Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: andd en 01 Marzo, 2010, 06:20 pm

Título: Límites direccionales
Publicado por: andd en 01 Marzo, 2010, 06:20 pm
Buenas, no estoy muy seguro de cómo hallar este ejercicio:

\( Y = (X1*X2)/(X1^2 + X2^2) \)



\displaystyle\frac{\( X1*X2 \)}{\( X1^2 + X2^2 \)} (me rindo con el latex este.. jaja)

Me pide los límites direccionales y los límites en direcciones parabólicas.

Para los límites direccionales sustituí X2 = mx y el resultado del límite el resultado fue infinito (1/0).

Para los límites en direcciones parabólicas no tengo ni idea de qué tengo que hacer.

Y si os soy sincero.. con este temario.. estoy un poco verde  :-[

Bienvenido al foro. Por favor, utiliza las fórmulas de LaTeX. Lee aquí (http://rinconmatematico.com/instructivolatex/formulas.htm) un sencillo instructivo acerca del mismo.
Título: Re: Limites direccionales
Publicado por: aesede en 01 Marzo, 2010, 07:00 pm
Hola.

En general, para calcular un límite según una dirección se trata (dicho muy informalmente) de "poner todo en función de una única variable":

\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{} (x_0,y_0)}{f(x,y)} = \displaystyle\lim_{x \to{} x_0}{g(x)} \)

donde \( g(x) = f(x,y(x)) \) e \( y(x) \) indica el camino o la dirección por el cual nos aproximamos al punto en cuestión.

En el caso de una dirección dada por \( y=ax^2+bx+c \) tenemos:

\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{} (x_0,y_0)}{f(x,y)} = \displaystyle\lim_{(x,y) \to{} (x_0,y_0)}{f(x,ax^2+bx+c)} = \displaystyle\lim_{x \to{} x_0}{g(x)} \)

Si el resultado queda en función de \( a \), \( b \) ó \( c \) significa que el límite no existe, ya que depende de la dirección.

Para los limites direccionales sustituí X2 = mx y el resultado del límite el resultado fue infinito (1/0).

Ojo! No sé en qué punto estás calculando el límite, pero hacer el reemplazo \( y=mx \) sirve únicamente si estamos calculando el límite en el origen. De lo contrario tenemos que hacer el reemplazo: \( y = y_0 + m (x-x_0) \), que es la ecuación del haz de rectas que pasa por el punto \( (x_0,y_0) \).

Espero haberte aclarado, saludos ;)
Título: Re: Límites direccionales
Publicado por: andd en 01 Marzo, 2010, 07:24 pm
muchas gracias, me ha servido de mucho.

Entonces, si no lo estoy haciendo mal, en este caso, los limites segun las parabolicas no existen porque estaría en funcion de C, no?
Título: Re: Límites direccionales
Publicado por: aesede en 01 Marzo, 2010, 07:53 pm
Tomate un tiempito con LaTeX, no es complicado. Lo que querés escribir es:

\( f(x,y) = \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2} \)

Te piden calcular (supongo yo, porque no lo aclaraste en tu mensaje):

\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{} (0,0)}{f(x,y)} \)

Tratemos de resolver como dije en el post anterior, acercándonos por el haz de rectas que pasa por el origen:

\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{} (0,0)}{\displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2}} = \displaystyle\lim_{x \to{} 0}{\displaystyle\frac{m \cdot x^2}{x^2+m^2 \cdot x^2}} = \displaystyle\lim_{x \to{} 0}{\displaystyle\frac{m \cdot x^2}{x^2 (1+m^2)}} = \displaystyle\lim_{x \to{} 0}{\displaystyle\frac{m \cdot \cancel{x^2}}{\cancel{x^2} (1+m^2)}} = \displaystyle\frac{m}{1+m^2} \)

Como el resultado quedó en función de \( m \), concluímos que el límite no existe (ya que no es único).

Saludos :)
Título: Re: Límites direccionales
Publicado por: andd en 01 Marzo, 2010, 07:57 pm
Sí, perdón, no aclaré que era en el origen.

Pues muy bien, yo creo que me ha quedado claro todo.

Muchas gracias por tu ayuda y atención :)
Título: Re: Límites direccionales
Publicado por: aesede en 01 Marzo, 2010, 09:30 pm
muchas gracias, me ha servido de mucho.

Entonces, si no lo estoy haciendo mal, en este caso, los limites segun las parabolicas no existen porque estaría en funcion de C, no?

Disculpame, me preguntaste una cosa y te contesté otra totalmente distinta :P

Para el caso de una trayectoria parabólica, todo depende de cuál sea esta trayectoria (si calculamos el límite en el origen podemos acercarnos por \( y=x^2 \), por \( y=-x^2 \), por \( y=-5x^2+3x \), en fin, por cualquier parábola que pase por el origen, es decir, que su ecuación no tenga término independiente). Para cada una de estas trayectorias el resultado puede ser distinto. No sé en tu pregunta a qué llamas "C".

Me alegro que te haya servido.

Saludos.

PD: ya que estamos, podrías corregir en tu primer mensaje la ecuación ;) Si hacés click en esta fórmula: \( f(x,y) = \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2} \) te va a mostrar el código necesario para que aparezca.
Título: Re: Límites direccionales
Publicado por: andd en 02 Marzo, 2010, 02:44 am
Buah, mira, muchas gracias por tu ayuda y todo eso, pero esto de los límites, continuidades y toda esa parafernalia no es lo mio...

cada vez que algo de esto me desespero.