \] sobre \[ l_1 \], \[ B \] sobre \[ l_2 \] y \[ C \] sobre \[ l_3 \] como lo has indicado.

Nota que los cuadriláteros \[ PCOB \] y \[ PCOA \] son cíclicos. Además \[ <BCA=90-<PCB-<ACB \], y por ser \[ PCOA \] cíclico se tiene que \[ <ACB=<OPA \].  De la misma forma se tiene que \[ <PCB=<POB \].  Pero en el triángulo rectángulo \[ POA \] se cumple que \[ <OPA+<POA=90 \] y \[ <POA=<POB+<BOA \], de donde \[ <BCA=<BOA \].  Con esto se tiene uno de los ángulos.

Intenta terminar.
Si tienes dudas, sigue preguntando.

Saludos
Título: Re: Rectas en el plano
Publicado por: logan_diaz en 11 Mayo, 2010, 12:43
Gracias por la respuesta. Una ultima consulta ¿np puedo decir que como los cuadrilateros \[ PCOB \] y \[ PCOA \] son ciclicos pertenecen a una misma circunferencia que los contiene y asi me resulta más facil ver los angulos por los arcos que lo sustentan. Gracias nuevamnete